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专题03 平面与平面所成角（二面角）（含探索性问题）
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................2
题型一：求二面角.................................................2
题型二：已知二面角求参数........................................10
题型三：求二面角最值（范围）....................................18
三、专项训练.......................................................24
一、必备秘籍
1、二面角的平面角定义：从二面角棱上任取一点
，在二面角的两个半平面内分别作
棱的垂线
、
,则
称为二面角的平面角.
2、二面角的范围：
3、向量法求二面角平面角
（1）如图①，
，
是二面角
的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小
．
（2）如图②③，
，
分别是二面角
的两个半平面
的法向量，则二面角的大小
满足：
1
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；
（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没
有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.）
二、典型题型
题型一：求二面角
1．（22·23 下·河南·模拟预测）如图，直四棱柱
的底面是正方形，
，E，F 分别
为BC，
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)求二面角
的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接
，交
于点G，连接FG，
因为E，F 分别为BC，
的中点，
所以
，且
，
所以四边形AEFG 是平行四边形，
所以
，
又因为
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，
为z 轴建立坐标系，如图所示，
2
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设
，则
，
，
，
所以
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，则
,即
，
不妨取
，则
，即
，
设平面
的一个法向量为
，则
,即
，
不妨取
，则
，即
，
所以
，
设二面角
的平面角为
，则
，
所以
故二面角
的正弦值为
.
2．（2023·江西南昌·模拟预测）如图，直三棱柱
的体积为
，
的面积为
．
3
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(1)求
到平面
的距离；
(2)设
为
的中点，
，平面
平面
，求二面角
的大小．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知：
；
设点
到平面
的距离为
，
，解得：
，
即点
到平面
的距离为
.
（2）取
的中点
，连接
，
，
，
又平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
平面
，又
平面
，
；
三棱锥
为直三棱柱，
平面
，
又
平面
，
；
，
平面
，
平面
则以
为坐标原点，
正方向为
轴的正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，
由（1）知：
，
，
，
4
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，
，
，
，
，
，
，
，
，
设平面
的法向量
，
则
，令
，解得：
，
，
；
设平面
的法向量
，
则
，令
，解得：
，
，
；
，
而
，所以
，
则二面角
的大小为
.
3．（2023·浙江·模拟预测）如图，在矩形
中，
为边
上的点，且
.将
沿
翻折，使得点
到
，满足平面
平面
，连接
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求二面角
的正弦值的大小.
【答案】(1)证明见详解
(2)
【详解】（1）在
中，
，
，
，
同理，在
中，
，
，
，
5
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又因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
平面
，
又
平面
，
，
又
，
与
是平面
内的两条相交直线，
平面
，又
平面
，
平面
平面
.
（2）
如图，作
，垂足为
，在
中，可得
，
，
由（1），
，平面
平面
，
以点
为坐标原点，
，
分别为
，
轴，过点
垂直平面
为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，可得
，
，
，
，
则
，
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，则
，即
，令
，可得
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，则
，即
，令
，可得
，
，
，
6
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，
又
，则
，
所以二面角
的正弦值为
.
4．（2023·河北沧州·三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和
个圆柱拼接而成.
在同一平
面内，且
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求平面
与平面
所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图，连接
，因为该几何体是由等高的半个圆柱和
个圆柱拼接而成，
，所以
，所以
，所以
.
因为
，
，所以四边形
为平行四边形，所以
，所以
.
因为
平面
，
平面
，所以
.
因为
平面
，
，所以
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
.
7
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（2）如图，以
为坐标原点建立空间直角坐标系，设
，
，
则
，
，
，
，
，
，
则
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
即
令
，则
，
记直线
与平面
所成的角为
，
则
，
解得
（负值舍去），即
.
设平面
的一个法向量为
，
，
，
则
即
令
，则
.
所以
.
因此平面
与平面
所成角的余弦值为
.
