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专题04 椭圆中的参数及范围问题
限时：120 分钟 满分：150 分
一、单选题：本大题共8 小题，每个小题5 分，共40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知椭圆
：
的左、右焦点为
，
，点
为椭圆
内一点，点
在
双曲线
：
上，若椭圆上存在一点
，使得
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】点
在双曲线
：
上，所以
.所以椭圆左焦点
坐标为
.
因为
，所以
,
所以
. 因为
，所以
.
点
为椭圆
内一点，所以
，
所以
或
.
综上：
.故选：A
2．椭圆
：
的左、右顶点分别为
，
，点
在
上且直线
的斜率的取值范围是
，
那么直线
斜率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】由题意，椭圆
：
的左、右顶点分别为
，
设
，则
，又由
，可得
，
1
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因为
，即
，可得
，
所以直线
斜率的取值范围
．故选：
．
3．已知直线
与椭圆
交于
两点，
是椭圆上异于
的一点．若椭圆
的离心率的取值范围是
，则直线
，
斜率之积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】设
，由直线
与椭圆
交于
两点可知
两点关于原点对称，
所以
且
，由题意知：
，两式相减得：
，即
，
又
，由椭圆的离心率的取值范围是
，
即
，所以
，
即
，故选：D.
4．已知椭圆
，若椭圆上存在两点
、
关于直线
对称，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】椭圆
，即：
，
2
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设椭圆上两点
关于直线
对称，
中点为
，
则
，
，所以
，
∴
，∴
，代入直线方程
得
，即
，
因为
在椭圆内部，∴
，解得
，
即
的取值范围是
．故选：A．
5．已知椭圆
的短轴长为
，焦距为
，
、
分别是椭圆的左、右焦点，若点
为
上的任意一点，则
的取值范围为（ ）
A．[1，7]
B．[1，28]
C．
D．
【解析】根据条件可得
，
，故
，
则根据椭圆定义可知
，
所以
令
，则
因为
，所以
，
所以
，则
.故选：C
3
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6．已知
为椭圆
的左顶点．如果存在过点
的直线交椭圆于
两点，使得
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】记Q 为椭圆的右顶点，将坐标系横向压缩到原来的
，椭圆变为圆
，
则
，面积比，线段长度比，不随坐标系拉升而改变，
设
，
又由圆的相交弦定理：
，
得
（
），故
，
又由于
(
)，
故有
，结合
，
可化为：
，解得
.故选：A
7．已知
是椭圆
上的动点，且与
的四个顶点不重合，
，
分别是椭圆的左、右焦点，若
点
在
的平分线上，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4
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【解析】如图，直线
与直线
相交于点N，
由于PM 是
的平分线，且
，即PM⊥
，
所以三角形
是等腰三角形，所以
，点M 为
中点，因为O 为
的中点，
所以OM 是三角形
的中位线，所以
，其中
，
因为P 与
的四个顶点不重合，设
，则
，
则
，所以
，又
，
所以
，
∴
的取值范围是
.故选：D.
8．已知
三个顶点
都在曲线
上，且
（其中O 为坐标原点），
分
别为
的中点，若直线
的斜率存在且分别为
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】由
得：
，即
，
关于原点
对称，又
分别为
中点，
，
，
，
，设
，
，则
，
5
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又
，两式作差得：
，即
，
（当且仅当
时取等号），
的取值范围为
.故选：D.
二、多选题：本大题共4 小题，每个小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．已知点
在椭圆
上，过点
分别作斜率为-2，2 的直线
，
与直线
，
分别交于
，
两点.若
，则实数
的取值可能为（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
【解析】设
，
，
，则
，
，
由题得四边形
为平行四边形，所以
，
故
故
.
因为
，所以
，故实数
的取值范围为
，故选:CD.
10．已知
，
是椭圆
的左，右焦点，动点
在椭圆上，
的平分线与
轴交于点
，则
的可能取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】由椭圆方程可得
，由
可得
，
6
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则直线
的方程为
，即
，
直线
的方程为
，即
，
在
的平分线上，
①，
，
，
则①式可化为
，即
，又
，
，结合选项可得m 的可能取值为1，0，
.故选：ACD.
