北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
专题综合练
1.(2025届北师大附中期中,3)设x∈R,则“sin x=1”是“cos x=0”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
2.(2025届北京二中月考,7)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足2b2+c2-
a2=0,则sin B的最大值为 ( )
√3 1 1 2
A. B. C. D.
3 3 2 3
答案 C
3.(2025届北京五十五中月考,4)在平面直角坐标系中,角α的终边过点(-1,0),将α的终
边绕原点按逆时针方向旋转120°与角β的终边重合,则cos β= ( )
1 1
A. B.-
2 2
√3 √3
C. D.-
2 2
答案 A
1
4.(2023东城一模,5)在△ABC中,a=2√6,b=2c,cos A=- ,则S = ( )
4 ABC
△
3
A. √15 B.4
2
C.√15D.2√15
答案 C
5.(2020课标Ⅱ理,2,5分)若α为第四象限角,则( )
A.cos 2α>0 B.cos 2α<0
C.sin 2α>0 D.sin 2α<0
答案 D
6.(2023东城二模,8)“cos θ=0”是“函数f(x)=sin(x+θ)+cos x为偶函数”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
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7.(2024东城期末,9)已知线段AB的长度为10,M是线段AB上的动点(不与端点重合).点
N在圆心为M,半径为MA的圆上,且B,M,N不共线,则△BMN的面积的最大值为 (
)
25 25
A. B.
2 4
25√3 25√3
C. D.
2 4
答案 A
8.(2024大兴期末,10)设无穷等差数列{a }的公差为d,集合T={t|t=sin a ,n∈N*}.则 (
n n
)
A.T不可能有无数个元素
B.当且仅当d=0时,T只有1个元素
1
C.当T只有2个元素时,这2个元素的乘积有可能为
2
2π
D.当d= ,k≥2,k∈N*时,T最多有k个元素,且这k个元素的和为0
k
答案 D
9.(2023顺义一模,14)在△ABC中,asin B=√3bcos A,a=√19,b=2,则A= ,c=
.
π
答案 ;5
3
( π) (5 )
10.(2024海淀一模,14)已知函数f(x)=sin x+ ·sin 2x,则f π = ;函数f(x)的
4 4
图象的一个对称中心的坐标为 .
( π )
答案 -1; - ,0 (答案不唯一)
4
( π) [ π]
11.(2023房山二模,13)若函数f(x)=sin 2x- ,x∈ 0, 的图象与直线y=a有两个交
4 2
点,则这两个交点横坐标的和为 .
3π
答案
4
12.(2025届房山期中,13)已知命题p:若α,β为第二象限角,且α>β,则tan α<tan β.能说明
p为假命题的一组α,β的值为α= ,β= .
5π 3π
答案 (答案不唯一); (答案不唯一)
6 4
( π)
13.(2025届朝阳期中,19)设函数f(x)=sin 2ωxcos φ+2cos2ωxsin φ ω>0,|φ|< .
2
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π (π)
(1)若ω=1,φ= ,求f 的值;
6 2
[ π π] π
(2)已知f(x)在区间 - , 上单调递增,且直线x= 是函数y=f(x)的图象的对称轴,再
6 3 3
从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使函数f(x)存在,求ω,φ
的值.
π
条件①:当x=- 时,f(x)取到最小值;
6
(π) 5
条件②:f = ;
3 2
[ π π]
条件③:f(x)在区间 - ,- 上单调递减.
3 6
注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解
答,按第一个解答计分.
π √3
解析 (1)由ω=1,φ= ,得f(x)= sin 2x+cos2x,
6 2
(π) √3 π
则f = sin π+cos2 =0.
2 2 2
(2)f(x)=sin 2ωxcos φ+2cos2ωxsin φ
=sin 2ωxcos φ+(cos 2ωx+1)sin φ
=sin 2ωxcos φ+cos 2ωxsin φ+sin φ
=sin(2ωx+φ)+sin φ.
选择条件①:
[ π π]
因为f(x)在区间 - , 上单调递增,
6 3
π
且直线x= 是函数y=f(x)的图象的对称轴,
3
π T π ( π) π
又当x=- 时,f(x)取到最小值,所以 = - - = ,
6 2 3 6 2
故T=π.
2π
因为ω>0,所以2ω= =2,所以ω=1,
T
所以f(x)=sin(2x+φ)+sin φ.
( π) ( π )
又因为f - =sin - +φ +sin φ=-1+sin φ,
6 3
( π ) π π π
所以sin - +φ =-1,得- +φ=- +2kπ(k∈Z),则φ=2kπ- (k∈Z).
3 3 2 6
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π π
又因为|φ|< ,所以φ=- .
