文档文本内容
第 05 讲 空间向量的概念及其运算
空间向量法和几何法求空间角和空间距离
（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例 考点分析 关联考点
空间位置关系的向量证明
2023年新I卷，第18题,12分 面面角的向量求法 无
已知面面角求其他量
证明线面垂直
2023年新Ⅱ卷，第20题,12分 面面角的向量求法
线面垂直证明线线垂直
求异面直线所成的角
2022年新I卷，第9题,5分 无
求线面角
求点面距离
2022年新I卷，第19题,5分 无
面面角的向量求法
2022年新Ⅱ卷，第20题,12分 面面角的向量求法 证明线面平行
求空间向量的数量积
2021年新I卷，第12题,5分 垂直关系
空间向量的坐标表示
锥体体积的有关计算
由二面角大小求线段长度或
2021年新I卷，第20题,12分 线面垂直证明线线垂直
距离
面面垂直证线面垂直
2021年新Ⅱ卷，第19题,12分 面面角的向量求法 证明面面垂直
2020年新I卷，第20题,12分 线面角的向量求法 证明线面垂直
2020年新I卷，第20题,12分 线面角的向量求法 证明线面垂直
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等偏难，分值为5-12分
【备考策略】1.掌握空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会运用空间两点间的距离公式
2.理解空间向量的概念，理解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的线性运算及其
坐标表示3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直，会求
平面法向量
4.熟练掌握空间中点线面的位置关系，会运用空间向量证明平行、垂直关系
5.会运用空间向量求空间距离及空间角
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般在解答题中考查线面平行（垂直）、面面平行（垂
直）的判定及其性质，考查空间距离和空间角的求解，需强化巩固复习.
知识讲解
1．空间向量及其有关概念
概念 语言描述
共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合
(平行向量)
共面向量 平行于同一个平面的向量
共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb
若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序
共面向量定理
实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
空间向量基本定 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.
理及推论 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存
在唯一的三个有序实数x，y，z，使OP＝xOA＋yOB＋zOC且x＋y＋z＝1
2．数量积及坐标运算
(1)两个空间向量的数量积：
①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉
②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)
③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝.
(2)空间向量的坐标运算：
a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b)
1 2 3 1 2 3
向量和 a＋b＝(a＋b，a＋b，a＋b)
1 1 2 2 3 3
向量差 a－b＝(a－b，a－b，a－b)
1 1 2 2 3 3
数量积 a·b＝ab＋ab＋ab
1 1 2 2 3 3
共线 a∥b⇒a＝λb，a＝λb，a＝λb(λ∈R，b≠0)
1 1 2 2 3 3
垂直 a⊥b⇔ab＋ab＋ab＝0
1 1 2 2 3 3
夹角公式 cos〈a，b〉＝
3．直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或共线，则称此向量a为直线l
的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
(3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一．
4．空间位置关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，ν，则
(1)线线平行：l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R；
线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0；
面面平行：α∥β⇔u∥ν⇔u＝kν，k∈R.
(2)线线垂直：l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0；
线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R；
面面垂直：α⊥β⇔u⊥ν⇔u·ν＝0.5．两条异面直线所成角的求法
设a，b分别是两异面直线l，l 的方向向量，则l 与l 所成的角θ的范围为(0，]，公式为cos θ＝
1 2 1 2
6．直线与平面所成角的求法
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，
则sin θ＝|cos β|＝.
7．求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB，CD〉．
(2)如图②③，n，n 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足
1 2
|cos θ|＝|cos〈n，n〉|，二面角的平面角大小是向量n 与n 的夹角(或其补角)．
1 2 1 2
8．空间两点间的距离公式
若 ， ，则 = .
9．点 到平面 的距离
（ 为平面 的法向量， 是经过面 的一条斜线， ）.
