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专题05 圆锥曲线大题综合(新高考浙江专用)
一、解答题
1．（2023·浙江·校联考三模）已知双曲线
为其左右焦点，点
为其右支上一点，在
处作双曲线的切线.
(1)若
的坐标为
，求证：为
的角平分线；
(2)过
分别作的平行线
，其中交双曲线于
两点，
交双曲线于
两点，
求
和
的面积之积
的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）易得点
处的切线方程
，根据
交
轴于
点
，由
判断；
（2）过
的切线
，由
时，得到
，联立
，得到
，再由
，然后由
求
解.
【详解】（1）解：由题意点
处的切线为
，
所以过点
处的切线方程为
，
1
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交
轴于点
，则
，
即
，所以为
的角平分线；
（2）过
的切线
，
当
时，即
不为右顶点时，
，
即
，
（或由直线与单支有两个交点，则
也可）
联立
设
，则
所以
又
所以
，
，
当
时，即点
为右顶点时，
2
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，
所以
，
所以
的最小值为
.
2．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）已知抛物线
，圆
是
上异于原点的一点.
(1)设
是
上的一点，求
的最小值；
(2)过点
作
的两条切线分别交
于
两点（异于
）.若
，求点
的坐
标.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）根据圆的几何性质，结合两点间距离公式、配方法进行求解即可；
（2）根据圆的切线性质，结合等腰三角形的性质、一元二次方程根与系数关系、点到
直线距离公式进行求解即可.
【详解】（1）设
，圆心
，半径为，
，
所以当
时，
有最小值
，
3
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所以
的最小值
；
（2）由题设，切线斜率一定存在，设切线的斜率为
，
所以切线的方程为：
，
由圆的切线性质可知：
，
设
，
，
是方程的两个不相等实根，
因此
，即
，且
，
所以由圆的切线性质知：
，
，
所以
的坐标为
或
.
【点睛】关键点点睛：根据圆的切线长定理、一元二次方程根与系数关系是解题的关
键.
3．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知双曲线
的右焦点为
是双曲线
上一点.
4
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(1)求双曲线
的方程；
(2)过点
作斜率大于0 的直线与双曲线的右支交于
两点，若
平分
，求
直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线上的点和焦点列方程组求解；
（2）设出直线方程，和双曲线联立，结合韦达定理，角平分线定理列方程进行求解.
【详解】（1）
，又
，
联立得
，得
或18.
当
时，
；当
时，
舍去.
所以双曲线
的方程为：
.
（2）设
，直线与双曲线联立，得
，
所以
①.
由直线和双曲线右支交于两点，结合直线斜率为正可得：
，解得
.
5
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由
平分
，由角平分线定理，则
，即
.
两边平方得，
，整理可得：
.
将①代入可得
，解得
符合题意，所以
.
4．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知双曲线
：
的离心率为
，并且经过点
．
(1)求双曲线
的方程．
(2)若直线经过点
，与双曲线右支交于
、
两点其中
点在第一象限，点
关于原点的对称点为
，点
关于
轴的对称点为
，且直线
与
交于点
，直
线
与
交于点
，证明：双曲线在点
处的切线平分线段
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知可求
，
，可求双曲线
的方程．
（2）设
，
，与双曲线联立方程，求得
，
的方程求得
，
坐标，可求得中点
的坐标，点
处的切线经过线段
的中点
即可．
【详解】（1）依题意，离心率
，
，
解得
，
，
双曲线
的方程为
．
6
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（2）证明：设
，
，则
，
，
直线
为
，代入双曲线
方程得
．
则
且
，
，
，
，
，
直线
的方程为
，
令
，得
，
，直线
为
，
令
，得：
，即
，
设线段
的中点坐标为
，
则
，
，
过点
的切线方程为：
，
要证双曲线在点
处的切线平分线段
，
即证点
处的切线经过线段
的中点
，
，
点
处的切线过线段
的中点
，即点
处的切线平分线段
．
7
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5．（2023·浙江金华·模拟预测）P 是双曲线
右支上一点，A，B 是双曲线的
左右顶点，过A，B 分别作直线PA，PB 的垂线AQ，BQ，AQ 与BQ 的交点为Q，PA 与
BQ 的交点为C．
(1)记P，Q 的纵坐标分别为
，求
的值；
(2)记
的面积分别为
，当
时，求
的取值范围．
【答案】(1)3
(2)
【分析】(1) 由已知设直线PA，PB,和直线QA，QB，再分别求
，应用斜率公式求
解即可.
(2)由 P，Q，B，A 四点共圆，PO 为直径，PQ 中点
为圆心，再由弦长公
式求得
,
,再根据单调性，求得
即得范围.
