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专题02 数学文化背景下的高考数学之等式与不等式
背景1：《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一
尺，木长几何？”，意思是：用绳子去量一根长木，绳子还余
尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余
1 尺.问长木长多少尺.
背景2：十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数
学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深
远.
背景3：若
克不饱和糖水中含有
克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在
此糖水中再添加
克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式
(
，
)数学中常称其为糖水不等式.
背景4：《几何原本》卷2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重
要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．
背景5：设
为两个正数，定义
的算术平均数为
，几何平均数为
，则
有：
，这是我们熟知的基本不等式.上个世纪五十年代，美国数学家D.H.Lehmer 提出了
“Lehmer 均值”，即
，其中
为有理数.
等式与不等式知识归纳总结：
1.等式的性质
性质1 如果
，那么
；
性质2 如果
，
，那么
；
性质3 如果
，那么
；
性质4 如果
，那么
；
1
性质5 如果
，
，那么
；
2.比较两个实数大小
两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有：
；
；
另外，若
，则有
；
；
.
3.不等式的基本性质：
（1）对称性：
．
（2）传递性 ：
．
（3）可加性：
．
（4）可积性：①
；②
．
（5）同向可加性：
；异向可减性：
．
（6）同向正数可乘性
；异向异号可乘性：
；异向
正数可除性：
．
（7）乘方法则：
（
，
）．
（8）开方法则：
（
，
）．
（9）倒数法则：
；
．
4.基本不等式
如果
，那么
（当且仅当
时取“=”）.
说明：
①对于非负数
，我们把
称为
的算术平均数，
称为
的几何平均数.
②我们把不等式
称为基本不等式，我们也可以把基本不等式表述为：两个非负数
的几何平均数不大于它们的算术平均数.
2
③“当且仅当
时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当
时，有
；另一方面当
时，有
.
④ 结构特点：和式与积式的关系.
5．基本不等式求最值
（1）设x，y 为正数，若积xy 等于定值P，那么当x＝y 时，和x＋y 有最小值2
（简记为：积定和最
小）.
（2）设x，y 为正数，若和x＋y 等于定值S，那么当x＝y 时，积xy 有最大值
S2（简记为：和定积最
大）.
6．几个重要不等式（含基本不等式链）
（1）
（
）；
（2）
（
）；
（3）
2（
）；
（4）
或
（
）；
（5）
1 借助数学文化考查考查等式
《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长
几何？”，意思是：用绳子去量一根长木，绳子还余
尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1 尺.问
长木长多少尺 （ ）
A．11 尺
B．10 尺
C．6.5 尺
D．6 尺
【答案】C
【解析】设长木长为x 尺，绳子长为y 尺，则
3
，解得
故选：C.
变式1.我国古代数学著作《田亩比类乘除捷法》中有这样一个问题：“给银八百六十四两，只云所得银
之两数比总分人数，其银多十二两.问总是几人，每人各得几两”，其意思是：“现一共有银子八百六十
四两，只知道每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，则一共有____________人，每个人分得
____________两银子”.
【答案】 36 24
【解析】设共有
人，则每人分得
两银子，
因为每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，
所以
，即
，解得
或
（舍去）
所以一共有36 人，每人分得24 两银子
故答案为：36；2
2 借助数学符号的引入考查不等关系
（多选）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数
学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深
远.若a，b，
，则下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
【答案】BD
【解析】对于A 选项，当
时，则
，A 选项错误；
对于B 选项，
，
4
由
，得
，
则
，
B 选项正确；
对于C 选项，
，
由
，
，则
，
则
，
C 选项不正确；
对于D 选项，
，
，
，
得
，
则
，
D 选项正确.
故选：B D.
变式1.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“
”作为等号使用，后来英国数
学家哈利奥特首次使用“
”和“
”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深
远.若
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
5
对于A，若
，则
，故A 错误；
对于B，若
，则
，故B 错误；
对于C，若
，则
，故C 正确；
对于D，若
，则
，故D 错误.
故选：C.
3 借助生活情境考查不等关系
若
克不饱和糖水中含有
克糖，则糖的质量分数为
，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水
中再添加
克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式
(
，
)
数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出
___________
(用“
”或“
”填
空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式___________.
【答案】
【解析】空1：因为
，所以可得：
；
空2：由空1 可得：
，即
.
故答案为：
；
变式1.若
克不饱和糖水中含有
克糖，则糖的质量分数为
，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在
6
此糖水中再添加
克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式
(
，
)数学中常称其为糖水不等式.已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】【法一】对数型糖水不等式
因为
, 所以
. 在上述推论中取
, 可得
,
且
.
