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专题04 数列求通项（隔项等差（等比）数列）(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍...........................................................................................................1
二、典型题型...........................................................................................................2
题型一：隔项等差数列......................................................................................2
题型二：隔项等比数列......................................................................................3
三、专题04 数列求通项（隔项等差（等比）数列）专项训练............................5
一、必备秘籍
1、隔项等差数列
已知数列
，满足
，
则
；
（其中
为常数）；或
则称数列
为隔项等差数
列，其中：
①
构成以
为首项的等差数列，公差为
；
②
构成以
为首项的等差数列，公差为
；
2、隔项等比数列
已知数列
，满足
，
则
；
（其中
为常数）；或
则称数列
为隔项等比数列，其中：
①
构成以
为首项的等比数列，公比为
；
②
构成以
为首项的等比数列，公比为
；
1
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二、典型题型
题型一：隔项等差数列
例题1．（2023 春·江苏南京·高二校考期中）已知数列
满足
，
.
(1)求数列
的前100 项和
；
(2)求数列
的通项公式.
【答案】(1)10000
(2)an＝2n－1
【详解】（1）∵a1＝1，an＋1＋an＝4n，
∴S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)
＝4×1＋4×3＋…＋4×99＝4×(1＋3＋5＋…＋99)
＝4×502＝10 000.
（2）an＋1＋an＝4n，①
an＋2＋an＋1＝4(n＋1)，②
由②－①得，an＋2－an＝4，
由a1＝1，a1＋a2＝4，所以a2＝3.
当n 为奇数时，
，
当n 为偶数时，
，
综上所述，
.
例题2．（2020·高二单元测试）数列
满足
，
，求
.
【答案】
为奇数，
为偶数
【详解】由
，得
，
两式作差得
，即
又
∴数列{an}的所有奇数项构成以1 为首项，以2 为公差的等差数列，
偶数项构成以1 为首项，以2 为公差的等差数列.
则当n 为奇数时，
；
2
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当n 为偶数时，
.
.
∴
为奇数，
为偶数
例题3．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知数列
，
，
，
，
．
(1)求证：数列
是等比数列，并求数列
的前n 项和
；
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）因为
，所以
，
当
时，
当
时，
所以
则当
为偶数时，
累加得：
，所以
当
为奇数时，
为偶数，则
，则此时
，
综上可得
所以
，则数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
其前n 项和
题型二：隔项等比数列
例题1．（2023 春·辽宁·高二校联考期末）已知数列
满足
．
(1)求
的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）
，
，
3
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两式相比得
．
，
．
数列
是以
为首项，4 为公比的等比数列；
数列
是以
为首项，4 为公比的等比数列．
．
综上，
的通项公式为
．
例题2．（2023 春·福建福州·高二校考期中）在数列
中，已知
，
，记
为
的前
n 项和，
，
．
(1)判断数列
是否为等比数列，并写出其通项公式；
(2)求数列
的通项公式．
【答案】(1)是等比数列，
(2)
【详解】（1）因为
，所以
，
所以
，
又
，所以
，
因为
，
所以
，
所以
是以
为首项，公比为
的等比数列，
所以
.
4
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（2）由（1）知
，所以
是以
为首项，
为公比的等比数列；
是以
为首项，公比为
的等比数列，
所以
.
例题3．（2023 春·甘肃白银·高二统考开学考试）在数列
中，
，且
．
(1)证明：
，
都是等比数列．
(2)求
的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为
，且
，所以
，
．
因为
，故
，
所以
，
，
则
，
都是公比为16 的等比数列．
（2）由（1）知
，
都是公比为16 的等比数列，所以
，
，
故对任意的
三、专题04 数列求通项（隔项等差（等比）数列）专项训练
一、单选题
1．（2023 春·河南驻马店·高二统考期中）已知数列
满足
是数列
的前
项和，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
5
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【详解】由题设
，且
，
所以
，即
，
当
且
时，
是首项为1，公比为2 的等比数列，则
；
当
且
时，
是首项为2，公比为2 的等比数列，则
；
.
故选：B
二、多选题
2．（2023 春·广东韶关·高二统考期末）已知数列
满足
，
，则（ ）
A．
B．
是
的前
项和，则
C．当
为偶数时
D．
的通项公式是
【答案】AD
【详解】数列
满足
，
，
因为
，
，所以，
，B 错；
由题意，
①，
②，
由②
①得，
，由
，
，所以
，
当
为奇数时，设
，
则
，
当
为偶数时，设
，
则
，
综上所述，对任意的
，
，C 错D 对；
，A 对.