【详解】（1）由已知条件得：
，设PA，PB 的斜率分别为
，
则QA，QB 的斜率分别为
，
由
即有
．
8
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由
即有
而
，
．
（2）由于
，
显然P，Q，B，A 四点共圆，
PO 为直径，PQ 中点
为圆心，
又
则
，
①，又
②，
得：
，解得
．
9
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由
，，而
．
．
因为
，根据单调性，求得
6．（2023·浙江·统考二模）已知双曲线
的左、右顶点分别为A，B，过点
的直线l 交双曲线于P，Q 两点（不与A，B 重合），直线
，
分别与y 轴交
于M，N 两点．
(1)记直线
，
的斜率分别为
，
，求
；
(2)记
，
的面积分别为
，
，当
时，求直线l 的方程．
【答案】(1)见解析
(2)
或
或
【分析】（1）设直线的方程为
，将其与双曲线的方程联立，得到关于
的
一元二次方程，再结合韦达定理和直线的斜率公式，计算
的值，即可．
（2）根据
可得
，根据两点坐标求解直线
的方程，
进而可得
的坐标，结合韦达定理即可代入求值.
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【详解】（1）由题意知，
，
，
设直线的方程为
，
,
,
，
联立
，得
，
，
，
，
，
直线
的斜率
，直线
的斜率
，
，为定值．
（2）设
,则
，
,
由于
,得
，
设直线
，可得
，
设直线
，可得
，
所以
，
所以由
得
，
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当
时，则
，解得
，此
时直线方程为
当
时，则
，解得
，
此时直线方程为
故直线方程为
或
或
【点睛】圆锥曲线中求定值的常见求解策略，利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造
等量关系，利用直线与曲线的联立，得到韦达定理，以及距离公式，弦长公式，直线
方程的交点等关系式，还要注意向量的应用，根据向量的共线得到点的坐标之间的关
系，代入等量关系中化简，即可找到解题突破.
7．（2023·浙江·二模）已知
，
分别为双曲线
：
的左、右焦点，
是
上一点，线段
与
交于
点.
(1)证明：
；
(2)若
的面积为8，求直线
的斜率.
【答案】(1)证明见解析
(2)
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【分析】（1）由题意
在双曲线左支上，
在右支上，设
且
得
中
点为
，代入双曲线判断
与双曲线的位置关系，即可证结论；
（2）令
得
，设
联立双曲线，
应用韦达定理，结合已知求
，即可得直线斜率.
【详解】（1）由题意
在双曲线左支上，
在右支上，令
且
，
而
，则线段
中点为
，又
，则
，
所以
，则中点
在双曲线上或外部，
即
，仅当
重合时等号成立，故
.
（2）若
，则
，
令
，
，联立双曲线
，
则
，而
，则
，
，
所以
，故
，可得
（负值舍），
所以
，故直线斜率为
.
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8．（2023·浙江绍兴·统考二模）已知抛物线
的焦点为
，过点
斜
率为1 的直线与抛物线相交所截得的弦长为2.
(1)求
的值并写出抛物线焦点
的坐标；
(2)设点
是抛物线外任意一点，过点
作抛物线
的切线，切点分别为
，探究：
是否存在以点
为直角顶点的等腰直角三角形
.若存在，请求出点
的坐标；若不
存在，请说明理由.
【答案】(1)
，
(2)存在，点
【分析】（1）利用直线点斜式方程，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理及弦长
公式即可求解；
（2）根据（1）的结论及作出图形，利用导数的几何意义及直线的点斜式方程，联立
切线方程，求出点
的坐标，再利用中点的坐标公式及两点的斜率公式，结合两直线
垂直斜率的关系即可求解.
【详解】（1）依题意，设直线方程为
，
由
，消去
，得
，
设直线与抛物线相交于
，则
，
所以
，
所以
，解得
，
所以抛物线方程为
.
（2）假设符合条件的等腰直角三角形存在，于是
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设点
，则由
可得：
切线
，
，解得
，
所以
.
设线段
的中点
，则点
，且
，
联立方程组
，解得
或
.
所以存在点
.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为
；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于
（或
）的一元二次方程，必要时计算
；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为
、
（或
、
）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
9．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）设抛物线
，过
轴上点
的直
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线与
相切于点
，且当的斜率为
时，
.
(1)求
的方程；
(2)过
且垂直于的直线交
于
两点，若
为线段
的中点，证明：直线
过定点.
【答案】(1)
；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设直线的方程为
，联立抛物线的方程根据相切求出
即
得解；
（2）设直线的方程为
，联立抛物线的方程求出
，设直线
的方
程为
，联立抛物线方程，利用韦达定理求出
，写出直线
的方程即得解.
【详解】（1）当l 的斜率为
时，设直线的方程为
，
与
的方程联立消去
，得
，
当与
相切时，
，整理有
，
此时
或
（舍去）.
故
，
所以
，
故
所以
的方程为
.
（2）证明：设直线的方程为
，
与
的方程联立，得
，
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当与
相切时，
，则
，故
，
设直线
的方程为
，与
的方程联立有
，
设
，则
，
所以
，
所以
，所以
的方程为
令
，则
，
所以
，所以直线
过定点
.
