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专题05 基本不等式
考点一
直接法求最值
考点二
拼凑法求最值
考点三
二次与二次（或一次）的商式求最值
考点四
“1”的代换
考点五
条件等式求最值
考点六
基本不等式的实际应用
一、基本不等式：
（一正二定三相等）
（1）基本不等式成立的条件：
.
（2）等号成立的条件，当且仅当
时取等号．
二、几个重要不等式
1.
2.
3.
4.
三。、利用基本不等式求最值问题
（1）如果积xy 是定值P，那么当且仅当
时，x＋y 有最小值是
.(简记：积定和最小)
（2）如果和x＋y 是定值P，那么当且仅当
时，xy 有最大值是
.(简记：和定积最大)
1
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考点一
直接法求最值
例1．（2023 春·广西南宁·高三统考开学考试）若
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式及不等式的解法可得答案.
【详解】因为
，
，
所以
即
，当且仅当
时，等号成立；
解得
或
（舍）.
故选：B.
例2．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知实数
，
满足
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由均值定理即可求得
的最小值.
【详解】
，
当且仅当
时等号成立，
所以
的最小值为
.
故选：A.
例3．（2021 秋·河南·高三校考阶段练习）不等式
中，等号成立的条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
2
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【答案】D
【分析】利用基本不等式的取等条件即可求解.
【详解】由基本不等式可知
，当且仅当
，
即
时等号成立，
故选：
.
例4．（2023 春·上海·高三上海市实验学校校考阶段练习）若正数
，
满足
，则
的最大值为
__________．
【答案】
【分析】利用消元法，再结合二次函数的性质即可得解.
【详解】由
，得
，
则
，解得
，
则
，
所以当
，即
时，
取得最大值
.
故答案为：
.
例5．（2023 秋·辽宁沈阳·高三沈阳铁路实验中学校考期末）当
时，函数
（ ）
A．有最大值
B．有最小值
C．有最大值4
D．有最小值4
【答案】A
【分析】利用基本不等式可直接得到函数的最值.
【详解】
，
，
，当且仅当
时等号成立，
故选：A
3
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考点二
拼凑法求最值
例6．（2023·陕西榆林·统考三模）若
，则
的最小值为________．
【答案】7
【分析】利用基本不等式求目标式的最小值，注意取值条件.
【详解】因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
时等号成立，故
的最小值为7．
故答案为：7
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知
，求
的最大值.
【答案】
【分析】由基本不等式
，得
，由此即可求出函数
的最
大值.
【详解】因为
，所以
，所以
，
当且仅当
即
时，等号成立，当
时，
的最大值为
例8．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若
，则
的最小值为__________．
【答案】3
【分析】利用基本不等式，变形求函数的最小值.
【详解】因为
，由基本不等式得：
，
当且仅当
，且
，即
时等号成立．
4
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故答案为：3
例9．（2022 秋·江西·高三统考阶段练习）已知实数x 满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．0
C．4
D．8
【答案】B
【分析】由已知得到
，对题中所给的式子进行转化，利用基本不等式求最大值.
【详解】由
得到
，则
，
，
当且仅当
上式取等号，则
的最大值为0.
故选：B.
例10．（2022 秋·广东佛山·高一佛山市南海区南海执信中学校考阶段练习）若
，则
取最
大值时x 的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由基本不等式求得最大值．
【详解】
，则
，
所以
，
当且仅当
即
时等号成立.
故选：C．
考点三
二次与二次（或一次）的商式求最值
例11．（2023·全国·高三专题练习）函数
在
上的最大值为_______________．
【答案】
5
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【分析】令
，则
，则
，利用基本不等式计算可得.
【详解】解：因为
，
，令
，则
，
则
，
当且仅当
，
即
时，等号成立．
故
的最大值为
．
故答案为：
例12．（2023·全国·高三专题练习）函数
的最小值为_________．
【答案】
【分析】将函数化为
，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可.
【详解】由
，又
，
所以
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以原函数的最小值为
.