考点一、空间向量的基本概念及其运算
1．（2023·江苏南通·海安高级中学校考一模）设向量 ， ，当数 与 满足下列哪种
关系时，向量 与 轴垂直（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）在三棱锥P-ABC中，点O为 ABC的重心，点D，
E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若 ， ， ，则 =（ △ ）
A． B． C． D．
3．（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）（多选）设 、 为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·湖北十堰·统考二模）（多选）《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑
堵，在如图所示的堑堵中， ，则（ ）．
A．
B．
C．向量 在向量 上的投影向量为
D．向量 在向量 上的投影向量为
1．（2022·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）以下四组向量在同一平面的是（ ）
A． 、 、 B． 、 、
C． 、 、 D． 、 、
2．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知向量 ，若 与 垂直，则 （ ）.
A． B． C． D．
3．（2023·江苏淮安·统考模拟预测）在四面体 中， ， ， ， ，则
的值为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
4．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）（多选）下列命题是真命题的有( )
A．A，B，M，N是空间四点，若 不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面B．直线l的方向向量为 ，直线m的方向向量 为，则l与m垂直
C．直线l的方向向量为 ，平面α的法向量为 ，则l⊥α
D．平面α经过三点 ， 是平面α的法向量，则u+t＝1
考点 二 、空间中的距离求解
1．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在空间直角坐标系中，直线 的方程为 ，空间一点 ，
则点 到直线 的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）如图，平行六面体 中，
， ， ， ，则线段 的长为 .
3．（2023·湖北·模拟预测）如图所示的多面体是由底面为 的长方体被截面 所截得到的，其中
， ， ， ，则点 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）如图，已知 是侧棱长和底面边长均等于的直三棱柱， 是侧棱 的中点.则点 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）正四面体 的棱长为4，中心为点 ，则以 为球心，1
为半径的球面上任意一点 与该正四面体各顶点间的距离的平方和： .
3．（2023·广东佛山·统考模拟预测）如图，在平行六面体 中，以顶点A为端点的三条棱
长都是a，且 ， ，E为 的中点，则点E到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
考点 三 、异面直线所成角
1．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）“曲池”是《九章算术》记载的一种几何体，该几何体是上、下底面
均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池， 面ABCD，
，底面扇环所对的圆心角为 ， 的长度是 长度的2倍， ，则异面直线 与 所
成角的正弦值为（ ）A． B． C． D．
2．（2023·广东·统考模拟预测）已知正四棱锥 的侧棱长为2，底面边长为 ，点E在射线PD
上，F，G分别是BC，PC的中点，则异面直线AE与FG所成角的余弦值的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·江苏南京·南京师大附中校考一模）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是
由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基
米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，
可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点 为线段 上的动点，则直线 与直线 所
成角的余弦值的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）如图所示，正方体 中，点 为底面 的中心，
点 在侧面 的边界及其内部移动，若 ，则异面直线 与 所成角的余弦值的最大值
为（ ）A． B． C． D．
2．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）如图，在三棱柱 中，底面 为正
三角形，侧棱垂直于底面， .若E是棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）四棱柱 中，侧棱 底面 ，
， ， ，侧面 为正方形，设点O为四棱锥 外接球的球
心，E为 上的动点，则直线 与 所成的最小角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
考点 四 、线面角
1．（2022·全国·统考高考真题）在四棱锥 中， 底面
．(1)证明： ；
(2)求PD与平面 所成的角的正弦值．
2．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知 和 都是直角梯形， ， ，
， ， ， ，二面角 的平面角为 ．设M，N分别为
的中点．
(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
3．（2020·海南·统考高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与
平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
4．（2023·江苏·统考三模）如图，三棱锥P－ABC的底面为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝2．D，E
分别为AC，BC的中点，PD⊥平面ABC，点M在线段PE上．(1)再从条件①、②、③、④四个条件中选择两个作为已知，使得平面MBD⊥平面PBC，并给予证明；
(2)在（1）的条件下，求直线BP与平面MBD所成的角的正弦值．
条件①： ；
条件②：∠PED＝60°；
条件③：PM＝3ME：
条件④：PE＝3ME．
5．（2023·山东潍坊·三模）如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， 为底
面圆 的内接正三角形，且边长为 ，点 在母线 上，且 .