5．（2023·海南省直辖县级单位·三模）如图所示，
为等边三角形，
平面
，
，
，
，
为线段
上一动点．
8
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(1)若
为线段
的中点，证明：
．
(2)若
，求二面角
的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为
为线段
的中点，
且
为等边三角形，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
因为
，所以
，
，
，
四点共面，
因为
平面
，
平面
，
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以
；
（2）设
的中点为
，连接
，
在平面
内，过点
作
交
于点
，
由（1）可得
两两垂直，
分别以
，
，
所在直线为
，
，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
因为
，
，
，
所以
，
，
，
，
所以
，
，
．，
设平面
的法向量为
，
则
，令
，得
，
，
所以平面
的一个法向量为
，
设平面
的法向量为
，
则
，令
，得
，
，
所以平面
的一个法向量为
，
9
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所以
，
所以二面角
的余弦值为
．
题型二：已知二面角求参数
1．（2023·四川南充·三模）如图，在四棱台
中，底面
是菱形，
，
，
平面
.
(1)证明：BD
CC1；
(2)棱
上是否存在一点
，使得二面角
的余弦值为
若存在，求线段
的长；若不存在，
请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
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【详解】（1）证明:如图所示，连接
,
因为
为棱台，所以
四点共面，
又因为四边形
为菱形，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
又因为
且
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
.
（2）解：取
中点
，连接
，
因为底面
是菱形，且
，所以
是正三角形，所以
，即
，
由于
平面
，以
为原点，分别以
为
轴、
轴和轴，建立如图所示的空间直角
坐标系，
则
假设点
存在，设点
的坐标为
，其中
，
可得
设平面
的法向量
，则
，
取
，可得
，所以
.
又由平面
的法向量为
，
所以
，解得
由于二面角
为锐角，则点
在线段
上，所以
，即
故
上存在点
，当
时，二面角
的余弦值为
.
2．（2023·吉林长春·一模）长方形
中，
，点
为
中点（如图1），将点
绕
11
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旋转至点
处，使平面
平面
（如图2）．
(1)求证：
；
(2)点
在线段
上，当二面角
大小为
时，求四棱锥
的体积．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【详解】（1）证明：在长方形
中，
，
为
中点，
，
，
平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
，又
，
平面
，
平面
，
，
平面
，
平面
，
.
（2）
如图，取
的中点
，
的中点
，连接
，
由题意可得
两两互相垂直，
以
为坐标原点，以
，
，
分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
设
，则
，
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设平面
的一个法向量为
，
则
，
，
令
，得
，
，
又
平面
，
是平面
的一个法向量，
，
令
，解得
或
（舍）.
即
为
的靠近
的三等分点时，二面角
的平面角为
，
平面
，且
，
到平面
的距离为
，又四边形
的面积为3，
四棱锥
的体积
3．（2023·福建宁德·一模）如图①在平行四边形
中，
，
，
，
，
将
沿
折起，使平面
平面
，得到图②所示几何体．
(1)若
为
的中点，求四棱锥
的体积
；
(2)在线段
上，是否存在一点
，使得平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
，如果存
在，求出
的值，如果不存在，说明理由．
【答案】(1)
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(2)存在，
的值为
【详解】（1）由图①知，
，所以
，在
中，因为
，
，
可得
，
，所以
．
由图②知，平面
平面
，
平面
，
平面
平面
，因为
，所以
平面
，
因为
为
的中点，
所以
．
（2）由（1）知
，
，
三者两两垂直，以点
为原点，
，
，
的方向分别为
轴，
轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系（如图）．
则
，
，
，
，
，
，
，
设
，
，
，
即
，
所以
，
设平面
的法向量为
，
所以
，则
，
令
，得
，
设平面
的法向量为
，
所以
， 解得
或
（舍去），
所以此时
的值为
.