【点睛】方法点睛：定点问题：对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满
足一定条件的曲线过定点问题，证明直线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，
一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定
点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.
（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数
，结合已知条件求出直线或曲线
的方程，分离参数得到等式
，（一般地，
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为关于
的二元一次关系式）由上述原理可得方程组
，
从而求得该定点.
10．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知双曲线
的方程为：
，左右焦点
分别为
，
是线段
的中点，过点
作斜率为
的直线，l 与双曲线的左支交
于
两点，连结
与双曲线的右支分别交于
两点.
(1)设直线
的斜率为
，求
的取值范围.
(2)求证：直线
过定点，并求出定点坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点
【分析】（1）设
，
，
，
，直线的方程为
，联立抛物线方程，利用韦达定理求出k 的范围，设直线
的方程为
，利用韦达定理求出
，即可求解；
（2）直线
的方程为
，令
，解得x 为定值，得证，求出
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定点即可.
【详解】（1）解：设直线的方程为：
和双曲线方程联立消去
可得：
设
，
，
，
.
由
可得：
或
，
直线
的方程为：
和双曲线方程联立消去
可得：
，
所以：
，
所以：
，
同理：
，
所以：
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所以：
，
由双勾函数的单调性可知，当
，即
时有最值，而
或
，
当
时，
，当
时，
，
所以
.
（2）直线
的方程为：
，令
，
可得：
，
所以直线
过定点
.
【点睛】求定点定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊位置入手，求出定点定值，再证明这个定点定值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点定值．
11．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知双曲线
的离心率为
，且经过点
．
(1)求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；
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(2)已知过点
的直线
与过点
的直线
的交点N 在双曲线C 上，直线
与双曲线C 的两条渐近线分别交于
P，Q 两点，证明
为定值，并求出定值．
【答案】(1)双曲线C 的标准方程为
，渐近线方程为
(2)证明见解析，6
【分析】（1）由双曲线过点
和离心率求得
的值，从而写出双曲线C 的标准方
程及其渐近线方程；
（2）由点
在和
上，得出直线
的方程，然后联立直线
与渐近线方程得到
P，Q 两点的坐标，利用
坐标表示出
，化简即得结果.
【详解】（1）因为双曲线
经过点
，所以
.
又因为
，所以
，
，
所以双曲线C 的标准方程为
，渐近线方程为
．
（2）
设点
，则
，即
.
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因为
为直线
和直线
的交点，
所以
，所以点
都在直线
上，
所以
所在的直线方程为
，
将直线
与渐近线方程联立得
，解得
,
即
，同理得
，
所以
，
因为
，
所以
，
所以
为定值6.
【点睛】求定值问题常见的方法有两种：
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(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
12．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知
是双曲线
的左焦点，点
在双曲线上且双曲线的离心率为2.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若
是双曲线在第二象限内的动点，
，记
的内角平分线所在直线斜率
为
，直线
斜率为
,求证：
是定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用双曲线的离心率公式及点在双曲线上即可求解；
（2）根据两点的斜率公式及角平分的性质，利用斜率的定义及两角和的正切公式，结
一元二次方程的解法，注意分类讨论即可求解.
【详解】（1）由题意可知：
，
因为点
在双曲线上，
所以
，解得
（负舍），
所以
所以双曲线的标准方程
.
（2）由题意可知，作出图形如图所示
23
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当
时，因为
在
上，
所以
，解得
（负舍），
所以
所以
，
设
斜率
斜率
的角平分线斜
率
，
设
，则
所以
，即
即
，解得
，
当
时，
所以
，
，
，
所以
,
当
时，
所以
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.
综上所述：
.
【点睛】关键点睛：解决此题第一问的关键是利用点在双曲线上和双曲线的离心率公
式即可，第二问，利用角平分线的定义及斜率的定义，结合二倍角的正切公式注意分
类讨论即可.
13．（2023·浙江温州·统考三模）已知抛物线
与双曲线
相交于两点
是
的右焦点，直线
分别交
于
（不同于
点），直线
分别交
轴于
两点.
(1)设
，求证：
是定值；
(2)求
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【分析】（1）根据给定条件，设出直线
的方程，与抛物线
的方程联立即可计算
作答.
（2）由（1）求出直线
的方程并求出点
的横坐标
，直线
的方程与双曲线
的方程联立，借助直线
求出点
的横坐标
，再列式求出范围作答.
【详解】（1）由
是直线
与抛物线
的两个交点，显
然直线
不垂直y 轴，点
，
故设直线
的方程为
，由
消去
并整理得
，
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所以
为定值.
（2）由（1）知
，直线
的斜率
，方程为
，
令
，得点
的横坐标
，设
，
由
消去
得
，
，
，
而直线
的方程为
，依题意
，
令
，得点
的横坐标
，
26
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因此
，
所以
的取值范围是
.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来
解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函
数，再求这个函数的最值或范围．
14．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）已知椭圆C：
离心率为
，一个焦点位于抛物线
的准线上．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设直线l 交椭圆C 于A，B 两点，点
，直线
分别交
轴于点
，且
.