(1)求证：直线 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ；
(3)若点 为线段 上的动点．当直线 与平面 所成角的正弦值最大时，求此时点 到平面
的距离.
1．（2021·浙江·统考高考真题）如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，
，M，N分别为 的中点， .（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
2．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体 中， ，E为 的
中点．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，点F在 上，当 的面积最小时，求 与平面 所成的角的正
弦值．
3．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考三模）图①是直角梯形 ， ， ，四边形
是边长为 的菱形，并且 ，以 为折痕将 折起，使点 到达 的位置，且
.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)在棱 上是否存在点 ，使得点 到平面 的距离为 ？若存在，求出直线 与平面 所
成角的正弦值；若不存在，请说明理由.
4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）如图，在底面为正方形的四棱台中，已知 ， ， ，A到平面 的距离为 .
(1)求 到平面 的距离；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
5．（2023·湖南张家界·统考二模）如图，已知三棱柱 ， ， ， 为线段
上的动点， .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 ，D为线段 的中点， ，求 与平面 所成角的余弦值.
考点 五 、二面角
1．（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥 中， ， ，
，E为BC的中点．
(1)证明： ；(2)点F满足 ，求二面角 的正弦值．
2．（2022·全国·统考高考真题）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
3．（2021·全国·统考高考真题）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，E，
F分别为 和 的中点，D为棱 上的点．
（1）证明： ；
（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小?
4．（2023·河北·模拟预测）如图，在五边形 中，四边形 是矩形， ，
将 沿着 折起，使得点 到达点 的位置，且平面 平面 ，点 ， 分别为线段 ，
的中点，点 在线段 上，且 .
(1)当 时，证明： 平面 ；
(2)设平面 与平面 的夹角为 ，求 的最大值及此时 的值.
5．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）如图，在四棱锥 中，平面 平面PAD， ， ， ， ， ，E是PD的中点．
(1)求证： ；
(2)若点M在线段PC上，异面直线BM和CE所成角的余弦值为 ，求面MAB与面PCD夹角的余弦值．
1．（2023·福建三明·统考三模）如图，平面五边形 由等边三角形 与直角梯形 组成，其
中 ， ， ， ，将 沿 折起，使点 到达点 的位置，且
.
(1)当 时，证明 并求四棱锥 的体积；
(2)已知点 为棱 上靠近点 的三等分点，当 时，求平面 与平面 夹角的余弦值.
2．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知 是平行六面体 中线段 上一
点，且 ．
(1)证明： 平面 ；(2)已知四边形 是菱形， ，并且 为锐角， ，
求二面角 的正切值．
3．（2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）如图，在直角梯形ABCD中， ， ，四边形
为平行四边形，对角线 和 相交于点H，平面 ⊥平面 ， ，
，G是线段 上一动点（不含端点）．
(1)当点G为线段BE的中点时，证明： 平面 ；
(2)若 ，且直线 与平面 成 角，求二面角 的正弦值．
4．（2023·江苏南通·二模）如图，在圆台 中， 分别为上、下底面直径，且 ，
， 为异于 的一条母线．
(1)若 为 的中点，证明： 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的正弦值．
5．（2023·广东汕头·金山中学校考模拟预测）如图，在三棱台 中，面 ，
，(1)证明： ；
(2)若棱台的体积为 ， ，求二面角 的余弦值．
考点 六 、体积综合
1．（2023·福建泉州·统考模拟预测）在四棱锥 中，底面 为矩形，点 在平面 内的
投影落在棱 上， ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 ， ，当四棱锥 的体积最大时，求平面 与平面 的夹角的余弦值．
2．（2023·广东广州·华南师大附中校考三模）如图，四棱锥 的底面为正方形， ，
平面 ， ， 分别是线段 ， 的中点， 是线段 上的一点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，且 点不是线段 的中点，求三棱锥 体积.