2 6
选择条件③:
[ π π]
因为f(x)在区间 - , 上单调递增,
6 3
π
且直线x= 是函数y=f(x)的图象的对称轴,
3
[ π π]
又f(x)在区间 - ,- 上单调递减,
3 6
π
所以f(x)在x=- 时取到最小值,
6
T π ( π) π
所以 = - - = ,故T=π.
2 3 6 2
2π
因为ω>0,所以2ω= =2,所以ω=1,
T
所以f(x)=sin(2x+φ)+sin φ.
( π) ( π )
又因为f - =sin - +φ +sin φ=-1+sin φ,
6 3
( π ) π π π
所以sin - +φ =-1,得- +φ=- +2kπ(k∈Z),则φ=2kπ- (k∈Z).
3 3 2 6
π π
又因为|φ|< ,所以φ=- .
2 6
选择条件②不能求出参数值,故不能选条件②.
π
14.(2024西城期末,16)已知函数f(x)=2asin xcos x-2cos2x的一个零点为 .
6
(1)求a的值及f(x)的最小正周期;
[ π]
(2)若m≤f(x)≤M对x∈ 0, 恒成立,求m的最大值和M的最小值.
2
解析 (1)f(x)=2asin xcos x-2cos2x=asin 2x-cos 2x-1,
(π) √3 1
由f = a- -1=0,得a=√3,
6 2 2
( π)
所以f(x)=√3sin 2x-cos 2x-1=2sin 2x- -1,最小正周期为π.
6
[ π] π [ π 5π]
(2)当x∈ 0, 时,2x- ∈ - , ,
2 6 6 6
π π
故当2x- = 时,f(x)取最大值1,
6 2
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π π
当2x- =- 时,f(x)取最小值-2,因此-2≤f(x)≤1,
6 6
因此M≥1,m≤-2,故m的最大值为-2,M的最小值为1.
B
15.(2023东城二模,16)在△ABC中,bsin A-acos =0.
2
(1)求B;
(2)若b=3,从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知,使△ABC存在且唯一确定,
求a及△ABC的面积.
条件①:sin A+sin C=2sin B;
条件②:c=√3;
条件③:ac=10.
注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解
答,按第一个解答计分.
B
解析 (1)由正弦定理得bsin A=asin B,由题设得asin B-acos =0,即2asin
2
B B B
cos -acos =0,
2 2 2
B π B B 1
因为0< < ,所以acos ≠0.所以sin = .
2 2 2 2 2
B π π
所以 = ,则B= .
2 6 3
(2)选条件①.
因为b=3,sin A+sin C=2sin B,
所以由正弦定理得a+c=2b=6,由余弦定理得9=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac,解得ac=9.
1 1 √3 9√3
所以S = acsin B= ×9× = .
ABC 2 2 2 4
△
{ ac=9,
由 得a=3.
a+c=6,
选条件②.
π
因为B= ,b=3,c=√3,
3
csinB 1
所以由正弦定理得sin C= = ,
b 2
2π π π π π
因为0<C< ,所以C= ,所以A=π- - = .所以△ABC是以A为直角的直角三角形,
3 6 3 6 2
所以a=√b2+c2=2√3.
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1 1 3√3
所以S = bc= ×3×√3= .
ABC 2 2 2
△
选条件③.
由余弦定理得9=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac,即a+c=√39.由ac=10,得a(√39-a)=10,化简得a2-
√39a+10=0,因为Δ=(-√39)2-4×10=-1<0,
所以△ABC不存在,故不选此条件.
6
16.(2024朝阳二模,16)在△ABC中,A为锐角,且sin 2A= cos A.
5
(1)求cos A的值;
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知,求c.
√5
条件①:cos B= ;
3
条件②:a=9;
条件③:b=10.
注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分.
6
解析 (1)因为sin 2A= cos A,
5
6
所以2sin Acos A= cos A.
5
3
因为A为锐角,所以cos A>0,所以sin A= .
5
√ (3) 2 4
又因为sin2A+cos2A=1,所以cos A= 1- = .
5 5
(2)选条件①②:
√5 √ (√5) 2 2
因为cos B= ,0<B<π,所以sin B= 1- = .
3 3 3
2
9×
a b asinB 3
由 = ,得b= = =10.
sinA sinB sin A 3
5
a2+c2-b2 √5 81+c2-100
由cos B= ,得 = ,
2ac 3 2×9×c
即c2-6√5c-19=0,又c>0,所以c=8+3√5.
选条件①③:
√5 √ (√5) 2 2
因为cos B= ,0<B<π,所以sin B= 1- = .
3 3 3
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3
10×
a b bsin A 5
由 = ,得a= = =9.
sin A sinB sinB 2
3
下同选条件①②.
选条件②③:
b2+c2-a2 4 100+c2-81
由cos A= ,得 = ,
2bc 5 2×10×c
即c2-16c+19=0,解得c=8±3√5.
经检验,符合题意.
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