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专题04 函数的基本性质及导数综合（40 题难题）
（10 单选10 多选10 填空10 大题）
一、单选题
1．（2024·安徽合肥·一模）已知函数
的定义域为
，且
，
记
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据函数
满足的表达式以及
，利用赋值法即可计算出
的大小.
【详解】由
可得，
令
，代入可得
，即
，
令
，代入可得
，即
，
令
，代入可得
，即
；
由
可得
，
显然可得
.
故选：A
【点睛】方法点睛：研究抽象函数性质时，可根据满足的关系式利用赋值法合理选取自变量的取值，由函
数值或范围得出函数单调性等性质，进而实现问题求解.
2．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
．若
1
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的图象关于点
对称，且
，则下列结论一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用
的图象关于点
对称，可知函数
为奇函数，结合
可得
是周期函数，再由选项去逐一分析.
【详解】因为
的图象关于点
对称，所以
的图象关于原点对称，即函数
为奇函数，
则
，又
，
所以
，所以
，
所以
，所以
，
所以
，即
，所以3 是
的一个周期.
因为
，故C 正确；
取符合题意的函数
，则
所以
，又
，故2 不是
的一个周期，所以
，
故B 不正确；
因为
不是函数
的最值，所以函数
的图象不关于直线
对称，
所以
，故A 不正确；
2
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因为
，故D 不正确；
故选：C.
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数
，
，其中
是函数
的导函
数，若不等式
对任意的
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求导判断
的单调性，将
转化为
，分离参数
，构造新函数
求新函数的单调性以及最值，从而求出实数
的取值范围.
【详解】由题意知
，所以
，
又
，所以
在
上单调递增.
因为
，所以
，故
，
所以
对任意的
恒成立.
令
，则
，令
，得
，令
，得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
，
所以
，即实数
的取值范围是
.
故选：C.
【点睛】思路点睛：由函数的不等关系求解参数的范围，先判断函数的单调性，从而得到内层函数的不等
关系，再结合不等关系分类讨论或参变分离求参数的范围.
3
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4．（2024·辽宁·二模）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】通过构造函数
，利用导数与函数单调性间的关系，得到
在区间
上单调递增，从而得出
，构造函数
，利用导
数与函数单调性间的关系，得到
在区间
上单调递增，从而得出
，即可得出
结果.
【详解】令
，则
，
令
，则
在区间
上恒成立，
即
在区间
上单调递减，又
，
而
，所以
，
即
在区间
上单调递增，所以
，
得到
，即
，所以
，
令
，则
，当
时，
，
即
在区间
上单调递增，
所以
，得到
，即
，所以
，
综上所述，
，
故选：B.
【点睛】关键点点晴：通过构造函数
和
，将问题转化成比较函
数值的大小，再利用导数与函数单调性间的关系，即可解决问题.
4
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5．（2024·湖南·一模）若不等式
对
恒成立，其中
，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先讨论
的范围，当
时，利用导数求最值，根据最小值大于等于0 可得
，然
后将二元化一元，令
，利用导数求最值可解.
【详解】令
，即
，
当
时，由函数
与
的图象可知，两函数图象有一个交点，记为
，
则当
时，
，即
，不满足题意；
当
时，令
，则
，
令
，则
，因为
单调递增，
所以当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
时，
有最小值
，
5
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又
对
恒成立，
所以
，即
，
所以
，当且仅当
时等号成立.
令
，则
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以当
时，
，
所以
，即
，当且仅当
，
时等号成立，
所以
的取值范围为
.
故选：A
【点睛】方法点睛：本题属于恒成立问题，难点在于将恒成立转化为最值问题，以及利用
的不等关系
将二元化一元，此处应注意保证任何时候都能取到等号.
6．（2024·安徽·二模）已知函数
满足
，当
时，
，则
（ ）
A．
为奇函数
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】C
【分析】根据赋值法可得
，
，进而可得
，即可判断A，根据函数单调性的
定义可判断
在
上为减函数，即可求解B，代值逐步求解即可判断CD.
【详解】令
，
，
，所以
；
6
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令
，
，
则
．
令
，得
，故
为偶函数．A 错误，
任取
，
，
，则
，
则
，故
在
上为减函数．
由已知
，可得
，故
，解得
，且
．B 错误，
若
，则
，C 正确，
若
，则
，
，
，所以
，故D 错误，
故选：C．
7．（2024·吉林延边·一模）已知
，
均为锐角，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据题意可得
，构建函数
，结合单调性可
得
，进而可得结果.
【详解】因为
，
7
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则
，
且
，
可得
，
构建
，可得
因为
在
内单调递增，
可知
在
内单调递增，则
，
且
在
内单调递增，
在
内单调递减，
可得
，
，故C 正确，D 错误；
由于无法确定
的大小，故AB 错误；
故选：C.
【点睛】关键点点睛：根据题意同构可得
，进而构建函数
，结合函数单调性分析判断.