所以
, 即
,
故选 :A.
【法二】普通型糖水不等式
由已知条件
, 可得
. 同公式 (2) 的证明过程, 可以得到
, 即
.
所以
, 即
.
, 即
, 所以
, 即
.
综上,
,
故选: A.
7
变式2.若
克不饱和糖水中含有
克糖，则糖的质量分数为
，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在
此糖水中再添加
克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式
(
，
)数学中常称其为糖水不等式.比较大小:
与
？
【答案】
【法一】
。
【法二】
。
【法三】对数型糖水不等式直接可得
4 借助数学文化考查基本不等式
《几何原本》卷2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依
据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图
所示图形，点
在半圆
上，点
在直径
上，且
，设
，
，则该图形可以完成
的无字证明为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
8
【解析】设
，可得圆
的半径为
，
又由
，
在直角
中，可得
，
因为
，所以
，当且仅当
时取等号．
故选：D.
变式1.《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依
据,通过这一方法,很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明,并称之为“无字证明”.如图3－3－1
所示,AB 是半圆O 的直径,点C 是AB 上一点(不同于A,B,O),点D 在半圆O 上,且CD⊥AB,CE⊥OD 于E,设AC
＝a,BC＝b,则该图形可以完成的“无字证明”为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，可得半圆
的半径
，易得
，
，
，
.
故选:D
变式2.《几何原本》卷2 的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重
要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.现有如
9
下图形：
是半圆
的直径，点
在半圆周上，
于点
，设
，
，直接通过
比较线段
与线段
的长度可以完成的“无字证明”为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
是半圆的半径，
为圆的直径，
，由射影定理可知，
，在
中，
，
，当
与
重合时，
，所以
，
故选:D.
5 借助基本不等式数学背景进行考查
（多选）设
为两个正数，定义
的算术平均数为
，几何平均数为
，则
有：
，这是我们熟知的基本不等式.上个世纪五十年代，美国数学家D.H.Lehmer 提出了
“Lehmer 均值”，即
，其中
为有理数.下列关系正确的是（ ）
A．
B．
10
C．
D．
【答案】AC
【解析】对于A 选项，
，
当且仅当
时，等号成立，故A 正确；
对于B 选项，
，
当且仅当
时，等号成立，故B 错误；
对于C 选项，
，
当且仅当
时，等号成立，故C 正确；
对于D 选项，当
时，由C 可知，
，故D 错误.
故选：AC.
变式1.(多选)设a，b 为两个正数，定义a，b 的算术平均数为
，几何平均数为
．上个世纪五十年代，美国数学家D．H. Lehmer 提出了“Lehmer 均值”，即
，其中p 为有理数．下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】对于A，
，当且仅当
时，等号成立，故A 正确；
对于B，
，当且仅当
时，等号成立，故B 正确；
11
对于C，
，当且仅当
时，
等号成立，故C 不正确；
对于D，当
时，由C 可知，
，故D 不正确.
故选：AB
1．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“
”作为等号使用，后来英国数学家
哈利奥特首次使用“
”和“
”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.
若
，则下列命题正确的是（ ）
A．若
且
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
且
，则
【答案】B
【解析】A 中，
有
，错误；
B 中，
时，
成立，正确；
C 中，
时，
，错误；
D 中，由题设，当
时，
，错误；
故选：B
2．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家
哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若
，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
12
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A：
，即
，故A 正确；
对于B：记
在
上为减函数，∵
，∴
，故B 正确；
对于C：记
在
上为增函数，∵
，∴
，故C 正确；
对于D：
，可以取
，则
，故D 错误.
故选：D
3．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记
载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算
法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被
除数除以除数得结果，即出南门
里见到树，则
．若一小城，如图所示，出东门1200
步有树，出南门750 步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1 里=300 步）（ ）
A．
里
B．
里
C．
里
D．
里
【答案】D
【解析】因为1 里=300 步，
13
则由图知
步=4 里，
步=2.5 里．
由题意，得
，
则
，
所以该小城的周长为
，
当且仅当
时等号成立.
