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专题03 等式与不等式的性质
【知识点梳理】
1、比较大小基本方法
关系
方法
做差法
与0 比较
做商法
与1 比较
a>b
a−b>0
a
b >1(a ，b>0)
或
a
b <1(a，b<0)
a=b
a−b=0
a
b=1(b≠0)
a<b
a−b=0
a
b <1(a ，b>0)
或
a
b >1(a，b<0)
2、不等式的性质
（1）基本性质
性质
性质内容
对称性
a>b⇔b<a ；a<b⇔b>a
传递性
a>b ，b>c⇒a>c ；a<b，b<c⇒a<c
可加性
a>b⇔a+c>b>c
可乘性
a>b ，c>0⇒ac>bc ；a>b ，c<0⇒ac
同向
可加性
a>c ，c>d⇒a+c>b+d
同向同正
可乘性
a>b>0 ，c>d>0⇒ac>bd
可乘方性
a>b>0 ，n∈N
¿⇒an>bn
【方法技巧与总结】
1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在
解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.
2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单
调性.
比较法又分为作差比较法和作商比较法.
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0 的大小；（4）下结论.
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1 的大小；（4）下结论.
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其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0 或1 比较大
小.
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式
乘积的形式，也可考虑使用作商法.
【典型例题】
例1．（2024·陕西西安·西安中学校考一模）已知
，则下列选项中是“
”的充分不必要条件
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于A，当
，满足
，但
不成立，
当
时，满足
，但
不成立，故A 错误；
对于B，当
时，
，但
，故B 正确；
对于C，
时，
，但
不成立，
时，
，但
不成立，故C 错误；
对于D，因为指数函数
在
上单调递增，故
，故D 错误.
故选：B
例2．（2024·北京房山·高三统考期末）已知
，
为非零实数，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对A：若
，则
，故错误；
对B：若
，则
，故错误；
对C：若
，则
，
，左右同除
，有
，故错误；
对D：由
且
，
为非零实数，则
，即
，故正确.
故选：D.
例3．（2024·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）若
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
2
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【解析】A.因为
，则
，则
，故A 错误；
B. 因为
，所以
，故B 错误；
C.
在R 上单调递增，当
时，
，故C 错误；
D.因为
，所以
和
都大于0，则
，
当
时，即
时等号成立，所以“=”不能取到，所以
，故D 正确.
故选：D
例4．（2024·江苏扬州·高三统考阶段练习）设
，
，为实数，且
，则下列不等式正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】A 选项，当
时，
，A 错误；
B 选项，
，
因为
，所以
，则
，
故
，
，B 错误；
C 选项，
两边同乘以
得
，
两边同乘以
得
，
故
，C 正确；
D 选项，因为
，所以
，
两边同除以
得
，D 错误.
故选：C
例5．（2024·河南·方城第一高级中学校联考模拟预测）“
，
是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由于，
的正负性不确定，由“
，
”不能推出“
”，故充分性不成立；
同时当“
”时也不能推出“
，
”，故必要性也不成立.
故选：D.
例6．（2024·陕西·校联考模拟预测）已知
，则以下错误的是（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
对于A，
，
,
,
综上可得
，故A 正确；
对于B，
，故B 正确；
对于C，
，故C 正确；
对于D，当
时，
，故D 错误；
故选：D.
例7．（2024·全国·高三专题练习）甲､乙两人解关于x 的方程
，甲写错了常数b，得到的
根为
或x=
，乙写错了常数c，得到的根为
或
，则原方程的根是（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】D
【解析】令
，则方程
可化为
，甲写错了常数b，
所以
和
是方程
的两根，所以
，
乙写错了常数c，所以1 和2 是方程
的两根，所以
，
则可得方程
，解得
，
所以原方程的根是
或
故选：D
例8．（2024·云南昆明·校联考一模）人体的正常温度大约是36℃，当人体温度超过正常温度的
时认定
为高烧，则高烧温度℃应满足的不等关系式是 .
【答案】
【解析】依题意，
.
故答案为：
例9．（2024·全国·高三专题练习）已知1≤a−b≤3，
，则
的取值范围为（ ）
4
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，所以
，
则
，又1≤a−b≤3，
所以
，
，由不等式的性质得：
，
则
的取值范围为
.
故选：D.
