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专题03 平面与平面所成角（二面角）（含探索性问题）
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................2
题型一：求二面角.................................................2
题型二：已知二面角求参数.........................................4
题型三：求二面角最值（范围）.....................................7
三、专项训练........................................................9
一、必备秘籍
1、二面角的平面角定义：从二面角棱上任取一点
，在二面角的两个半平面内分别作
棱的垂线
、
,则
称为二面角的平面角.
2、二面角的范围：
3、向量法求二面角平面角
（1）如图①，
，
是二面角
的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小
．
（2）如图②③，
，
分别是二面角
的两个半平面
的法向量，则二面角的大小
满足：
1
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；
（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没
有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.）
二、典型题型
题型一：求二面角
1．（22·23 下·河南·模拟预测）如图，直四棱柱
的底面是正方形，
，E，F 分别
为BC，
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)求二面角
的正弦值.
2．（2023·江西南昌·模拟预测）如图，直三棱柱
的体积为
，
的面积为
．
2
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(1)求
到平面
的距离；
(2)设
为
的中点，
，平面
平面
，求二面角
的大小．
3．（2023·浙江·模拟预测）如图，在矩形
中，
为边
上的点，且
.将
沿
翻折，使得点
到
，满足平面
平面
，连接
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求二面角
的正弦值的大小.
4．（2023·河北沧州·三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和
个圆柱拼接而成.
在同一平
面内，且
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求平面
与平面
所成角的余弦值.
3
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5．（2023·海南省直辖县级单位·三模）如图所示，
为等边三角形，
平面
，
，
，
，
为线段
上一动点．
(1)若
为线段
的中点，证明：
．
(2)若
，求二面角
的余弦值．
题型二：已知二面角求参数
1．（2023·四川南充·三模）如图，在四棱台
中，底面
是菱形，
，
，
平面
.
(1)证明：BD
CC1；
(2)棱
上是否存在一点
，使得二面角
的余弦值为
若存在，求线段
的长；若不存在，
请说明理由.
4
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2．（2023·吉林长春·一模）长方形
中，
，点
为
中点（如图1），将点
绕
旋转至点
处，使平面
平面
（如图2）．
(1)求证：
；
(2)点
在线段
上，当二面角
大小为
时，求四棱锥
的体积．
3．（2023·福建宁德·一模）如图①在平行四边形
中，
，
，
，
，
将
沿
折起，使平面
平面
，得到图②所示几何体．
(1)若
为
的中点，求四棱锥
的体积
；
5
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(2)在线段
上，是否存在一点
，使得平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
，如果存
在，求出
的值，如果不存在，说明理由．
4．（2023·江西九江·一模）如图，直角梯形
中，
，
，
，
，将
沿
翻折至
的位置，使得
，
为
的中点．
(1)求证：平面
平面
；
(2)
为线段
上一点（端点除外），若二面角
的余弦值为
，求线段
的长．
5．（2023·四川成都·模拟预测）如图，四棱锥
中，底面
是矩形，
，
，侧面
底面
，侧面
底面
，点F 是PB 的中点，动点E 在边BC 上移动，且
.
(1)证明：
垂直于底面
.
(2)当点E 在BC 边上移动，使二面角
为
时，求二面角
的余弦值.
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题型三：求二面角最值（范围）
1．（23·24 高二上·山东·阶段练习）如图，在正四棱柱
中，
，点
是线段
上的点，点
是线段
上的点，且
.
(1)证明：直线
平面
：
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值的取值范围.
2．（23·24 高二上·四川遂宁·阶段练习）如图，在正四棱柱
中，
，
.点
、
、
、
分别在棱
、
、
、
上，
，
，
.
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(1)证明：
四点共面
(2)当点
在棱
上运动时（包括端点），求平面
与平面
夹角余弦值的的取值范围.
3．（23·24 高二上·湖北恩施·阶段练习）如图（1），在矩形
中，
，
为线段
的
中点，将
沿直线AE 折起，使得
，如图（2）.
(1)求证：平面
平面
；
(2)已知点H 在线段AB 上移动，设平面ADE 与平面DHC 所成的角为
，求
的取值范围.
4．（23·24 高二上·四川遂宁·阶段练习）如图，在三棱柱
中，底面是边长为2 的等边三角形，
在菱形
中，
，
，平面
平面
，
，
分别是线段
､
的中点.
