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专题02 常用逻辑用语
目录
题型一： 充要条件...........................................................................................................................4
题型二： 求参数取值范围...............................................................................................................7
题型三： 全称量词命题和存在量词命题....................................................................................10
题型四： 全称量词和存在量词参数的取值范围........................................................................13
题型五： 综合运用.........................................................................................................................15
知识点一、充分条件、必要条件与充要条件
若p⇒q，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件
p 是q 的充分不必要条件
p⇒q 且q⇒p
p 是q 的必要不充分条件
p⇒q 且q⇒p
p 是q 的充要条件
p⇔q
p 是q 的既不充分也不必要条件
p⇒q 且q⇒p
知识点二、全称量词和存在量词
(1)全称量词有：所有的、任意一个、任给一个、每一个、一切等，用符号“ ∀”表示；存
在量词有：存在一个、至少有一个、有些、有一个、 有的、某一个等，用符号“∃”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．“对M 中任意一个x，有p(x)成立”用符号
简记为∀
x ∈
M
，
p ( x ) ．
(3)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．“存在M 中元素x，使p(x)成立”用符号简
记为∃ x ∈
M
，
p ( x ) ．
知识点总结
1
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知识点三、含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x)
∃ x ∈
M
，
∃x∈M，p(x)
∀
x ∈
M
，
注意
含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”. 全称量词命题的否定是存在量词
命题，存在量词命题的否定是全称量词命题；对省略了全称量词的命题否定时，要对原命
题先加上全称量词再对其进行否定.
【常用结论与知识拓展】
1.充分条件与必要条件的两个特征
(1)对称性：若p 是q 的充分条件，则q 是p 的必要条件．若p 是q 的充分不必要条件，则q
是p 的必要不充分条件．
(2)传递性：若p 是q 的充分(必要)条件，q 是r 的充分(必要)条件，则p 是r 的充分(必要)条
件，即“p⇒q，且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q，且q⇐r”⇒“p⇐r”)．若p 是q 的充分不必要条件，q
是r 的充分不必要条件，则p 是r 的充分不必要条件．
2.区别A 是B 的充分不必要条件(A⇒B 且B⇒A)，与A 的充分不必要条件是B(B⇒A 且A⇒B)
两者的不同．
3.从集合的角度理解充分条件与必要条件
若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充
分条件，必要条件又可以叙述为
(1)若A⊆B，则p 是q 的充分条件；
2
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(2)若A⊇B，则p 是q 的必要条件；
(3)若A＝B，则p 是q 的充要条件；
(4)若AB，则p 是q 的充分不必要条件；
(5)若AB，则p 是q 的必要不充分条件；
(6)若A⊆B 且A⊉B，则p 是q 的既不充分也不必要条件．
4.等价转化法判断充分条件、必要条件：p 是q 的充分不必要条件，等价于
q 是
p 的充
分不必要条件．
5.命题p 和
p 的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真
假．
6.常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面词语
等于(＝)
大于(>)
小于(<)
是
否定词语
不等于(≠)
不大于(≤)
不小于(≥)
不是
正面词语
都是
任意的
所有的
至多有一个
至少有一个
否定词语
不都是
某个
某些
至少有两个
一个也没有
7.数学定义、判定定理和性质定理与充分、必要、充要条件的关系
(1)每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件．
(2)每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
(3)每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.
