专题3.2 函数的单调性、极值与最值【七大题型】
【新高考专用】
【题型1 利用导数判断单调性、求单调区间】.....................................................................................................2
【题型2 由函数的单调性求参数】..........................................................................................................................3
【题型3 利用导数求函数的极值（点）】..............................................................................................................3
【题型4 根据极值（点）求参数】..........................................................................................................................4
【题型5 利用导数求函数的最值】..........................................................................................................................4
【题型6 已知函数最值求参数】..............................................................................................................................5
【题型7 函数单调性、极值与最值的综合应用】.................................................................................................5
1、函数的单调性、极值与最值
导数与函数是高中数学的核心内容，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，高考中常涉
及的问题有利用导数解决函数的单调性、极值和最值等；与不等式、方程的根(或函数的零点)等内容结合
考查，此类问题体现了分类讨论、转化与化归等数学思想，此类问题在选择、填空、解答题中都有考查，
而在解答题中进行考查时试题难度较大.
【知识点1 导数中函数单调性问题的解题策略】
1.确定函数单调区间的步骤；
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f'(x)；
(3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.
2.含参函数的单调性的解题策略：
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因
式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.
3.根据函数单调性求参数的一般思路：
(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集.
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x (
∈a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间
上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
【知识点2 函数的极值与最值问题的解题思路】
1.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f'(x)；
(3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0 的根x0左右两侧值的符号；
(5)求出极值.
2.根据函数极值求参数的一般思路：
已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0 和极值这两个条件列方
程组，利用待定系数法求解.
3.利用导数求函数最值的解题策略：
(1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤：
①求函数在(a,b)内的极值；
②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；
③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：
求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性
和
极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
【题型1 利用导数判断单调性、求单调区间】
【例1】（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）函数y =- x
2+ ln x的单调递增区间为（ ）
A．(
1
2 ,e)
B．(0,e)
C．(0, 1
2)
D．(0, √2
2 )
【变式1-1】（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）下列函数中，既是偶函数又在(0,+ ∞)上单调递增的函
数是（ ）