3．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）如图， 是等腰直角三角形， ，四边形 是直角梯形， ， ，且 ，平面 平面 ．
(1)求证： ；
(2)若点E是线段 上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥 的体积为 ?
1．（2023·河北保定·统考二模）如图，四棱台 的底面是菱形，且 ， 平面
， ， ， .
(1)求证： 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积.
2．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在三棱台 中， 为 中点， ， ，
.
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ， ，平面 与平面 所成二面角大小为 ，求三棱锥 的体积.
3．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）长方形 中， ，点 为 中点（如图1），将点 绕 旋转至点 处，使平面 平面 （如图2）．
(1)求证： ；
(2)点 在线段 上，当二面角 大小为 时，求四棱锥 的体积．
考点 七 、立体几何小题综合
1．（2023·辽宁本溪·本溪高中校考模拟预测）如图所示，圆锥的轴截面 是以 为直角顶点的等腰直
角三角形， ， 为 中点．若底面 所在平面上有一个动点 ，且始终保持 ，过点
作 的垂线，垂足为 ．当点 运动时，
①点 在空间形成的轨迹为圆
②三棱锥 的体积最大值为
③ 的最大值为2
④ 与平面 所成角的正切值的最大值为
上述结论中正确的序号为（ ）．
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③
多选题
2．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）如图，在各棱长均为2的正三棱柱
中， 分别是 的中点，设 ， ，则（ ）A．当 时，
B． ，使得 平面
C． ，使得 平面
D．当 时， 与平面 所成角为
3．（2023·全国·模拟预测）如图，正四棱锥 的所有棱长均为1，E为BC的中点，M，N分别为
棱PB，PC上的动点，设 ， ， ，则（ ）
A．AM不可能垂直于BN B． 的取值范围是
C．当 时，平面 平面ABCD D．三棱锥 的体积为定值
4．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中，
点 ， 分别在线段 和 上．给出下列四个结论：其中所有正确结论的序号是（ ）A． 的最小值为2
B．四面体 的体积为
C．有且仅有一条直线 与 垂直
D．存在点 ，使 为等边三角形
5．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）正四棱柱 ，底面边长为 ，侧棱
长为2，则下列结论正确的（ ）
A．点 到平面 的距离是 ．
B．四棱锥 内切球的表面积为 ．
C．平面 与平面 垂直．
D．点 为线段 上的两点，且 ，点 为面 内的点，若 ，则
点 的轨迹长为 ．
6．（2023·广东广州·统考二模）已知正四面体 的棱长为2，点 ， 分别为 和 的重
心， 为线段 上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若 取得最小值，则
B．若 ，则 平面
C．若 平面 ，则三棱锥 外接球的表面积为
D．直线 到平面 的距离为
7．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）如图，在三棱柱 中， 底面
， 为线段 上的动点， 分别为线段 中点，则下列
命题中正确的是（ ）
A．三棱锥 的外接球体积的最大值为B．直线 与 所成角的余弦值的取值范围是
C．当 为 中点时，三棱锥 的体积为
D．存在点 ，使得
8．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）已知正方体 的棱长为1， 为棱 （包含端
点）上的动点，下列命题正确的是（ ）
A．
B．二面角 的大小为
C．点 到平面 距离的取值范围是
D．若 平面 ，则直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为
1．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考二模）已知正方体 棱长为2，P为空间中一点.下列
论述正确的是（ ）
A．若 ，则异面直线BP与 所成角的余弦值为
B．若 ，三棱锥 的体积不是定值
C．若 ，有且仅有一个点P，使得 平面
D．若 ，则异面直线BP和 所成角取值范围是多选题
2．（2023·山东·校联考二模）如图所示，在菱形 中， ， 分别是线段 的