故答案为：
例13．（2022 秋·上海·高三专题练习）
，则
的最小值是__，此时a＝__．
【答案】 2； 0
【分析】化简
，根据基本不等式求解即可.
【详解】显然，
，
6
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则，
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
所以，
的最小值是2，此时
.
故答案为：2；0．
例14．（2022 秋·云南楚雄·高三云南省楚雄第一中学校考阶段练习）函数
的最小
值是（ ）
A．
B．3
C．6
D．12
【答案】A
【分析】由基本不等式求解，
【详解】
因为
所以
， (当且仅当
即
时，等号成立
故
最小值为
，
故选：A
例15．（2022 秋·上海浦东新·高三校考期中）函数
的值域是__________．
【答案】
【分析】分
三种情况讨论，运用基本不等式求值域.
【详解】当
时，
当
，
.
若
时，
，当且仅当
，即
时等号成立，此时
7
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，即
.
若
时，
，当且仅当
，即
时等号成立，此
时
，即
.
综上所述，函数的值域为
.
故答案为：
考点四
“1”的代换
例16．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数
，
，点
在直线
上，则
的最小值
为（ ）
A．4
B．6
C．9
D．12
【答案】C
【分析】根据题意可得
，结合基本不等式运算求解.
【详解】由题意得
，且
，
故
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立.
故选：C.
例17．（河南省创新发展联盟2022-2023 学年高三下学期第二次联考数学试题）已知正实数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．1
C．9
D．
8
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【答案】B
【分析】将条件
转化为
，然后利用“1 的代换”和基本不等式可得.
【详解】因为
，变形得
.
由题意
，当且仅当
，即
时，等号成立．
故选：B.
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知
都是正数，且
，则
的最小值为
__________．
【答案】
/
【分析】将
化为
，和
相乘，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】因为
都是正数，且
，则
,
则
,
当且仅当
，结合
，即
，
时取等号，
故答案为：
例19．（2023 春·湖南邵阳·高三统考开学考试）若
，
，且
，则
的最小值为
________．
【答案】3
【分析】根据“1”的变形技巧，再由均值不等式求最小值即可.
【详解】由题意得
，
，
，
所以
9
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，
当且仅当
，即
时，等号成立．
故答案为：3
例20．（2023 春·湖南·高一校联考期中）已知正实数a，b 满足
，则
的最小值是（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由已知可推得
，然后根据“1”的代换，利用基本不等式，即可得出最小值.
【详解】由已知可得，
，所以
.
又
，
所以
.
当且仅当
，即
，
时，等号成立.
所以，
的最小值是
.
故选：C.
考点五
条件等式求最值
例21．（2023 春·重庆九龙坡·高三重庆市铁路中学校校考阶段练习）已知
，且
，则
的最小值为___________.
【答案】
10
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【分析】利用等式
求解
，代入
计算，结合基本不等式，即可求得
的最小值.
【详解】因为
，解得：
，
则
当且仅当
，
时，“=”成立
故答案为：
.
例22．（2023·江苏·统考一模）（多选）已知正数a，b 满足
，则（ ）
A．
的最小值为
B．
的最小值为
C．
的最小值为
D．
的最小值为
【答案】AC
【分析】利用基本不等式结合条件逐项分析即得.
【详解】对于A，
，
当且仅当
时成立，A 正确；
对于B，
，即
，可得
，
所以
，当且仅当
时成立，B 错误；
对于C，
，当且仅当
时成立，C 正确；
对于D，由
，
当且仅当
，即
，
等号成立，
所以
，此时
，不能同时取等号，所以D 错误.
故选：AC.
例23．（2023·重庆·统考模拟预测）（多选）若实数
，
满足
，则（ ）
A．
B．
11
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C．
D．
【答案】BC
【分析】利用基本不等式，分
，
，
讨论，可得
的范围，再利用
的范围求出
的
范围.
