文档文本内容
专题07 集合+常用逻辑用语+复数+平面向量小题
（4 维精讲+3 维精练）
考前百日冲刺目录
引领风向--最新模考新颖题（10 题）...........................................1
最新热点热搜题（10 题）.....................................................8
最新高频经典题（10 题）....................................................13
最新高考真题回顾（10 题）..................................................19
最新模考基础练（10 题）....................................................23
最新模考能力练（10 题）....................................................27
最新模考压轴练（10 题）....................................................32
引领风向
-- 最新模考新颖题（
10
题）
【典例】1．（2025·吉林长春·一模）已知集合
{高，考，必，胜}，
{吉，大，必，胜}，则
（ ）
A．{吉，大，高，考}
B．{必，胜}
C．{金，榜，题，名}
D．{吉，大，高，考，必，胜}
【答案】D
【分析】根据并集的含义即可得到答案.
【详解】根据并集的含义得
{吉，大，高，考，必，胜}.
故选：D.
【典例】2．（2025·浙江绍兴·二模）已知虚数数列
，则其前4n 项和为（ ）
A．
B．
1
C．
D．
【答案】B
【分析】根据数列通项得到
、
、
，观察法有
，最后应用等比数列的前n 项和即可得.
【详解】由题设
，
，
，
，则
，
，
，
，
，则
，
，
，
，
，则
，
，
，
，
，则
，
，
依次类推，
，
所以其前4n 项和为
.
故选：B.
【典例】3．（24-25 高三上·河南周口·期中）命题“存在偶数a，使数据3，4，1，a，5，7 的中位数是
偶数”的否定为（ ）
A．对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7 的中位数是奇数
B．对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7 的中位数不是偶数
C．存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7 的中位数是奇数
D．不存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7 的中位数不是偶数
【答案】B
【分析】根据特称命题的否定是全称命题判断即可.
【详解】命题“存在偶数a，使数据3，4，1，a，5，7 的中位数是偶数”的否定为“对任意的偶数a，数
据3，4，1，a，5，7 的中位数不是偶数”.
故选：B
2
【典例】4．（2025·浙江杭州·模拟预测）定义新运算：
，设
，
命题
，则（ ）
A．
，且
为假
B．
，且
为假
C．
，且
为真
D．
，且
为真
【答案】D
【分析】根据题意结合指对数函数性质分析可知
，再根据命题的否定分析判断.
【详解】因为
，且
，
则
，
，
可得
，即命题
为假命题，
所以
，且
为真命题.
故选：D.
【典例】5．（2025·河南·三模）若点A 在点O 的正北方向，点B 在点O 的南偏西
方向，且
，则向量
表示（ ）
A．从点O 出发，朝北偏西
方向移动
B．从点O 出发，朝北偏西
方向移动
C．从点O 出发，朝北偏西
方向移动2km
D．从点O 出发，朝北偏西
方向移动2km
【答案】C
【分析】以O 为坐标原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，
标出题中所给信息，再利用向量加法的平行四边形法则求出
即可.
3
【详解】以O 为坐标原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向，建立如图所示的平面直
角坐标系，
依题意可得
，
设
，因为
，所以四边形OACB 为菱形，
则
，则
为正三角形，所以
，
故向量
表示从点O 出发，朝北偏西
方向移动2km.
故选：C
【典例】6．（2025·青海·模拟预测）青铜太阳轮，出土于三星堆，距今已有3000 多年历史，其状若车
轮，现存于三星堆博物馆．如图，该青铜太阳轮圆周上有5 个孔，可看成5 个点，记为
，
，
，
，
，五边形ABCDE 为正五边形，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
4
【分析】解法一：取
的中点
，连接
,则
求解；解法二：
，
进行求解．
【详解】解法一：取
的中点
，连接
,
因为
，所以在
中，
，
则
．
解法二：在正五边形
中，
，
，
．
，
，
．
故选：A
【典例】7．（2025·重庆·三模）正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形
状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六
边形的摆放位置如图所示，
是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则
的最大值为
（ ）
5
A．12
B．16
C．18
D．20
【答案】C
【分析】过C 作
交
延长线于E 点，则
，当C 位于D 点时，
取得最大值，求此时的数量积即可.
