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随机变量及其分布单元复习（基础卷2）
一：单项选择题：本题共8 小题，每小题满分5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，
选对得5 分，选错得0 分．
1．下列随机变量是离散型随机变量的个数是（ ）
①掷一颗骰子出现的点数； ②投篮一次的结果； ③某同学在12：00 至12：30 到校的时间；
④从含有50 件合格品、10 件次品的产品中任取3 件，其中合格品的件数.
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知
分别为随机事件
的对立事件，
，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．若
互斥，则
D．若
独立，则
3．设随机变量
，随机变量
，
与
之间的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．一个不透明的袋子中装有3 个黑球，n 个白球
，这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3 个
球，已知取出2 个黑球，1 个白球的概率为
，设X 为取出白球的个数，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
5．已知随机变量
，若使
的值最大，则
（ ）．
A．6 或7
B．7 或8
C．5 或6
D．7
6．从1-20 中随机抽取3 个数，记随机变量
为这3 个数中相邻数组
的个数．如当这三个数为11，12，14 时，
；当这三个数为7，8，9 时，
．则
的值为（ ）
A．0.2
B．0.3
C．0.4
D．0.5
7．人工智能领域让贝叶斯公式：
站在了世界中心位置，AI 换脸是一项深度伪造技术，某视频
网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI 对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄
别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有
的可能鉴定为“AI”；它的误报
率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有
的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是
“AI”合成的可能性为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．李华在研究化学反应时，把反应抽象为小球之间的碰撞，而碰撞又分为有效碰撞和无效碰撞，李华有3 个小球
和
3 个小球
，当发生有效碰撞时，
，
上的计数器分别增加2 计数和1 计数，
，
球两两发生有效碰撞的概率均为
，现在李华取三个球让他们之间两两碰撞，结束后从中随机取一个球，发现其上计数为2，则李华一开始取出的三
个球里，小球
个数的期望是（ ）个
A．1.2
B．1.6
C．1.8
D．2
二：多项选择题：本题共4 小题，每小题满分5 分，共20 分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对得5 分，部分选对得2 分，有选错的得0 分．
9.已知三个正态密度函数φi(x)=
1
σ √2π e
−( x−μi)
2
2σ i
2 （x R
∈，i＝1，2，3）的图象如图所示，则下列结论正确的是
（ ）
A．σ1=σ 2 B．μ1> μ2 C．μ1= μ2 D．σ 2<σ 3
10.在一个袋中装有质地大小一样的6 个黑球，4 个白球，现从中任取4 个小球，设取的4 个小球中白球的个数为X，
则下列结论正确的是（ ）
A．P( X =1)= 2
5
B．P( X =2)= 3
7
C．随机变量X服从超几何分布
D．随机变量X服从二项分布
11.某儿童乐园有甲、乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.4 和0.6．如果他第一
天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.5，
则王同学（ ）
A．第二天去甲游乐场的概率为0.54 B．第二天去乙游乐场的概率为0.44
C．第二天去了甲游乐场，则第一天去乙游乐场的概率为5
9
D．第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为4
9
12.投资甲，乙两种股票，每股收益的分布列分别如表1 和表2 所示．
表1 股票甲收益的分布列
收益X（元）
−1
0
2
概率
0.1
0.3
0.6
表2 股票乙收益的分布列
收益Y（元）
0
1
2
概率
0.3
0.4
0.3
关于两种股票，下列结论正确的是（ ）
A．E (2 X +1)=3.2
B．D (2Y +1)=2.2
C．投资股票甲的期望收益较大
D．投资股票甲比投资股票乙风险高
三：填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．甲袋中有5 个红球和3 个白球，乙袋中有4 个红球和2 个白球，如果所有小球只存在颜色的差别，并且整个取球
过程是盲取，分两步进行：第一步，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别用
、
表示由甲袋中取出红球、白球
的事件；第二步，再从乙袋中随机取出两球，用B 表示第二步由乙袋中取出的球是“两球都为红球”的事件，则事件
B 的概率是 .
14．在某次大型人才招聘活动中，共有2000 人参加笔试，笔试成绩位于区间
，
，
的人数分别
为683，272，45，已知此次笔试满分为100 分，且成绩近似服从正态分布，则笔试成绩的标准差约为 （参考数
据：若
，则
）
15．一次抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，若出现的点数和是3 的倍数，则这次抛掷得分为3，否则得分为
．抛掷
n 次，记累计得分为
，若
，则
．
16．如果
是离散型随机变量，则
在
事件下的期望满足
其中
是
所有可能取值的集合.已知某独立重复试验的成功概率为
，进行
次试验，求第
次试验恰好是第
二次成功的条件下，第一次成功的试验次数
的数学期望是 .