14
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4．（2023·江西九江·一模）如图，直角梯形
中，
，
，
，
，将
沿
翻折至
的位置，使得
，
为
的中点．
(1)求证：平面
平面
；
(2)
为线段
上一点（端点除外），若二面角
的余弦值为
，求线段
的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）易知
，
，
，
平面
，
平面
，
又
平面
，所以
由直角梯形
，
，
，
，
可得
，又
，得
；
又
，
平面
，所以
平面
又
平面
，可得平面
平面
（2）取
的中点
，连接
，
，
15
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，
，
又平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
为
的中点，
为
的中点，可得
，又
，
故以
所在的直线分别为
轴，建立如图空间直角坐标
系，则
，
，
，
，
，
设
，则
设平面
的一个法向量为
，
，
，
所以
，令
，得
，
，
即
平面
的一个法向量为
可得
，解得
或
(舍)
即
为
的中点，易知
，
故线段
的长为
.
5．（2023·四川成都·模拟预测）如图，四棱锥
中，底面
是矩形，
，
，侧面
底面
，侧面
底面
，点F 是PB 的中点，动点E 在边BC 上移动，且
.
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(1)证明：
垂直于底面
.
(2)当点E 在BC 边上移动，使二面角
为
时，求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为侧面
底面
，侧面
底面
，
而底面
是矩形，故
,
底面
，
故
平面
，而
平面
，故
;
同理侧面
底面
，侧面
底面
，
而底面
是矩形，故
,
底面
，
故
平面
，而
平面
，故
，
又
底面
，
故
垂直于底面
（2）由（1）知
底面
，
底面
，
故
，点F 是PB 的中点，且
，
故
，
；
又
平面
，
,故
平面
，
平面
，故
，而
平面
，
故
平面
，故
即为二面角
的平面角，
即
；而
,
以A 为坐标原点，以
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
17
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则
，
故
，
设平面
的法向量为
，
则
，即
，
令
，则
，即
，
设平面
的法向量为
，
则
，即
，
令
，则
，即
，
故
，
由原图可知二面角
为锐角，
故二面角
的余弦值为
.
题型三：求二面角最值（范围）
1．（23·24 高二上·山东·阶段练习）如图，在正四棱柱
中，
，点
是线段
上的点，点
是线段
上的点，且
.
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(1)证明：直线
平面
：
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图，连接
并延长交
于
，过
作
交
于
，连接
，
因为
，所以
，
又
，所以
，得到
，
又易知，
且
，又
且
，故
且
，所以四边形
为平行四边形，
得到
，又
，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
，
（2）如图建立空间直角坐标系，因为
，
则
，
，
，
，
，
所以，
，
，
，
，
19
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又因为
，则
，
，
又
，
设平面
的一个法向量为
，
则由
，得到
，取
，得到
，所以
，
设平面
的一个法向量为
，
则由
，得到
，取
，得到
，
所以
，
设平面
与平面
的夹角为
，
则
，
又因为
，
，
，
所以
，即平面
与平面
夹角的余弦值的取值范围为
.
2．（23·24 高二上·四川遂宁·阶段练习）如图，在正四棱柱
中，
，
.点
、
、
、
分别在棱
、
、
、
上，
，
，
.
20
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(1)证明：
四点共面
(2)当点
在棱
上运动时（包括端点），求平面
与平面
夹角余弦值的的取值范围.
【答案】(1)证明见解析．
(2)
．
【详解】（1）分别以
为
轴建立空间直角坐标系，如图，则
，
，
，
，
∴
，
，
，
∴
，
所以
共面，即
四点共面；
（2）设
，
，
，又
，
，
设平面
的一个法向量是
，
则
，取
，则
，
设平面
的一个法向量是
，
则
，取
，则
，
21
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，
，则
，所以
，
∴平面
与平面
夹角余弦值的的取值范围是
．
3．（23·24 高二上·湖北恩施·阶段练习）如图（1），在矩形
中，
，
为线段
的
中点，将
沿直线AE 折起，使得
，如图（2）.
(1)求证：平面
平面
；
(2)已知点H 在线段AB 上移动，设平面ADE 与平面DHC 所成的角为
，求
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意证明如下，
取线段AE 的中点O，连接DO，OC，如图.