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(1)求证：
平面
；
(2)若点
为线段
上的动点（不包括端点），求锐二面角
的余弦值的取值范围.
三、专项训练
1．（23·24 高二上·北京房山·阶段练习）已知长方体
中，
，
，则平面
与平面
所成锐二面角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23·24 高二上·山东济南·阶段练习）如图所示，
是棱长为6 的正方体，
分别是棱
上的动点，且
，当
四点共面时，平面
与平面
所成夹角的余弦值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23·24 高二上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在直四棱柱
中，
，
，
，E，F 分别是侧棱
，
上的动点，且平面AEF 与平面ABC 所成角的大小为
，则线段
BE 的长的最大值为（ ）
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A．
B．
C．
D．
4．（21·22 高二·全国·单元测试）如图，在四棱锥
中，
平面ABCD，
，
，
，已知Q 是四边形ABCD 内部一点（包括边界），且二面角
的平面角大小为
，则
面积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（20·21 高一下·湖北·阶段练习）在正三棱柱
中，
，点D 为棱
的中点，
点E 为
上的点，且满足
，当二面角
的正切值为
时，实数m 的值为
（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
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二、填空题
6．（21·22 高二上·福建·期末）已知在一个二面角的棱上有两点
，线段
分别在这个二面角的两
个面内，并且都垂直于棱
，则这个二面角的大小为 .
7．（23·24 高二上·山东德州·阶段练习）如图，已知菱形
所在的平面与
所在的平面互相垂直，
且
．则平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值为 ．
8．（22·23 高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在三棱柱
中，
，
，
两两互相垂直，
，
，
分别是侧棱
，
上的点，平面
与平面
所成的（锐）二面角为
，
则当
最小时
．
9．（23·24 高二上·全国·单元测试）如图，四棱锥
中，底面
是矩形，
平面
，
且
，点
是线段
上一点，当二面角
的平面角的大小为
时，
．
三、解答题
10．（23·24 高三上·四川成都·开学考试）如图，四棱锥
中，底面
是平行四边形，平面
底面
，
，
，
，
．
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(1)求证：平面
平面
；
(2)求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值．
11．（2023·新疆·三模）如图，在圆柱体
中，
，
，劣弧
的长为
，AB 为圆O 的直径．
(1)在弧
上是否存在点C（C，
在平面
同侧），使
，若存在，确定其位置，若不存在，
说明理由；
(2)求二面角
的余弦值．
12．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，三棱锥
中，
，
，
，平面
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平面
.
(1)求三棱锥
的体积的最大值；
(2)求二面角
的正弦值的最小值.
13．（2023·辽宁·模拟预测）已知直角梯形形状如下，其中
，
，
，
．
(1)在线段CD 上找出点F，将四边形
沿
翻折，形成几何体
．若无论二面角
多大，都能够使得几何体
为棱台，请指出点F 的具体位置（无需给出证明过程）．
(2)在（1）的条件下，若二面角
为直二面角，求棱台
的体积，并求出此时二面角
的余弦值．
14．（22·23 高一上·吉林·阶段练习）如图①所示，长方形
中，
，
，点
是边
的中
点，将
沿
翻折到
，连接
，
，得到图②的四棱锥
．
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(1)求四棱锥
的体积的最大值；
(2)设
的大小为
，若
，求平面
和平面
夹角余弦值的最小值．
15．（22·23 下·信阳·阶段练习）如图，在等腰梯形
中，
，四边形
为矩形，且
平面
，
.
(1)求证：
平面
；
(2)在线段
上是否存在点
，使得平面
与平面
所成锐二面角的平面角为
，且满足
.
若不存在，请说明理由；若存在，求出
的长度.
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16．（23·24 上·山东·开学考试）如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
，点E 在平面
上运动．
(1)试确定一点E，使得
平面
，并说明点E 的位置；
(2)若四棱锥的体积为6，在侧棱
上是否存在一点F，使得二面角
的余弦值为
．若存在，
求
的长，若不存在，请说明理由．
17．（23·24 上·湖北·开学考试）如图所示，在三棱柱
中，侧面
是边长为2 的菱形，
；侧面
为矩形，
，且平面
平面
.
(1)求证：
；
(2)设是线段上的动点，试确定点的位置，使二面角的余弦值为.
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