8．（2024·浙江丽水·二模）已知正实数
满足
，
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
8
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【答案】A
【分析】依题意可得
，
，
，令
，
，则
问题转化为判断函数与对应函数的交点的横坐标的大小关系，数形结合即可判断.
【详解】因为
，
，
为正实数，且满足
，
，
，
则
，
，
，
所以
，
，
，
则
，
，
，
令
，
，
由对勾函数的性质可得
在
上单调递减，在
上单调递增，且
，
满足
的
即为
与
的交点的横坐标，
满足
的
即为
与
的交点的横坐标，
满足
的
即为
与
的交点的横坐标，
在同一平面直角坐标系中画出
、
、
、
的图象如下所示：
由图可知
.
故选：A
9
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【点睛】关键点点睛：本题关键是将问题转化为函数
与相应的指数型函数的交点的横坐标的大小
关系问题，准确画出函数图象是关键.
9．（2024·云南红河·二模）已知函数
，对于任意的
，不等式
恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】令
，得到
为奇函数，从而得到
恒成立，根据函
数单调性得到不等式，化简得到
时，
恒成立，设
，
，求导得到其单调性，结合特殊点的函数值，得到
，得到答案.
【详解】设
，则
，
，所以
为奇函数.
所以
，
即
恒成立，
由
在
上单调递减且
，得
在
上单调递减，
10
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所以
恒成立.
由
，知
且
，
所以
时，
恒成立.
设
，
，
，当
时
，
所以
在
内单调递减，而
，所以
，
所以
，即
.
故选：C.
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式
一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条
件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个
函数图像确定条件.
10．（2024·湖南·模拟预测）已知函数
满足
，
，当
时，
，则函数
在
内的零点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】根据题意，判断
的图象关于点
对称，利用导数判断函数
在
上的单调性，
在同一坐标系中作出
与
的图象，得出交点个数，并结合对称性及
可得
解.
【详解】根据题意，函数
的周期为8，图象关于点
对称，
11
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又
，
所以函数
的图象也关于点
对称，
由
，
，
，
，
，
令
，解得
，令
，解得
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
，
在同一个坐标系中，作出函数
与
的图象，如图，
由图可得，函数
与
在
上有两个交点，
因为函数
与
图象均关于点
对称，
所以函数
与
在
上有两个交点，又
，
所以函数
在
内的零点个数为5.
故选：C.
【点睛】思路点睛：本题考查函数的性质及函数零点个数问题，依据题意，可判断函数
与
图象均关于点
对称，利用导数判断函数
在
上的单调性，并根据单调性，极值
作出
与
在
上的图象，根据图象求得结果.
12
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二、多选题
11．（2024·广东韶关·二模）已知定义在R 上的函数
的导函数分别为
，且
，
，则（ ）
A．
关于直线
对称
B．
C．
的周期为4
D．
【答案】ACD
【分析】
由题意，根据函数的对称性，合理赋值即可判断A；利用导数求导可得
、
，
通过合理赋值即可判断BCD.
【详解】由
，得
①，
②，得
③，
由①②③，得
，所以函数
图象关于直线
对称，故A 正确；
由
，得
，令
，得
；
由
，得
，
令
，得
，
∴
④，
又
⑤，令
，得
，故B 错误；
④⑤两式相加，得
，得
，
所以
，即函数
的周期为4，故C 正确；
由
，令
，得
，所以
，
所以
，故D 正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的对称性和周期性，结合导数的运算，寻找关系式
、
和
是解题的关键，原函数与导函数的联系，对称性与周期性的联系，都
是解题的思路.
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12．（2024·广东广州·一模）已知直线
与曲线
相交于不同两点
，
，曲线
在点
处的切线与在点
处的切线相交于点
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】对于A，构造函数
，计算即可判断；对于B，写出
点处的切线程联立并化简得
，而
，计算即可判断；对于C，根据斜率相等可得
，
为两切线的交点代入化简得
，再计算可得
；对于D，根据
，计算即可判断.
【详解】令
，则
，
故
时，
递增；
时，
递减，
所以
的极大值
，且
，
，
因为直线
与曲线
相交于
､
两点，
所以
与
图像有2 个交点，
所以
，故A 正确；
设
，且
，可得
，
在
点处的切线程为
14
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，得
，即
，
因为
，所以
，即
，故B 错误；
因为
，所以
，
因为
为两切线的交点，
所以
，
即
，所以
，
所以
，
故C 正确；
因为
，所以
，所以
，
同理得
，得
，即
，
因为
，所以
，故D 正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：判断B，关键在于根据切线方程联立求得
，而
两点得斜率即
15
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为直线得斜率得
，化简可得；判断C，根据斜率相等得
，根据
在切线
上，代入化简计算可得
，计算得
后即可判断，判断D，关键
在于利用不等式
进行计算化简即可判断.