中点，将 沿直线 折起得到三棱锥 ，则在该三棱锥中，下列说法正确的是（ ）
A．直线 平面
B．直线 与 是异面直线
C．直线 与 可能垂直
D．若 ，则二面角 的大小为
3．（2023·湖北武汉·湖北省武昌实验中学校考模拟预测）如图，在棱长为2的正四面体 中， 、
分别为 、 上的动点（不包含端点）， 为 的中点，则下列结论正确的有（ ）
A． 的最小值为 ；
B． 的最小值为 ；
C．若四棱锥 的体积为 ，则 的取值范围是
D．若 ，则
4．（2023·重庆巴南·统考一模）如图，平行六面体 中， ， ， 与
交于点O，则下列说法正确的有（ ）A．平面 平面
B．若 ，则平行六面体的体积
C．
D．若 ，则
5．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）如图，棱长为 的正方体 中，点 、 满
足 ， ，其中 、 ，点 是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（ ）
A．当 时， 平面
B．当 时，若 平面 ，则 的最大值为
C．当 时，若 ，则点 的轨迹长度为
D．过 、 、 三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形
6．（2023·云南·校联考模拟预测）如图，正方体 的棱长为2，若点 在线段 上运动，
则下列结论正确的是（ ）A．直线 可能与平面 相交
B．三棱锥 与三棱锥 的体积之和为
C． 的周长的最小值为
D．当点 是 的中点时， 与平面 所成角最大
7．（2023·福建泉州·统考模拟预测）直四棱柱 中，底面ABCD是菱形， ，且
， 为 的中点，动点 满足 ，且 ， ，则下列说法正确的是
（ ）
A．当 时，
B．若 ，则 的轨迹长度为
C．若 平面 ，则
D．当 时，若点 满足 ，则 的取值范围是
8．（2023·安徽黄山·统考二模）如图，圆柱 的底面半径和母线长均为 是底面直径，点 在圆 上
且 ，点 在母线 ，点 是上底面的一个动点，则（ ）
A．存在唯一的点 ，使得
B．若 ，则点 的轨迹长为4
C．若 ，则四面体 的外接球的表面积为
D．若 ，则点 的轨迹长为考点 八 、等体积转化求点面距
1．（2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）已知矩形 中， ，现将
沿对角线 向上翻折得到四面体 ，且 .
(1)求点 到平面 的距离；
(2)求二面角 的大小.
2．（2023秋·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）图1是直角梯形ABCD， ， ，
， ， ， ，以BE为折痕将 BCE折起，使点C到达 的位置，且
，如图2.
(1)求点D到平面 的距离；
(2)若 ，求二面角 的大小.
1．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）如图，平行六面体 的体积为6，截面 的面积
为6．(1)求点 到平面 的距离；
(2)若 ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
2．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形，
平面 ，
(1)求 到平面 的距离；
(2)求平面 与平面 的夹角的正弦值.
考点 九 、几何法求空间角
1．（2023·山东·校联考二模）如图，在正三棱台ABC—DEF中，M，N分别为棱AB，BC的中点，
.
(1)证明：四边形MNFD为矩形；
(2)若四边形MNFD为正方形，求直线BC与平面ACFD所成角的正弦值.
2．（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平
面ABCD，E为PD上的中点.(1)求证：PB 平面AEC；
(2)设PA=AB=1，求平面AEC与平面AED夹角的余弦值.
3．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）如图所示，在三棱锥 中，满足 ，
点M在CD上，且 ， 为边长为6的等边三角形，E为BD的中点，F为AE的三等分点，
且 .
(1)求证： 面ABC；
(2)若二面角 的平面角的大小为 ，求直线EM与面ABD所成角的正弦值.
4．（2022秋·湖北·高三校联考期中）如图，在三棱柱 中， ， ，
， 是棱 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若三棱锥 的体积为 ，求平面 与平面 的夹角 ．
5．（2022秋·湖北·高三湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）如图①，
，将图①中左右两个三角形沿着 翻折成为图②所示的三棱锥，
棱 上的点 满足 .(1)过点 作截面 平面 ，写出作法并证明；
(2)当二面角 的大小为 时，求直线 与（1）中平面 所成角的正切值.