例题精讲
3
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题型一：充要条件
【要点讲解】
确定谁是条件，谁是结论；尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件是结论的充分
条件，否则条件就不是结论的充分条件；尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件
是结论的必要条件，否则条件就不是结论的必要条件。
【例1】设
，则“
”是“
”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当
时，必定有
成立，故充分性成立；
当
时，可得
或
，故必要性不成立．
故选：
．
【变式训练1】已知
，命题
是一元二次方程
的一个根，命题
，则
是
的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：对于命题
，
为方程的根，则
，充分性成立；
对于命题
，
且
，则
必是题设方程的一个根，必要性成立；
所以
是
的充分必要条件．
故选：
．
【变式训练2】设
，
是向量，则“
”是“
”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若“
”，则以
，
为邻边的平行四边形是菱形；
若“
”，则以
，
为邻边的平行四边形是矩形；
故“
”是“
”的既不充分也不必要条件；
4
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故选：
．
【变式训练3】设
，则“
”是“
”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由“
”得
，
由
得
或
，
即“
”是“
”的充分不必要条件，
故选：
．
【例2】若x，y∈R，则“x＞y”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．|x|＞|y|
B．x2＞y2
C．
D．2x﹣y＞2
【解答】解：由|x|＞|y|，x2＞y2推不出x＞y，排除AB；
由
可得
，解得x＞y＞0 或x＜y＜0，
所以
是x＞y 的既不充分也不必要条件，排除C；
，反之不成立，D 正确；
故选：D．
【变式训练1】设
，
为两条直线，则
的充要条件是
A．
，
与同一个平面所成角相等
B．
，
垂直于同一条直线
C．
，
平行于同一个平面
D．
，
垂直于同一个平面
【解答】解：对于
，如图示：
5
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，
与平面
所成角都为
，但
，
相交，故
错误，
对于
，如图示：
，
都垂直于
轴，但
，
相交，故
错误，
对于
，如图示：
，
都在上底面与下底面平行，但
，
相交，故
错误，
对于
，由
，得
，
垂直于同一个平面，是充分条件，
反之，若
，
垂直于同一个平面，则
，是必要条件，
故选：
．
【变式训练2】不等式
成立的一个充分不必要条件是
A．
B．
，
C．
D．
，
6
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【解答】解：不等式
解得
，
时，一定有
，
，而
，
时，不一定满足
，
所以不等式
成立的一个充分不必要条件是
，
故选：
．
【变式训练3】复数
是纯虚数的充分不必要条件是
A．
且
B．
C．
且
D．
【解答】解：因为复数
是纯虚数的充要条件是
且
，
又因为
且
是
且
的充分不必要条件，
所以
且
是复数
为纯虚数的充分不必要条件．
故选：
．
题型二：求参数取值范围
【要点讲解】
利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围的四个步骤：化简
两命题；根据
与
的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系；利用集合间的关系建立不等式；
求解参数范围
【例3】已知
；
，若
是
的充分条件，则实数
的取值范围是
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【解答】解：由题意可得
，即
，解得
；
是
的充分条件，
，
解得
．
故选：
．
7
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【变式训练1】已知集合
，
，
，
．若“
”是“
”的充
分不必要条件，则
的取值范围是
A．
，
B．
，
C．
D．
，
【解答】解：集合
，
，
，
，“
”是“
”的充分不必
要条件，
则
，解得
，
故
的取值范围为
，
．
故选：
．
【变式训练2】已知集合
，
，若“
”是“
”的必要不充分条件，则实数
的取值范围为
A．
，
B．
，
C．
D．
【
解
答
】
解
：
由
题
意
集
合
，
，
，
若
，则
，此时
，
因为“
”是“
”的必要不充分条件，故
，
故
，
；
若
，则
，此时
，
8
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因为“
”是“
”的必要不充分条件，故
，
故
，
；
若
，则
，此时
，满足
，
综合以上可得
，
故选：
．
【变式训练3】若“
”是“
”的充分不必要条件，则
的取值范围是
，
．
【解答】解：由题意可知
，
当
，即
时，集合
，满足题意，
当
，即
时，集合
或
，
，
，
解得
，
综上所述，
的取值范围是
，
．
故答案为：
，
．
若“
”是“
”的充分条件，则实数
的取值范围为
．
【解答】解：
“
”是“
”的充分条件，
，
，
即实数
的取值范围为
．
故答案为：
．
9
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【变式训练4】已知集合
