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淘宝：学思创想
专题01 双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型
线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出
发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部
分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。
....................................................................................................................................................2
模型1.线段的双中点模型...............................................................................................................................2
模型2.线段的多中点模型...............................................................................................................................4
模型3.双角平分线模型与角n 等分线模型...................................................................................................6
..................................................................................................................................................11
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模型1.线段的双中点模型
线段双中点模型：两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为
线段的双中点模型。
条件：点M、N 分别为线段AB、BC 的中点，结论：
.
证明：①当点B 在线段AC 上，如图1，
图1
∵M、N 分别为AB、BC 的中点，∴
（中点定义）；
（中点定义）；
∵MN=BM+BN，∴
；
②当点B 在线段AC 的延长线上，如图2，
图2
∵M、N 分别为AB、BC 的中点，∴
（中点定义）；
（中点定义）；
∵MN=BM-BN，∴
；
③当点B 在线段CA 的延长线上
图3
∵M、N 分别为AB、BC 的中点，∴
（中点定义）；
（中点定义）；
∵MN=BN-BM，∴
；
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例1．（23-24 七年级上·江苏扬州·期末）如图，点C 在线段
上，点M、N 分别是
的中点．
(1)若
，求
的长；(2)若
，求
的长；
例2．（23-24 七年级上·江西赣州·期末）如图，点C 在线段
上，点M，N 分别是线段
的中点．
(1)若
，求线段
的长；(2)若
，求线段
的长度．
例3．（23-24 七年级·山东淄博·期末）已知点
是线段
的中点，点
是线段
的三等分点．若线段
，则线段
的长为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
例4．（23-24 七年级上·安徽黄山·期末）如图，C，D 是线段
上两点（点D 在点C 右侧），E，F 分别
是线段
的中点．下列结论：
①
； ②若
，则
；③
； ④
．
其中正确的结论是（ ）
A．①②
B．②③
C．②④
D．③④
例5．（23-24 七年级上·贵州遵义·期末）已知线段
，点C 为线段
的中点，点D 为线段
上的
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三等分点，则线段
的长的最大值为（ ）
A．16
B．18
C．15
D．20
例6．（23-24 七年级上·辽宁阜新·期末）点
、
在数轴上所表示的数如图所示，
是数轴上一点：
(1)将点
在数轴上向左移动2 个单位长度，再向右移动7 个单位长度，得到点
，求出
、
两点间的距
离是多少个单位长度．
(2)若点
在数轴上移动了
个单位长度到点
，且
、
两点间的距离是4，求
的值．
(3)若点
为
的中点，点
为
的中点，点
在运动过程中，线段
的长度是否发生变化？若发生
变化，请你说明理由：若不变，请你画出图形，并求出线段
的长度．
模型2.线段的多中点模型
条件：如图，点M 在线段
的延长线上，且线段
，第1 次操作：分别取线段
和
的中点
、
﹔第2 次操作：分别取线段
和
的中点
，
﹔第3 次操作：分别取线段
和
的
中点
，
；…连续这样操作n 次，结论：
．
证明：∵
、
是
和
的中点，∴
，
，
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∴
，∵
、
是
和
的中点，
∴
，
，∴
，
∵
，
是
和
的中点，∴
，
，
∴
，……发现规律：
，
例1．（23-24 七年级上·贵州六盘水·期末）如图，数轴上的点
为原点，点
表示的数为
，动点
从点
出发，按以下规律跳动：第1 次从点
跳动到
的中点
处，第2 次从点
跳动到
的中点
处，
第3 次从点
跳动到
的中点
处，…，第
次从点
跳动到
的中点
处，按照这样的规律继
续跳动到点
，
，
，…，
处，那么点
所表示的数为 ．
例2．（23-24 七年级上·河南濮阳·期末）已知：如图，点M 在线段
的延长线上，且线段
，第
一次操作：分别取线段
和
的中点
，
； 第二次操作：分别取线段
和
的中点
，
；
第三次操作：分别取线段
和
的中点
，
，连续这样操作4 次，则
．
例3．（23-24 七年级上·湖南张家界·期末）如图，点M 在线段
的延长线上，且线段
，第一次操
作：分别取线段
和
的中点
、
﹔第二次操作：分别取线段
和
的中点
，
﹔第三
次操作：分别取线段
和
的中点
，
；…连续这样操作2024 次，则每次的两个中点所形成的
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所有线段之和
．
例4．（23-24 七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件
做了n 次取线段
中点实验：如图，设线段
，第1 次，取
的中点
；第2 次，取
的中点
；第3 次，取
的中点
，第4 次，取
的中点
；…
(1)请完成下列表格数据．
