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专题08 幂函数及函数应用
№考向解读
考点精析
➊
真题精讲
➋
模拟精练
➌
专题训练
➍
备战2024 高考数学一轮复习
（新高
考）
1
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专题08 幂函数及函数应用
命题解读
命题预测
复习建议
幂函数是一种基本初等函
数，主要考察是幂函数的图
象以及幂函数的性质解决相
关问题；对于函数应用的考
察，主要体现在函数模型的
实际应用，往往以实际应用
题为主。
预计2024 年的高考对于幂函
数来说最多出一个选择题，
以幂函数的图象和性质应用
为主，函数模型以分段函
数、二次函数的实际应用为
主要题型。
集合复习策略：
1. 掌握幂函数的图象和性
质；
2.掌握函数模型，会利用函
数模型解决实际问题.
→➊考点精析←
一、幂函数的图象和性质
1．幂函数：形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α 是常数.
2．常见幂函数：
函数
y=x
y=x2
y=x3
y=x
1
2
y=x-1
图像
性质
定
义
域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值
域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇
偶
性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶
函数
奇函数
单
调
性
在R 上单调递
增
在(-∞,0]上 单
调递减;在(0,+∞)
上 单调递增
在R 上单调递增在[0,+∞)上单调
递增
在(-∞,0)和
(0,+∞)上 单
调递减
公
共
点
(1,1)
二、函数的应用
1. 函数应用：一次函数、二次函数、幂函数等一些基本初等函数模型的应用.
2.函数模型：提炼问题---收集数据---分析数据---建立函数模型---求模、检验、还原
→➋真题精讲←
1．（2021 年全国高考乙卷数学（文）试题）下列函数中最小值为4 的是（ ）
2
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A．
B．
C．
D．
2．（2021·全国高考真题）已知函数
是偶函数，则
______.
3. 【2020 年江苏省盐城市第一中学调研】某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，
因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量
（单位：千克）与施用肥料
（单位：千克）满足如下关系：
，肥料成本投入为
元，其它成本投入（如培育管理、
施肥等人工费）
元．已知这种水果的市场售价大约为15 元／千克，且销路畅通供不应
求．记该水果树的单株利润为
（单位：元）．
（Ⅰ）求
的函数关系式；
（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?
→➌模拟精练←
1．（2022·全国·高一课时练习）幂函数
在
上是增函数，则
以下说法正确的是（ ）
A．
3
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B．函数
在
上单调递增
C．函数
是偶函数
D．函数
的图象关于原点对称
2．（2022·全国·高一课时练习）若函数
在定义域内的某区间M 是增函数，且
在
M 上是减函数，则称
在M 上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则不存在区间M 使
为“弱增函数”
B．若
，则存在区间M 使
为“弱增函数”
C．若
，则
为R 上的“弱增函数”
D．若
在区间
上是“弱增函数”，则
3、（2022·全国·高一单元测试）已知幂函数
为奇函数.
(1)求函数
的解析式；
(2)若
，求
的取值范围.
4、（2022·全国·高一单元测试）已知幂函数
为偶函数，
(1)求函数
的解析式；
4
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(2)若函数
在
上的最大值为2，求实数
的值．
5、（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数
的定义域为全体实数
R.
(1)求
的解析式；
(2)若
在
上恒成立，求实数k 的取值范围.
6．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数
为偶函数，
(1)求函数
的解析式；
(2)若函数
在
上的最大值为1，求实数
的值.
7．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数
，且
在区间
5
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上单调递减.
(1)求
的解析式及定义域；
(2)设函数
，求证：
在
上单调递减.
8．（2022·全国·高一课时练习）几名大学毕业生合作开设3D 打印店，生产并销售某种3D
产品.已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34 元，该店的月
总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其他固定支出
20000 元.假设该产品的月销售量t（件）与销售价格x（元/件）（
）之间满足如下关
系：①当
时，
；②当
时，
.记该店月利润为M（元），月利润=月销售总额-月总成本.
(1)求M 关于销售价格x 的函数关系式；
(2)求该打印店的最大月利润及此时产品的销售价格.
6
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→➍专题训练←
1.已知幂函数
，则实数
等于（ ）
A．2
B．1
C．0
D．任意实数
2.已知函数
，若方程
有4 个不同的实数根，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．（0，1）
C．
D．
3.下列命题正确的是（ ）
A．幂函数的图象都经过
，
两点
B．函数
的图象经过第二象限
C．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同
D．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点
4.有如下命题，其中真命题的标号为（ ）
A．若幂函数
的图象过点
，则
B．函数
且
的图象恒过定点
C．函数
在
上单调递减
D．若函数
在区间
上的最大值为
，最小值为，则实数
的取值范
围是
5.图中
，
，
分别为幂函数
，
，
在第一象限内的图象，则
，
，
依次可以是（ ）
7
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A．
，3，
B．
，3，
C．
，
，3
D．
，
，3
6.下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．函数
在
上单调递增
B．函数
在
上是减函数
C．函数
的单调区间是
D．已知
在
上是增函数，若
，则有
7.若函数
是幂函数，且是偶函数，则m＝____________.
8.若幂函数
的图象过点
，则
__________.
9.已知幂函数
的图象过点
，则
___________.
10.已知幂函数
为偶函数，
(1)求函数
的解析式；
(2)若函数
在
上的最大值为2，求实数
的值．
11.已知幂函数
是偶函数，且在
上单调递增.
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（1）求函数
的解析式；
（2）若
，求
的取值范围：
（3）若实数
满足
，求
的最小值.
12.已知幂函数
在
上单调递增，函数
．
（1）求m 的值；
（2）当
时，记
的值域分别为集合A，B，设
，若p 是q
成立的必要条件，求实数k 的取值范围．
（3）设
，且
在
上单调递增，求实数k 的取值范围．
13.某市运管部门响应国家“绿色出行，节能环保”的号召，购买了一批豪华新能源公交车
投入营运.据市场分析，这批客车营运的总利润
(单位：10 万元)与营运年数
(
是正整
数)成二次函数关系，其中第三年总利润为2，且投入运营第六年总利润最大达到110 万元
（1）请求出
关于
的函数关系式；
（2）求营运的年平均总利润的最大值(注：年平均总利润
)
14.为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放
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量
(单位：
)与时间(单位：
）的函数关系为
，当消毒
后，测量得药物释放量等于
；而实验表明，当药物释放量小于
对人体无害．
（1）求
的值；
（2）若使用该消毒剂对房间进行消毒，求对人体有害的时间有多长？
15.某厂生产某种零件，每个零件的成本为
元，出厂单价定为
元，该厂为鼓励销售商
订购，决定当一次订购量超过
个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降
低
元，但实际出厂单价不能低于
元.
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为41 元？
(2)设一次订购量为
个，零件的实际出厂单价为
元，写出函数
的表达式；
(3)当销售商一次订购
个零件时，该厂获得的利润是多少元？（工厂售出一个零件的利
润=实际出厂单价-成本）
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