文档文本内容
随机变量及其分布单元复习（基础卷1）
一．选择题（共8 小题，满分40 分，每小题5 分）
1.抛掷2 枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ = 4表示的随机试验结果是（ ）
A．2 枚都是4 点 B．1 枚是1 点，另1 枚是3 点
C．2 枚都是2 点 D．1 枚是1 点，另1 枚是3 点，或者2 枚都是2 点
2.下列式子成立的是（ ）
A．P( A |B)＝P(B| A)
B．0< P(B| A )<1
C．P( AB)＝P( A)· P(B| A )
D．P( A ∩B| A )＝P(B)
3.已知随机变量ξ ∼B(7,0.5)，则概率P(ξ =k )最大时，k的取值为（ ）
A．3
B．4
C．3或4
D．4或5
4.某校高三年级有500 人，一次数学考试的成绩X 服从正态分布N (110,100)．估计该校高三年级本次考试学生数学成
绩在120 分以上的有（ ）
参考数据：若X ~ N (μ,σ
2)，则P( μ−σ < X ≤μ+σ )=0.6827 , P( μ−2σ < X ≤μ+2σ )=0.9545，
P( μ−3σ < X ≤μ+3σ )=0.9973．
A．75 人
B．77 人
C．79 人
D．81 人
5.某校有7 名同学获省数学竞赛一等奖，其中男生4 名，女生3 名．现随机选取2 名学生作“我爱数学”主题演讲．
假设事件A为“选取的两名学生性别相同”，事件B为“选取的两名学生为男生”，则P(B| A)=（ ）
A．1
4
B．3
4
C．1
3
D．2
3
6.已知随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
a
2a−1
6
1
6
若η=2ξ −1，则D (η)=（ ）
A．8
9
B．17
9
C．16
9
D．25
9
7.为了备战2023 斯诺克世锦赛，丁俊晖与赵心童两人进行了热身赛，约定每局胜者得1 分，负者得0 分，热身进行到
有一人比对方多2 分或打满6 局时停止，设丁俊晖在每局中获胜的概率为2
3
，赵心童在每局中获胜的概率为1
3
，且各
局胜负相互独立，比赛停止时已打局数为ξ，则E (ξ)=（ ）
A．5
9
B．266
81
C．20
81
D．2
9
8.在一个袋中装有质地大小一样的6 个黑球，4 个白球，现从中任取4 个小球，设取的4 个小球中白球的个数为X，则
下列结论正确的是（ ）
A．P( X =1)= 2
5
B．随机变量X服从二项分布
C．随机变量X服从超几何分布
D．E (X )= 8
3
二：多项选择题：本题共4 小题，每小题满分5 分，共20 分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对得5 分，部分选对得2 分，有选错的得0 分．
9．已知
为随机事件，
，则下列结论正确的有（ ）
A．若
为互斥事件，则
B．若
为互斥事件，则
C．若
相互独立，则
D．若若
，则
10．在数字通信中，信号是由数字“ ”和“ ”组成的序列．现连续发射信号
次，每次发射信号“ ”的概率均为
．记发射信号“1”的次数为
，记
为奇数的概率为
，
为偶数的概率为
，则下列说法中正确的有（ ）
A．当
，
时，
B．
时，有
C．当
，
时，当且仅当
时概率最大
D．
时，
随着
的增大而增大
11．甲盒中装有3 个蓝球、2 个黄球，乙盒中装有2 个蓝球、3 个黄球，同时从甲、乙两盒中取出
个球交换，
分别记交换后甲、乙两个盒子中蓝球个数的数学期望为
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．冯老师教高二4 班和5 班两个班的数学，这两个班的人数相等.某次联考中，这两个班的数学成绩均近似服从正态
分布，其正态密度函数
的图象如图所示，其中
是正态分布的期望，
是正态分布的标准差，且
，
，
.关于这次数学考试成绩，下列结论错误
的是（ ）
A．4 班的平均分比5 班的平均分高
B．相对于5 班，4 班学生的数学成绩更分散
C．4 班108 分以上的人数约占该班总人数的4.55%
D．5 班112 分以上的人数与4 班108 分以上的人数大致相等
三．填空题（共4 小题，满分20 分，每小题5 分）
13.离散型随机变量X的概率分布规律为P(X =n)=
a
n(n+1)
(n=1,2,3,4)，其中a是常数，则P(
1
2 <n< 5
2)= .