13．（2024·河北沧州·一模）已知函数
与函数
的图象相交于
两点，
且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】构造函数利用奇偶性和单调性得出
，结合选项逐项验证即可.
【详解】由题意
有两个不等的实数根，
，
，
令
，则
，即
为奇函数；
当
时，
，
为增函数；
若
，则
，又
，所以
.
对于A，
，正确.
对于B，若
成立，则有
，与
矛盾，所以B 不正确.
对于C，由指数均值不等式
可得
，所以
，C 正确.
16
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对于D，令
，
，当
时，
，
为增函数，
所以
，即
，D 不正确.
故选：AC.
【点睛】结论点睛：均值不等式的拓展：（1）对数型均值不等式：
，
其中
，
；（2）指数型均值不等式：
，其中
.
14．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知定义域为R 的函数
，满足
，
且
，
，则（ ）
A．
B．
图像关于
对称
C．
D．
【答案】ACD
【分析】对A：借助赋值法，令
，
计算即可得；对B：借助赋值法，令
，再令令
，可得
，故
不可能关于
对称，对C：借助赋值法，令
，再令
，再
，计算即可得；对D：由C 选项中所得可推导出函数的周期性，计算出一个周期内所有的函数值即
可得.
【详解】对A：令
，
，则有
，
即
，故A 正确；
对B：令
，则有
，
即有
，故
或
，又
，故
，
17
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令
，则有
，即
，
故
不可能关于
对称，故B 错误；
对C：令
，则有
，
即
，故
关于
对称，
令
，则有
，
即
，即
，
即
，由定义域为
，故
为偶函数，
令
，则有
，
即
，即
，
又
，
，
故
，即
，故C 正确；
对D：由
，
，
则有
，即
，
则
，即
，
即有
，故
周期为
，
由
，
，故
，
，
又
，
，故
，故D 正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：
18
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（1）关于对称：若函数
关于直线
轴对称，则
，若函数
关于点
中心对
称，则
，反之也成立；
（2）关于周期：若
，或
，或
，可知函数
的周期为
.
15．（2024·湖南衡阳·二模）已知函数
的定义域均为
是奇函数，且
，
，则（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
为偶函数
D．
【答案】ACD
【分析】利用
是奇函数，
，
，逐项判断选项.
【详解】由
是奇函数，则
，即
，令
，
则
，故A 正确；
由
，
，令
，则
，故
不是奇函数，故B 错误；
由
，令
，则
，
故
，所以
，
而
，则
，
故
，
所以
是偶函数，故C 正确；
因为
，所以
，
19
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又因为
，所以
，
所以
，所以
，所以
的周期为8，
因为
，所以
4)
，
所以
，即
，
因为
，所以由
，得
，得
，
由
2，得
，
因为
的周期为8，所以
，所以
，
所以
，故D 正确.
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查抽象函数及其性质，利用替换求解，考查运算求解能力，属于较难题.
16．（2024·山东聊城·一模）设
是定义在
上的可导函数，其导数为
，若
是奇函数，
且对于任意的
，
，则对于任意的
，下列说法正确的是（ ）
A．
都是
的周期
B．曲线
关于点
对称
C．曲线
关于直线
对称D．
都是偶函数
【答案】BC
【分析】结合题意，借助导数的运算可判断函数的对称性，借助赋值法，可得函数的周期性，利用所得函
数的性质，结合选项逐项分析判断即可得.
【详解】由
是奇函数，故有
，即有
，
20
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故，则
，即
，故
关于
对称，
由
，则
，即
，
故
关于
中心对称，
由
，则
，又
，
故
，即有
，
则
，故
，
即
，故
，故
周期为
.
对A：当
时，
，故A 错误；
对B：由
周期为
，故
，
又
，故
，故
，
故曲线
关于点
对称，故B 正确；
对C：由
周期为
，故
，
又
，故
，
故曲线
关于直线
对称，故C 正确；
对D：由B 得
，故
，又
周期为
，
故有
，故
，又
，
即
都是奇函数，故D 错误.
故选：BC.
【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：
（1）关于对称：若函数
关于直线
轴对称，则
，若函数
关于点
中心对
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称，则
，反之也成立；
（2）关于周期：若
，或
，或
，可知函数
的周期为
.
17．（2024·浙江·模拟预测）对于
，
满足
，且对于
，恒有
．则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】赋值法求得
，由
，求
的值判断选
项A，由
，求得
，结合
恒有
，对BCD 中的函数值进行判断.
【详解】令
代入
及
，得
，所以
，
，A 选项正确；
令
代入
，得
；令
代入
由，得
，
22
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，
，
，
，
对于
．恒有
，
，
，B 选项正确；
，C 选项错误；
，则有
，即
，D 选项正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：
抽象函数问题可以通过化抽象为具体的方法，即赋予恰当的数值或代数式，经过运算与推理，最后得出结
论，常用的方法有：
(1)令
等特殊值求抽象函数的函数值；
(2)令
或
，且
，判断抽象函数的单调性；
(3)令
，判断抽象函数的奇偶性；
(4)换
为
，确定抽象函数的周期；
(5)用
，或
换为
等来解答抽象函数的其它一些问题.