1．（2023秋·山东临沂·高三校联考开学考试）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形，
， 平面 ， ．
(1)证明；平面 平面 ；
(2)设P为 上的一个动点，是否存在点P使得 与平面 所成角为30°，若存在，求 ，若不存在，
说明理由．
2．（2023秋·浙江·高三浙江省普陀中学校联考开学考试）如图三棱柱 中， 是边长为2
的正三角形， ，二面角 的余弦值为 .
(1)证明： 平面 ；
(2)求 与平面 所成角的正弦值.
3．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）如图，在直三棱柱 中， ， ，，点 分别是 的中点，点 是线段 上一点，且 平面 ．
(1)求证：点 是线段 的中点；
(2)求二面角 的余弦值．
4．（2023·江苏淮安·统考模拟预测）如图，斜三棱柱 中， ， 为 的中点， 为
的中点，平面 平面 .
(1)求证：直线 平面 ；
(2)设直线 与直线 的交点为点 ，若三角形 是等边三角形且边长为 ，侧棱 ，且异面
直线 与 互相垂直，求异面直线 与 所成角.
5．（2023秋·广东阳江·高三统考开学考试）在正三棱台 中， ， ， 为
中点， 在 上， .
(1)请作出 与平面 的交点 ，并写出 与 的比值（在图中保留作图痕迹，不必写出画法和
理由）；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.【基础过关】
一、单选题
1．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）如图，在直三棱柱 中， 面 ，
，则直线 与直线 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面 是菱形，
平面 ， ， ，点 是 的中点，点 是 上不与端点重合的动点，则
异面直线 与 所成角的正切值最小为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）如图，在正四棱柱 中， ，
为四边形 对角线的交点，下列结论正确的是（ ）A．点 到侧棱的距离相等 B．正四棱柱外接球的体积为
C．若 ，则 平面 D．点 到平面 的距离为
4．（2023·福建·统考一模）如图，在棱长为1的正方体 中，点M为线段 上的动点
（含端点），则（ ）
A．存在点M，使得 平面
B．存在点M，使得 ∥平面
C．不存在点M，使得直线 与平面 所成的角为
D．存在点M，使得平面 与平面 所成的锐角为
5．（2023·山西临汾·统考一模）如图，在平行六面体 中， 分别是 的中点，以
为顶点的三条棱长都是 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 平面
B． 平面C．
D． 与 夹角的余弦值为
三、解答题
6．（2023·云南红河·弥勒市一中校考模拟预测）如图，在直三棱柱 中， ，E为
的中点， ．
(1)证明： ．
(2)求二面角 的余弦值．
7．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图， 且 ， ， 且 ，
且 ， 平面 ， ．
(1)求平面 与平面 的夹角；
(2)求直线 到平面 的距离．
8．（2023·云南大理·统考模拟预测）如图，在正三棱柱 中，底面边长为2， ，D为
的中点，点E在棱 上，且 ，点P为线段 上的动点．(1)求证： ；
(2)若直线 与 所成角的余弦值为 ，求平面 和平面 的夹角的余弦值．
9．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在四棱锥 中，平面 平面
，点 在棱 上，设 .
(1)证明： .
(2)设二面角 的平面角为 ，且 ，求 的值.