①问直线l 是否经过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由；
②求点P 到直线l 的距离的最大值．
【答案】(1)
(2)①直线l 经过定点，定点坐标为
②
【分析】（1）求抛物线
的准线方程，由条件列
的方程，解方程求
由此可得椭圆方程；
（2）①当直线
的斜率不存在，设其方程为
，设点
的坐标为
，
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由此求点
的坐标，结合条件求，当直线
的斜率存在时，设其方程为
，利用设而不求法结合条件关系求
的关系，由此证明直线l 过定点，
②方法一：由①可得当
与定点的连线垂直于直线时，点
到直线的距离最大，求
点
到定点的距离可得结论.
方法二：当直线
的斜率存在时，求点P 到直线l 的距离，利用导数求其最大值，再
求斜率不存在时点P 到直线l 的距离，由此确定结论.
【详解】（1）设椭圆
的半焦距为，则
，
因为抛物线
的准线方程为
，
又椭圆
的一个焦点位于抛物线
的准线上，
所以
，因为椭圆
的离心率
，
所以
，又
，
，
所以
，
所以椭圆
的标准方程为
；
（2）若直线
的斜率不存在，设其方程为
，
由已知
，设点
的坐标为
，
则点
的坐标为
，
，
所以直线
的方程为
，直线
的方程为
，
所以点
的坐标为
，点
的坐标为
，
所以
，又
，
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所以
，解得
，
当直线
的斜率存在时，设其方程为
，
联立
，消
得，
，
方程
的判别式
，
设
，则
，
则直线
的方程为
，直线
的方程为
，
所以点
的坐标为
，点
的坐标为
，
所以
，
，又
，
所以
，
所以
，
化简可得
，
所以
或
，
当
时，直线的方程为
所以直线过点
，与已知矛盾，
当
，直线的方程为
，
所以直线过定点
又点
在直线
上，
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所以直线l 经过定点，定点坐标为
，
②方法一：因为直线过定点
，
所以当点
与点
的连线与直线垂直时，
点
到直线的距离最大，最大距离为
.
方法二：当直线的斜率存在时，
点
到直线
的距离
，
又因为
，
，
所以
，
所以
，
设
，则
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
由
时，
，所以
，
当
时，
，
30
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所以当
时，
取最大值，最大值为
，
所以当
时，
取最大值，最大值为
，
当直线的斜率不存在时，点P 到直线l 的距离为，
所以点P 到直线l 的距离得最大值为
.
【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立
一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关
系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0 或不存在等特殊
情形．
15．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知抛物线
，过焦点
的直
线交抛物线
于
，
两点，且
.
(1)求抛物线
的方程；
(2)若点
，直线
，
分别交准线于
，
两点，证明：以线段
为直径
的圆过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设
，联立抛物线方程，由根与系数的关系及抛物
线的定义，根据
建立方程求出
得解；
（2）由直线方程求出
的坐标，计算
，设
是以线段
为直径
的圆上任意一点，根据
化简
，根据对称性令
可得解.
【详解】（1）设
，
，
，
31
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则联立
得
，
所以
，所以
，
又
，
，所以
由
得
，
即
所以
，化简得
，又
，
所以
，所以抛物线
的方程为
.
（2）由（1）知
，
，
，
所以
，
，易得
，
，
由题意知
，
，
所以令
得
，
，
即
，
，
所以
设
是以线段
为直径的圆上得任意一点，则有
，
即
，
32
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由对称性令
得
，所以
或
所以以线段
为直径的圆经过定点，定点坐标为
与
.
【点睛】关键点点睛：求出
的点的坐标，计算出
为定值
，是解题的关
键之一，其次写出以
为直径的圆的方程，根据圆的方程
，由对称性，令
求定点是解题的关键.
16．（2023·浙江·校联考二模）已知双曲线
的渐近线方程为
，
左右顶点为
，设点
，直线
分别与双曲线交于
两点（不同于
）.
(1)求双曲线的方程；
(2)设
的面积分别为
，若
，求直线
方程.（写出一条即可）
【答案】(1)
(2)
，或
，或
，或
（写出一条即可）
【分析】(1) 由双曲线的方程求出渐近线方程，再结合题目已知条件即可求出
，
代入双曲线的方程，即可得到答案.
(2) 先由
点的坐标得到
，把
的坐标代入得到
，
再结合双曲线的方程，化简得
.设直线
，与双曲线方
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程联立，结合
，即可化简得到
，将韦达定理代入解得
，则可知直线
恒过定点
.把
，
代入
，结合韦达定理
化简即可得到
，解出
，代入直线
的方程即可.
【详解】（1）如图，
由题意知双曲线
的渐近线方程为
即
，
所以
，所以双曲线的方程
.
（2）由(1)得
，所以
，所以
,
设点
,即
，
由
得
，所以
①
设直线
，与双曲线方程联立得：
，
因为方程有两个不同的实数根，所以
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，
所以由①式代入变形得
，
将韦达定理代入消去
化简得
，即直线
恒过定点
.