【详解】
,
当
时，
，当且仅当
或
时等号成立，得
，
当
时，
，当且仅当
或
时等
号成立，得
，
当
时，由
可得
或
综合可得
，故C 正确，D 错误；
，
当
时，
，故A 错误，B 正确；
故选：BC.
例24．（2023 春·湖南·高一校联考阶段练习）若
，且
，则
的最大值为
________.
【答案】
/
【分析】将
变为
，则可将
化为
，利用基本不等式即可求
得答案.
【详解】由
，且
可得
，
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则
，
当且仅当
，结合
，即
时取等号，
即
的最大值为
，
故答案为：
例25．（2023·江西·校联考模拟预测）已知实数
满足，
，则
的最小值为
__________.
【答案】2025
【分析】先对式子变形得到
，由基本不等式求出
，从而求出
的最小值.
【详解】
，
因为
，所以
，
，
，故
，
由基本不等式得：
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故
，
即
的最小值为2025.
故答案为：2025.
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考点六
基本不等式的实际应用
例26．（2023·上海长宁·统考二模）某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围城一个2 平方米的矩形植
物种植园，矩形的一条边为围墙，如图．则至少需要___________米栅栏．
【答案】
【分析】设矩形植物种植园的宽、长为
，由题意结合均值不等式求解即可.
【详解】设矩形植物种植园的宽、长为
，
所以
，
则
，当且仅当“
”时取等.
故至少需要
米栅栏．
故答案为：
．
例27．（2023 春·山西太原·高三校联考阶段练习）某游泳馆拟建一座占地面积为200 平方米的矩形泳池，
其平面图形如图所示，池深1 米，四周的池壁造价为400 元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为100
元/米，泳池底面造价为60 元/平方米（池壁厚忽略不计），设泳池的长为x 米，写出泳池的总造价
，
问泳池的长为多少米时，可使总造价
最低，并求出泳池的最低造价．
【答案】
，泳池的长设计为15 米时，可使总造价最低，最低总
造价为36000 元．
【分析】根据矩形面积公式列出函数表达式，结合基本不等式即可求解.
【详解】因为泳池的长为x 米，则宽为
米．
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则总造价
，
整理得到
，
当且仅当
时等号成立．
故泳池的长设计为15 米时，可使总造价最低，最低总造价为36000 元．
例28．（2023·广西南宁·统考二模）某单位为提升服务质量，花费3 万元购进了一套先进设备，该设备每
年管理费用为0.1 万元，已知使用
年的维修总费用为
万元，则该设备年平均费用最少时的年限为
（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】C
【分析】根据题意可得该设备年平均费用
，结合基本不等式分析运算.
【详解】由题意可得：该设备年平均费用
，
∵
，则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以该设备年平均费用最少时的年限为9.
故选：C.
例29．（2023 秋·陕西渭南·高三统考期末）某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为
，
体育馆高
，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100 元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每
平方米150 元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250 元，设体育馆前墙长为
米．
(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为
元
，
若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求
的取值范围．
【答案】(1)当前墙的长度为20 米时，甲工程队报价最低为84000 元
(2)当
时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功
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【分析】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解；
（2）根据题意可知
对任意的
恒成立，分离参数可
得
对任意的
恒成立，分类常数结合基本不等式求出
的最小值，即可得解.
【详解】（1）因为体育馆前墙长为
米，地面面积为
，
所以体育馆的左右两侧墙的长度均为
米
，
设甲工程队报价为
元，
所以
，
因为
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以当前墙的长度为20 米时，甲工程队报价最低为84000 元；
（2）根据题意可知
对任意的
恒成立，
即
对任意的
恒成立，
所以
对任意的
恒成立，
因为
，
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，
故当
时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．
例30．（2023 秋·四川凉山·高三统考期末）为迎接四川省第十六届少数民族传统运动会，州民族体育场进
行了改造翻新，在改造州民族体育场时需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限为15 年，已知每千套座椅
建造成本是8 万元，设每年的管理费用为
万元与总座椅数
千套，两者满足关系式：
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．15 年的总维修费用为80 万元，记
为15 年的总费用．（总费用=建造成本费用+使
用管理费用+总维修费用）．请问当设置多少套座椅时，15 年的总费用
最小，并求出最小值．
【答案】
千套时，
取得最小值为180 万元
【分析】根据总费用=建造成本费用+使用管理费用+总维修费用，再根据基本不等式求总费用的最值，并
求等号成立的条件.