，
或
．
（1）当
时，求
；
（2）当
时，若“
”是“
”的充分条件，求实数
的取值范围．
【解答】解：（1）当
时，
，
又
或
，
．
（2）当
时，
，
是
的充分条件，
，
或
，
或
，又
，
，
实数
的取值范围为
，
．
题型三：全称量词命题和存在量词命题
【要点讲解】
要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合
中的每个元素验证
成立；要
判断全称量词命题是假命题，只要举出集合
中的一个
，使得
不成立即可
（这就是通常所说的“举出一个反例”，要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定
集合Ｍ中，找到一个
，使
成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题。提醒：
判断全称量词命题为假，只需举一个反例即可；判断存在量词命题为真，只需举一个特例
【例4】命题“
，
”的否定是
10
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A．
B．
C．
，
D．
【解答】解：由题意可得，“
，
”的否定是
．
故选：
．
【变式训练1】命题：“
，
”的否定是
，
．
【解答】解：由全称命题的否定为特称命题知，原命题的否定为
，
．
故答案为：
，
．
已知命题
，
，则
为
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【解答】解：全称命题的否定为特称命题，改变量词，否定结论即可．
即
，
，
故选：
．
【例5】下列关于命题的说法错误的是
A．命题“若
，则
”的逆否命题为“若
，则
”
B．“
”是“函数
在区间
上为增函数”的充分不必要条件
C．若命题
，
，则
，
D．命题“
，
”是真命题
【解答】解：因为命题“ 若
，则
” 的逆否命题为“ 若
，则
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”，所以
正确；
由
能得到函数
在区间
上为增函数，反之，函数
在区
间
上为增函数，
不一定大于2，所以“
”是“函数
在区间
上为增函数”的充分不必要条件，所以选项
正确；
命题
，
，的否定为
，
，所以选项
正确；
因为当
时恒有
，所以命题“
，
”为假命题，所以
不正确．
故选：
．
【变式训练1】下列命题中，真命题是
A．存在
，使得
B．对任意
，
C．“
”是“
”的充分不必要条件
D．“
或
是假命题”是“非
为真命题”的必要而不充分条件
【解答】解：对于
时，
，故
错误；
对于
，故
正确；
对于
：“
”是“
”的必要不充分条件，故
错误；
对于
或
是假命题”是“非
为真命题”的充分不必要条件，故
错误；
故选：
．
【变式训练2】已知
，
，命题
，
，命题
，使得
，则下列说法正确的是
A．
是真命题，
，
B．
是假命题，
，
12
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C．
是真命题，
，
D．
是假命题，
，
【解答】解：
，由
得
，由
得
，
即当
时，函数
取得极小值，同时也是最小值
，
，
成立，即
是真命题．
在
上为增函数，当
时，
，
（1）
，
则：
，使得
成立，即命题
是真命题．
则
，
，
，
，
综上只有
成立，
故选：
．
题型四：全称量词和存在量词参数的取值范围
【要点讲解】
要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合
中的每个元素验证
成立；要
判断全称量词命题是假命题，只要举出集合
中的一个
，使得
不成立即可
（这就是通常所说的“举出一个反例”，要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定
集合Ｍ中，找到一个
，使
成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题。提醒：
判断全称量词命题为假，只需举一个反例即可；判断存在量词命题为真，只需举一个特例
【例6】已知命题“
，
，
”为真命题，则实数
的取值范围是
13
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A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为命题“
，
，
”为真命题，
所以命题“
，
，
”为真命题，
所以
，
时，
，
因为
，
所以当
，
时，
，当且仅当
时取得等号，
所以
，
时，
，
即实数
的取值范围是
．
故选：
．
【变式训练1】若命题“
，
”为真命题，则实数
的取值范围为
，
．（用区间表示）
【解答】解：因为
，即函数
的值域为
，
，
所以实数
的取值范围为
，
．
故答案为：
，
．
【变式训练2】已知命题
，
，若
为真命题，则实数
的取值范围是
．
【解答】解：若
，
为真命题，等价于
，
，当且仅当
时，等号成立，
14
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，即
，
可得
，故实数
的取值范围是
．
故答案为：
．
【变式训练3】已知
，
．若
为假命题，则
的取值范围
为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
为假命题，所以
，
为真命题，
故当
时，
恒成立．
因为当
时，
的最小值为
，
所以
，即
的取值范围为
．
故选：
．
【变式训练4】已知命题
，
，若
为假命题，求实数
的取值范围
，
．
【解答】解：依题意，命题
，
是假命题，
所以
，
是真命题，
当
时，不等式
化为
，成立，
当
时，不等式
化为
，
，不成立．