由此可得
.
由于图像的对称性，不妨设
，
则
，
，
所以
，
将韦达定理代入后得到
，
解得
或
.
所以，直线
方程为
，或
，
或
，或
（写出一条即可）
【点睛】难点点睛：求解直线或曲线过定点问题的基本思路：
（1）把直线或曲线方程中的变量x，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过
定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样
就得到一个关于x，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定
点．
（2）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式
，则
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直线必过定点
；若得到了直线方程的斜截式
，则直线必过定点
.
17．（2023·浙江·校联考三模）设双曲线
的右焦点为
，
右焦点到双曲线的渐近线的距离为．
(1)求双曲线
的方程；
(2)若
，点
在线段
上（不含端点），过点
分别作双曲线两支的
切线，切点分别为
．连接
，并过
的中点
分别作双曲线两支的切线，切点
分别为
，求
面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由焦点坐标、右焦点到渐近线的距离和双曲线
关系可直接求得双
曲线方程；
（2）设
，与双曲线方程联立，由
可求得
；由
，
可整理得到
，同理可得
，进而确定
方程，利用
点差法可证得
，结合弦长公式和点到直线距离公式可表示出
，设
，可将
表示为关于的函数，利用导数可求得最小值.
【详解】（1）
双曲线
的右焦点为
，
；
右焦点到双曲线的渐近线的距离为，双曲线的渐近线方程为
，
，解得：
，
，
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双曲线
的方程为：
.
（2）设
，切线
，
由
得：
，
，解得：
，
，
，
，
，
，即
，
同理可得：直线
；
直线
与直线
交于点
，
，
，
点
满足方程
，即直线
，
同理可得：直线
，即
，
点
在直线
上，
，即点
在直线
上，
，
，
，
，
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，即
，
直线
，
由
得：
，
，
点
到直线
的距离为
，
，
令
，
，
，则
，
，则
，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递减，在
上单调递增，
.
【点睛】思路点睛：求解直线与圆锥曲线综合应用中的三角形面积最值（取值范围）
问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于
或
的一元二次方程的形式；
②利用
求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理和点到直线距离表示出所求三角形的面积；
④将所求三角形面积转化为关于某一变量的函数的形式，利用函数的单调性或基本不
等式求解出最值（范围）.
18．（2023·浙江杭州·统考二模）已知椭圆
的离心率为
，
左、右顶点分别为
、
，点
、
为椭圆上异于
、
的两点，
面积的最大值
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为
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)设直线
、
的斜率分别为
、
，且
．
①求证：直线
经过定点．
②设
和
的面积分别为
、
，求
的最大值．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）根据题意可得出关于
、
、的方程组，解出这三个量的值，即可得
出椭圆
的方程；
（2）①分析可知直线
不与
轴垂直，设直线
的方程为
，可知
，
设点
、
.将直线
的方程的方程与椭圆
的方程联立，列出韦达定
理，利用
求出
的值，即可得出直线
所过定点的坐标；
②写出
关于的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得
的最大值.
【详解】（1）解：当点
为椭圆
短轴顶点时，
的面积取最大值，
且最大值为
，
由题意可得
，解得
，
所以，椭圆
的标准方程为
.
（2）解：①设点
、
.
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若直线
的斜率为零，则点
、
关于
轴对称，则
，不合乎题意.
设直线
的方程为
，由于直线
不过椭圆
的左、右焦点，则
，
联立
可得
，
，可得
，
由韦达定理可得
，
，则
，
所以，
，解得
，
即直线
的方程为
，故直线
过定点
.
②由韦达定理可得
，
，
所以，
，
，则
，
因为函数
在
上单调递增，故
，
所以，
，当且仅当
时，等号成立，
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因此，
的最大值为
.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目
的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个
直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个
方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点
，常利用直线的点斜式方程
或截距式
来证明.
19．（2023·浙江台州·统考二模）已知过点
的直线与双曲线
：
的
左右两支分别交于
、
两点.
(1)求直线的斜率
的取值范围；
(2)设点
，过点
且与直线垂直的直线
，与双曲线
交于
、
两点.当直线变化时，
恒为一定值，求点
的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当
时，显然符合题意，当
时，设直线的方程为
，
其中
，设
、
，联立直线与双曲线方程，消元、依题意可得
，即可得到不等式求出
的取值范围，即可得解；
41
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（2）由（1）知，因为
，设
，则直线
的方程为：
，设
，
，联立直线与双曲线方程，消元，即可表
示出
，从而表示出
，即可得到
时，
为定值
，从而求出动点的轨迹方程.
