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专题05 一元二次不等式与其他常见不等式的解法
【知识点梳理】
1、一元二次不等式
一元二次不等式
，其中
，
是方程
的两个根，
且
（1）当
时，二次函数图象开口向上.
（2）①若
，解集为
.
②若
，解集为
.
③若
，解集为
.
(2) 当
时，二次函数图象开口向下.
①若
，解集为
②若
，解集为
2、分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
3、绝对值不等式
（1）
（2）
；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【方法技巧与总结】
1、已知关于
的不等式
的解集为
（其中
），解关于
的不等式
．
1
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由
的解集为
，得:
的解集为
，即关于
的不等式
的解集为
．
已知关于
的不等式
的解集为
，解关于
的不等式
．
由
的解集为
，得:
的解集为
即关于
的不
等式
的解集为
．
2、已知关于
的不等式
的解集为
（其中
），解关于
的不等式
．
由
的解集为
，得:
的解集为
即关于
的不等式
的解集为
．
3、已知关于
的不等式
的解集为
，解关于
的不等式
．
由
的解集为
，得:
的解集为
即关于
的
不等式
的解集为
，以此类推．
4、已知关于
的一元二次不等式
的解集为
，则一定满足
；
5、已知关于
的一元二次不等式
的解集为
，则一定满足
；
6、已知关于
的一元二次不等式
的解集为
，则一定满足
；
7、已知关于
的一元二次不等式
的解集为
，则一定满足
．
【典型例题】
例1．（2024·全国·高三专题练习）若实数
满足不等式
，则
的取值范围是 .
例2．（2024·全国·高三专题练习）不等式
的解集为 ．
例3．（2024·全国·高三专题练习）不等式
的解集为（ ）
2
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A．
B．
C．
D．
例4．（2024·云南德宏·高三统考期末）已知关于
的不等式
的解集为
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
例5．（2024·广东·高三学业考试）若不等式
的解集为
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
例6．（2024·全国·高三专题练习）关于
的一元二次方程
有两个不相等的
正实数根，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
且
例7．（2024·全国·高三专题练习）已知一元二次方程
的两根都在
内，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例8．（2024·全国·高三专题练习）已知二次函数
的图像如图所示，则不等式
的解集是（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
例9．（2024·吉林通化·高三校考阶段练习）若不等式
对任意实数x 均成立，则实
数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例10．（2024·山东滨州·高三统考期末）若不等式
对任意
恒成立，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例11．（2024·全国·高三期末）若命题“
，
”为真命题，则实数a 的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
例12．（2024·全国·高三专题练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于
的内接
矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长
（单位：m）的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【过关测试】
4
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一、单选题
1．（2024·全国·高三专题练习）若集合
，集合
，满足
的实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·全国·高三专题练习）关于
的不等式
的解集为
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·全国·高三专题练习）关于x 的方程
至少有一个负根的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
4．（2024·全国·高三专题练习）一元二次方程
有一个正根和一个负根的一个充要条
件是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·全国·高三专题练习）关于
的方程
有两个不相等的实数根
且
，
那么
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·全国·高三专题练习）某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15 元，若每盏按最低售
价销售，每天能卖出45 盏，每盏售价每提高1 元，日销售量将减少3 盏，为了使这批台灯每天获得600 元
以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·全国·高三专题练习）某城市对一种每件售价为160 元的商品征收附加税，税率为
（即每销
售100 元征税
元），若年销售量为
万件，要使附加税不少于128 万元，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
8．（2024·广东广州·仲元中学校考一模）已知关于
的不等式
的解集是
，则
（ ）
5
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A．
B．
C．
D．不等式
的解集是
或
9．（2024·吉林通化·高三校考阶段练习）已知不等式
的解集为
或
，则下列结
论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
的解集为
或
10．（2024·全国·高三专题练习）对于给定实数
，关于
的一元二次不等式
的解集可能
是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2024·广东广州·广州市培正中学校考二模）已知不等式
的解集为
，不等式
的解集为
，不等式
的解集是
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测）命题“
”是真命题的一个充分不必要
条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
13．（2024·全国·高三对口高考）已知集合
，则
．
14．（2024·上海·高三上海市进才中学校考期末）不等式
的解集是 ．
15．（2024·上海·高三开学考试）不等式
的解集是 ．
16．（2024·吉林通化·高三校考阶段练习）不等式
的解集是 .
6
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17．（2024·全国·高三专题练习）若不等式
对
恒成立，则实数
的取值范围是
．
18．（2024·江西景德镇·高三景德镇一中校考阶段练习）若关于x 的一元二次方程
有两个不相等的实根
，且
．则实数a 的取值范围为 ．
19．（2024·全国·高三专题练习）已知方程
的两根分别在区间
，
之内，
则实数
的取值范围为 ．
20．（2024·广东·珠海市第一中学校联考模拟预测）若命题“
”为假命题，则实数
m 的取值范围是 ．
21．（2024·全国·高三专题练习）若命题
，
是真命题，则实数a 的取值范围为 .
22．（2024·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式
在区间
上有解，则实数a 的取值范
围是 .
23．（2024·全国·高三专题练习）某地每年销售木材约
万m3，每立方米的价格为
元．为了减少木
材消耗，决定按销售收入的
征收木材税，这样每年的木材销售量减少
万m3，为了既减少了木材消耗
又保证税金收入每年不少于
万元，则的取值范围是 ．
7