【详解】
过C 作
交
延长线于E 点，则
，
因为 6 个正六边形边长均为 2，如图，当C 位于D 点时，
取得最大值，
此时
，
，
故选：C.
【典例】8．（2025·江西·模拟预测）（多选）已知方程组
有且仅有一个复数解
，
则实数
的可能取值有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据复数模的几何意义及直线与圆的位置关系即可求解．
【详解】由方程组在复平面上的几何意义可知，问题等价于以
为圆心、1 为半径的圆与点
和
所连线段的垂直平分线相切，设
，
，
6
则
中点为
，
，所以
垂直平分线的斜率为
，
则
垂直平分线的方程为
，整理得
，
由点到直线的距离公式有
，即
，
解得
或
，
故选：AC．
【典例】9．（2025·吉林延边·模拟预测）（多选）一系列复数
满足
是公比为i 的等比数列，
，则（ ）
A．
是周期数列
B．
的前8 项和为24
C．存在实数k，使得
为实数
D．存在实数
，使得
【答案】ACD
【分析】根据题意，得到
，求得
，由
，可判定A 正确；由
的前8 项和
，可判定B 不正确；由
，可得判定C 正确；分类讨论，求得
的值，可得判
定D 正确.
【详解】由复数
，且
，则
，
因为数列
是公比为的等比数列，所以
，
所以
，
对于A 中，由
，可得
，
即
，可得
，所以数列
是周期数列，所以A 正确；
7
对于B 中，由
，
所以
的前8 项和
，所以B 不正确；
对于C 中，由
，当
，可得
，
所以存在实数k，使得
为实数，所以C 正确；
对于D 中，由复数
，
当
时，可得
，此时
；
当
时，可得
，此时
；
当
时，可得
，此时
；
当
时，可得
，此时
，
例如：当
，可得
，此时满足
，
所以存在实数
，使得
，所以D 正确.
故选：ACD.
【典例】10．（2025·重庆·模拟预测）（多选）关于非零复数
，
及其共轭复
数
，
，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】本题可根据复数的运算法则，分别对选项进行分析判断.
【详解】因为
，
，所以
，
.
8
，
，
则
，选项A 正确.
，
，所以
，选项B 正确.
，
显然
，选项C 错误.
，
则
则
,
所以
，选项D 正确.
故选：ABD.
9
最新热点热搜题（
10
题）
【典例】11．（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知集合
若
，则a 的取值构成的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】通过
和
两类情况讨论即可.
【详解】由题得
，因为
，所以
.
当
时，
，满足
；
当
时，
，因为
，所以
或
，解得
1 或
，
综上
的取值构成的集合为
.
故选：D.
【典例】12．（2025·四川成都·三模）已知集合
，
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据子集的关系即可求解.
【详解】由于
，所以
，
故选：D
【典例】13．（2025·广东揭阳·二模）已知集合
，则A 中元素的个数
为（ ）
A．7
B．9
C．11
D．13
10
【答案】C
【分析】首先求出x 的值，然后代入
分别求出y 的值即可.
【详解】因为
，所以
，
又
，所以
，可得
，所以x 可能取值为
当
时：代入
得
，又
，
所以
，此时得到元素
；
当
时：代入
得
，
，
，
此时得到元素
；
当
时：代入
得
，
.
，
，
此时得到元素
；
当
时：代入
得
，
，
，
此时得到元素
；
当
时：代入
得
，所以
，
此时得到元素
；
满足条件的元素分别为：
，
，
，
，
共11 个，
故选：C
【典例】14．（2025·湖北·模拟预测）已知圆
和直线
，则“
”是
“直线与圆
有公共点”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
11
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由圆心到直线的距离
，再结合充分不必要条件的定义即可判断.
【详解】圆
的圆心坐标为
，半径
，
当圆心到直线的距离
时，直线与圆
有公共点，
即
，解得
，
所以“
”是“直线与圆
有公共点”的充分不必要条件.