18．（2024·湖南·二模）已知函数
的定义域均为
，
，
且
的图像关于直线
对称，则以下说法正确的是（ ）
A．
和
均为奇函数
B．
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C．
D．
【答案】BCD
【分析】利用函数奇偶性，对称性与周期性的性质，逐一分析各选项即可得解.
【详解】对于B，由
，得
，
又
，
，
的图象关于直线
对称，
，
，
，则
是周期函数，且周期为
，
所以
，故B 正确；
对于A，
的图象关于直线
对称，
是偶函数，
若
为奇函数，则
恒成立，不满足
，故A 错误；
对于C，由
，得
，
，
因为
，则
，
所以
是周期函数，且周期为
，则
，故C 正确；
对于D，由
，得
，
又
，
由
，得
，故D 正确.
故选：BCD.
【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：
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（1）关于对称：若函数
关于直线
轴对称，则
，若函数
关于点
中心对
称，则
，反之也成立；
（2）关于周期：若
，或
，或
，可知函数
的周期为
.
19．（2024·湖南岳阳·二模）已知函数
的定义域为
，对任意
都有
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据题意运用赋值代入法计算，结合函数的奇偶性、周期性逐一验证选项可得答案.
【详解】令
，则
，所以
，
令
，则
，
，故A 错误；
要证
为奇函数，只需证
，即
，
令
，则
，
，
令
，则
，所以成立，故B 正确；
令
，则
，
，所以
为偶函数，由B 可知，
，所以
，则有
，故C 正确；
由C 可知
，又
为偶函数，所以
，则
周期为2，
，
25
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，所以
，故D 正确.
故选：BCD
【点睛】结论点睛：（1）若
为奇函数，则满足
，若
为偶函数，则满足
；（2）若
为周期函数，且周期为
，则满足
；（3）若
关于点
对称，且关于直线
对称，则
为周期函数，周期为
.
20．（2024·安徽池州·二模）已知函数
的定义域为
是奇函数，且
，恒有
，
当
时（其中
），
.若
，则下列说法正确的是（ ）
A．
图象关于点
对称
B．
图象关于点
对称
C．
D．
【答案】ABC
【分析】根据
是奇函数判断A 项正确；由
代入可得
，又由
推导出
图象关于直线
对称，从而判断B 项；利用题设条件得到
，分类讨论
的取值情况
求出
的值，从而判断C 项；利用选项C 的结论，求得
，否定D 项.
【详解】对于A 项，由
是奇函数得
，
26
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所以函数
关于点
对称，故A 项正确；
对于B 项，由函数
的定义域为
且
关于点
对称，则
，
所以
，因
，故解得
.
由
得点
在函数
图象上，
又点
在函数
图象上，
所以函数
图象关于直线
对称.
又由
关于点
对称，可得
关于
对称，故B 项正确；
对于C 项，由函数
关于点
对称得
，
由函数
关于点
对称得
，
故由
可得
.
①当
时，
，所以
，
，
因
是增函数，又
，故得
；
②当
时，由函数
关于直线
对称可知函数
在
内单减，
所以
，又
，所以
，
这与题设
矛盾，舍去.所以
，又
，即
，故C 项正确；
对于D 项，由上分析，当
时，
，
27
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显然
，由函数
关于
对称，可知
，
由
关于点
对称得
，故D 项错误.
故选：ABC.
【点睛】思路点睛：本题解题思路在于利用函数奇偶性及相关条件推断出函数具备的轴对称和中心对称的
特征，再利用对称性推断结论，得到相关点的函数值，确定参数值，得到函数的解析式，再利用函数对称
性求出相应函数值.
三、填空题
21．（2024·全国·模拟预测）已知
，函数
，其中为自然对数的底数．若函
数
恰有4 个零点，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】求得
，得出
的单调性和
，令
，得到
，设
，且
零点分别为
，转化为方程
和
各有2 个解，得到
，进而求得
的范围.
【详解】由函数
，可得
，
当
时，
；当
时，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
，
又由
，令
，可得
，
28
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设
，则
，
设
的两个零点分别为
，则
或
，
可得
或
，
要使得
恰有4 个零点，
则方程
有2 个解，且方程
也有两个解，
则满足
，即
，即
，
可得
，即
，
又因为
，解得
．
故答案为：
.
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范
围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与
和
相关的常见同构模型
①
，构造函数
或
；
②
，构造函数
或
；
③
，构造函数
或
.
22．（2024·全国·模拟预测）当
时，不等式
恒成立，则实数
的最
小整数为 ．
【答案】1
【分析】
29
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不等式
恒成立转化为
恒成立，构造函数证明恒成立
范围即可.