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·全国·高三专题练习）已知
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A 中，由
，可得
，所以A 错误；
对于B 中，例如：当
，可得
，所以B 错误；
对于C 中，例如：当
时，
，所以C 错误；
对于D 中，由
，可得
，又由
，
根据不等式的性质，可得
，所以D 正确.
故选：D.
2．（2024·北京西城·高三统考期末）设
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A 选项，若
，满足
，但
，所以A 选项错误.
B 选项，若
，满足
，但
，所以B 选项错误.
C 选项，若
，满足
，但
，所以C 选项错误.
D 选项，对于函数
，图象如下图所示，
由图可知函数在
上单调递增，所以D 选项正确.
故选：D
5
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3．（2024·四川成都·高三石室中学校考期末）若
，
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
，所以
，因为
，
，则
，
，
所以
，
，即
，所以
，所以A，B 错误；
因为
，所以
，所以C 错误；
因
，所以D 正确.
故选：D
4．（2024·新疆喀什·高三校考期中）已知
，
，则
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意
，
，故
，
即
.
故选：D
5．（2024·福建福州·高三福建省福州延安中学校考开学考试）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动
车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过
，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为
、
、
（单位：
），这个规定用数学关系式可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可知
．
6
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故选：D．
6．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校考期末）已知集合
，
，若
，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
，
若
，则
，
则
，所以
．
故选：B．
7．（2024·山东烟台·高三统考期末）已知
且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于选项A：因为
，所以
，
由
，故
，选项A 错误；
对于选项B：因为
，所以
，
由
，故
，选项B 错误；
对于选项C：由指数函数可知
，在定义域上单调性不确定，故无法确定
的大小，
比如当
时，则
，选项C 错误；
对于选项D：由幂函数可知
，在定义域上单调递增，且
，所以
，选项D 正确.
故选：D.
8．（2024·河南焦作·高三统考期末）已知集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】依题意，
，
，所以
，
.
7
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故选：A
9．（2024·重庆长寿·高三统考期末）已知函数
，对
都有
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意知函数
，对
都有
成立，
即
对
恒成立，
即
，对
恒成立，
设
，由于
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，则
，当且仅当
时等号成立，
故
，即实数
的取值范围为
，
故选：A
10．（2024·全国·高三专题练习）已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
由
，得
.
故选：A.
二、多选题
11．（2024·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校联考学业考试）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】对于A，当
时，
，故A 错误；
8
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对于B，因为
，
所以
，
即
，则
，故B 正确；
对于C，取
，则
，故C 错误；
对于D，
，
则
，即
，则
，故D 正确.
故选：BD.
12．（2024·江苏扬州·高三校考阶段练习）下列不等关系成立的是（ ）
A．若
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
【答案】BC
【解析】A 选项：
，当
时，
，A 选项错误；
B 选项：
，即
，又
，即
，所以
，B 选项正确；
C 选项：
，即
，又
，即
，所以
，所以
，C 选项
正确；
D 选项：
，即
，又
，即
，所以
，无法判断
与
是否
异号，D 选项错误；
故选：BC.
13．（2024·安徽淮北·统考一模）已知
，
，
，下列命题为真命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BD
【解析】当
为负数时A 可能不成立，例如
但
是错误的.
因为
根据不等式性质可得
正确.
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因为
，所以
所以
即
所以
故C 错误.
因为
，所以
，
所以
正确.
故选：BD
14．（2024·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）已知实数
，
，满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】因为
，所以
，故A 错误；
又
，所以
，故B 正确；
因为
，所以
，故C 对；
因为
，又
，所以
，故D 对.
故选：BCD
15．（2024·湖南长沙·高三统考阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ABD
【解析】对于
中，由不等式
，可得
，所以
，
不等式
的两边同乘
，可得
，所以A 正确；
对于B 中，因为
，所以
，
即
，所以
，所以B 正确；
对于中，由
，则
，所以
，所以C 错误；
对于D 中，因为
，所以
，则
，即
，
10
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所以
，所以D 正确.
故选：ABD.
16．（2024·河南信阳·高三河南宋基信阳实验中学校考阶段练习）已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】依题意
，
，
所以
，所以
，所以A 选项错误，B 选项正确.
所以
，所以
，所以C 选项正确，D 选项错误.