故选：
.
【典例】15．（2025·湖北黄冈·一模）已知命题
，则（ ）
A．
是假命题，
B．
是假命题，
C．
是真命题，
D．
是真命题，
【答案】D
【分析】利用导数判断命题
的真假，再根据全称量词命题的否定是存在量词命题写出
，可判断各选
项的准确性.
【详解】设
，则
.
由
；由
.
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
所以
的最小值为
.
12
所以
对
恒成立.
所以
成立，即命题
为真命题.
因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以
.
故选：D
【典例】16．（2025·山东泰安·一模）已知为虚数单位，若
是纯虚数，则实数
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【分析】利用复数的乘法运算化简复数，再利用纯虚数的概念，即可得答案；
【详解】因为
，
所以
，解得
.
故选：B.
【典例】17．（2025·安徽·模拟预测）若复数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，则
，即可求出
，即可求解．
【详解】设
，
则
，
则
．
故选：D.
【典例】18．（2025·湖北黄冈·二模）复数
的共轭复数在复平面内对应的点位（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
13
【分析】先化简，再得到共轭复数，最后得到点对应象限.
【详解】
，则共轭复数为
，对应的点
，在第二象限.
故选：B.
【典例】19．（2025·浙江温州·二模）若向量
满足
，则
在
上的投影向量是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先设投影向量是
，利用
解出
即可得出答案.
【详解】设投影向量是
，则
，所以
，
即
在
上的投影向量是
．
故选：D.
【典例】20．（2025·辽宁辽阳·一模）已知向量
，
，
.若
、
、
三
点共线，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出向量
，由题意可得
，利用平面向量共线的坐标表示可得出关于
的等式，解之
即可.
【详解】因为向量
，
，
，
所以，
，
因为
、
、
三点共线，则
，所以，
，解得
.
故选：C.
14
最新高频经典题（
10
题）
【典例】21．（2025·浙江杭州·模拟预测）设全集
，集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】化简集合B，再利用集合之间的包含关系即可得到结果.
【详解】因为集合
，
，故
，
故选：B
【典例】22．（2025·辽宁·模拟预测）已知复数
，若集合
，
则
的子集个数是（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】C
【分析】方法一：利用代入法，由复数相等的条件得到关于实数
的方程组求解，得到集合
的元素；
方法二：直接利用求根公式解方程
得到集合
的元素；方法三：利用判别式直接得到方程得
根的个数.最后根式集合
的元素个数，利用集合的子集个数计算公式得到答案.
【详解】方法一：由
，复数
，
，即
，
，解得
，
所以
，
所以集合
，含有两个元素，所以A 的子集有
个；
方法二：
，所以由求根公式得
，
15
所以集合
，含有两个元素，所以A 的子集有
个；
方法三：因为
，∴
有且仅有2 个虚数根，
所以
含有两个元素，所以A 的子集有
个.
故选：C.
【典例】23．（2025·山东烟台·一模）已知复数
，其中
，则“
”是“
”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】应用复数模的求法及
得
或
，再由充分、必要性定义即可得答案.
【详解】由
，则
，可得
或
，
所以“
”是“
”的必要不充分条件.
故选：B
【典例】24．（2025·安徽合肥·二模）若空间中三条不同的直线
，
，满足
，
，则
是
，
，共面的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】通过特例说明
不能推出
，
，共面，即充分性不成立；再由平面几何知识得出同一平面
内的直线不平行必相交，推出
一定成立，即必要条件成立，两者综合即可得出结果.
【详解】
如图所示：满足
，
，且
，但是
，
16
所以可知
是
，
，共面的不充分条件；
当
，
，共面时，由平面几何知识可知同一平面内的直线不平行必相交，
又因为
，
，所以必然有
，
即
是
，
，共面的必要条件，
综上可知
是
，
，共面的必要不充分条件.
故选：B.