【详解】当
时，
，
不等式
恒成立，
则
，即
恒成立，
亦即
恒成立，
令
，
，则
，
当
时
，
单调递增，当
时
，
单调递减，
所以
，所以
，
因为
，所以
，
所以
恒成立，即
，
令
，
，则
，
令
，
，则
恒成立，
所以
在
单调递增，所以
，即
在
恒成立，
所以
在
单调递增，所以
，
即
，
，故
，
30
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据此可判断
满足不等式成立，
所以实数
的最小整数为.
故答案为：
【点睛】结论点睛：两个常见的重要不等式：
（1）
；（2）
.
23．（2024·浙江·模拟预测）已知函数
，
，若关于
的不等式
有解，则
的最小值是 .
【答案】
/
【分析】参变分离可得
有解，令
，
，利用导数求出
，
即可求出参数的取值范围，从而得解.
【详解】由
得
，显然
，
所以
有解，
令
，则
，
令
，则
，所以当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，即
，
所以
，则
，即
的最小值是
.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是参变分离得到
有解，再构造函数，利用导数
求出
.
24．（2024·山东菏泽·一模）关于
的不等式
恒成立，则
的最小值为 ．
31
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【答案】
【分析】由
，得
，利用导数证明
，则问题转化
为
恒成立，即可得解.
【详解】令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
，
由
，得
，
而
，
令
，
则
，所以
，
若
，
如图作出函数
的图象，
由函数图象可知，方程
有唯一实数根
，
即
，
由
，得
，
32
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即
，
当
时，
，即
，
又
，
，所以
，
所以
不成立，
即当
时，
不恒成立，
综上所述，
的最小值为
.
故答案为：
.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构
造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和
放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
25．（2024·湖北·模拟预测）若函数
在不同两点
，
处的切线互相
平行，则这两条平行线间距离的最大值为 .
【答案】
【分析】先对函数
求导，得导函数是偶函数，由
在A，B 两点处切线互相平行，可得
，
计算原点O 到点A 处切线的距离的最大值后可得两条平行线距离最大值.
【详解】由题意有
，设
，
所以函数
在点A 处的切线方程为
，
所以原点O 到点A 处切线的距离为
33
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，
因为
，
所以
当且仅当
时等号成立，
因为
是偶函数，且
在A，B 两点处切线互相平行，
所以
，即
在A，B 两点处切线关于原点对称，
所以这两条平行线间的距离的最大值为
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用
是偶函数，得到两条切线关于原点对称，故两条平
行线距离最大值即为原点O 到点A 处切线的距离最大值的2 倍.
26．（2024·湖南·二模）已知对任意
，且当
时，都有：
，则
的
取值范围是 .
【答案】
【分析】依题意可得
对任意的
当
恒成立，令
，即可得到
在
上单调递减，求出函数的导函数，即可得到
在
上恒成立，参变分离可得
在
上恒成立，利用基本不等式求出
的最
34
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小值，即可得解.
【详解】因为对任意
，且当
时
恒成立，
所以
恒成立，
所以
恒成立，
所以
恒成立①，
令
，
由①式可得
，所以
在
上单调递减，
所以
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，又
，当且仅当
，即
时取等号，
.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键是将式子变形得到
对任意的
当
恒成立，从而将问题转化为函数在区间上单调递减求参数问题.
27．（2024·浙江金华·模拟预测）若对任意实数
，则
的最大值为
．
【答案】
【分析】构造函数
，对参数
的取值进行分类讨论，在不同情况下，
研究函数的单调性，结合题意，即可求得参数的最大值.
35
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【详解】令
，
，由题可知，
恒成立；
，
；令
，
，
；
当
，
，故
单调递增，则
，
故
单调递增，
，满足题意；
当
，
显然单调递增；
若
，即
时，当
趋近于正无穷时，
趋近于正无穷；
故存在
，当
，
，
单调递减；
，
，
单调递增；
又
，当
趋近于正无穷时，
趋近于正无穷；
故存在
，当
，
，
单调递减；
当
，
，
单调递增；
又
，故当
，
，不满足题意；
若
，即
，又
单调递增，故
，
则
单调递增，又
，故
，
则
单调递增，
，满足题意；
综上所述，当
时，满足题意，故
的最大值为
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：处理本题的关键是以端点值1 处的二阶导函数值的正负为讨论的标准，进而在不同
情况下考虑函数单调性和最值解决问题.
36
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28．（2024·全国·模拟预测）已知
，
，则
．
【答案】
【分析】根据等式结构特征先利用换元法化简等式形式为
，
，然后通过两等式
的联系（均可化为
形式），构造函数
研究出m 与n 的关系，从而建立x 与
y 的关系，进而求出
.
【详解】令
，
，则
，
，
由题可得
，
，
所以
，
.
