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第 12 讲 函数的图象
1.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
y＝f(x)的图象――――――→y＝ － f ( x )的图象；
y＝f(x)的图象――――――――→y＝ f ( － x ) 的图象；
y＝f(x)的图象――――――――→y＝ － f ( － x )的图象；
y＝ax(a>0，且a≠1)的图象――――――――――→y＝log x(a>0，且a≠1)的图象.
a
(3)伸缩变换
y＝f(x)―――――――――――――――――→y＝f(ax).
y＝f(x)―――――――――――――――――→y＝Af(x).
(4)翻折变换
y＝f(x)的图象―――――――――――――――――→y＝ | f ( x ) |的图象；
y＝f(x)的图象―――――――――――――――――→y＝ f ( | x |) 的图象.
2.两个函数图象之间的对称关系
(1)函数 与 的图象关于直线 对称；
(2)函数 与 的图象关于直线 对称；
(3)函数 与 的图象关于点 对称；
(4)函数 与 的图象关于点 对称.
3.常用结论
(1)利用函数解析式选择图像常用特殊点法；
(2) ， , ， ；
(3) ， ， ， .考点一 利用函数解析式选择图像
考点二 数形结合法判断函数零点个数
考点三 利用函数图像解决方程根与交点问题
考点一：利用函数解析式选择图像
例1．已知函数 ，则 的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】通过特殊点的函数值，用排除法选择正确选项.
【详解】 ， ， ，
排除选项ABD.
故选：C.
例2．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）函数 的大致图象是（ ）．A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性公式运算发现函数 为非奇非偶函数，排除A；易知当 时， ，
故排除C；观察B，D选项，发现它们的主要区别是当 时， 的图象在y轴两侧的变化
趋势不同，故联想到利用特殊值进行检验，即可得出结果.
【详解】解：易知函数 的定义域为 ，
因为 ，
所以函数 为非奇非偶函数，排除A；
易知当 时， ，故排除C；
因为 ， ，所以 ，所以排除D．
故选：B．
考点二：数形结合法判断函数零点个数
例3．（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中学校考阶段练习）函数 的零点个数是
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 可得 ，分析可知函数 的零点个数即为函数 与 的图象的交
点个数，数形结合可得出结果.
【详解】由 可得 ，作出函数 与 的图象如下图所示：
由图可知，函数 与 的图象的交点个数为 ，
故函数 的零点个数为 .
故选：C.
例4．方程 的实数解个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【分析】方程 的实数解个数，即函数 交点的个数，做出两个函数的图象，结合
图象即可得解.
【详解】方程 的实数解个数，
即函数 交点的个数，
如图，作出函数 的图象，由图可知，函数 的图象有 个交点，
所以方程 的实数解个数为 个.
故选：B.
考点三：利用函数图像解决方程根与交点问题
例5．（2023·全国·高三专题练习）设 ，若 有三个不同的实数根，则实数a
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将 的根的个数，转化为两函数的交点个数问题，利用数形结合即得.
【详解】因为 有三个不同的实数根，等价于 与 有3个不同的交点，
画出 与 的图象，
所以 ，即实数 的取值范围是 .
故选：B.
例6．已知函数 ，若存在正实数k，得方程 有三个互不相等的实根 .则
的取值围是（ ）
A．（4，2+2 ） B．（4，6+2 ）
C．（6，4+2 ） D．（8，6+2 ）
【答案】D
【分析】方程 可化为 ，令 ，可求得 的解析式，并做出图像，若方程
有三个互不相等的实根 ，则函数 与直线 有3个交点，根据二次函数的图像与性
质，即可求解.
【详解】方程 可化为 ，令 ，
则 ，做出 的图像，如图所示，
由图可知，若方程 有三个互不相等的实根 ，
则函数 与直线 有3个交点，则 ．
不妨设， ．由二次函数 图像关于直线 对称可知 ， ．令 ，得 ，所以 ，
所以 .
故选：D
一、单选题(共0分)
1．函数 在 上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先由函数奇偶性定义推得 为奇函数，排除AB；再由 排除C，从而得解.
【详解】因为 ， ，
所以 的定义域关于原点对称，
又 ，
所以 为奇函数，则 的图像关于原点对称，排除AB；又 ，排除C；
因为排除了选项ABC，而选项D的图像满足上述 的性质，故D正确.
故选：D.
2．（2023春·浙江宁波·高三校联考阶段练习）函数 的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先利用函数的奇偶行排除选项 ，再利用特殊值即可求解.
【详解】因为函数 ，
定义域为 ，且 ，
所以函数 为奇函数，图像关于原点对称，故排除选项 ；
当 时， ， ，所以 ，故排除选项 .
故选： .
3．（2023·云南昆明·统考一模）函数 在区间 上的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数奇偶性排除B、D，再取特值 排除C.
【详解】对于函数 ，
∵ ，
故 为奇函数，图象关于原点对称，B、D错误；
又∵ ，且 ，
故 ，C错误；
故选：A.
4．（2023·全国·高三专题练习）函数 的图象大致是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】根据奇函数的定义证明 为奇函数，再求函数的零点，通过取特殊值确定正确选项.
【详解】函数 的定义域为 ，
又 可化为 ，
所以 ，
所以函数 为奇函数，
所以函数 的图象关于原点对称，C，D错误；
令 ，可得 ，解得 或 （舍去），
所以函数 的零点为 ， ，
取 可得 ，B错误，
故选：A.
5．（2022·全国·高三专题练习）函数 与函数 的图像的交点的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别画出函数 与函数 的图像，根据函数图像可得出答案.【详解】作出函数 与函数 的图像，如图所示
由图像可知，函数 与函数 的图像的交点的个数有 个，
故选：B
6．函数 的零点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由题意可转化为函数 的图象和函数 的图象的交点个数，数形结合即可得出结论
【详解】函数 的零点个数，
即函数 的图象和函数 的图象的交点个数，
由于 ，
在同一坐标系作出函数图象：
由图象可知，交点个数有3个.