【典例】25．（2025·湖北·二模）复数
是
成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先判断当
时，
是否等于
，以确定充分性是否成立；再判断当
时，
是否一定等于
，以确定必要性是否成立，进而确定条件类型.
【详解】当
时，
再计算
：
，
所以当
时，
成立，充分性成立.
由
，则：
，
即
或
，所以当
时，不一定等于
，必要性不成立.
因为充分性成立，必要性不成立，所以复数
是
成立的充分不必要条件，
故选：A.
17
【典例】26．（2025·江苏苏州·模拟预测）设
，则复数z 对应的点Z 的轨迹是（ ）
A．直线
B．圆
C．椭圆
D．抛物线
【答案】B
【分析】设复数
，代入已知条件进行化简，求出x、y 的关系即可判断．
【详解】设复数
，则
，
代入
，两边平方得：
，
，
两边除以
：
，
以
配方：
，
这是圆的标准方程，圆心为
，半径为
．
∴复数z 对应的点
的轨迹是圆．
故选：B．
【典例】27．（2025·重庆·一模）在平行四边形
中，
与
相交
于
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
18
【分析】由
三点共线，则可设
，由
三点共线，则可设
，然后根据题意都用
表示，从而可求出
的值，进而可求得答案
【详解】
因为
三点共线，所以可设
，
所以
，
因为
三点共线，所以可设
，
因为
，
，所以
，
所以
，
所以
，
即
，解得
，
，
所以
，
故选：A.
【典例】28．（2025·山东泰安·一模）已知向量
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
19
【分析】由
两边平方可得
，再结合向量夹角的计算可得.
【详解】
，所以
，两边平方可得
，
又
，所以
，
所以
.
故选：D
【典例】29．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在等腰
中，
，点
是边
上的动点，则
（ ）
A．为定值16
B．为定值32
C．最大值为32
D．与
的位置有关
【答案】B
【分析】取
的中点为
，结合题意利用向量的数量积的几何意义求解即可.
【详解】如图，取
的中点为
，连接
，
因为
为等腰三角形，所以
，又
，
所以
.
所以
.
20
所以
为定值32.
故选：
.
【典例】30．（2025·湖南邵阳·二模）已知向量
满足
，
，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】令
，
，向量加法的三角形法则得到
，从而将
转化为
，将
转化为椭圆上的点到
的中点的距离问题求解即可.
【详解】取
，
为线段
的中点，记
，则
．
．
又
，
点
的轨迹是以
为焦点的椭圆，
长半轴的长为4，短半轴的长为
，
．
故选：A.
21
最新高考真题回顾（
10
题）
【典例】31．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合
，
，则
中
元素个数为（ ）
A．0
B．3
C．5
D．8
【答案】C
【分析】根据补集的定义即可求出．
【详解】因为
，所以
，
中的元素个数为，
故选：C．
【典例】32．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出集合
后结合交集的定义可求
.
【详解】
，故
，
故选：D.
【典例】33．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：
，
；命题q：
，
，则（ ）
A．p 和q 都是真命题
B．
和q 都是真命题
C．p 和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】B
【分析】对于两个命题而言，可分别取
、
，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【详解】对于
而言，取
，则有
，故
是假命题，
是真命题，
对于
而言，取
，则有
，故
是真命题，
是假命题，
综上，
和
都是真命题.
故选：B.
22
【典例】34．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量
，则（ ）
A．“
”是“
”的必要条件
B．“
”是“
”的必要条件
C．“
”是“
”的充分条件
D．“
”是“
”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当
时，则
，
所以
，解得
或
，即必要性不成立，故A 错误；
对C，当
时，
，故
，
所以
，即充分性成立，故C 正确；
对B，当
时，则
，解得
，即必要性不成立，故B 错误；
对D，当
时，不满足
，所以
不成立，即充分性不立，故D 错误.
故选：C.
【典例】35．（2025·全国一卷·高考真题）
的虚部为（ ）
A．
B．0
C．1
D．6
【答案】C
【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出.
【详解】因为
，所以其虚部为1，
故选：C.
【典例】36．（2025·全国二卷·高考真题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【分析】由复数除法即可求解.