【详解】由题意得：建造成本费用为
，
使用管理费：
，所以
，
，
当且仅当
时，即
千套时，
取得最小值为180 万元．
一、单选题
1．（2021 秋·陕西渭南·高二校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
【答案】B
【分析】结合选项，根据基本不等式计算即可判断ABD；根据举例说明即可判断C.
【详解】A：当
时，
，
，
当且仅当
即
时，等号成立；
当
时，
，
，
17
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当且仅当
即
时，等号成立，故A 错误；
B：由
，得
，
当且仅当
即
时，等号成立，故B 正确；
C：当
时，
，故C 错误；
D：当
时，
，
，当且仅当
即
时等号成立，故D 错误.
故选：B.
2．（2023 秋·浙江杭州·高一杭十四中校考期末）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设
在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S 可由公式
求得，
其中
为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足
，则此三角形面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意可得
，代入三角形的面积公式
可得
，
再结合
利用基本不等式可得
.
【详解】根据题意可知
，所以
，
由
，所以
，同理可得
；
18
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由基本不等式可得
，
当且仅当
时，等号成立；即
；
即此三角形面积的最大值为
.
故选：D
3．（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）若
，
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【答案】C
【分析】利用基本不等式即可求出最值.
【详解】
，
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最小值为
.
故选：C.
4．（2023 春·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第一中学校考期中）若
，
，且
，
的最小值为（ ）
A．12
B．14
C．16
D．18
【答案】D
【分析】由
，可得
，后由基本不等式可得答案.
【详解】
，
，
于是
，
19
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当且仅当
，即
时取等号.
故选：D
5．（2023 春·河南焦作·高三统考期中）若
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】将
化为
，后利用基本不等式可得答案.
【详解】
，
因为
，所以
，
则
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为
.
故选：B.
6．（2023·全国·高三专题练习）函数
的最小值是（ ）
A．10
B．12
C．13
D．14
【答案】A
【分析】令
，则
，后由基本不等式可得答案.
【详解】令
，
，当且仅当
，即
时取等号.
故选：A
20
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7．（2023·辽宁·校联考二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示
图形，在等腰直角三角形
中，点O 为斜边AB 的中点，点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点，设
，
，用该图形能证明的不等式为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
为等腰直角三角形，得到
，
，然后在
中，得到CD
判断.
【详解】解：由图知：
，
在
中，
，
所以
，即
，
故选：C
8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数
，
，满足
，则
的最小值为（ ）
A．5
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据基本不等式求出
.然后即可根据不等式的性质得出
21
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，列出两个等号同时成立的条件，即可得出答案.
【详解】由已知可得，
，
，
.
因为
，
当且仅当
，即
时等号成立.
所以，
，
当且仅当
，即
时，两个等号同时成立.
所以，
.
故选：D.
9．（2021 春·陕西西安·高一校考期中）已知a，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先证明
，再证明
，即得解.
【详解】因为
，且
，
，
如果
，则
；
如果
，则
.
综上：
.
所以
，
所以
，
所以
，
22
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所以
，
所以
，
故选：B
10．（2023·全国·模拟预测）若
，
，则“
”的一个必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式和充分条件，必要条件的判断逐项进行检验即可求解.
【详解】对于选项A：若
，则
，所以
，
又
，
，所以
，所以“
”是“
”的充分条件，故选项A 错误；
对于选项B：若
，则
，所以
，即
，所以“
”是
“
”的充要条件，故选项B 错误；
对于选项C：由
得
，
另一方面取
，
，满足
，但
，
所以“
”是“
”的一个必要不充分条件，故选项C 正确；
对于选项D：取
，
，满足
，但
，所以“
”不是“
”的必要条
件，故选项D 错误.