在
中，
，
，
，
.
在
中，
，
，
，
由余弦定理得，
，∴
.
在
中，
，
.
又
，
，
平面ABCE，
平面
.
22
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又
平面
，
平面
平面ABCE.
（2）由题意及（1）得，建立空间直角坐标系如下图所示，
则
，
，
，
.
易知平面ADE 的一个法向量为
.
设点H 的坐标为
，
，
则
，
.
设平面DHC 的法向量为
，
则
令
，则
.
∴
.
令
，则
，
∴
.
又
，所以
，
∴
的取值范围为
.
4．（23·24 高二上·四川遂宁·阶段练习）如图，在三棱柱
中，底面是边长为2 的等边三角形，
在菱形
中，
，
，平面
平面
，
，
分别是线段
､
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)若点
为线段
上的动点（不包括端点），求锐二面角
的余弦值的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
23
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(2)
【详解】（1）由平面
平面
，且两平面交线为
,
为
中点，
，
平面
，所以
平面
，由于
平面
，故
，
在菱形
中，
，
，所以
为等边三角形，
又
为
中点，所以
，
则以
为坐标原点，
所在直线为
，
，轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
又
，
，
平面
，
平面
．
（2）
，
设
，则
，
，
，
；
由（1）知
平面
，
平面
的一个法向量
，
设平面
的法向量
，又
则
，
，即
，
令
，则
，
，
，
，
24
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令
，则
，
，
，
所以
，
，
，
即锐二面角
的余弦值的取值范围为
．
三、专项训练
1．（23·24 高二上·北京房山·阶段练习）已知长方体
中，
，
，则平面
与平面
所成锐二面角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】以
为坐标原点，直线
分别为
轴，建立空间直角坐标系，
则
可得
，
可知平面
的法向量
，
设平面
的法向量
，则
，
令
，则
，可得
，
设平面
与平面ABCD 所成的锐二面角为
，
则
，
可得
，
25
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所以平面
与平面
所成锐二面角的正切值
.
故选：A.
2．（23·24 高二上·山东济南·阶段练习）如图所示，
是棱长为6 的正方体，
分别是棱
上的动点，且
，当
四点共面时，平面
与平面
所成夹角的余弦值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】以
为坐标原点，
所在的直线分别为
轴、
轴和轴，建立空间直角坐标系，如图
所示，当
时，即
为
的中点时，
四点共面，
可得
，且
，
则
，
设平面
的法向量为
，则
，
取
，可得
，所以
，
26
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设平面
的法向量为
，则
取
，可得
，所以
，
设平面
与平面
所成的二面角为
，
则
，
所以平面
与平面
所成的二面角的余弦值
.
故选：D.
3．（23·24 高二上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在直四棱柱
中，
，
，
，E，F 分别是侧棱
，
上的动点，且平面AEF 与平面ABC 所成角的大小为
，则线段
BE 的长的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】依题意，
，
，
两两互相垂直，
以A 为原点，
，
，
的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
27
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设
，
（
，
，且m，n 不同时为0），
则
，
，
，所以
，
.
设平面AEF 的一个法向量为
，
则
，
令
，得
，则
，
显然
为平面ABC 的一个法向量.
因为平面
与平面
所成角的大小为
，
所以
，
即
，
得
，
所以
，所以当
时，m 取得最大值，最大值为
.
故选：B
4．（21·22 高二·全国·单元测试）如图，在四棱锥
中，
平面ABCD，
，
，
，已知Q 是四边形ABCD 内部一点（包括边界），且二面角
的平面角大小为
，则
面积的取值范围是（ ）
28
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，
由二面角
的平面角大小为
，可知Q 的轨迹是过点D 的一条直线，
又Q 是四边形ABCD 内部一点（包括边界），则Q 的轨迹是过点D 的一条线段.