A．f (x)= x ln x
B．f (x)= ln(- x +√x
2+1)
C．f (x)=e
x+e
- x
D．f (x)=e
x -e
- x
【变式1-2】（2023·上海静安·统考二模）函数y = x ln x（ ）
A．严格增函数
B．在(0, 1
e)上是严格增函数，在(
1
e ,+∞)上是严格减函数
C．严格减函数
D．在(0, 1
e)上是严格减函数，在(
1
e ,+∞)上是严格增函数
【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）已知函数f (x)= ln (x -2)+ ln (4 - x)，则f (x)的单调递增区间为
（ ）
A．(2,3)
B．(3,4)
C．(-∞,3)
D．(3,+∞)
【题型2 由函数的单调性求参数】
【例2】（2023·广西玉林·统考二模）若函数f ( x)=(ax +1)e
x在[1,2]上为增函数，则a 的取值范围是
（ ）
A．[- 1
2 ,+∞)
B．[- 1
3 ,+∞)
C．[- 1
4 ,+ ∞)
D．[0,+ ∞)
【变式2-1】（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）若函数f ( x)= x
2
2 - ln x在区间(m,m+ 1
3 )上不单调，则
实数m 的取值范围为（ ）
A．0<m< 2
3
B．2
3 <m<1
C．2
3 ≤m≤1
D．m>1
【变式2-2】（2023 下·重庆·高二校联考期中）若函数f (x)= x
2-a ln x - x -2023(a∈R)在区间[1,+∞)上
单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．(-∞,1)
B．(-∞,1]
C．(-∞,- 1
8)
D．(-∞,- 1
8]
【变式2-3】（2023·全国·模拟预测）已知函数g(x)= a(x -1)
2 x +1 - ln (2 x -1)在[1,+∞)上单调递减，则实数a
的取值范围是（ ）
A．(-∞,4]
B．(-∞, 16
3 ]
C．(4 , 16
3 ]
D．(-∞,6]
【题型3 利用导数求函数的极值（点）】
【例3】（2023·全国·模拟预测）函数f ( x)=2 x - tan x - π在区间(- π
2 , π
2)的极大值、极小值分别为
（ ）
A．π
2 +1，- π
2 +1
B．- π
2 +1，- 3 π
2 +1
C．3 π
2 -1，- π
2 +1
D．- π
2 -1，- 3 π
2 +1
【变式3-1】（2023·河南洛阳·校联考模拟预测）已知函数f (x)及其导函数f
' (x)的定义域均为R，且
f
' (x)- f (x)= x
2e
2 x ,f (0)=0，则f (x)（ ）
A．有一个极小值点，一个极大值点
B．有两个极小值点，一个极大值点
C．最多有一个极小值点，无极大值点
D．最多有一个极大值点，无极小值点
【变式3-2】（2023·河北·模拟预测）若函数f (x)=sin x - x (π - x)
π
，则f (x)极值点的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式3-3】（2023·河南·统考三模）已知函数f ( x)= x
2ln x，则下列结论正确的是（ ）
A．f ( x)在x = 1
√e
处得到极大值- 1
2e
B．f ( x)在x =√e处得到极大值e
2
C．f ( x)在x = 1
√e
处得到极小值- 1
2e
D．f ( x)在x =√e处得到极小值e
2
【题型4 根据极值（点）求参数】
【例4】（2023·贵州遵义·统考三模）已知函数f (x)=ax + ln x
b +1在x =1处取得极值0，则a+b=（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2
【变式4-1】（2023·陕西商洛·统考三模）若函数f ( x)= x
3+a x
2+(a+6)x无极值，则a的取值范围为
（ ）
A．[-3,6]
B．(-3,6)
C．(-∞,-3]∪[6,+ ∞)
D．(-∞,-3)∪(6,+ ∞)
【变式4-2】（2023·四川绵阳·统考一模）若函数y =cos(ωx +π
6 )（ω>0）在区间(-π
2 ,0)上恰有唯一
极值点，则ω的取值范围为（ ）
A．[
1
3 , 7
6]
B．(
1
3 , 7
6]
C．(
1
3 , 7
3]
D．(
2
3 , 7
3)
【变式4-3】（2023·高二课时练习）已知函数f ( x)= x
3+a x
2+(a+6)x +1有极大值和极小值，则a 的取值
范围是（ ）
A．-1<a<2
B．a<-3或a>6
C．-3<a<6
D．a<-1或a>2
【题型5 利用导数求函数的最值】
【例5】（2023·四川绵阳·三台中学校考模拟预测）当x =2时，函数f (x)= x
3+b x
2-12 x取得极值，则
f (x)在区间[- 4,4]上的最大值为（ ）
A．8
B．12
C．16
D．32
【变式5-1】（2023·广西玉林·校联考模拟预测）已知正实数x，y 满足y e
x = ln x - ln y，则ln x +1
x
+ ln y
的最大值为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2
【变式5-2】（2023·江西赣州·南康中学校联考模拟预测）已知函数
f (x)=e
2 x -2t e
x +1+(e
2+1)t
2-2t ln x +(ln x)
2，t ∈R，则函数f (x)的最小值为（ ）
A．1
e
B．
1
e
2+1
C．e
2
e
2+1
D．2e
2
e
2+1
【变式5-3】（2023·陕西汉中·统考一模）设定义在R 上的函数f (x)满足f
