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第 03 讲 正弦定理与余弦定理及其应用
目录
题型一：重点考查利用正、余弦定理解三角形............................1
题型二：重点考查利用正、余弦定理判断三角形形状......................5
题型三：重点考查利用正、余弦定理确定三角形个数.....................10
题型四：重点考查利用正、余弦定理求三角形周长（边的代数和）.........13
题型五：重点考查利用正、余弦定理求三角形面积.......................22
题型六：重点考查利用正、余弦定理解决四边形问题.....................30
题型七：重点考查正、余弦定理的实际应用.............................37
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题型一：重点考查利用正、余弦定理解三角形
典型例题
例题1．（2023春·河北承德·高一校联考期中）已知 的三边长分别为 ， ， ，且最大内
角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设 的最小内角为 ，
由正弦定理得 ，整理得 ，
又余弦定理得 ，
所以 ，解得 ，则 ．故选：B．
例题2．（2023春·全国·高一专题练习）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
的面积为 ， ， ，则 （ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】B
【详解】解： ， 的面积为 ，∴ ，
又 ，由余弦定理，
，可得： .
故选：B
例题3．（多选）（2023春·云南曲靖·高一曲靖市民族中学校考期中）在 中，角 ， ， 所对
的边分别为 ， ， ，若 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】由正弦定理 可得， .
因为 ， ，所以 或 .
当 时， ，
此时有 ，所以 ；
当 时， ，所以 .
综上所述， 或 .
故选：AB.
例题4．（2023·北京·高三专题练习）在 中，若 ， ， ，则 ____．
【答案】 /
【详解】由 ，得 ，则 ，
则 ，所以 （负值舍去），
由 ，在三角形中易得 ，因为 ，所以 .
故答案为： .
例题5．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
．
(1)求 的大小；
(2)若点 满足 ， ， ，求 ．
【答案】(1)
(2) ．
【详解】（1）由正弦定理得 ，
所以 ，
展开得 ，
即 ．
因为 ，所以 ，即 ．
又因为 ，所以 ．
（2）因为 ，所以A为CD的中点，又 ，所以 ．
由题可知， ，所以 ，则 ，
解得 ， ，所以 ，即 ．
精练核心考点
1．（2023·河南·校联考模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 ， ，且 的面
积为 ，若 ，则 （ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A【详解】由于 , ，故有 ，解得 ，
又 ，则 ,
故选：A．
2．（2023春·北京·高一汇文中学校考期中）在 中，角A， ， 的对边分别为 ， ， ，且
，则角 的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 ，
∵ ，∴ .
故选：C
3．（2023春·四川达州·高一达州中学校考阶段练习）已知在 中，内角 、 、 所对的边分别为
、 、 ，且满足 ，且 ，则 ________， ________．
【答案】 / /
【详解】因为 ，由正弦定理可得 ，
所以， ，又因为 ，所以 ，
所以 ，
由 ， ，解得 ，即 ，所以， ，
所以根据余弦定理可得 ，
故答案为： ； .
4．（2023春·上海·高一上海市七宝中学校考期中）在 中，内角 所对的边分别为 ，若
，则 的值为____________.
【答案】 /
【详解】在 中 ，∴ ，
由正弦定理可得 ，即 ，
因为 ， ，可得 .
故答案为：
5．（2023春·云南曲靖·高一曲靖市民族中学校考期中）在 中，若
，则 __________．
【答案】 /
【详解】由已知结合正弦定理边化角可得， ，
即 ，所以有 ，
所以 .
故答案为： .
题型二：重点考查利用正、余弦定理判断三角形形状
典型例题
例题1．（2023春·江苏镇江·高一江苏省扬中高级中学校联考期中）在 中， 分别是内角
所对的边，且满足 ，则 的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰钝角三角形
C．等边三角形 D．以上结论均不正确
【答案】C
【详解】由于 ，所以 为锐角，
由余弦定理得 ，则 为锐角.
由 以及余弦定理得 ，
，由于 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以三角形 是等边三角形.
故选：C例题2．（2023·甘肃酒泉·统考三模）在 中内角 的对边分别为 ，若 ，
则 的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【详解】由正弦定理，余弦定理及 得，
，即 ，
则 ，即
或 为等腰三角形或直角三角形．
故选：D.