因为函数
在
上单调递减，所以
.
由
，得
，
得
，故
.
故答案为：
.
29．（2024·湖北·二模）已知函数
有零点，当
取最小值时，
的值为
．
37
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【答案】
【分析】首先将方程转化为
，再通过构造几何意义，转化为求函数
的最大值，
再结合几何意义，即可求解.
【详解】设
的零点为，则
，即
，
设
为直线
上任意一点，
坐标原点
到直线的距离为
，因为
到原点的距离
，
下求的最小值，令
，则
在
为减函数，在
为增函数，即
，
此时
，所以的斜率为
，
此时
的最小值为
，此时
，
（此时
）．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键点以及难点是构造几何意义，将点
看成直线
上的任一点，从而根据几何意义解决问题.
30．（2024·广东佛山·二模）若函数
（
）有2 个不同的零点，则实数
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的取值范围是 ．
【答案】
【分析】化简函数
，得到
和
在
上单增，结合存在
唯一的
，使
，即
，且存在唯一的
，使
，结合
，进
而得到实数
的取值范围．
【详解】由函数
，
设
，可得
，
单调递增，
且
，
，
所以存在唯一的
，使
，即
，
令
，即
，
设
，可得
，则
在
上单增，
又由
且
时，
，
所以当
时，存在唯一的
，使
，即
，
若
时，可得
，则
，可得
，所以
，
所以
，
综上所述，实数
的取值范围为
．
故答案为：
．
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范
围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
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结论拓展：与
和
相关的常见同构模型
①
，构造函数
或
；
②
，构造函数
或
；
③
，构造函数
或
.
四、解答题
31．（2024·山东枣庄·一模）已知
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，求
的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导得
，分两种情况当
时，当
时，求方程
的解，分析
的符号，进而可得的单调性．
（2）方法一：化简不等式，证明
，函数
有唯一零点，由此证明
，
证明
时，满足条件，
时不满足条件即可；
方法二：化简不等式，并分离变量可得
，利用导数研究
的单调性及最
小值，由此可求
的取值范围.
【详解】（1）由题意知
定义域为
且
．
40
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令
，
①当
时，
，所以
在
上单调递增．
②当
时，
，记
的两根为
，
则
，且
．
当
时，
在
上单调递增，
当
时，
在
上单调递减．
综上所述：当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减．
（2）方法一：
，化简得
．
设
，则
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
又
，所以
，当且仅当
取等号，
令
，因为
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增．
又因为
，
41
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所以存在唯一
，使得
①，
所以
，当且仅当
时取等号．
①当
时，
成立．
②当
时，由①知
，
．
所以
与
恒成立矛盾，不符合题意．
综上
．
方法二 ：
不等式
，可化为
，
所以
．
令
则
．
令
，则
．
所以
在
上单调递增．
又
，
所以
，使
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增．
由
得
，
42
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即
．
设
，则
所以
在
上单调递增．
由
，得
，
所以
，
即有
，且
所以
，
所以
．
【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
(1)
恒成立⇔
；
(2)
恒成立⇔
.
32．（2024·全国·模拟预测）设函数
.
(1)当
时，求
的极值点；
(2)当
时，设
，且
，记
的最大值为
，试求
的取值范围.
【答案】(1)极大值点是
，极小值点是1
43
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(2)
【分析】（1）将
代入,然后对
求导，判断
的正负，得到
的单调性，进而求出极值点；
（2）对
求导，通过一元二次方程根的情况，判断
的正负，得到
的极值点，写出
的
表达式，利用导数判断
的单调性，得到
的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，定义域为
，
，
当
或
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
因此
的极大值点是
，极小值点是1.
（2）由已知
的定义域为
，
，
对于方程
，
在
上恒成立，
则方程
有两个不同的正根，设为
，
根据根与系数的关系，得
，则
，
，
当
或
时，
，当
时，
，
所以
的极大值点为
，极小值点为
，
44
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因为
，所以
，
因为
，所以
，
所以
0
，
令
，
于是
，
，
，所以
在
上单调递减，
又
，当
时，
，所以
，
故
的取值范围是
.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用导数确定
与
，再利用韦达定理转化双变量
为单变量，从而得解.
33．（2024·辽宁丹东·一模）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，数列
满足
，
①求证：
；
②求证：
．
45
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【答案】(1)答案见解析
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）根据题意，求得
，分
和
，两种情况讨论，即可求解；
（2）①令
，可得
，由（1）得到函数
在
的单调性，证得
，得到
，即
，进而证得结论；
②根据题意，求得
，进而得到
，结合对数的运算性质，求得
，即可得证.
【详解】（1）解：由函数
，可得其定义域为
，且
，
当
时，
，可得
在
上单调递增；
当
时，令
，可得
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
所以，当
时，函数
在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
（2）证明：①当
时，
，
令
，可得
由（1）知，当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
46
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所以
，所以
，即
，
所以
，即
，
又由函数
在
为单调递增函数，
因为
，则
，
所以
，即
，所以
.
