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专题02 常用逻辑用语
目录
题型一： 充要条件...........................................................................................................................4
题型二： 求参数取值范围...............................................................................................................5
题型三： 全称量词命题和存在量词命题......................................................................................7
题型四： 全称量词和存在量词参数的取值范围..........................................................................8
题型五： 综合运用...........................................................................................................................9
知识点一、充分条件、必要条件与充要条件
若p⇒q，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件
p 是q 的充分不必要条件
p⇒q 且q⇒p
p 是q 的必要不充分条件
p⇒q 且q⇒p
p 是q 的充要条件
p⇔q
p 是q 的既不充分也不必要条件
p⇒q 且q⇒p
知识点二、全称量词和存在量词
(1)全称量词有：所有的、任意一个、任给一个、每一个、一切等，用符号“ ∀”表示；存
在量词有：存在一个、至少有一个、有些、有一个、 有的、某一个等，用符号“∃”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．“对M 中任意一个x，有p(x)成立”用符号
简记为∀
x ∈
M
，
p ( x ) ．
(3)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．“存在M 中元素x，使p(x)成立”用符号简
记为∃ x ∈
M
，
p ( x ) ．
知识点总结
1
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知识点三、含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x)
∃ x ∈
M
，
∃x∈M，p(x)
∀
x ∈
M
，
注意
含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”. 全称量词命题的否定是存在量词
命题，存在量词命题的否定是全称量词命题；对省略了全称量词的命题否定时，要对原命
题先加上全称量词再对其进行否定.
【常用结论与知识拓展】
1.充分条件与必要条件的两个特征
(1)对称性：若p 是q 的充分条件，则q 是p 的必要条件．若p 是q 的充分不必要条件，则q
是p 的必要不充分条件．
(2)传递性：若p 是q 的充分(必要)条件，q 是r 的充分(必要)条件，则p 是r 的充分(必要)条
件，即“p⇒q，且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q，且q⇐r”⇒“p⇐r”)．若p 是q 的充分不必要条件，q
是r 的充分不必要条件，则p 是r 的充分不必要条件．
2.区别A 是B 的充分不必要条件(A⇒B 且B⇒A)，与A 的充分不必要条件是B(B⇒A 且A⇒B)
两者的不同．
3.从集合的角度理解充分条件与必要条件
若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充
分条件，必要条件又可以叙述为
(1)若A⊆B，则p 是q 的充分条件；
2
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(2)若A⊇B，则p 是q 的必要条件；
(3)若A＝B，则p 是q 的充要条件；
(4)若AB，则p 是q 的充分不必要条件；
(5)若AB，则p 是q 的必要不充分条件；
(6)若A⊆B 且A⊉B，则p 是q 的既不充分也不必要条件．
4.等价转化法判断充分条件、必要条件：p 是q 的充分不必要条件，等价于
q 是
p 的充
分不必要条件．
5.命题p 和
p 的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真
假．
6.常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面词语
等于(＝)
大于(>)
小于(<)
是
否定词语
不等于(≠)
不大于(≤)
不小于(≥)
不是
正面词语
都是
任意的
所有的
至多有一个
至少有一个
否定词语
不都是
某个
某些
至少有两个
一个也没有
7.数学定义、判定定理和性质定理与充分、必要、充要条件的关系
(1)每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件．
(2)每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
(3)每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.
例题精讲
3
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题型一：充要条件
【要点讲解】
确定谁是条件，谁是结论；尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件是结论的充分
条件，否则条件就不是结论的充分条件；尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件
是结论的必要条件，否则条件就不是结论的必要条件。
【例1】设
，则“
”是“
”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式训练1】已知
，命题
是一元二次方程
的一个根，命题
，则
是
的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式训练2】设
，
是向量，则“
”是“
”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式训练3】设
，则“
”是“
”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【例2】若x，y∈R，则“x＞y”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．|x|＞|y|
B．x2＞y2
C．
D．2x﹣y＞2
【变式训练1】设
，
为两条直线，则
的充要条件是
4
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A．
，
与同一个平面所成角相等
B．
，
垂直于同一条直线
C．
，
平行于同一个平面
D．
，
垂直于同一个平面
【变式训练2】不等式
成立的一个充分不必要条件是
A．
B．
，
C．
D．
，
【变式训练3】复数
是纯虚数的充分不必要条件是
A．
且
B．
C．
且
D．
题型二：求参数取值范围
【要点讲解】
利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围的四个步骤：化简
两命题；根据
与
的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系；利用集合间的关系建立不等式；
求解参数范围
【例3】已知
；
，若
是
的充分条件，则实数
的取值范围是
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式训练1】已知集合
，
，
，
．若“
”是“
”的充
分不必要条件，则
的取值范围是