故选：C.
二、多选题
11．（2023 秋·甘肃天水·高三统考期末）已知
，且
，若不等式
恒成立，则
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的值可以为（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7
【答案】BCD
【分析】根据题意和基本不等式，求得
，由
恒成立，得到
，结合选项，即可求解.
【详解】由
，且
，
可得
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，
又因为不等式
恒成立，所以
，
结合选项，可得选项B、C、D 符合题意.
故选：BCD.
12．（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）已知a，b 都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】AB 选项，利用基本不等式求出最小值，得到A 正确，B 错误；C 选项，作差法比较出大小关系；
D 选项，先变形后利用基本不等式进行求解.
【详解】A 选项，因为a，b 都是正实数，故
，
当且仅当
，即
时，等号成立，A 正确；
B 选项，因为a，b 都是正实数，故
，
当且仅当
，即
时，等号成立，B 错误；
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C 选项，
，故
恒成立，C 正确；
D 选项，a 是正实数，故
，其中
，
故
，当且仅当
，即
时，等号成立，D 错误.
故选：AC
13．（2023 春·四川泸州·高三泸县五中校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．
的最小值为
B．已知
，则
的最小值为
C．若正数
满足
，则
的最小值为
D．
为正实数，若
，则
的最大值为
【答案】CD
【分析】根据基本不等式的条件即可判断A；利用配凑法结合基本不等式即可判断B；根据
结合基本不等式，即可判断C；根据
结合基本不等式，即
可判断D.
【详解】解：对于A，当
时，
，故A 错误；
对于B，若
，则
，
所以
，
当且仅当
，即
时，取等号，
所以
的最小值为
，故B 错误；
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对于C，正数x，y 满足
，则
，
则
，
当且仅当
，即
时，取等号，所以
的最小值为3，故C 正确；
对于D，
，
即
，当且仅当
时，取等号.即
的最大值为
，故D 正确；
故选：CD
14．（2023 秋·浙江杭州·高一杭十四中校考期末）下列选项正确的是（ ）
A．若
，则
的最小值为4
B．若
，则
的最小值是2
C．若
，则
的最大值为
D．若正实数x，y 满足
，则
的最小值为6
【答案】CD
【分析】A 选项，分
与
时，利用基本不等式求解；B 选项通过使用基本不等式，一正二定三相
等，发现等号不成立；C 选项，先判断出
，
，再基本不等式进行求解；D 选项，1 的妙用，使
用基本不等式进行求解
【详解】当
时，
，当且仅当
，即
时取等号，
则
有最大值为
，当
时，
，当且仅当
，即
时取等号，
则
的最小值为2，故A 错误；
因为
，
，所以
，
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等号成立的条件是
，即
，方程无解，即最小值不为2，B 错误；
若
，故
，
，则
，
当且仅当
即
时取等号，此时取得最大值
，C 正确；
正实数
满足
，则
，
当且仅当
，即
时取等号，则
的最小值为6，D 正确.
故选：CD
三、填空题
15．（2023·天津南开·统考一模）已知实数
，则
的最小值为___________.
【答案】
【分析】运用基本不等式求和的最小值即可.
【详解】∵
，
，
，
∴
，当且仅当
即
时取等号.
故答案为：
.
16．（2022 秋·贵州铜仁·高三沿河民族中学校考期中）一批救灾物资随17 列火车以km/h 的速度匀速直达
900km 外的灾区，为了安全起见，两列火车之间和距离不得小于
，问这批物资运到灾区至少要
_____h.
【答案】8
【分析】先把物资运到灾区行驶的总路程求出来，然后用物理学中的时间、路程、速度关系求出结果.
【详解】由题可知物资运到灾区行驶的总路程为
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所以物资运到灾区所需时间为
当且仅当
，即
时取等号
至少要8
小时.