次数
线段
的长
第1 次
第2 次
第3 次
第4 次
第5 次
①______
②________
…
…
…
(2)小明对线段
的表达式进行了如下化简：
因为
，所以
，
两式相加，得
，所以
．
请你参考小明的化简方法，化简
的表达式．
(3)类比猜想：
_____，
=_____，随着取中点次数n 的不断增大，
的长最终接近的值是____．
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模型3.双角平分线模型与角n 等分线模型
双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平
分线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们
自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。
图1 图2 图3 图4
1）双角平分线模型（两个角无公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE 分别平分∠AOB、∠BOC；结论：
。
证明：∵OD、OE 分别平分∠AOB、∠BOC，∴
，
，
∴
，∴
。
2）双角平分线模型（两个角有公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE 分别平分∠AOB、∠BOC；结论：
。
证明：∵OD、OE 分别平分∠AOB、∠BOC，∴
，
，
∴
，∴
。
3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）
条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；
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结论：
。
证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴
，
，
∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB，
∴
。
4）角n 等分线模型
条件：如图4，
分别是
和
的平分线，
分别是
和
的平分线，
分别是
和
的平分线…，
分别是
和
的平分线；结论：．
证明：
，
、
分别是
和
的平分线，
，
，
、
分别是
和
的平分线，
，
，
、
分别是
和
的平分线，
，
，…，
由此规律得：
。
例1．（2023·河南周口·校联考一模）如图，点O 为直线
上一点，
平分
，
平分
，
若
，则
的度数为（ ）
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A．
B．
C．
D．
例2．（2023 春·辽宁辽阳·七年级统考期末）如图，射线
平分
，射线
平分
，则下列
等式中成立的有（ ）
①
；②
；③
；④
．
A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
例3．（2023 春·黑龙江·七年级校考阶段练习）如图，射线
是
的角平分线，射线
是
的角半分线，射线
是
的角平分线，则下列结论成立的有（ ）个．
①
；②
；③
；④
；
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
例4．（2023·河南·七年级校联考期末）如图，
分别是
和
的平分线，
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分别是
和
的平分线，
分别是
和
的平分线，…，
分别是
和
的平分线，则
的度数是 ．
例5．（2022 秋·山西太原·七年级统考期末）图，∠AOC=∠BOD=90°，OB 在∠AOC 的内部，OC 在
∠BOD 的内部，OE 是∠AOB 的一条三等分线．请从A，B 两题中任选一题作答．
A．当∠BOC＝30°时，∠EOD 的度数为 ．
B．当∠BOC＝α°时，∠EOD 的度数为 （用含α 的代数式表示）．
例6．（2023 秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，点
，
，
在同一条直线上，
，
分别平分
和
．(1)求
的度数；(2)如果
．①求
的度数；②若
，
直接写出
的度数．
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例7．（2023 秋·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若
，
，
、
分别平分
、
，求
的度数；
(2)若
，
是平面内两个角，
，
，
、
分别平分
、
，求
的度数．（用含
、
的代数式表示）
例8．（2023 春·山东济南·七年级统考期末）解答下列问题
如图1，射线
在
的内部，图中共有3 个角：
和
，若其中有一个角的度数
是另一个角度数的两倍，则称射线
是
的“巧分线”．(1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，
（填“是”或“不是”）．(2)如图2，若
，且射线
是
的“巧分线”，则
（表示出所有可能的结果探索新知）．(3)如图3，若
，且射线
是
的“巧分线”，则
（用含α 的代数式表示出所有可能的结果）．
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1．（2023 秋·福建泉州·七年级统考期末）在直线上任取一点A，截取
，再截取
，则
的中点
与
的中点
之间的距离为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
2．（2023 秋·江西上饶·七年级统考期末）如图，C、D 是线段
上两点，M、N 分别是线段
的中
点，下列结论：①若
，则
；②若
，则
；③
；
④
．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③
B．③④
C．①②④
D．①②③④
3．（2023 秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M 在线段AN 的延长线上，且线段
，第一次操
作：分别取线段
和
的中点
、
；第二次操作：分别取线段
和
的中点
，
；第三
次操作：分别取线段
和
的中点
，
；…连续这样操作2023 次，则每次的两个中点所形成的
所有线段之和
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023 秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知
，以点
为顶点作直角
，以点
为端点作一条射线
．通过折叠的方法，使
与
重合，点
落在点
处，
所在的直线为折痕，
若
，则
（ ）．