【详解】因为
，所以
.
23
故选：A.
【典例】37．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，
测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向
量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1 给出了部分风力等级、
名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如
图2 所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ）
级数
名称
风速大小（单位：m/s)
2
轻风
1.6~3.3
3
微风
3.4~5.4
4
和风
5.5~7.9
5
劲风
8.0~10.7
A．轻风
B．微风
C．和风
D．劲风
【答案】A
【分析】结合题目条件和图
写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，
得出真风风速的大小，即可由图得出结论.
【详解】由题意及图得，
视风风速对应的向量为：
，
视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，
船速方向和船行风速的向量方向相反，
设真风风速对应的向量为
，船行风速对应的向量为
，
∴
，船行风速：
，
24
∴
，
，
∴由表得，真风风速为轻风，
故选：A.
【典例】38．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求
的值.
【详解】因为
，所以
，
所以
即
，故
，
故选：D.
【典例】39．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量
若
，则
【答案】
【分析】根据向量坐标化运算得
，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】
，因为
，则
，
则
，解得
.
则
，则
.
故答案为：
.
【典例】40．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量
，
满足
，
，则
．
【答案】
25
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令
，结合数量积的运算
律运算求解.
【详解】法一：因为
，即
，
则
，整理得
，
又因为
，即
，
则
，所以
.
法二：设
，则
，
由题意可得：
，则
，
整理得：
，即
.
故答案为：
.
最新模考基础练（
10
题）
41．（2026·湖北·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】A 表示函数
定义域，B 表示函数
值域，据此可化简集合A，B，然后由交集定义可
得答案.
【详解】A 表示函数
定义域，则
；
B 表示函数
值域，则
.从而
.
26
故选：D
42．（2026·重庆·一模）已知集合
，则下列集合与
相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据分式的性质，结合一元二次不等式的解法、集合相等的定义进行求解即可.
【详解】由
，
所以
.
故选：A
43．（2026·四川攀枝花·一模）已知
，
，则
是
的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】结合对数的运算及充分不必要条件的定义判断即可.
【详解】由
，可得
且
；
由
，不能得
，
如当
时，满足
，
此时对数无意义，
即由
能推出
，但由
推不出
，
所以
是
的充分不必要条件.
故选：B.
44．（2026·河南开封·一模）已知
，则“
”是“
为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
27
【分析】充分性证明：根据
，解得
代入
并根据奇函数定义判断；必要性证明：根据奇函数定
义求
，再对比题干中
的值.
【详解】证明充分性：因为
，解得
，当
时，
，则
，
所以
是偶函数；
当
时，
，则
，所以
是奇函数，故不充分.
证明必要性：若
为奇函数，则
，即
，
整理得
，因为
，所以
，即
，故必要，
综上所述“
”是“
为奇函数”的必要不充分条件，
故选：B.
45．（2026·湖北荆州·一模）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由
，
，判断充分性成立；由
，
，判断必要性
成立即可.
【详解】
，
，
，
，
，
由
，通分整理得：
，
，
，即
，
，
，
28
，
，
故选：C
46．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知复数
在复平面内对应的点为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据复数的几何意义得到
，进而求出
和
，代入即可求出答案.
【详解】由题意得
，则
，
，
所以
.
故选：C.
47．（2026·湖北·模拟预测）复数
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．i
【答案】B
【分析】应用复数的乘方及除法运算化简，再应用虚部的定义求解.
【详解】
，
所以复数的虚部为
.
故选：B.
48．（2026·重庆·一模）已知点
，则
在
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求向量
和
， 然后根据投影向量公式
计算.
29
【详解】已知点
，
，
，则
，
，投影向量为
，
，
，
所以
.
故选：C
49．（2026·山东枣庄·模拟预测）已知向量
．若
为实数，且
，
则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】D
【分析】根据平面向量运算的坐标表示和向量共线的坐标公式计算即可.
【详解】因为向量
，
所以
.
因为
，所以
，解得
.
故选：D.