A．
，
B．
，
C．
D．
，
【变式训练2】已知集合
，
，若“
5
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”是“
”的必要不充分条件，则实数
的取值范围为
A．
，
B．
，
C．
D．
【变式训练3】若“
”是“
”的充分不必要条件，则
的取值范围是
．
若“
”是“
”的充分条件，则实数
的取值范围为
．
【变式训练4】已知集合
，
或
．
（1）当
时，求
；
（2）当
时，若“
”是“
”的充分条件，求实数
的取值范围．
题型三：全称量词命题和存在量词命题
【要点讲解】
要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合
中的每个元素验证
成立；要
判断全称量词命题是假命题，只要举出集合
中的一个
，使得
不成立即可
（这就是通常所说的“举出一个反例”，要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定
集合Ｍ中，找到一个
，使
成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题。提醒：
判断全称量词命题为假，只需举一个反例即可；判断存在量词命题为真，只需举一个特例
【例4】命题“
，
”的否定是
A．
B．
C．
，
D．
6
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【变式训练1】命题：“
，
”的否定是
．
已知命题
，
，则
为
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【例5】下列关于命题的说法错误的是
A．命题“若
，则
”的逆否命题为“若
，则
”
B．“
”是“函数
在区间
上为增函数”的充分不必要条件
C．若命题
，
，则
，
D．命题“
，
”是真命题
【变式训练1】下列命题中，真命题是
A．存在
，使得
B．对任意
，
C．“
”是“
”的充分不必要条件
D．“
或
是假命题”是“非
为真命题”的必要而不充分条件
【变式训练2】已知
，
，命题
，
，命题
，使得
，则下列说法正确的是
7
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A．
是真命题，
，
B．
是假命题，
，
C．
是真命题，
，
D．
是假命题，
，
题型四：全称量词和存在量词参数的取值范围
【要点讲解】
要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合
中的每个元素验证
成立；要
判断全称量词命题是假命题，只要举出集合
中的一个
，使得
不成立即可
（这就是通常所说的“举出一个反例”，要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定
集合Ｍ中，找到一个
，使
成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题。提醒：
判断全称量词命题为假，只需举一个反例即可；判断存在量词命题为真，只需举一个特例
【例6】已知命题“
，
，
”为真命题，则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】若命题“
，
”为真命题，则实数
的取值范围为
．（用区间表示）
【变式训练2】已知命题
，
，若
为真命题，则实数
的取值范围是
．
8
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【变式训练3】已知
，
．若
为假命题，则
的取值范围
为
A．
B．
C．
D．
【变式训练4】已知命题
，
，若
为假命题，求实数
的取值范围
．
【例7】设命题
，
．若
是假命题，则实数
的取值范围是
．
题型五：综合运用
【要点讲解】
在一些逻辑问题中，当题中并未出现“或”“且”“非”时，应从语句的陈述中搞清含义
并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题
【例8】已知函数
且函数
，则下列选项正确的是
A．点
是函数
的零点
B．
，
，使
C．函数
的值域为
D．若关于
的方程
有两个不相等的实数根，则实数
的取值范围是
，
9
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【变式训练1】设
，则对任意实数
是
的
A．充分必要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【变式训练2】已知函数
，
，若存在
，使得
，则
的取值范围是
A．
，
B．
，
，
C．
D．
，
，
【变式训练3】已知集合
，函数
．
（1）当
时，解关于
的不等式
；
（2）若命题“存在
，使得
”为假命题，求实数
的取值范围．
1.（2023•南充模拟）“
”是“
”的 条件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要
2.（2023•广东模拟）“
”是“
”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
课后练习
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3.（2023•郑州模拟）已知第一象限内的动点
在直线
的左下方，则
是
恒成立的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4.（2023 春• 郫都区校级期中）“
” 是“ 直线
与直线
平行”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5.（2023•温州模拟）“
”是“
”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6.（2023•日照二模）已知
，
，则“
”是“
”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7.（2023•青羊区校级模拟）已知
，则“
”是“
有两个不同
的零点”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8.（2023•遂宁模拟）下列说法不正确的是
A．若
，则
B．命题
，
，则
，
C．回归直线方程为
，则样本点的中心可以为
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D．在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，则“
”是“
”的充要条件
9.（2023 春•浙江期中）下列说法正确的是
A．“
”是“
”的充分不必要条件
B．在
中，“
”是“
”的充要条件
C．在
中，“
”是“
”的必要不充分条件
D．“
”是“
”的充分不必要条件
10.（2022 秋•南充期末）命题“
，
，
”是真命题的一个必要不充分
条件是
A．
B．
C．
D．
11.（2022 秋•历下区校级期末）已知命题
，
，若
为真命题，
则实数
的值可以是
A．
B．0
C．
D．
12.（2022•商水县校级开学）下列命题是真命题的是
A．若设函数
的图象过点
，则
B．
，
C．
，
D．命题“
，
”的否定是“
，
”
13.（2022 秋•徐汇区校级月考）若“
”是“
”的充分非必要条件，
12
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则
的取值范围是 ．
14.（2022 秋•大通县期末）已知命题
，
，则
为 ．
15.（2022 秋•开福区校级期末）命题“
，
”的否定是 ．
16.（2023•当涂县校级开学）设命题
，命题
，若
是
的
充分不必要条件，则实数
的取值范围是 ．
17.（2021 秋•和平区校级期末）设全集是
，集合
，
．
（1）若
，求实数
的取值范围；
（2）条件
，条件
，若
是
的充分不必要条件，求实数
的取值范围．
18.（2023•大荔县一模）已知集合
，
或
．
（1）当
时，求
；
（2）当
时，若“
”是“
”的充分条件，求实数
的取值范围．
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