10．（2023·全国·校联考模拟预测）图1是由矩形 ， 和菱形 组成的一个平面图形，
其中 ， ， ．将该图形沿 ， 折起使得 与 重合，连接 ，如图
2．
(1)证明：图2中C，D，E，G四点共面；
(2)求图2中二面角 的平面角的余弦值．【能力提升】
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）如图，圆柱的轴截面为矩形 ，点 ， 分别在上、下底面圆上，
， ， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，在三棱锥 中， 是边长为2
的等边三角形， ，若三棱锥 的体积等于 时，异面直线 与 所成角的余弦值
为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2023·福建宁德·福建省宁德第一中学校考一模）如图，在多面体 中， 平面 ，四
边形 是正方形，且 ， ， 分别是线段 的中点， 是线段 上
的一个动点（含端点 ），则下列说法正确的是（ ）
A．存在点 ，使得B．存在点 ，使得异面直线 与 所成的角为
C．三棱锥 体积的最大值是
D．当点 自 向 处运动时，直线 与平面 所成的角逐渐增大
4．（2023·江苏南京·南京市第五高级中学校考模拟预测）已知正方体 的棱长为 ， 为棱
的中点，点 满足 ，其中 ， ，则（ ）
A．当 时， 平面
B．当 时，
C．当 时，三棱锥 的体积是定值
D．当点 落在以 为球心， 为半径的球面上时， 的取值范围是
5．（2023·福建宁德·校考二模）在棱长为1的正方体 中， ， ， 分别为线段 ，
， 上的动点（ ， ， 均不与点 重合），则下列说法正确的是（ ）
A．存在点 ， ， ，使得 平面
B．存在点 ， ， ，使得
C．当 平面 时，三棱锥 与三棱锥 体积之和的最大值为
D．记 ， ， 与平面 所成的角分别为 ， ， ，则三、解答题
6．（2023·云南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，
， ， ， 为 的中点．
(1)证明： ；
(2)求二面角 的平面角的余弦值．
7．（2023·福建龙岩·统考二模）三棱柱 中， ， ，侧面 为矩形，
，三棱锥 的体积为 ．
(1)求侧棱 的长；
(2)侧棱 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求出线段 的长；
若不存在，请说明理由．
8．（2023·全国·模拟预测）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ，
．
(1)证明： ．(2)若 ，点 到平面 的距离为 ，求二面角 的余弦值．
9．（2023·湖南·校联考模拟预测）如图，四棱锥 内， 平面 ，四边形 为正方形，
， ．过 的直线 交平面 于正方形 内的点 ，且满足平面 平面 .
(1)当 时，求点 的轨迹长度；
(2)当二面角 的余弦值为 时，求二面角 的余弦值.
10．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）如图，在三棱台 中，三棱锥 的体积为 ，
的面积为 ， ，且 平面 ．
(1)求点 到平面 的距离；
(2)若 ，且平面 平面 ， 求二面角 的余弦值．
【真题感知】
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）已知四棱锥 的底面是边长为4的正方形，
，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题2．（2021·全国·统考高考真题）在正三棱柱 中， ，点 满足 ，
其中 ， ，则（ ）
A．当 时， 的周长为定值
B．当 时，三棱锥 的体积为定值
C．当 时，有且仅有一个点 ，使得
D．当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面
三、解答题
3．（2020·江苏·统考高考真题）在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD= ,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面
BCD，AO=2，E为AC的中点．
（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；
（2）若点F在BC上，满足BF= BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．
4．（2020·天津·统考高考真题）如图，在三棱柱 中， 平面
， ，点 分别在棱 和棱 上，且 为棱
的中点．（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的正弦值；
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
5．（2021·北京·统考高考真题）如图：在正方体 中， 为 中点， 与平面 交
于点 ．
（1）求证： 为 的中点；
（2）点 是棱 上一点，且二面角 的余弦值为 ，求 的值．
6．（2021·天津·统考高考真题）如图，在棱长为2的正方体 中，E为棱BC的中点，F为
棱CD的中点．
（I）求证： 平面 ；
（II）求直线 与平面 所成角的正弦值．
（III）求二面角 的正弦值．
7．（2022·全国·统考高考真题）如图，直三棱柱 的体积为4， 的面积为 ．(1)求A到平面 的距离；
(2)设D为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦值．
8．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱 中， ，D为
的中点，E为 的中点，F为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值．
9．（2023·全国·统考高考真题）如图，在正四棱柱 中， ．点
分别在棱 , 上， ．(1)证明： ；
(2)点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ．
10．（全国·统考高考真题）图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中
AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求图2中的二面角B−CG−A的大小.