50．（2026·四川宜宾·一模）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】C
【分析】由向量的模长的坐标运算求解即可．
【详解】根据题意，
，
，
，即
，
30
，
．
故选：C．
最新模考能力练（
10
题）
51．（2026·贵州毕节·一模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
，可将集合
中的元素逐个代入方程
，验证是否成立，再结合交集的定义
即可得解.
【详解】易知
，故只需验证元素
是否在集合
中即可.
若
，则
，等式
不成立，因此
；
若
，有
，等式
成立，因此
；
若
，有
，等式
成立，因此
；
若
，则
，等式
不成立，因此
.
综上，元素
，元素
，
因此
.
故选：C.
52．（2026·河北沧州·一模）设全集
，集合
，
若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
31
【分析】先由一元二次不等式的解法结合补集的运算求出
，再由集合间的包含关系列不等式组可得.
【详解】由题得
，
因为
，所以
，所以
，解得
．
故选：B．
53．（2026·四川巴中·一模）下列命题中为真命题的是（ ）．
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【分析】对四个选项进行一一分析，即可求得答案.
【详解】对于A：
,都有
，所以
，故不存在
使得
成立，所以是假命
题，故A 错误.
对于B：当
时，
，所以是假命题，故B 错误.
对于C：
，
为非负整数，且自然数集
包含所有非负整数，故该命题是真命题，故C 正确.
对于D：
，
，故不存在，所以是假命题，故D 错误.
故选：C
54．（2026·陕西西安·一模）设甲：
，乙：
，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要
条件
【答案】B
【分析】根据同角三角函数的基本关系，分析充分性与必要性，即可得解.
【详解】若
，又
，故
，即
，
则
或
，故甲无法推出乙，充分性不成立；
32
若
，则
，两边平方得
，
所以
，故乙可以推出甲，必要性成立.
综上，甲是乙的必要不充分条件，
故选：B.
55．（2026·河北沧州·一模）已知复数
，其中
，则
在复平面内所对应点的轨
迹为（ ）
A．线段
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
【答案】B
【分析】求出
对应的坐标，消去，即可得到点
的轨迹.
【详解】设
对应点
的坐标为
，则
，
消去得
，则点
的轨迹为圆．
故选：B．
56．（2026·新疆·二模）已知在复平面内，
为原点，向量
对应的复数分别为
，那
么向量
对应的复数的虚部为（ ）
A．
B．7
C．
D．
【答案】B
【分析】根据复数的几何意义，结合向量的减法运算求解.
【详解】根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量
，
根据向量减法坐标运算可得向量
，
从而向量
对应的复数为
，虚部为7.
故选：B.
33
57．（2025·吉林松原·模拟预测）已知
为原点，复数
在复平面内对应的点分别为
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由复数的运算、模的计算、复数的几何意义、数量积的坐标公式以及充分条件和必要条件的概念
依次判断即可得到结果.
【详解】设
，则
，
若
，则
，
即
，
所以
，
，充分性成立；
若
0，则
，又
，
所以
，
即
，必要性成立．
综上所述，“
”是“
”的充要条件．
故选：C．
58．（2025·安徽·二模）如图，正方形
的边长为
，
为边
的中点，
为边
上一点，当
取得最大值时，
（ ）
34
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，设
，则
，
，利用平面向量数量积的运算性质可得
出
的最大值及其对应的
值，可得出
，再利用两角差的正切公式可求得
的值.
【详解】以
为坐标原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，建立平面直角坐标系如图所示，
则
、
，设
，则
，
，故
，
.
所以
，当
时，
取得最大值，
此时点
，即点
与点
重合，且
，
此时
.
故选：C.
59．（2025·湖南永州·模拟预测）在平面直角坐标系
中，
是不同于原点
的两个点，点关于
点
的对称点为
，点关于点
的对称点为
，设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据已知结合向量加减、数乘的几何意义，用
表示出
即可.
【详解】如图，由题意知
，因为
，所以
.