故选：AD.
三、解答题
3．（2023 秋·浙江·高三校联考阶段练习）已知
为数列
的前
项和，
，
．
(1)证明：
．
(2)求
的通项公式．
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【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
【详解】（1）当
时，
，则
，而
，则
，
当
时，由
，得
，两式相减得
，
又
，满足上式，
所以当
时，
．
（2）
，
因此
的奇数项是以1 为首项，2 为公差的等差数列，
，
的偶数项是以2 为首项，2 为公差的等差数列，
，于是
，
所以
的通项公式是
．
4．（2023 春·四川德阳·高二统考期末）已知正项等比数列
对任意的
均满足
．
(1)求
的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）设公比为
，
由
，得当
时，
，
两式相除得
，所以
，
又
，则
，所以
（
舍去），
所以
；
5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
满足：
，求此数列的通项公式.
【答案】
.
【详解】在数列
中，由
，得
，当
时，
，
两式相除得：
，因此数列
构成以
为首项，
为公比的等比数列；
数列
构成以
为首项，
为公比的等比数列，于是
，
7
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所以数列
的通项公式是
.
6．（2023·全国·高三专题练习）数列
满足：
，求通项
.
【答案】
【详解】因为
，
所以当
时，
，
当
时，
，
两式相减得：
，
构成以
为首项，2 为公差的等差数列；
构成以
为首项，2 为公差的等差数列，
，
，
7．（2023 春·湖北武汉·高二统考期末）已知各项均为正数的数列
满足：
，
.
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）解：由
，
当
时，
，
∴
，
又
，
，
∴
。
当
时，
，
∴
为奇数时，
；
当
时，
，
∴
为偶数时，
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∴
；
8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
满足：
.
(1)当
时，求数列
中的第10 项；
(2)是否存在正数
，使得数列
是等比数列，若存在求出
值并证明；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
，证明见解析
【详解】（1）由已知
，
所以
，
相除得
；
又
，
所以
，
所以
.
（2）假设存在正数
，使得数列
是等比数列，
由
得
，
由
，得
，
因为
是等比数列，
，即
，
下面证明
时数列
是等比数列，
由（1）知数列
和
都是公比是
的等比数列，
所以
，
；
所以
为奇数时，
，
为偶数时，
，
所以对一切正整数
，都有
，
所以
，
9
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所以存在正数
使得数列
是等比数列.
9．（2022 秋·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考期末）在数列
中，已知
，
．
(1)求证：
是等比数列．
【答案】(1)证明详见解析
(2)
【详解】（1）由
，得
，
即
，
所以
是首项为
，公比为
的等比数列.
10．（2022·安徽黄山·统考一模）已知数列
满足
,且
.
(1)求数列
的通项公式;
【答案】(1)
【详解】（1）解:由题知
①,
因为
,
所以
,
解得
,
当
时,
②,
①-②可得:
,
所以当
为奇数时,
,
,
,
以上式子相加可得:
,
化简可得
,
满足上式，
所以当
为偶数时,
,
,
,
以上式子相加可得:
10
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,
化简可得
,
满足上式，
综上:
;
11．（2022 秋·广东·高二校联考期末）已知等比数列
对任意的
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）设等比数列
公比为q，则有
，两式相除化简得
，解
得
，
又
，可得
.
∴数列
的通项公式
.
12．（2022 秋·湖北襄阳·高二襄阳四中校考阶段练习）已知数列
，且满足
，有
.
(1)求数列
的通项公式
：
【答案】(1)
【详解】（1）由题设知
，且
，
易得
，所以
.
因为
，①
所以
，②
①
②得，
，
所以数列
分别以
为首项，公比都是4 的等比数列，
从而
，
所以
.
11
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即所求数列
的通项公式为所以
.
13．（2022 秋·江苏盐城·高三统考期中）数列
中，
．
(1)求
的通项公式；
【答案】(1)
；
(2)
.
【详解】（1）由
①
②，
②-①
，
∴
的奇数项与偶数项各自成等差数列，
由
，∴
，
∴
，∴
，n 为奇数，
，∴
，n 为偶数．
∴
.
12