②因为
，且
，可得
当
时，
，
，
，
，所以
，所以
，
所以当
时，
，
所以
，
则
，
所以
，所以
.
【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
34．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数
，
是
的极小值点.
(1)求
的值；
(2)当
时，
，求
的取值范围；
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(3)求证：
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析.
【分析】（1）对
求导，利用
，求得
，然后验证
为极小值点即可；
（2）利用分离参数，对
和
进行分类讨论，转化为求函数的最值问题，即可求得；
（3）利用分析法只需证明
，结合（1）中
在
为增函数，
即可证得
，从而证得结论.
【详解】（1）定义域
，
，
因为
是
的极小值点，所以
，则
，
当
时，
，
则
，
令
，
，
则
在
为增函数，
则
存在
使得
，所以
有两根
，
48
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所以
增区间为
和
，减区间为
，则
是
的极小值点，所以
符合题意，
故
.
（2）由（1）知
，
因为当
时，
，则
，
①当
时，
，则
，
②当
时，
，令
，
则
，
令
，
，
令
，则
，即
为减函数，
所以
，即
为减函数.
令
，则
，
在
为减函数，
，所以
，
即
，因为
，所以
，即
趋近于0 时，
趋近于1.
令
，则
，
当
时，
，
为减函数；当
时，
，
为增函数；
因为
，则
，即
，且
，
所以
，又
，则
，
49
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综上①②，
，所以
的取值范围为
.
（3）要证
，
需证
，
即证
，
令
，易知
在
为减函数，
，
又
，所以
，
因为
，则
，
所以
，则只需证
，
即证
，
由（1）知
的增区间为
和
，减区间为
，且
，
所以
在
为增函数，又
，所以
在
恒有
，
即
得证，
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所以
成立.
【点睛】关键点点睛：本题解答关键主要有两个：一是利用拆分函数，利用函数单调性及两个函数在同一
点处取到最值得到和函数的最值；二是利用数列的知识，把数列和的大小比较转化为通项公式的大小比较，
构造函数可证结论.
35．（2024·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
，讨论曲线
与曲线
的交点个数．
【答案】(1)
；
(2)2．
【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解方程，
（2）求导，分类讨论求解函数的单调性，结合零点存在性定理，即可根据函数的单调性，结合最值求解.
【详解】（1）依题意，
，故
，
而
，故所求切线方程为
，即
．
（2）令
，故
，
令
，
，令
，
．
①当
时，
，
51
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在
上为减函数，即
在
上为减函数，
又
，
在
上有唯一的零点，设为
，即
．
在
上为增函数，在
上为减函数．
又
，
在
上有且只有一个零点，在
上无零点；
②当
时，
单调递减，
又
，
在
内恰有一零点；
③当
时，
为增函数，
，
单调递增，又
，所以存在唯一
，
当
时，
递减；当
时，
递增，
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，
在
内无零点．综上所述，曲线
与曲线
的交点个数为2．
【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，
如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单
调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是
那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.
36．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，判断
在区间
内的单调性；
(2)若
有三个零点
，且
．
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
.
【答案】(1)
在
上单调递减，在
上单调递增
(2)（i）
；（ii）证明见解析
【分析】（1）多次求导后，借助导数的单调性及正负即可判断原函数的单调区间；
（2）（i）原条件可转化
有三个不等实根，从而构造函数
，研究该函数即可得；（ii）借
助的
单调性，得到
，从而将证明
，转化为证明
，再设
，从而将
三个变量的问题转化为单变量问题，即可构造函数
，证明其在
上大于
53
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即可.
【详解】（1）当
时，
，
，
令
，
，
令
，可得
，
则当
时，
，当
时，
，
即
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，
故当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增；
（2）（i）
有三个零点，即
有三个根，
由
不是该方程的根，故
有三个根
，且
，
令
，
，
故当
时，
，当
时，
，
即
在
、
上单调递增，在
上单调递减，
，当
时，
，
时，
，
当
时，
，
时，
，
故
时，
有三个根；
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（ii）由
在
上单调递增，
，故
，
由（i）可得
，且
，
即只需证
，设
，则
，
则有
，即有
，故
，
，
则
，即
，
即只需证
，
令
，
则
恒成立，
故
在
上单调递增，
则
，即得证.
【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式：
1.若函数
存在两个零点
且
，求证：
（
为函数
的极值点）；
2.若函数
中存在
且
满足
，求证：
（
为函数
的极值点）；
3.若函数
存在两个零点
且
，令
，求证：
；
4.若函数
中存在
且
满足
，令
，求证：
.