【详解】（1）当
时，显然符合题意，
当
时，设直线的方程为
，其中
，设
、
，
与双曲线方程联立可得
，
因为直线与双曲线交于不同的两支，所以
，又
，
所以
，解得
，即
，所以
且
，解得
或
，
综上可得
；
（2）由（1）知，因为
，
所以
，
设
，则直线
的方程为：
，设
，
直线
与双曲线方程联立可得
，
即
，
42
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所以
，
所以
，
得
，
又因为
，
所以
，
当
时，
即
时，
为定值
，
所以
或
，又因为
，
所以点
的轨迹方程为
.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为
、
；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于
（或
）的一元二次方程，必要时计算
；
43
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（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为
、
的形式；
（5）代入韦达定理求解.
20．（2023·浙江·统考二模）已知双曲线
，点
是双曲线
的左顶点，
点
坐标为
.
(1)过点
作
的两条渐近线的平行线分别交双曲线
于
，两点.求直线
的方程；
(2)过点
作直线与椭圆
交于点
，
，直线
，
与双曲线
的另一
个交点分别是点
，
.试问：直线
是否过定点，若是，请求出该定点坐标；若
不过定点，请说明理由.
【答案】(1)
(2)直线
过定点
【分析】（1）根据题意求出与渐近线平行的直线方程，再求出与双曲线的交点坐标后
求解即可；
（2）设直线
，
，
的方程，因为直线
，
分别与椭圆和双曲线相交，
故可以利用
，
，建立方程，化简得出直线
斜率与截距之间的关
系，求出直线
所过定点.
【详解】（1）由题意，得双曲线
的渐近线方程为
，
过
与
平行的直线方程为
，由
，解得
，
过
与
平行的直线方程为
，由
，解得
，
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∴直线
的方程为
.
（2）直线
过定点.
由已知，易知过
的直线斜率存在且不为，直线
，
斜率存在且不为，
设直线
，
的直线方程分别为
和
，
.
由
，得
，解得
，则
.
同理
，则
.
又
，
，
三点共线，而
，
故
，解得
.
设
，
，则
，
，
∴
，
即
化简整理，得
（*），
易知直线
斜率存在，设直线
的方程
，
由
，消去
整理，得
，
∴当
且
时，
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有
，
，
代入（*）化简，解得
，
即
，故
或
.
当
时，
，经过点
，不合题意，
当
时，
，经过点
，满足题意.
因此直线
过定点
.
【点睛】求解定点问题的常用方法有：
（1）从特殊入手，求出定点（通常为特殊位置，如轴上的点），再证明这个点与变量
无关；
（2）直接通过题目中的几何关系进行推理、计算、化简，消去变量，从而得到定点.
21．（2023·浙江·校联考模拟预测）坐标平面
中，
是椭圆
上一点，经过
的直线（不过
点）与
交于
两点，直线
与
的斜率乘积为
.
(1)求
的方程；
(2)直线与
交于点
，且
.当点
到直线的距离最大时，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
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【分析】（1）设出
点坐标，表达出直线
与
的斜率，再结合
，即可得
到
的方程；
（2）通过分类讨论直线与
轴的位置关系，利用韦达定理和垂直关系即可得出点
到直线的距离最大时，直线的方程.
【详解】（1）由题意，在
中，经过
的直线（不过
点）与
交于
两点
设
，则
，且
，
∵
在
上，
∴
，两式相减得，
，
∵
，
∴
，即
，
代入
中解得，
，
∴椭圆
的方程为
.
（2）由题意及（1）得，
当直线与
轴不垂直时，设直线方程为：
，
联立直线与椭圆
方程，消去
得，
，
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设
，
当
，
即
时，有
，
∵
，∴
，
∵
，
∴
，
整理得，
，
，
∵直线不过点
，
∴
，
∴
，
∴直线
经过定点
，
当直线垂直于
轴时，设方程为：
，
则
，且
，①
由
得，
，②
由①②解得
，或
（舍），
∴此时直线也经过定点
，
综上，直线经过定点
，
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当
垂直于直线时，点
到直线的距离最大，此时
，
∴直线的斜率为
，直线方程为：
，
故所求直线方程为：
.
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键在于设直线方程为：
，将其与椭圆联
立得到韦达定理式，将垂直转化为向量点乘为0，再化简将韦达定理式整体代入，再
次化简得到
与
的关系式，从而得到直线所过定点，最后得到距离最大时的直线方
程.
22．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）已知椭圆
，F 为其右焦点，
，
为椭圆外两点，直线
交椭圆于
两点．
(1)若
，
，求
的值；
(2)若三角形
面积为S，求S 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设
，
，由已知
，联立
，得
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，由
，得
，由
，得
，即可求得
.
（2）由
到
距离是
到
距离的一半，可知
，
利用换元法即可求得其最值.
【详解】（1）设
，
，
因为M，N 在椭圆外，所以
即
．
由题意知，
的方程为
，联立方程
，
化简，得
（*），
则
，
，
由
，得
，
由
，得
，
所以
，
由（*）式可得，
，所以
．
（2）因点
是
中点，所以
到
距离是
到
距离的一半，
所以
，
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令
，所以
，
因为
，所以
，所以
．
可看成对勾函数，其在
上递增，又
，
则
，即S 的取值范围是
．
【点睛】关键点睛：本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查椭圆、直线方程、
向量等基础知识，考查运算求解能力，函数与方程思想，属于中档题.