35
故选：D
60．（2025·湖北·模拟预测）已知
，
，点
，
为坐标原点，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
可推导得到
，结合
可设
，
，
利用向量坐标运算表示出
，计算可得
，可知当
时，
取得最
小值，进而得到结果.
【详解】
，
，则
，
，
两点在以
为圆心，为半径的圆上，
设
，由
可取
，
，
36
，
则当
时，
取得最小值
，
.
故选：C.
最新模考压轴练（
10
题）
61．（2025·福建厦门·三模）已知集合
，
，若
，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先解一元二次不等式求出集合
，然后由
可得在
时，
恒成立，将问
题转化为求
在
上的最小值，从而可求出
的取值范围.
【详解】由
，得
，解得
，
所以
，
因为
，
，
所以当
时，
恒成立，即
恒成立，
令
，
，则
，
当
时，
，当
时，
，
37
所以
在
上递减，在
上递增，
所以
，
所以
，即
的取值范围是
.
故选：B
62．（2025·河南·一模）集合
，集合
，对任意
，有
，则
集合M 中元素个数的最大值是 .
【答案】51
【分析】由题意，要使
中元素的个数最大，则
，再应用抽屉原理及集合的性质分析其它元素与
集合
的关系，确定
的元素个数及集合
的可能情况，即可得.
【详解】要使
中元素的个数最大，且
，有
，必有
，
此时其余元素分组为
、
、
、
，共有50 组，
注意每组的两个元素必不能同时出现在集合
（因为它们的和为
），
所以，要使
中元素的个数最大，每组至多能取一个元素，即50 组中共取50 个元素，
由抽屉原理知，不可能从50 组中取51 个元素，否则必有两个元素的和为
，不满足
，
综上，
中元素的个数最大为51 个，
如
、
均符合，元素个数为
.
故答案为：51
63．（25-26 高三上·河北保定·月考）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
38
【分析】法一：先判断充分性，根据
可得
，两边取对数可以得到
，进而构造函数
，利用导数分析函数的单调性，进而得到
或
，设
，利用导
数分析函数的单调性，进而求解判断即可；再判断必要性，根据
可得
，两边取对数可以得到
，即
，结合函数
的单调性即可得到
，进而判断即可；法二：构造函数
，利用导数和零点存在性定理即可判断.
【详解】法一：先判断充分性，若
，因为
，则
，即
，
则
，即
，即
，
设
，则
，而
，
令
，得
，令
，得
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
时，
，
时，
，且
，
则
或
，
设
，则
，
令
，得
，令
，得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
，
即
，则
，
即
，则
，故充分性不成立；
39
再判断必要性，若
，因为
，则
，即
，
则
，即
，即
，则
，
由于函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
时，
，
时，
，
则
，此时
，故必要性成立.
综上所述，“
”是“
”的必要不充分条件.
法二：若
，则
，即
．
令函数
，则
.
当
时，
;当
时，
.
在
上单调递增，在
上单调递减．
．
令函数
，则
．
当
时，
，所以
在
上单调递增，
，即
．
因为
，
，所以
在
和
上各有一个零点，所以
有2 个解，即
有2 个解，显然其中1 个解为
．
若
，则
，即
．
40
因为函数
与函数
的图象只有一个交点，所以方程
只有一个解，
即
只有一个解，易得
．故＂
＂是＂
＂的必要不充分条件．
故选：B.
64．（25-26 高三上·江苏无锡·月考）已知事件
的概率均不为0，则
的充要条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】通过恰当的举例找到
两个选项的反例，然后利用和事件的概率公式证明
选项.
【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子朝上的点数，
设
表示事件“点数是1 点”，
表示事件“点数是3 点或5 点”，
表示事件“点数是偶数点”，
，
此时满足
，但
，故A 错误；
又
，但
，故D 错误；
对于选项B，对于随机事件
，
，
由
，得
，
又因为不能确定
是否相互独立，所以无法确定
，故B 错误；
对于选项C，对于随机事件
，且
，
则由
，得
，
又
，得
，
41
又因为
，所以
，
则
，故必要性成立，
反之，由
可得
，
所以
，故充分性成立，所以C 正确.