当
时，不等式
化为
，成立，
15
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综上所述，
的取值范围是
，
．
故答案为：
，
．
【例7】设命题
，
．若
是假命题，则实数
的取值范围是
，
．
【解答】解：
是假命题，
是真命题，
命题
，
，
，
，
，
设
，则
，
在
，
上单调递增，
，
，
实数
的取值范围是
，
．
故答案为：
，
．
题型五：综合运用
【要点讲解】
在一些逻辑问题中，当题中并未出现“或”“且”“非”时，应从语句的陈述中搞清含义
并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题
【例8】已知函数
且函数
，则下列选项正确的是
A．点
是函数
的零点
B．
，
，使
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C．函数
的值域为
D．若关于
的方程
有两个不相等的实数根，则实数
的取值范围是
，
【解答】解：对于
选项，零点不是一个点，应该说
是函数的零点，故
选项错误．
对于
选项，当
时，
，
由
可得
；由
可得
．
所以
在
上单调递减，在
单调递增，
所以
时，
单调递增，则
；
当
时，
，
由
可得
；由
可得
．
所以
在
上单调递减，在
上单点递增．
所以
时，
单调递减，则
；
所以
，
，使
，
故
选项正确．
对于
选项，由
选项可得
在
上单调递减，在
单调递增，在
单调
递减，在
单调递增，
又
，则
的值域为
，
故
选项正确．
17
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对于
选项，
，
若
，则
．
则关于
的方程
有两个不相等的实数根，
有两个不相等的实数根，
有一个非零实数根，
函数
与
有一个交点，且
．
当
时，
，
可以解得
在
上单调递增，
上单调递减，
上单点递增，
所以极大值
，极小值
；
当
时，
，
可以解得
在
上单调递减，在
单调递增，
极小值
．
画出函数
的大致图像如下：
18
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由图像可得，只需
或
，
即
的取值范围为
，故
正确．
故选：
．
【变式训练1】设
，则对任意实数
是
的
A．充分必要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：
，
的定义域为
．
是奇函数
在
上是增函数
在
上是增函数
可得
（a）
（b）
（a）
（b）
成立
若
（a）
（b）
则
（a）
（b）
由函数是增函数知
成立
是
（a）
（b）
的充要条件．
故选：
．
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【变式训练2】已知函数
，
，若存在
，使得
，则
的取值范围是
A．
，
B．
，
，
C．
D．
，
，
【解答】解：当
时，
，即
，则
的值域为
，
，
当
时，
，即
，则
的值域为
，
，
若存在
，使得
，
则
，
，
，
若
，
，
，
则
或
，
得
或
，
则当或
，
，
时，
，
即实数
的取值范围是
，
，
故选：
．
【变式训练3】已知集合
，函数
．
（1）当
时，解关于
的不等式
；
（2）若命题“存在
，使得
”为假命题，求实数
的取值范围．
【解答】解：（1）不等式
整理得
，即
，
20
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若
，则解集为
，
，
（2 分）
若
，则解集为
，
．
（4 分）
（2）
，
命题“存在
，使得
”的否定为：
“对任意的
，
，均有
成立”为真命题，
（6 分）
即
，只需
，
（8 分）
当
时，
，所以
，即
．
（10 分）
1.（2023•南充模拟）“
”是“
”的 条件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要
【解答】解：当“
”时，“
”不成立，
当“
”时，整理得：
，故“
”成立，
故“
”是“
”的必要不充分条件．
故选：
．
2.（2023•广东模拟）“
”是“
”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【解答】解：“
”
“
”，
课后练习
21
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故“
”是“
”的充分不必要条件，
故选：
．
3.（2023•郑州模拟）已知第一象限内的动点
在直线
的左下方，则
是
恒成立的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：因为第一象限内的动点
在直线
的左下方，
所以
、
且
，
若
恒成立，即
恒成立，
因为
，
当且仅当
时取等号，所以
，
所以
是
恒成立的充分不必要条件．
故选：
．
4.（2023 春• 郫都区校级期中）“
” 是“ 直线
与直线
平行”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若直线
与直线
平行，
则
，解得
，
因此，“
”是“直线
与直线
平行”的充要条件．
22
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故选：
．
5.（2023•温州模拟）“
”是“
”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：设
，则
，即
是增函数，
则
时，
，即
，
即“
”是“
”的充要条件，
故选：
．
6.（2023•日照二模）已知
，
，则“
”是“
”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：因为