14.某工厂生产一批零件（单位：cm），其尺寸X服从正态分布N (μ,σ
2)，且P(X ≤20)=0.2，P(X <26)=0.8，则
μ= ．
15.2021 年国庆长假期间，电影《长津湖》正式上映.某单位5 位同事小郭、小张、小陈、小李和小常相约一起去电影
院观看，他们各自手上持有的电影票的座位号恰好为8 排的5 个相邻的座位编号，若进入影院后，每人随机地选择这
5 个座位中的其中一个就座，设各人所坐的座位号与他持有的电影票座位号不同的人数为X，则E (X )= .
16.口袋里装有2 红，2 白共4 个形状相同的小球，对其编号红球1，2，白球3，4，从中不放回的依次取出两个球，事
件A =“第一次取出的是红球”，事件B =“第二次取出的是红球”，事件C =“取出的两球同色”，事件D =“取出
的两球不同色”，则以下命题所有正确的序号是 .
①A 与B 互斥 ②C 与D 互为对立事件
③A 与C 相互独立 ④P( D|B)= 1
3
四．解答题（共6 小题，满分70 分）
17.指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由．
(1)从10 张已编好号码的卡片(1 号到10 号)中任取一张，被取出的卡片的号数；
(2)一个袋中装有5 个白球和5 个黑球，从中任取3 个，其中所含白球的个数；
(3)某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度；
(4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差．
18.某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布N (500,5
2)（单位：g）．
(1)求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485 g的概率约为多少？（保留四位有效数字）
(2)该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485 g，检测员根据抽检结果，判断出该生产线
出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由（概率小于0.0001 为不可能事件）．
参考数据：若X ∼N (μ,σ
2)，则(|x−μ|<σ )≈0.6827，P(|X −μ|<2σ )≈0.9545，P(|X −μ|<3σ )≈0.9974．
19.已知随机变量X 的分布列如表所示，且E( X )= 2
3
．
X
0
1
x
P
1
2
1
3
p
(1)求D( X )的值；
(2)若Y = X + 4，求D(Y )的值；
(3)若Z =2−3 X，求D(Z )的值．
20.受环境和气候影响，近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎，经初步统计，这三个市分别有
8 % ,6 % ,4 %的人感染了支原体肺炎病毒，已知这三个市的人口数之比为4:6:10，现从这三个市中任意选取一个人.
(1)求这个人感染支原体肺炎病毒的概率；
(2)若此人感染支原体肺炎病毒，求他来自甲市的概率.
21.某款自营生活平台以及提供配送服务的生活类软件主要提供的产品有水产海鲜，水果，蔬菜，食品，日常用品等．
某机构为调查顾客对该软件的使用情况，在某地区随机访问了100 人，访问结果如下表所示．
使用人数
未使用人数
女性顾
客
40
20
男性顾
客
20
20
(1)从被访问的100 人中随机抽取2 名，求所抽取的都是女性顾客且使用该软件的概率；
(2)用随机抽样的方法从该地区抽取10 名市民，这10 名市民中使用该软件的人数记为X，问k (k =0,1,2,⋯,10)为何
值时，P(X =k )的值最大？
22.在课外体育活动中，甲、乙两名同学进行投篮游戏，每人投3 次，每投进一次得2 分，否则得0 分．已知甲每次投
进的概率为3
5
，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为4
5
，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次
投进的概率为3
4
，若前一次没有投进，则该次投进的概率为1
2
．
(1)求甲3 次投篮得4 分的概率；
(2)若乙3 次投篮得分为X，求X的分布列和数学期望．