故选：C
7．（2023·江西赣州·统考一模）若函数 ，则方程 的实根个数为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】由题意画出函数 的图象，由方程 ，得 或 ，再数形结
合即可求解．
【详解】由 ，
则可作出函数 的图象如下：
由方程 ，得 或 ，
所以方程 的实根个数为3．
故选：A．
8．已知函数 ，若实数 ，则方程 的解的个数为（ ）
A．0或1 B．1或2
C．1或3 D．2或3
【答案】D
【分析】根据分段函数作出函数的图象，利用数形结合即得.
【详解】由 ，得 ，故函数 的图象与 交点的个数即为方程 的解的个数，
作出函数 的图象，
由图可知当 时，方程 的解的个数为2个，
当 时，方程 的解的个数为3个，
所以方程 的解的个数为2或3.
故选：D.
9．函数 的零点个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】当 时，将函数 的零点个数转化为函数 与函数 ，在 上的交点
个数，利用数形结合即得；当 时，解方程 ，即得.
【详解】当 时， ，
则函数 的零点个数为函数 与函数 ， 的交点个数，
作出两个函数的图象如下图所示，由图可知，当 时，函数 的零点有两个，
当 时， ，可得 或 (舍去)
即当 时，函数 的零点有一个；
综上，函数 的零点有三个.
故选：C.
10．已知函数 ，若 ，有 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据 的图象，得到 且 ，再利用对勾函数的性质得到
的取值范围.
【详解】画出 的图象如下：
因为 ，有 ，
所以 ，故 ，且 ，
，由对勾函数性质可知： 在 上单调递减，
故 ，
故 的取值范围是 .
故选：D
11．设 ，若 有三个不同的实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将 的根的个数，转化为两函数的交点个数问题，画出 与 的图象，数形
结合求出答案.
【详解】 有三个不同的实数根，等价于 与 有3个不同的交点，
画出 与 的图象，
故 ，故实数 的取值范围是 .
故选：B
12．已知函数 有四个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将函数零点问题转化为两函数的交点个数问题，画出函数图象，数形结合求出实数a的取值范围.【详解】由 得 ，因为函数 有四个不同的零点，
所以函数 与 的图象有四个交点，
画出函数 的图象，如图所示，
观察图象可知， ，即 ，所以实数a的取值范围是 .
故选：C
13．已知函数 ， 有三个不同的零点x，x，x，且 ，则
1 2 3
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出函数 在区间 内的图像以及函数 的图像，利用对称性即可求得
的值.
【详解】由题意知，令 ，得 ，
令 ， ，则 ，可得 或 ，解得 或
，令 ，可得 ，解得 ，
画出函数 在区间 内的图像以及函数 的图像如下图所示，
由图可知， 关于直线 对称， 关于直线 对称，
所以 .
故选：B.
二、多选题
14．已知 且 ，函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据函数的单调性、特殊点的函数值确定正确答案.
【详解】依题意 且 ，，B选项错误.
当 时， ，且 在 上递增，A选项符合题意.
当 时， ，在CD选项中，C选项错误，则D选项正确.
故选：AD
15．已知函数 的图像如图所示，则 的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据二次函数的图像判断参数的范围，再根据对数函数的性质即可选出答案.
【详解】解：根据二次函数图像可知， ， 两个数一个大于1，一个大于0且小于1，
当 ， 时， 在定义域内单调递增， ，故B项符合题意；
当 ， 时， 在定义域内单调递减， ，故A项符合题意.故选：AB.
三、填空题
16．（2023·全国·高三专题练习）函数 的零点个数为________．
【答案】1
【分析】在同一平面直角坐标系内作出函数 与 的图象即可得出答案.
【详解】令 ，可得方程 ．
在同一平面直角坐标系内作出函数 与 的图象，如图，
由图可知，函数 与 的图象只有一个交点，
故方程 只有一个解，
故函数 只有一个零点．
故答案为：1.
17．（2023·全国·高三专题练习）若偶函数 满足 ，在 时， ，则关
于x的方程 在 上根的个数是___．
【答案】4【分析】根据 可得 是周期函数，根据 的对称性和周期性画出函数图象，然后
在同一直角坐标系中观察 与 图象的交点情况即可求解.
【详解】解： 满足 ，故可得 ，所以函数 是以2为周期的周期函
数，且 是偶函数
根据 ， 得该函数在[0，4]上的图象为：
再在同一坐标系中做出函数 的图象，当 时， ，当 时， ，而当 时，
如图，当 时，两函数图象有四个交点．
所以方程 在[0，4]上有4个根．
故答案为：4．
18．（2022秋·贵州铜仁·高三校考阶段练习）设 是函数 （ 为常数）的两个零点，
则 的值为_________.
【答案】【分析】将问题转化为 与 的两个交点的横坐标之和，采用数形结合的方式可知 关于
对称，由此可得结果.
【详解】由题意知： 是 与 的两个交点的横坐标，
作出 与 图象如下图所示，
由图象可知： 关于直线 对称， .
故答案为： .
19．（2023春·北京大兴·高三校考开学考试）已知函数 ，则函数 的零点个数为
___________.
【答案】
【分析】当 时直接求解函数零点，当 时，转化为 与 的图象的交点个数求解即可.
【详解】解：当 时， ，解得 ；
当 时， 得 ，
易得 ，
作出函数 ， 的图象，如图，
所以，结合指数函数与幂函数性质，函数 ， 在 有两个交点，所以当 时， 有两个实数根，
所以，函数 的零点个数为
故答案为：