故选：BC
17．（2024·湖南衡阳·高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）某工艺厂用A、B 两种型号不锈钢薄板制
作矩形、菱形、圆3 种图形模板，每个图形模板需要A、B 不锈钢薄板及该厂2 种薄板张数见下表
矩形
菱形
圆
总数
A
5
3
10
55
B
12
6
13
125
该厂签购制作矩形、菱形、圆3 种模板分别为x，y，z（
）块.上述问题中不等关系表示正确为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】因为每个矩形模板需要5 张A 薄板，每个菱形模板需要3 张A 薄板，每个圆模板需要10 张A 薄板，
且共有55 张A 薄板，
所以
，
因为每个矩形模板需要12 张B 薄板，每个菱形模板需要6 张B 薄板，每个圆模板需要13 张B 薄板，且共
有125 张B 薄板，
所以
.
故选：BC.
18．（2024·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）若
，则下列说法一定正确的是（ ）
A．
B．
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C．
D．若
，则
【答案】BCD
【解析】对于A，当
时，
，A 错误；
对于B，由
，得
，B 正确；
对于C，由
，得
，则
，C 正确；
对于D，由
，
，得
，
，D 正确.
故选：BCD
19．（2024·全国·模拟预测）正数
、
满足
，则下列不等式成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】对于A，因为
，
，所以
，所以
，故A 正确；
对于B，因为
，
，所以
，所以
，故B 正确；
对于C，当
、
时满足
，但是
，故C 不正确；
对于D，因为
，
，
，
所以
，故D 正确．
故选：ABD．
20．（2024·全国·模拟预测）已知正实数a，b，c 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】选项A：由
，得
，
则
，所以
，A 错误．
选项B：因为
，
所以
，B 正确．
选项C：由
，得
，
，
12
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所以
，
当且仅当
时取等号， C 正确．
选项D：因为
，
当且仅当
时取等号，所以
，D 正确．
故选：BCD
21．（2024·江苏苏州·高三统考期末）已知
，则是“
”的充分不必要条件有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】对于A，取
，此时有
，故A 不符合题意；
对于B，由对数函数单调性可知
，故B 符合题意；
对于C，
，故C 不符
合题意；
对于D，
，故D 符合题意.
故选：BD.
三、填空题
22．（2024·全国·高三专题练习）实数
满足
，
，则
的取值范围是
【答案】
．
【解析】设
，
则
，解得
，所以
，
因为
，
，所以
，
，
可得
，即
的取值范围为
．
故答案为：
．
23．（2024·全国·高三专题练习）已知
，
，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为
，所以
，
又因为
，所以
，
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所以
.即
的取值范围为
.
故答案为：
.
24．（2024·河南洛阳·高三洛阳市第一高级中学校考阶段练习）某杂志以每本2.5 元的价格销售，可以售出
8 万本，据市场调查，若单价每提高0.1 元，销售量就相应减少2000 本.设提价后该杂志的单价为x 元，则
用不等式表示销售的总收入仍不低于20 万元为 .
【答案】
【解析】若提价后该杂志的单价为x 元，则销售量为
万本，
则提价后销售的总收入为
万元，
所以不等关系“销售的总收入仍不低于20 万元”可以用不等式表示为：
.
故答案为：
25．（2024·上海嘉定·高三校考期中）若关于
，
的方程组
与
的解集相等，则
.
【答案】
/3.5
【解析】∵方程组
与
的解集相同，
∴方程组
的解也是它们的解，
由
得，
∴
即
，
∴
.
故答案为：
26．（2024·全国·高三专题练习）糖水不等式：
成立的实数是有条件限制的，使糖水
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不等式：
不成立的的值可以是 （只需填满足题意的一个值即
可）．
【答案】0（答案不唯一）
【解析】因为
，
所以
，
所以
，
所以
或
.
使糖水不等式
不成立的的值可以是0.
故答案为：0(答案不唯一)
27．（2024·全国·高三专题练习）已知
，
，则
的最小值 .
【答案】4
【解析】设
，
所以
，解得
，
所以
，
所以
，
即
，
所以
的最小值为4，
当
，即
时取得最小值，
故答案为:4.
28．（2024·全国·高三专题练习）已知
，则
的取值范围为 .
【答案】
【解析】令
，
则
，
，解得
，
，
15
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，
，
两不等式相加可得
，
即
的取值范围为
．
故答案为：
．
16