故选：C
65．（25-26 高三上·新疆·月考）设函数
，则“
”是“
为奇函数”的
（ ）条件.
A．充分而不必要
B．必要而不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】由
解得
，代入
可得
，根据奇函数的定义得到
为奇函数，故充分性成立；
为奇函数可得
，解得
，计算得到
，
故必要性成立，从而得到结论.
【详解】对于函数
，
由“
”成立，可得
成立，
则
，
因函数
是
上的奇函数，则
也是奇函数.
故“
”是“
为奇函数”的充分条件；
由“
为
上的奇函数”，可得
，解得
，
则
成立，
故“
”是“
为奇函数”的必要条件.
42
综上可得，“
”是“
为奇函数”的充要条件.
故选：C.
66．（25-26 高三上·全国·月考）已知集合
，集合
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【分析】求出集合
的具体元素，再通过集合间的包含关系判断充分必要条件即可.
【详解】因为
，且
所以
，
又因为
，因此
的可能取值为
，即
，
解不等式
，整理得
，
所以
，所以
，
解得
，又因为
，所以
，
因为
，所以由“
”能推出“
”,
故“
”是“
”的必要条件；
因为
不包含于
（
中有
不属于
），所以“
”不能推出“
”，
故“
”是“
”的非充分条件，
因此，“
”是“
”的必要非充分条件.
故选B.
67．（25-26 高三上·北京·月考）在
中，“
为直角三角形”是“对于任意
，
”的（ ）．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
43
【分析】先转化向量不等式并化简，构造函数，利用一次函数的性质得出向量垂直关系，从而得出
为直角三角形，满足必要性；再利用直角位置不固定得出充分性不成立．
【详解】
，若
，则
，
，即
，
对于任意
恒成立，设
，则需满足
时，
；
时，
；
是一次函数，
连续，即
，
，即
，
又
，
，
，故
，即
，
是直角三角形，满足必要性；
若
为直角三角形，直角可能是
或
，
若
或
时，不满足
对于任意
恒成立，不满足充分性，
“
为直角三角形”是“对于任意
，
”的必要不充分条件，故B 正确．
故选：B．
68．（25-26 高三上·广东·月考）已知实数
，
与复数
满足
，
，则
构成的轨迹为（ ）
A．圆心为
，半径为1 的圆
B．圆心为
，半径为1 的圆
C．过点
且斜率为
的直线
44
D．过点
且斜率为
的直线
【答案】A
【分析】设
，根据题意结合共轭复数和模长求
，代入整理可得
，即可
判断动点的轨迹方程.
【详解】设
，
，
，则
，
，
因为
，即
，
则
由实部与虚部对应相等得
，
可得
，解得
，可得
，
则
，可得
，
可得
构成的轨迹为圆心为
，半径为1 的圆.
故选：A.
69．（25-26 高三上·江西南昌·月考）奔驰定理：已知
是
内的一点，若
、
、
的面积分别记为
、
、
，则
.“奔驰定理”是平面向量中一个非
常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，
已知
是
的内心，AB=8，且满足
，设△ABC 的内切圆半径为，外接圆半径为
，则
（ ）
45
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据新定义奔驰定理结合三角形的面积公式求解.
【详解】由奔驰定理
.
结合已知
，得
.
因为
是内心(到各边距离为内切圆半径 )，
所以
，
，
，
因此边长
.
，
，半周长
，
由海伦公式，
，
又
，
，
由余弦定理，
，
代入正弦定理:
，
.
故选：D
46
70．（25-26 高三上·河南南阳·期中）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢
壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7 个正六边形的边长都为1，O，M 是
其中一个正六边形的顶点，N 为图中7 个正六边形内一点（包含边界），则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用投影法研究数量积最值.
【详解】设向量
在向量
上的投影向量为
，则
，
如图，过
作
，垂足为
，过
作
，垂足为
．
当
在
处时，
最小，最小值为
；
当
在
处时，
最大，最大值为
．
综上所述，
的取值范围是
．
故选D．
47
48