故选:D．
4．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构
造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段
，记为第1 次操作；再将剩下的两个区间
，
分别均分为三段，并各自去掉中间的区间
段，记为第2 次操作．．．；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，
同样各自去掉中间的区间段：操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”，若使前n
次操作去掉的所有区间长度之和不小于
，则需要操作的次数n 的最小值为（ ）(
，
)
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】B
【解析】第一次操作去掉了区间长度的
，剩下的区间：
，
第二次去掉
个长度为
的区间，即长度和为
，剩下的区间：
，
，
，
第三次去掉
个长度为
的区间，即长度和为
，剩下的区间：
，
，
，
，
.
以此类推，
第
次将去掉
个长度为
的区间，即长度和为
，
则
的前
项和可表示为
14
由题意知，
，
两边同时取对数，即
，
解得：
故选：B
5.早在西元前世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学
家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今
我们称
为正数
的算术平均数，
为正数
的几何平均数，并把这两者结合的不等式
叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，
，则
最小值为
C．若
，
，
D．若实数
满足
，
，
，则
的最小值是1
【答案】C
【解析】对于A，若
，
，则
，A 错误；
对于B，
，
，
，
，
（当且仅当
，即
时取等号），即
的最小值为
，B 错误；
15
对于C，
，
，
，又
，
（当且仅当
，即
时取等
号），C 正确；
对于D，令
，
，则
，
（当且仅当
时取等号），即
的最小值是
，D 错误
故选：C.
6．（多选）早在西元前6 世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉
斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致
相同.而今我们称
为正数a，b 的算术平均数，
为正数a，b 的几何平均数，并把这两者结合的不
等式
叫作基本不等式.已知实数a，b 满足
，
，a+b=2，则下列结论正确
的有（ ）
A．
的最小值是
B．
的最小值为3
C．
的最大值为3
D．
的最小值是2
【答案】ABD
【解析】对于A，
，
当且仅当
，即
，
时取“=”，A 正确；
对于B，
，当
时，
取得最小值3，B 正确；
对于C，令
，
，
16
其中锐角
由
确定，显然
，则当
，即
时，
，
因此，当
时，
取最大值
，C 不正确；
对于D，
，
当且仅当a=b=1 时取“=”，D 正确.
故选：ABD
7．（多选）公元3 世纪末，古希腊亚历山大时期的一位几何学家帕普斯发现了一个半圆模型（如图所
示），以线段
为直径作半圆
，
，垂足为
，以
的中点
为圆心，
为半径再作半
圆，过
作
，交半圆于
，连接
，设
，
，则下列不等式一定正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】因为
是圆O 的直径，则
，
因为
，则
，所以
，故
，
17
易有
，故
，即
，
大圆半径
，小圆半径
，
，
，
故
，同理
.
选项A 中，，显然当
时
是钝角，在
上可截取
，故
，即大圆半径
，故
，正确；
选项B 中，当
时，大圆半径
，有
，故错误；
选项C 中，
中，
，故
，故错误；
选项D 中，大圆半径
，小圆半径
，
则
，而
，故
，故正确.
故选：AD.
8.剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一．如图，纸片为一圆形，直径
，需要剪去四边形
，可以经过对折、沿
裁剪、展开就可以得到．
已知点
在圆上且
．要使得镂空的四边形
面积最小，
的长应为_____
．
【答案】
【解析】如图，连接
，作
于
，由题意，
，故
，所以
18
.
设
则由面积公式，
，即
.由余弦定理
，结合基本不等式
，即
，当且仅当
时取等号.
故
取最小值时
，此时
.
故
.
故答案为：
9.《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依
据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．设
，称
为a，b 的调和平均数．如图，C 为线段AB 上的点，且AC=a，CB=b，O 为AB 中
点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线，交半圆于D，连结OD，AD，BD．过点C 作OD 的垂线，垂
足为E．则图中线段OD 的长度是a，b 的算术平均数
，线段CD 的长度是a，b 的几何平均数
，
19
线段___________的长度是a，b 的调和平均数
，该图形可以完美证明三者的大小关系为
___________．
【答案】
【解析】
依题意三角形
是直角三角形，
；
在直角三角形
中，
.
由射影定理得
，
由射影定理得
，即
，
所以线段
的长度是
的调和平均数
.
在
中，
，即
，
当
时，
重合，即
，
所以
.
故答案为：
；
10．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中
记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其
算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，
20
被除数除以除数得结果，即出南门
里见到树，则
．若一小城，如图所示，出东门
步有树，出南门
步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：里
步）________ 里.
【答案】
【解析】因为里
步，由图可知，
步
里，
步
里，
，则
，且
，
所以，
，所以，
，则
，
所以，该小城的周长为
（里）.
故答案为：
.
21