四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在某次乒乓球团体选拔赛中，甲乙两队进行比赛，采取五局三胜制（即先胜三局的团队获得比赛的胜利），假设
在每局比赛中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4，各局比赛相互独立.
(1)求这场选拔赛三局结束的概率；
(2)若第一局比赛乙队获胜，求比赛进入第五局的概率.
18．随着温度降低，各种流行病毒快速传播.为了增强员工预防某病毒的意识，某单位决定先对员工进行病毒检测，为
了提高检测效率，决定将员工分为若干组，对每一组员工的血液样本进行混检（混检就是将若干个人被采集的血液样
本放到一个采集管中（采集之前会对这些人做好信息登记））.检测结果为阴性时，混检样本均视为阴性，代表这些人
都未感染：如果出现阳性，相关部门会立即对该混检管的所有受试者暂时单独隔离，并重新采集该混检管的所有受试
者的血液样本进行一一复检，直至确定其中的阳性.已知某单位共有N 人，决定n 人为一组进行混检，
(1)若
，每人被病毒感染的概率均为
，记检测的总管数为X，求X 的分布列：
(2)若
.每人被病毒感染的概率均为0.1，记检测的总管数为Z，求Z 的期望.
19．已知甲、乙两个小组参加某项知识竞赛的初赛．初赛分两轮，甲小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是
，
，乙小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是
，
．初赛中两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格．整
个竞赛中各个小组所有轮次比赛的结果互不影响．
(1)设获得决赛资格的小组总数为
，求
的分布列与数学期望；
(2)已知甲、乙两个小组经过初赛都获得了决赛资格，决赛以抢答题形式进行．甲、乙两小组对某道题进行抢答，抢到
的概率分别是
，
，答对的概率分别是他们各自获得决赛资格的概率．求该题被抢答正确的概率．
20．正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量
，定义其累积
分布函数为
．已知某系统由一个电源和并联的
，
，
三个元件组成，在电源电压正常的情况下，
至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立．
(1)已知电源电压
（单位：
）服从正态分布
，且
的累积分布函数为
，求
；
(2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量
（单位：天）表示某高稳定
性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为
.
（ⅰ）设
，证明：
；
（ⅱ）若第
天元件
发生故障，求第
天系统正常运行的概率．
附：若随机变量
服从正态分布
，则
，
，
．
21．世界杯足球赛淘汰赛阶段的比赛规则为：90 分钟内进球多的球队取胜，如果参赛双方在90 分钟内无法决出胜负
（踢成平局），将进行30 分钟的加时赛，若加时赛阶段两队仍未分出胜负，则进入“点球大战”．点球大战的规则
如下：①两队各派5 名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5 球前，一队进球数已多于另一
队踢5 球可能踢中的球数，则该队胜出，譬如：第4 轮结束时，双方进球数比
，则不需踢第5 轮了；③若前5 轮
点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6 轮起，双方每轮各派1 人踢点球，若均进球
或均不进球，则继续下一轮．直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜．现有甲乙两队在淘汰赛中相遇，双
方势均力敌，120 分钟（含加时赛）仍未分出胜负，须采用“点球大战”决定胜负．设甲队每名球员射进的概率为
，
乙队每名球员射进的概率为
．每轮点球结果互不影响．
(1)设甲队踢了5 球，
为射进点球的个数，求
的分布列与期望；
(2)若每轮点球都由甲队先踢，求在第四轮点球结束时，乙队进了4 个球并刚好胜出的概率．
22．2024 年高三数学适应性考试中选择题有单选和多选两种题型组成．单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，
选对得5 分，选错得0 分，多选题每题四个选项，有两个或三个选项正确，全部选对得6 分，部分选对得3 分，有错
误选择或不选择得0 分．
(1)已知某同学对其中4 道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，且每题的解答相互独立，记该同学
在这4 道单选题中答对的题数为随机变量X．
（i）求
；
（ii）求使得
取最大值时的整数
；
(2)若该同学在解答最后一道多选题时，除确定B，D 选项不能同时选择之外没有答题思路，只能随机选择若干选项作
答．已知此题正确答案是两选项与三选项的概率均为
，求该同学在答题过程中使得分期望最大的答题方式，并写出
得分的最大期望．