23．（2023·浙江宁波·统考二模）已知双曲线
，点
与双曲线上的点
的距离的最小值为
．
(1)求双曲线E 的方程；
(2)直线
与圆
相切，且交双曲线E 的左、右支于A，B 两
点，交渐近线于点M，N．记
，
的面积分别为
，
，当
时，
求直线l 的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设
是双曲线上的任意一点，先求得
，再
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结合题意即可求得
的值，进而即可求出双曲线E 的方程；
（2）先根据直线与圆
相切得到
，设
，
，再联立直线
的方程和双曲线E 的方程，求得
，
，根据题意求得
的取值范围，设点
到AB 的距离
，从而求得
，再联立直线的方程和双曲线E 的渐近线的方程，
求得
，
，设点O 到MN 的距离
，从而求得
，再结合
即可求
得
的值，进而即可求得直线l 的方程．
【详解】（1）设
是双曲线上的任意一点，
则
，
所以当
时，
的最小值为
，所以
，得
，
所以双曲线E 的方程为
．
（2）由直线
与圆
相切得
，
由直线交双曲线的左、右支于A，B 两点，设
，
，
联立
，消
整理得
，
则
，
，
，所以
，
所以
，即
，解得
，
又
，则
，
52
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故
，
，
所以
，
又点
到AB 的距离
，故
，
设
，
，
联立方程组
，消
整理得
，
则
，
，
，所以
，
所以
，
又点O 到MN 的距离
，故
，
所以当
时，有
，
整理得
，即
，
又
，则
，即
，解得
，
（舍去），
所以
，则
，所以直线方程为
．
53
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【点睛】方法点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系，利用韦达定理解决弦长问题，
进而解决面积相关的取值范围问题，属中难题，关键是熟练掌握弦长公式和直线与双
曲线的位置关系的判定方法．
24．（2023·浙江·统考二模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，且
到
的一条渐近线的距离为
.
(1)求
的方程；
(2)过
的左顶点且不与
轴重合的直线交
的右支于点
，交直线
于点
，过
作
的平行线，交直线
于点
，证明：
在定圆上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据焦点到渐近线的距离求出
即可得解；
（2）由题意可设PA，
的斜率分别为
，设直线AP 的方程为
，联立
双曲线方程，求出
，由三角函数可得
，即化为
得证.
【详解】（1）根据题意可知C 的一条渐近线方程为
，
设
到渐近线
的距离为
，
所以
，
所以
的方程为
.
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（2）设C 的左顶点为A，则
,
故直线
为线段
的垂直平分线.
所以可设PA，
的斜率分别为
，故直线AP 的方程为
.
与C 的方程联立有
，
设B
），则
，即
，
所以
当
轴时，
，
是等腰直角三角形，
且易知
当
不垂直于x 轴时，直线
的斜率为
，故
因为
，
所以
所以
因为
所以
所以
为定值，
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所以点Q 在以
为圆心且半径为4 的定圆上.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为
；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于
（或
）的一元二次方程，必要时计算
；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为
、
（或
、
）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
25．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知椭圆
的焦距为2，
且经过点
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若椭圆C 内接四边形MNQP 的对角线交于点
，满足
，试问：
直线MN 的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)为定值
【分析】（1）易得
，再根据椭圆过点
，求出
即可得解；
（2）设
，根据
，求出
及
的关系，再根据
都在椭圆上，可求得
的关系，同理可求出
的关系，进而可得出结论.
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【详解】（1）由题意，可得
，则
，即
，
又椭圆过点
，则
，解得
，
所以椭圆C 的方程为
；
（2）设
，
，
故
，所以
，
因为
都在椭圆上，
所以
，即
，
两式相减，得
，即
，
同理可得
，两式相减可得
，
所以
为定值.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
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26．（2023·浙江金华·统考模拟预测）在平面直角坐标系
中，已知点
，点
的轨迹为
.
(1)求
的方程；
(2)设点
在直线
上，
为
的左右顶点，直线
交
于点
（异于
），直线
交
于点
（异于
），
交
于
，过
作
轴的垂线分别
交
､
于
，问是否存在常数
，使得
.
【答案】(1)
(2)存在常数
，使得
.
【分析】（1）根据椭圆的定义判断出点
的轨迹为椭圆，根据题意得
，求出
，
可得椭圆的方程；
（2）设
，与椭圆方程联立，求出
的坐标，设
，与椭圆
方程联立，求出
的坐标，再求出
，
，
的坐标，由此可得
的值.
【详解】（1）因为
、
，
，
所以点
的轨迹以
为焦点的椭圆，
这里
，
，
，所以
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）设
，代入
，得
，
即
，得：
，
设
，代入
，得
，
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即
，得：
，
，
由
得
，得
，
得
.