定义域上单调递减，
故由
得
，而
定义域上单调递增，故
，满
足充分性；
又
，满足必要性，
故选：
．
7.（2023•青羊区校级模拟）已知
，则“
”是“
有两个不同
的零点”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若
有两个不同的零点，则△
，解得
或
，
所以“
”是“
有两个不同的零点”的充分不必要条件．
故选：
．
23
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8.（2023•遂宁模拟）下列说法不正确的是
A．若
，则
B．命题
，
，则
，
C．回归直线方程为
，则样本点的中心可以为
D．在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，则“
”是“
”的充要条件
【解答】解：对于选项
，因为
，所以
，所以
，故
正确；
对于选项
，根据命题的否定的定义，
，
，故
错误；
对于选项
，把
代入
，得
，
所以样本点的中心可以为
，故
正确；
对于选项
，当
时，根据三角形中大边对大角，得
，
再根据正弦定理得
，所以
；
当
时，根据正弦定理，得
，
即
，又
，所以
，
由正弦定理
得，
，所以
．
所以“
”是“
”的充要条件，故
正确．
故选：
．
9.（2023 春•浙江期中）下列说法正确的是
A．“
”是“
”的充分不必要条件
B．在
中，“
”是“
”的充要条件
C．在
中，“
”是“
”的必要不充分条件
D．“
”是“
”的充分不必要条件
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【解答】解：对于
：当
，
时，有
，
由“
”推不出“
”，
当
时，可得
，
由“
”可以推出“
”，
“
”是“
”的必要不充分条件，故
错误．
对于
中，
，
，且
在
，
上是减函数，
“
”是
“
”的充要条件，
正确；
对于
中，一方面，因为
，所以
，
由正弦定理可知：
；
另一方面，由
，
所以在
中，
是
的充要条件，
不正确；
对于
或
，而
或
，
故“
”是“
”的充分不必要条件，
正确．
故选：
．
10.（2022 秋•南充期末）命题“
，
，
”是真命题的一个必要不充分
条件是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：依题意，命题“
，
，
”是真命题，
所以
对任意
，
上恒成立，所以
，
其必要不充分条件是
或
．
故选：
．
25
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11.（2022 秋•历下区校级期末）已知命题
，
，若
为真命题，
则实数
的值可以是
A．
B．0
C．
D．
【解答】解：因为
，
为真命题，所以方程
有实根．
当
时，
符合题意；
当
时，由方程
有实根，可得△
，所以
．
综上，实数
的值可以是
，0 和
．
故选：
．
12.（2022•商水县校级开学）下列命题是真命题的是
A．若设函数
的图象过点
，则
B．
，
C．
，
D．命题“
，
”的否定是“
，
”
【解答】解：对于
，若幂函数
过点
，
，则
，解得
，故
错
误；
对于
，在同一平面直角坐标系上画出
与
两函数图象，如图，
由图可知
，
，故
正确；
对于
，取
，得
，故
错误；
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对于
，根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，命题“
，
”的否定为：
“
，
”，故
正确．
故选：
．
13.（2022 秋•徐汇区校级月考）若“
”是“
”的充分非必要条件，
则
的取值范围是
，
．
【解答】解：由
可得
，
由于“
”是“
”的充分非必要条件，
所以
．
故答案为：
，
．
14.（2022 秋•大通县期末）已知命题
，
，则
为
，
．
【解答】解：命题
，
，
则
为
，
．
故答案为：
，
．
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15.（2022 秋•开福区校级期末）命题“
，
”的否定是
，
．
【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，
命题“
，
”的否定是：
，
．
故答案为：
，
．
16.（2023•当涂县校级开学）设命题
，命题
，若
是
的
充分不必要条件，则实数
的取值范围是
，
．
【解答】解：命题
，
则
，解得
，
命题
，
是
的充分不必要条件，
则
表示的集合是
表示集合的真子集，即
，解得
，
故实数
的取值范围是
，
．
故答案为：
，
．
17.（2021 秋•和平区校级期末）设全集是
，集合
，
．
（1）若
，求实数
的取值范围；
（2）条件
，条件
，若
是
的充分不必要条件，求实数
的取值范围．
【解答】解：（1）若
，
当
时，
，解得
，
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当
时，
，解得
，
综合得
，
（2）条件
，条件
，若
是
的充分不必要条件，
则
，
且等号不能同时成立，
解得
．
18.（2023•大荔县一模）已知集合
，
或
．
（1）当
时，求
；
（2）当
时，若“
”是“
”的充分条件，求实数
的取值范围．
【解答】解：（1）当
时，
，
又
或
，
．
（2）当
时，
，
是
的充分条件，
，
或
，
或
，又
，
，
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实数
的取值范围为
，
．
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