故答案为：8
17．（2023 春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中）已知
，
，
，则
的最大值为
____________．
【答案】
/
【分析】将
化为
，继而将
变形为
，展开后利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由已知
，
，
，
则
，
而
，当且仅当
时等号成立，
故
的最大值为
.
故答案为：
.
18．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）正数a，b 满足
，若不等式
恒成
立，则实数m 的取值范围________．
【答案】
【分析】由均值不等式“1”的代换求出
，则
，解不等式即可求出答案.
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【详解】解析：由题
，
则
，
∴
，
解得:
．
故答案为：
.
四、解答题
19．（2023 秋·山西大同·高三山西省阳高县第一中学校校考期末）已知
.
(1)当
时，求
的最小值；
(2)当
时，求
的最小值.
【答案】(1)16
(2)
【分析】（1）由
，得到
，进而解不等式
即可求解；
（2）由
，可得
，再用基本不等式“1”的妙用即可求解.
【详解】（1）当
时，
，
即
，
即
，
所以
，
即
，当且仅当
时等号成立，
所以
的最小值为16.
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（2）当
时，
，即
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时等号成立，
所以
的最小值为
.
20．（2022 秋·高三单元测试）为提高隧道车辆通行能力，研究了隧道内的车流速度（单位：千米/小
时）和车流密度
（单位：辆/千米）所满足的关系式：
．研究表明：
当隧道内的车流密度达到120 辆/千米时造成堵塞，此时车流速度为0 千米/小时．
(1)若车流速度
千米/小时，求车流密度
的取值范围；
(2)隧道内的车流量
（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足
，求隧道内车流量
的最大值，并指出车流量最大时的车流密度
辆/千米．
【答案】(1)
(2)最大值为2600 辆/小时，此时车流密度
为80 辆/千米
【分析】（1）先求解
的值，再利用解析式求解范围；
（2）先表示出
的解析式，利用基本不等式进行求解最值.
【详解】（1）由题意知，当
（辆/千米）时，
（千米/小时），代入
得
，
所以
当
时，
，易知符合题意；
当
时，
，解得
，所以
．
综上，车流密度
的取值范围是
．
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（2）由（1）知
所以当
时，
为增函数，所以
，当且仅当
等号成立；
当
时，
，
即
，当且仅当
，即
等号成立．
综上：
的最大值为2600（辆/小时），此时
（辆/千米）．
即隧道内车流量
的最大值为2600 辆/小时，此时车流密度
为80 辆/千米．
21．（2022 秋·四川·高三校考阶段练习）志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD，已知点E 在
边CD 上，AE＝CE，AB＞AD，且矩形的周长为8cm.
(1)设AB＝xcm，试用x 表示出图中DE 的长度，并求出x 的取值范围；
(2)计划在△ADE 区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE 的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽.
【答案】(1)
(2)队徽的长和宽分别为
【分析】（1）在直角三角形ADE 中，由勾股定理得出DE 的长度；
（2）由三角形面积公式结合基本不等式求解.
【详解】（1）由题意可得
，且
，可得
，由
，
在直角三角形ADE 中，可得
，
即
，化简可得
；
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（2）
，
当且仅当
时，即队徽的长和宽分别为
，可得△ADE 的面积取得最大值.
22．（2023 春·河南·高三清丰县第一高级中学校联考阶段练习）已知
均为正数，且
.证明：
(1)若
，则
；
(2)
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由
可得
，然后利用基本不等式“1”的妙用求解即可；
（2）将
，
，
三个式子相加可得
，然后
对
进行平方即可证明
【详解】（1）因为
，且
均为正数，所以
，
则
，
当且仅当
时，等号成立，故
.
（2）由基本不等式可得
，当且仅当
时等号成立，
，当且仅当
时等号成立，
，当且仅当
时等号成立，
所以三个式子相加可得
，当且仅当
时等号成立.
又
，
又
，
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所以
，当且仅当
时等号成立.
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