设Q 的轨迹与y 轴的交点坐标为
，由题意可知
，
，
，所以
，
，
．
易知平面APD 的一个法向量为
，
设平面PDG 的法向量为
，
则
，即
，
令
，得
，
，所以
是平面PDG 的一个法向量，
29
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则二面角
的平面角的余弦值为
，
解得
或
（舍去），
所以Q 在DG 上运动，所以
面积的取值范围为
．
故选：B．
5．（20·21 高一下·湖北·阶段练习）在正三棱柱
中，
，点D 为棱
的中点，
点E 为
上的点，且满足
，当二面角
的正切值为
时，实数m 的值为
（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【详解】如图，
以D 原点，DA，DB，DD1分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
30
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由
得，
，即
，
所以
，
，
设面
的法向量为：
，则
取
，
取面
的法向量为：
，
设二面角
为
，
由
得，
，则
，
所以
，
故选：C.
二、填空题
6．（21·22 高二上·福建·期末）已知在一个二面角的棱上有两点
，线段
分别在这个二面角的两
个面内，并且都垂直于棱
，则这个二面角的大小为 .
【答案】
【详解】如图，设
，（
），则二面角的大小为
，
，
，
，
，
故
.
故
，故
，
.
因此所求二面角的度数为
.
故答案为：
.
7．（23·24 高二上·山东德州·阶段练习）如图，已知菱形
所在的平面与
所在的平面互相垂直，
31
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且
．则平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值为 ．
【答案】
【详解】取
中点
，连接
，在菱形
中
，所以
是正三角形，所以
，
又因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，所以
，
又因为
，
，
平面
，
所以
平面
.
如图建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，
，
，
由
，取
，
设面
的法向量是
，
，
，
则由
，即
，则令
，得
，
所以
，
所以平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值是
.
故答案为:
．
32
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8．（22·23 高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在三棱柱
中，
，
，
两两互相垂直，
，
，
分别是侧棱
，
上的点，平面
与平面
所成的（锐）二面角为
，
则当
最小时
．
【答案】
/60o
【详解】建立空间直角坐标系，如图所示：
设
，
，则
，
，
，
，
所以
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，令
，则
，
又平面
的一个法向量为
，
所以
，即
，
当
最小时，
，
，
所以
，所以
，
故答案为：
．
33
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9．（23·24 高二上·全国·单元测试）如图，四棱锥
中，底面
是矩形，
平面
，
且
，点
是线段
上一点，当二面角
的平面角的大小为
时，
．
【答案】
【详解】设
，以
为坐标原点，以
所在的直线分别为
轴、
轴和轴建立空
间直角坐标系，如图所示，
则
，可得
，
设平面
的法向量为
，则
，
取
，可得
，所以
，
又由平面
的一个法向量为
，
则
，
解得
或
（舍去），所以
.
故答案为：
.
三、解答题
10．（23·24 高三上·四川成都·开学考试）如图，四棱锥
中，底面
是平行四边形，平面
底面
，
，
，
，
．
34
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(1)求证：平面
平面
；
(2)求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为平面
平面
，且平面
平面
，
平面
，
，
所以
平面
，
又
平面
，所以
．
因为
，
，
，所以
，故
．
又
，
平面
，所以
平面
．
因为
平面
，所以，平面
平面
．
（2）作
的高
，因为
，
，
，
所以
，所以
，
因为平面
平面
，且平面
平面
，
平面
，
所以
平面
．
所以，可以建立如图所示空间直角坐标系，其中
轴
．
则
，
，
，
，
所以
，
，
．
设平面
的法向量为
，
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则
即
令
得
，
，
所以平面
的一个法向量为
．
设平面
的法向量为
，
则
即
令
得
，
，
所以平面
的一个法向量为
．
，
所以平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值为
．
11．（2023·新疆·三模）如图，在圆柱体
中，
，
，劣弧
的长为
，AB 为圆O 的直径．
(1)在弧
上是否存在点C（C，
在平面
同侧），使
，若存在，确定其位置，若不存在，
说明理由；
(2)求二面角
的余弦值．
【答案】(1)存在，
为圆柱
的母线
(2)
【详解】（1）存在，当
为圆柱
的母线时，
．证明如下：
连接BC，AC，
，因为
为圆柱
的母线，所以
平面ABC，
又因为
平面ABC，所以
．
因为AB 为圆O 的直径，所以
．
36
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又
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
．
（2）以
为原点，OA，
分别为y，z 轴，垂直于y，z 轴的直线为x 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则
，
，
，
因为劣弧
的长为
，所以
，
，
则
，
．
设平面
的法向量
，
则
，
令
，解得
，
，所以
．
因为x 轴垂直平面
，所以平面
的一个法向量
．
所以
，
又二面角
的平面角为锐角，
故二面角
的余弦值为
．
12．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，三棱锥
中，
，
，
，平面
平面
.