37．（2024·山东·一模）已知函数
．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
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(2)若函数
有两个极值点
，且
，求a 的取值范围．
【答案】(1)增区间
，减区间
(2)
【分析】（1）将
代入求导，然后确定单调性即可；
（2）求导，根据导函数有两个根写出韦达定理，代入
，构造函数，求导，研究函数
性质进而求出a 的取值范围．
【详解】（1）当
时，
，
，
则
，
当
，
，
单调递增，当
，
，
单调递减，
所以
的单调递增区间是
，单调递减区间是
；
（2）
，
所以
，
设
，令
，由于
有两个极值点
，
所以
，解得
．
由
，
，
得
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，
即
，令
，
则
，
所以
在
上单调递减，且
，
所以
，故a 的取值范围是
．
38．（2024·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)
对任意
恒成立，求
的取值范围；
(2)
有两个解
，
，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）构造函数
，利用导数研究函数单调性，求最小值大于0 的条件；
（2）
图象上三个点
，
，
，记线段
，
与直线
的交点横坐标分别为
，
，
在
，
两点处的切线为，
，记两条切线与直线
的交点横坐标分别为
，
，证
明
即可得证结论.
【详解】（1）令
，则有
，
．
若
，即
，则存在
，使得
在
上单调递减，有
，与已知矛盾，
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所以
，解得
．
因为
，所以
，
记
，则有
．
下证
对任意
恒成立．
易得
．
记
，则有
，所以
在
上单调递增，
所以
，则有
，
所以
在
上单调递增，则有
，原命题得证．
综上，
的取值范围
．
（2）证明：由题可得
，
令
，则
，易知
，
时，
；
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增．
又有
，
，
且
，
，所以存在
，使得
，
时，
；
时，
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，且
．
记
，
，
，连接
，
，记线段
，
与直线
的交点横坐标分别为
，
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，
下证：函数
的图象在线段
的下方．
令
，则
，
，
，
令
，则
，故
在
上单调递增．
，
，由零点存在定理得存在唯一
，使得
，
故当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增，
结合
，
，可知
，
所以
，所以函数
的图象在线段
的下方．
同理可证，函数
的图象在线段
的下方，
则有
，其中直线
的方程为
，
则有
，解得
．
直线
的方程为
，则有
，解得
，
则有
，所以
．
分别记函数
在
，
两点处的切线为，
，
则有
，
，两条切线分别为
，
．
记两条切线与直线
的交点横坐标分别为
，
，则有
，
将
分别代入，
有
解得
59
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则有
，所以
，
综上，
．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为
不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的
单调性、极(最)值问题处理．证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用
技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
39．（2024·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)若
在其定义域内单调，求实数a 的取值范围；
(2)若
，
的极大值为
，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先求出函数的定义域，由题意可得导函数
或
恒成立，构造函数，利用导
数求出函数
的最值，进而可得出答案；
（2）先利用导数求出函数
的极值点及极值，再构造函数证明即可.
【详解】（1）由题意得函数
的定义域为
，
，
设
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
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故
，故
，即
，
又
，
，
函数
在其定义域内单调，
依题知
在其定义域内恒成立，
在其定义域内恒成立，
，
即实数a 的取值范围为
；
（2）若
，则
，
设
，则
，
设
，则
，
当
时
，当
时
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
，
，
存在
，使得
，
又
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
在
上单调递减，且
，
，
又
，
，
存在
，使得
，即
，
61
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得
，
在
上，
，即
，在
上，
，即
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
的极大值
，
因为函数
在
上都单调递增，
所以函数
在
上单调递增，
且
，
，
．
【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：
（1）函数
在区间
上单调递增
在区间
上恒成立；
（2）函数
在区间
上单调递减
在区间
上恒成立；
（3）函数
在区间
上不单调
在区间
上存在异号零点；
（4）函数
在区间
上存在单调递增区间
，使得
成立；
（5）函数
在区间
上存在单调递减区间
，使得
成立.
40．（2024·湖南·一模）已知函数
．
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)
时；
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（ⅰ）若
，求
的取作范围；
（ⅱ）证明：
．
【答案】(1)
(2)
（ⅰ）
（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）令
时，利用导数的几何意义求出斜率，进行计算求出切线方程即可.
（2）（ⅰ）设
由
得
，再证明此时满足
.
（ⅱ）根据（ⅰ）结论判断出
在
上单调递增，
即
【详解】（1）当
时，
所以切线方程为：
即
（2）（ⅰ）
即
，
设
又
是
的一个必要条件，即
下证
时，满足
又
，
设
在
上单调递减，
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所以
，
又
即
在
单调递增.
时，
；
下面证明
时不满足
，
，
令
，
则
，
，
∴
在
为增函数，
令
满足
，
则
，
又
∴
,使得
，
当
时，
，
∴此时
在
为减函数，
当
时，
，
∴
时，不满足
恒成立.
综上
.
（ⅱ）设
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由（ⅰ）知
，
在
上单调递增，
即
【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是进行必要性探路，然后证明充分性，得到所要求的参数
范围即可．
65