11．已知椭圆
：
的左顶点为
，左、右焦点分别为
，
，点
在
上，
且直线AM 的斜率为
.点P 是椭圆C 上的动点，则（ ）
A．椭圆
的离心率为
B．若
，则点
的横坐标的取值范围是
C．
的取值范围为
D．椭圆
上有且只有4 个点
，使得
是直角三角形
【解析】由题意可知直线
的方程为
，令
，可得
，则
，又椭圆C
7
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过点
，所以
，解得
，所以C 的方程为
.
设椭圆
的半焦距为
，则
，椭圆
的离心率为
，故A 错误；
设点
的坐标为
，则
，又
，所以
，
所以
，又
，解得
，故点P 的横坐标的取值范围是
，故B 错
误；
又
，
，则
，因为
，所以
，所以
，故C 正确；
若
为直角三角形，且点
为直角顶点，则
，故
，该方程无解，故以点Р 为
直角顶点的
不存在，又当点
的坐标为
或
时，
是以点
为直角顶点的
三角形，当点
的坐标为
或
时，
是以点
为直角顶点的三角形，所以C 上有且只
有4 个点P，使得
是直角三角形，故D 正确.
故选：CD.
12．已知直线l：y=kx+m 与椭圆
交于A，B 两点，点F 为椭圆C 的下焦点，则下列结论正确
的是（ ）
A．当
时，
，使得
B．当
时，
，
C．当
时，
，使得
D．当
时，
，
8
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【解析】在椭圆
中，
，
，
，由题意可得
，上焦点记为
，
对于A 选项，设点
、
，联立
可得
，
，由韦达定理可得
，
，
，
所以，
，故A 错误；
对于B 选项，设线段
的中点为
，
由题意可得
，两式作差可得
，
因为直线
的斜率存在，则
，所以，
，
整理可得
，又因为
，消去
可得
，其中
，
所以，
，
所以，
，故B 正确；
对于C 选项，当
时，直线的方程为
，即
，
联立
可得
，
9
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，解得
，
由韦达定理可得
，
，
，
同理
，所以，
，
因为
，所以，当
时，
，使得
，故C 正确；
对于D 选项，设线段
的中点为
，
由B 选项可知，
，即
，即
，
由
可得
，故点
的横坐标的取值范围是
，
而点
到直线
的距离为
，
由
可得
，当且仅当点
时，
取最小值
，故D 正确.
故选：BCD
三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知点P 是椭圆
上的一点，
，
是椭圆的两个焦点，则当
为钝角时，点P 的横坐
标可以为 ．
【解析】设
，由题意可知
，即
．
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因为点P 在椭圆上，所以
，所以
，
解得
，
可以取1（只要在
内即可）．
故答案为：1（答案不唯一）．
14．椭圆
的一个焦点是
，O 为坐标原点，过F 的直线l 交椭圆于A，B 两点．
若恒有
，则椭圆离心率的取值范围为 ．
【解析】设过点F 的直线l 的直线方程为
与椭圆交于A，B 两点，
设点
，
，联立方程得
，
整理为：
，
，
，
若恒有
，则
，
所以
是钝角，即
，
，
，
，整理为
恒成立，
所以
，即
，整理为
，【】
解得：
或
（舍）
所以
，离心率
15．椭圆C：
的左右焦点分别为
，直线y＝kx（k＞0）与C 相交于M，N 两点，若
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四点共圆（其中M 在第一象限），且直线
倾斜角不小于
，则椭圆C 的长轴长的取值范围
是 .
【解析】设椭圆的半焦距为，由椭圆的中心对称性和
，
，
，
四点共圆，
则四边形
为矩形，所以以
为直径的圆与椭圆
有公共点，则
，
所以
，又由题意
，即
，故
，即
因为直线
倾斜角不小于
，所以直线
的倾斜角不小于
，
则
，化简可得
，因为
，
所以
，则
，
又
，所以
，故
，解得
，
所以
，
综上
.
16．已知椭圆C：
，过右焦点的直线交椭圆于
，若满足
，则
的取值范围 ．
【解析】已知椭圆C：
，则其右焦点坐标为
，
过右焦点的直线交椭圆于
，若满足
，所以
，
则设直线
方程为
，
则
，所以
，
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显然
恒成立，所以
，
则
整理得
，所以
，
又
，所以
，解得
，
所以
的取值范围为
.