37
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(1)求三棱锥
的体积的最大值；
(2)求二面角
的正弦值的最小值.
【答案】(1)
(2)
.
【详解】（1）取
的中点
，连接
，
因为
，所以
又因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
，
，
，所以
，
，
所以三棱锥
的体积为
因为
，所以
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故三棱锥
的体积的最大值为
.
（2）解法一：由（1）可知
平面
，又
平面
，所以
，
过
作
于
，连接
，
因为
平面
，
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，所以
为二面角
的平面角，
38
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在
中，
，
因为
，当且仅当
时等号成立，
所以
的最小值为2.
此时
取得最小值
，
故二面角
的正弦值的最小值为
.
解法二：由（1）可知
平面
，
以
为坐标原点，向量
，
为
轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
设
，则
，
设平面
的法向量为
，
则
，取
，则
，
又取平面
的法向量为
，
设二面角
的大小为
，
，
所以
，
因为
，所以
，
令
，则
，整理可得
，
所以
，解得
，
所以当
，即
，
时，
取得最大值
，此时
取得最小值
，
39
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故二面角
的正弦值的最小值为
.
13．（2023·辽宁·模拟预测）已知直角梯形形状如下，其中
，
，
，
．
(1)在线段CD 上找出点F，将四边形
沿
翻折，形成几何体
．若无论二面角
多大，都能够使得几何体
为棱台，请指出点F 的具体位置（无需给出证明过程）．
(2)在（1）的条件下，若二面角
为直二面角，求棱台
的体积，并求出此时二面角
的余弦值．
【答案】(1)
或
为靠近点
的三等分点；
(2)
；
.
【详解】（1）在直角梯形
中，延长
交于点
，连接
并延长交
于
，如图，
，
，
，于是
，则
，
为靠近点
的三等分点，
将四边形
沿
翻折，即将
沿
翻折，无论二面角
多大，
所成几何体均为三棱锥
，显然
平面
平面
，
于是
平面
，同理
平面
，而
平面
，
因此平面
平面
，从而几何体
是棱锥
被平行于底面
的平面所截，
截面和底面间的部分，即几何体
是棱台，
所以无论二面角
多大，都能够使得几何体
为棱台，
，
为靠近点
的三等
分点.
（2）翻折前
，将
,
,
延长一倍，三线交予点
，
在等腰直角三角形
中，
，在棱台
中，
，
又二面角
为直二面角，
平面
，
即三棱锥
的体积为
，
又三棱锥
的体积
，
40
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则有棱台
的体积为
，
在线段
上取
，有
，四边形
为平行四边形,
，
又
面
，则
，以
为原点，
为
,
, 的单位向量建立空间直角
坐标系，
则
，
，
，取平面
的法向量为
，
，令
，取
，
取面
的法向量
，则
，令
，得
，
显然二面角
的平面角为锐角，设为
，
，
所以二面角
的余弦值为
.