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A．
B．
C．
D．
5．（2023 秋·山西大同·七年级统考期末）在
的内部作射线
，射线
把
分成两个角，
分别为
和
，若
或
，则称射线
为
的三等分线．
若
，射线
为
的三等分线，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
6．（2023 春·山东青岛·七年级统考开学考试）如图，有两根木条，一根
长为
，另一根
长为
，在它们的中点处各有一个小圆孔
（圆孔直径忽略不计，
抽象成两个点），将它们的
一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离
是 ．
7．（23-24 七年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，已知
是线段
上的一个点，
是
的
中点，
为
中点，且满足
，求
．
8．（2023 秋·福建福州·七年级校考期末）已知线段
和线段
在同一直线上，线段
（A 在左，B 在
右）的长为a，长度小于
的线段
（D 在左，C 在右）在直线
上移动，M 为
的中点，N 为
的中点，线段
的长为b，则线段
的长为 （用a，b 的式子表示）．
9．（2023 秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，点C，D 在线段
上，P，Q 分别是
的中点，若
，则
．
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10．（2023 秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）已知
，由定点
引一条射线，使得
，
、
分别是
和
的平分线，则
度．
11．（2024·山东·七年级专题练习）如图，在∠AOB 的内部有3 条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，
∠BOE＝
∠BOC，∠BOD＝
∠AOB，则∠DOE＝ °．（用含n 的代数式表示）
12．（2023 秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数a，b 满足：
．如图，在数轴上，
点O 是原点，点A 所对应的数是a，线段
在直线
上运动（点B 在点C 的左侧），
．
下列结论：①
；②当点B 与点O 重合时，
；
③当点C 与点A 重合时，若点P 是线段BC 延长线上的点，则
；
④在线段
运动过程中，若M 为线段
的中点，N 为线段
的中点，则线段
的长度不变．
所有结论正确的序号是 ．
13．（2023 春·天津滨海新·七年级校考期中）如图，
为直线
上一点，
，
平分
，
平分
，
平分
，下列结论：
；
与
互补；
；
．请你把所有正确结论的序号填写在横线上 ．
14．（2023 春·安徽合肥·七年级校考开学考试）平面内，
，
为
内部一点，射线
平
分
，射线
平分
，射线
平分
，当
时，
的度数是
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．
15．（2023 秋·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴
趣：
如图1，点
在线段
上，
，
分别是
，
的中点．若
，
，求
的长．
(1)根据题意，小明求得
______．
(2)小明在求解（1）的过程中，发现
的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开
始深入探究．设
，
是线段
上任意一点（不与点
，
重合），小明提出了如下三个问题，请
你帮助小明解答．①如图1，
，
分别是
，
的中点，则
______．
②如图2，
，
分别是
，
的三等分点，即
，
，求
的长．
③若
，
分别是
，
的
等分点，即
，
，则
______．
16．（2023 秋·福建泉州·七年级校考期末）【概念与发现】
当点C 在线段AB 上，
时，我们称n 为点C 在线段AB 上的“点值”，记作
．
例如，点C 是AB 的中点时，即
，则
；反之，当
时，则有
．
因此，我们可以这样理解：“
”与“
”具有相同的含义．
(1)【理解与应用】如图，点C 在线段AB 上．若
，
，则
________；若
，
则
________．
(2)【拓展与延伸】已知线段
，点P 以1cm/s 的速度从点A 出发，向点B 运动．同时，点Q 以
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3cm/s 的速度从点B 出发，先向点A 方向运动，到达点A 后立即按原速向点B 方向返回．当P，Q 其中一点
先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．
①小王同学发现，当点Q 从点B 向点A 方向运动时，
的值是个定值，求m 的值；
②t 为何值时，
．
17．（2023 秋·河北邢台·七年级校联考期末）已知
，
平分
，
平分
．
(1)如图1，当
，
重合时，求
的度数；(2)如图2，当
在
内部时，若
，
求
的度数；(3)当
和
的位置如图3 时，求
的度数．
18．（2024·广东广州·七年级校考期末）如图①，已知线段
，
，线段
在线段
上运动，E，F 分别是
，
的中点．
(1)若
，则
___________cm；(2)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知
在
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内部转动，
，
分别平分
和
，若
，
，则
___________．直接写出
，
和
的数量关系：___________．
19．（2023 秋·湖南永州·七年级统考期末）点
为直线
上一点，在直线
同侧任作射线
，使
得
．(1)如图一，过点
作射线
，使
为
的角平分线，若
时，则
________ ，
________ ；(2)如图二，过点O 作射线
，当
恰好为
的角平分
线时，另作射线
，使得
平分
．①若
，求
的度数（写出推理过程）；
②若
，则
的度数是________（直接填空）．
(3)过点
作射线
，当
恰好为
的角平分线时，另作射线
，使得
平分
，当
时，则
的度数是________．（在稿纸上画图分析，直接填空）
20．（2023 春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知：射线
在
内部，
平分
．
(1)如图1，求证：
；(2)如图2，作
平分
，求证：
；
(3)如图3，在（2）的条件下，当
时，作射线
的反向延长线
，
在
的下方，且
，反向延长射线
得到射线
，射线
在
内部，
是
的平分线，若
，
，求
的度数．
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