' (x)+ f (x)=3 x
2e
- x，且f (0)=0，
则下列结论正确的是（ ）
A．f (x)在R 上单调递减
B．f (x)在R 上单调递增
C．f (x)在R 上有最大值
D．f (x)在R 上有最小值
【题型6 已知函数最值求参数】
【例6】（2023·广西·统考模拟预测）已知函数f (x)= ln x +ax存在最大值0，则a的值为（ ）
A．-2
B．- 1
e
C．1
D．e
【变式6-1】（2023·四川宜宾·统考三模）若函数f (x)=¿的最小值是-2，则实数m的取值范围是（ ）
A．m<0
B．m≤0
C．m>0
D．m≥0
【变式6-2】（2023·上海松江·统考二模）已知函数y = 1
3 x
3- x
2-3 x +a，a∈R，在区间(t -3,t +5)上有
最大值，则实数t 的取值范围是（ ）
A．-6<t <0
B．-6<t ≤0
C．-6<t <2
D．-6<t ≤2
【变式6-3】（2023·高二课时练习）已知函数f ( x)=e
x+ x
3+(a-3)x +1在区间(0，1)上有最小值，则实数
a 的取值范围是（ ）
A．(-e，2)
B．(-e，1-e)
C．(1，2)
D．(-∞,1-e)
【题型7 函数单调性、极值与最值的综合应用】
【例7】（2023·全国·模拟预测）已知函数f (x)=sin x
e
x
+acos x (a∈R),f
' (x)为函数f (x)的导函数．
(1)若a≤-2，讨论f
' (x)在(0,2π)上的单调性；
(2)若函数g(x)= f (x)+ f
' (x)，且g(x)在(0,π)内有唯一的极大值，求实数a的取值范围．
【变式7-1】（2023·吉林·统考一模）已知函数f ( x)=e
x+msin x．
(1)若函数f (x)在(0,π)上单调递增，求正实数m的取值范围；
(2)求证：当m=1时，f (x)在(-π,+∞)上存在唯一极小值点x0
，且-1<f (x0)<0．
【变式7-2】（2023·吉林长春·东北师大附中校考二模）已知函数f (x)=mxe
- x+ x -ln x (m∈R).
(1)讨论函数f (x)的极值点个数；
(2)若m>0，f (x)的最小值是1+lnm，求实数m的取值范围.
【变式7-3】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知函数f (x)= xln x - 1
2 a x
2，其中a∈R.
(1)若a=1，求f (x)的单调区间；
(2)若f (x)恰有2 个不同的极值点，求a的取值范围；
(3)若f (x)恰有2 个不同的零点，求a的取值范围.
1．（2023·全国·统考高考真题）函数f (x)= x
3+ax +2存在3 个零点，则a的取值范围是（ ）
A．(-∞,-2)
B．(-∞,-3)
C．(- 4 ,-1)
D．(-3,0)
2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f (x)=ae
x- ln x在区间(1,2)上单调递增，则a 的最小值为（ ）．
A．e
2
B．e
C．e
-1
D．e
-2
3．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f (x)的定义域为R，f (xy)= y
2f (x)+ x
2f ( y)，则（ ）．
A．f (0)=0
B．f (1)=0
C．f (x)是偶函数
D．x =0为f (x)的极小值点
4．（2023·全国·统考高考真题）若函数f (x)=aln x + b
x + c
x
2 (a≠0)既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．bc>0
B．ab>0
C．b
2+8ac>0
D．ac<0
5．（2023·全国·统考高考真题）设a∈(0,1)，若函数f (x)=a
x+(1+a)
x在(0,+ ∞)上单调递增，则a 的取
值范围是 .
6．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f (x)=(
1
x +a)ln(1+ x)．
(1)当a=-1时，求曲线y = f (x)在点(1,f (x))处的切线方程．
(2)若函数f (x)在(0,+ ∞)单调递增，求a的取值范围．
7．（2023·北京·统考高考真题）设函数f ( x)= x - x
3e
ax +b，曲线y = f ( x)在点(1,f (1))处的切线方程为
y =- x +1．
(1)求a,b的值；
(2)设函数g( x)= f
'( x)，求g( x)的单调区间；
(3)求f ( x)的极值点个数．
8．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f (x)=ax -sin x
cos
2 x
, x∈(0,π
2 )．
(1)当a=1时，讨论f (x)的单调性；
(2)若f (x)+sin x<0，求a的取值范围．
9．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f ( x)=(
1
x +a)ln(1+ x).
(1)当a=-1时，求曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线y = f(
1
x)关于直线x =b对称，若存在，求a，b 的值，若不存在，说明理由.
(3)若f (x)在(0,+ ∞)存在极值，求a 的取值范围.
10．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f (x)=a(e
x+a)- x．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)证明：当a>0时，f (x)>2lna+ 3
2
．