14．（22·23 高一上·吉林·阶段练习）如图①所示，长方形
中，
，
，点
是边
的中
点，将
沿
翻折到
，连接
，
，得到图②的四棱锥
．
(1)求四棱锥
的体积的最大值；
(2)设
的大小为
，若
，求平面
和平面
夹角余弦值的最小值．
【答案】(1)
41
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(2)
【详解】（1）取
的中点
，连接
，因为
，则
，
当平面
平面
时，
点到平面
的距离最大，四棱锥
的体积取得最大值，此
时
平面
，且
，
底面
为梯形，
，
则四棱锥
的体积最大值为
.
（2）连接
，因为
，所以
，所以
为
的平面角，即
，
过点
作
平面
，以
为坐标原点，
分别以DA，DC，DZ 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
过
作
于点
，由题意得
平面
，
设
，因为
，所以
，
，
，
所以
，
，
所以
，
所以
，
，
42
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设平面PAM 的法向量为
，则
，
令
，则
，
设平面
的法向量为
，
因为
，
，
则
，令
，
可得
，
设两平面夹角为
，
则
令
，
，所以
，
所以
，
因为
的对称轴为
，
所以当
时，
有最小值
，
所以平面
和平面
夹角余弦值的最小值为
．
43
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15．（22·23 下·信阳·阶段练习）如图，在等腰梯形
中，
，四边形
为矩形，且
平面
，
.
(1)求证：
平面
；
(2)在线段
上是否存在点
，使得平面
与平面
所成锐二面角的平面角为
，且满足
.
若不存在，请说明理由；若存在，求出
的长度.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【详解】（1）∵
为等腰梯形，
，∴
∵
，则
，∴
.
又∵
，则
，
∴
，∵
平面
，
平面
，∴
.
∵
平面
，∴
平面
，
∵四边形
为矩形，则
，
∴
平面
.
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，
44
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由（1）知，
，则
，
，设
，
则
，
设平面
的法向量
，
则
，∴
，令
，
则
，取平面
的法向量
，
，
由题意
，
.
解得
.
因此在线段
上存在点
，
使得平面
与平面
所成锐二面角的平面角为
，
且满足
.
16．（23·24 上·山东·开学考试）如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
，点E 在平面
上运动．
45
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(1)试确定一点E，使得
平面
，并说明点E 的位置；
(2)若四棱锥的体积为6，在侧棱
上是否存在一点F，使得二面角
的余弦值为
．若存在，
求
的长，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)当点E 在
的
边的中线
上运动时，
平面
；
(2)存在，
.
【详解】（1）点E 在
的
边的中线上，
取
的中点G，连接
，如图，
由
，
，得
，
，即四边形
为平行四边形，
于是
，而
平面
，
平面
，则
平面
，
所以当点E 在
的
边的中线
上运动时，
平面
．
（2）由于
底面
，
，则四棱锥
的体积
，解得
，
由（1）知，
，则有
，
，有
，
，
以点A 为坐标原点，
所在的直线分别为
轴建立空间直角坐标系，
则
，
假定棱
上存在一点F 满足条件，令
，
，则
，
，
，设面
的法向量
，
46
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则
，令
，得
，又面
的法向量
，
于是二面角
的余弦值
，
解得
，即F 为
中点，此时
，
．
即当
时，二面角
的余弦值为
.
17．（23·24 上·湖北·开学考试）如图所示，在三棱柱
中，侧面
是边长为2 的菱形，
；侧面
为矩形，
，且平面
平面
.
(1)求证：
；
(2)设
是线段
上的动点，试确定点
的位置，使二面角
的余弦值为
.
【答案】(1)证明见解析
(2)点
为
的中点
【详解】（1）如下图所示：连接
，在矩形
中，明显有：
.
又平面
平面
，平面
平面
，所以
平面
，
又因为
平面
，所以
，
又在菱形ABCD 中
且
，
平面
，
平面
，
则
平面
，又
平面
，则
.
47
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（2）建立空间直角坐标系如下图所示：
设
，且
，
，则
，
，
设
是平面MBC 的一个法向量，由
及
，
故可取
，明显平面BCD 的一个法向量为
，
由已知有
，解得
或
（舍去），
所以当点M 为AF 的中点时，二面角
的余弦值为
.
48