四、解答题：本大题共6 小题，共70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．设
分别是椭圆
的左、右焦点，B 为椭圆上的点且坐标为
．
(1)若P 是该椭圆上的一个动点，求
的最大值；
(2)若C 为椭圆上异于B 的一点，且
，求λ 的值；
(3)设P 是该椭圆上的一个动点，求
的周长的最大值．
【解析】（1）因为椭圆的方程为
，所以
，
又
，所以
（当且仅当
时取“＝”），
所以
的最大值为4.
（2）设C 点的坐标为
，又B，F1两点的坐标分别是
，
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由
得
，故
，
，
又
，所以
，
化简得
，解得
或
，
当
时，
重合，与点C 异于点B 不符，所以
.
（3）因为
，当P 点位于直线BF2与椭圆的交点处（异于B）时取等号，
又
,
,
所以
的周长
，
所以
的周长最大值为8.
18．已知在平面直角坐标系
中，椭圆
的右顶点为
，上顶点为
，
的面
积为
，离心率
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)若斜率为
的直线与圆
相切，且与椭圆
相交于
、
两点，若弦长
的取值范围为
，求斜率
的取值范围．
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【解析】（1）解：由题意可知
，可得
，
，
所以，椭圆
的方程为
.
（2）设直线的方程为
，
因为直线与圆
相切，且该圆的圆心为原点，半径为，
则
，得
，联立
得
，
则
，
设
、
，则
，
所以，
，
，
因为
的取值范围是
，即
，
整理可得
，又因为
，所以，
，解得
，
因此，
的取值范围是
.
15
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19．已知椭圆
的焦距为
，点
在
上．
(1)求椭圆
的方程；
(2)设椭圆
与直线
相交于不同的两点
、
，
为弦
的中点，
为椭圆
的
下顶点，当
时，求
的取值范围．
【解析】（1）由题意可知
，所以
，所以
①，
又
，所以
②，
由①②可得
，
，所以椭圆
的方程为
．
（2）解：设点
、
、
，
联立
，得
，
由题知
，可得
③，
由韦达定理可得
，
，从而
，
，
，则
，即
④，
把④代入③得
，解得
，又
，故
的取值范围是
．
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20．已知椭圆
的下顶点
，右焦点为
为线段
的中点，
为坐标原点，
，点
与椭圆
上任意一点的距离的最小值为
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)直线
与椭圆
交于
两点，若存在过点
的直线
，使得点
与点
关于直线
对
称，求
的取值范围.
【解析】（1）根据题意得:
，∴
，∴
∴
，∴椭圆的标准方程为
.
（2）
根据题意得:
的中垂线过点
，
由
,化简得:
，
，
设
，
，
，
的中点
，
，
∴
的中垂线方程为:
，
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代入点
的坐标得:
，
故
，代入
且
.
21．已知椭圆C：
与y 轴交于
，
两点，椭圆上异于A，B 两点的动点D 到
A，B 两点的斜率分别为
，
，已知
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过定点
与动点D 的直线，与椭圆交于另外一点H，若AH 的斜率为
，求
的取值范围．
【解析】（1）取
在椭圆上,
,又
，
，
椭圆
的方程为
.
（2）当直线
的斜率存在时，
设直线
的方程为
,其中
,
将直线方程带入
得,
,
其判别式为
,
或
，取
为交点,
,
,
18
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又
,
,取
,
，
令
，解得
，令
，
，
在
上单调递减,在
上单调递增,
又
的值域为
,
即
的取值范围为
.
当直线
的斜率不存在时，则点
关于
轴对称，则
，
综上
的取值范围为
.
22．已知椭圆C：
的离心率为
，左右焦点分别为
､
，
，过
的直线
交椭圆于M，N 两点，交y 轴于P 点，
，
，记
，
，
的面积分
别为
，
，
.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若
，
，求m 的取值范围.
【解析】（1）由题意得，左焦点
，
，
，
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所以椭圆C 的标准方程为：
.
（2）设
，令
，
，则
，则
，
由
得
，
解得
，同理
不为0.
由
，得
，则
，
.
不妨设
，
，
，
，
由
，
.得
，
，
.
代入
，有
，则
，
解得
,
且
，
，
20
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设
，则
，则
，则
，
故
在
上单调递增，
则
，且
，则
，则
.
21