代入
，得
，代入
，得
，
因为
，所以
.
所以存在常数
，使得
.
【点睛】难点点睛：设出直线
，
，联立直线与椭圆方程，
用
表示出
的坐标，难点是字母运算较复杂，需要仔细运算.
27．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知
，直线
相交于
，
且直线
的斜率之积为2.
(1)求动点
的轨迹方程；
(2)设
是点
轨迹上不同的两点且都在
轴的右侧，直线
在
轴上的截距
之比为
，求证：直线
经过一个定点，并求出该定点坐标.
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【答案】(1)
；
(2)证明见解析，定点
.
【分析】（1）设出点
的坐标，利用斜率坐标公式结合已知，列出方程化简作答.
（2）设出直线
在
轴上的截距，求出直线
方程，并分别与
的轨迹方
程联立求出点P，Q 的坐标，再求出直线
的方程作答.
【详解】（1）设
，则直线
的斜率是
，直线
的斜率是
，
所以
，化简整理得：
，
所以动点
的轨迹方程是
.
（2）设直线
在
轴上的截距为，则直线
在
轴上的截距为
，显然
，
直线
的方程为
，即
，直线
的方程为
，即
，
又双曲线
的渐近线方程为
，显然直线
与双曲线两支各交于一点，
直线
与双曲线右支交于两点，则有
，且
，于是
，
由
消去
化简整理得：
，设点
，
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则
，解得
，有
，
由
消去
化简整理得：
，设点
，
则
，解得
，有
，
，
，
于是
，设直线
上任意一点
，则
，
显然
，因此
，即
，
整理得
，显然直线
恒过定点
，
所以直线
经过定点
.
【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化
简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上
而坐标是方程解的点.
28．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知椭圆
的离心率为
，
抛物线
的准线与
相交，所得弦长为
.
(1)求
的方程；
(2)若
在
上，且
，分别以
为切点，作
的切线相交
于点
，点
恰好在
上，直线
分别交
轴于
两点.求四边形
面积
的取值范围.
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【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得曲线过点
，然后根据曲线的离心率和
之间
的关系即可求解；
（2）设直线
的方程为
，与曲线方程联立，用韦
达定理，利用切线方程求出
两点的坐标，然后将面积的表达式求出来，再根据函
数的性质即可求解.
【详解】（1）由题知
过点
，则
，解得
，
.
（2）设直线
的方程为
，
联立
，得
，
，
则
，而
，则
，
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故以
为切点的切线为
，即
，
同理以
为切点的切线为
，则
，
由
，故两式作差得：
，所以
，
两式求和得：
，
所以点
由
在椭圆上
，即
.
点
到直线
的距离
，
所以
，
，
，
而
、
在
上递增且恒正，
则在
上递增，
.
29．（2023·浙江温州·统考二模）已知点
分别是双曲线
的左右焦点，
过
的直线交双曲线右支于
两点，点
在第一象限．
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(1)求点
横坐标的取值范围；
(2)线段
交圆
于点
，记
的面积分别为
，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设
，则
，根据向量定比分点公式，
将
坐标代入双曲线，用
表示出
，求
的取值范围即可.
（2）根据
，用
表示出
，求出其值即可.
【详解】（1）由双曲线
即
可得交点
，
设
，则
，
根据向量定比分点公式：
，
将
坐标代入双曲线得：
，
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两式相减得：
则有：
，再结合
，解得
，
故
．
（2）由
可得
，
在
上则有
，将
代入，
，
根据双曲线的定义
，
，
显然
，
，
，
则
，当且仅当
时取等号，
故
为
．
【点睛】方法点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，
与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、
，得到
a，c 的关系．
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30．（2023·浙江·校联考二模）已知
为抛物线
的焦点，过点
的直线与抛物线
交于不同的两点
、
，满足
．
(1)求抛物线
的方程；
(2)过点
且斜率为
的直线与直线
交于点
，
，证明：直线
经过定
点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由
可得
，可得出关于
的等式，解出
的值，即
可得出抛物线
的方程；
（2）写出直线
、
的方程，将这两条直线的方程联立，求出点
的坐标，根据
可得出点
的坐标，设直线
的方程为
，列出韦达定理，化简
直线
的方程，可求出直线
所过定点的坐标.
【详解】（1）解：设
、
，
由
可得
，即
，解得
，
故抛物线
的方程为
．
（2）解：抛物线
的焦点为
，
，
直线
的方程为
，直线
的方程为
，
联立
可得
，
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故点
的坐标为
，
由
可知
为
的中点，则点
，
当直线
轴时，直线
与抛物线
只有一个交点，不合乎题意，
设直线
的方程为
，联立
可得
，
，解得
或
，
由韦达定理可得
，
，所以，
，
直线
的斜率为
所以，直线
的方程为
，
即
因为
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因为
，
所以，
，
故直线
的方程为
，
因此，直线
过定点
.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目
的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个
直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个
方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点
，常利用直线的点斜式方程
或截距式
来证明.
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