例题3．（多选）（2023春·江苏常州·高一统考期中）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ，
， ，则下列结论正确的有（ ）
A．若 ，则 为等腰三角形
B．若 ，则 为等腰三角形
C．若 ，则 为等腰直角三角形
D．若 ，则 为直角三角形
【答案】ACD
【详解】对于A， ，由正弦定理可得 ，
则 ，即 ，
所以 ，则 为等腰三角形，A选项正确；
对于B， ，由正弦定理可得 ，
即 ，所以 ，
则 或 ，即 或 ，
所以 为等腰三角形或直角三角形，B选项错误；
对于C， ，由正弦定理可得 ，
则 ，所以 ，
所以 为等腰直角三角形，C选项正确；对于D， ，由射影定理 ，
则 ，则 为直角三角形，D选项正确；
故选：ACD.
例题4．（多选）（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）在 中，内角 、 、 的对边
分别是 、 、 ，下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 为等腰三角形
B．若 ，则 为等腰三角形
C．若 ， ，则 为等边三角形
D．若 ， ， ，则 有两解
【答案】AC
【详解】对于A选项，若 ，由正弦定理可得 ，则 ，
所以， 为等腰三角形，A对；
对于B选项，因为 ，由正弦定理可得 ，
因为 、 中至少有一个是锐角，则 ，
从而可知 、 均为锐角，由 可得 ，
因为 、 ，则 、 ，所以， 或 ，
所以， 或 ，故 为等腰三角形或直角三角形，B错；
对于C选项，因为 ， ，
由余弦定理可得 ，即 ，
所以， ，因此， 为等边三角形，C对；
对于D选项，因为 ， ， ，
由正弦定理 得 ，所以， 不存在，D错.
故选：AC.
精练核心考点
1．（2023春·宁夏吴忠·高一吴忠中学校考期中）设 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
，且 ，则 的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】B【详解】因为 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
因为 ，由正弦定理得 ，
则 ，
则 ，
所以 为有一个角为 的直角三角形.
故选：B.
2．（2023春·全国·高一专题练习）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
，且 ，则 的形状为（ ）
A．等腰或直角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【详解】由 得 ,
由正弦定理得 ,
由于 ,所以 ，
所以 ,由于 为三角形的内角，所以 ,
又 得
,
进而可得 ,而 为三角形内角，故 ，
进而 ，故三角形为等边三角形，
故选：B
3．（多选）（2023春·湖北武汉·高一华中科技大学附属中学校联考期中）已知 的内角 、 、 所
对的边分别为 、 、 ，则下列四个命题中正确的命题是（ ）
A．若 ，则 一定是等边三角形
B．若 ，则 一定是等腰三角形
C．若 ，则 一定是锐角三角形D．若 ，则 一定是锐角三角形
【答案】AD
【详解】对于A选项，因为 ，由正弦定理可得 ，
则 ，
因为 至少有两个锐角，从而可得 ，
故 为锐角三角形，
因为正切函数 在 上为增函数，故 ，
所以， 为等边三角形，A对；
对于B选项，因为 ，由正弦定理可得 ，即 ，
因为 、 ，所以， ， ,
又因为 、 中至少有一个为锐角，则 ，则 、 均为锐角，
所以， 、 ，所以， 或 ，即 或 ，
为等腰三角形或直角三角形，B错；
对于C选项， 时，由余弦定理可得 ，
即 为锐角，但 、 是否都是锐角，不能保证，
因此 不一定是锐角三角形，C错；
对于D选项，因为 ，
所以 ，
由 、 、 ，所以 、 、 均为锐角，
所以 为锐角三角形，所以D正确．
故选：AD．
4．（多选）（2023·全国·高一专题练习）（多选） 的内角 的对边分别为 ，下列四个命
题中正确的是（ ）
A．若 ，则 一定是锐角三角形
B．若 ，则 一定是等边三角形
C．若 ，则 一定是等腰三角形
D．若 ，则 一定是等腰三角形
【答案】BD【详解】对于A，若 ，则 ，
则 为锐角，但是 两角无法判断其是否为锐角，
如当 时，
， ， 为钝角三角形，故A错误；
对于B，因为 ，所以 ，
所以 ，且 ，所以 ，
所以 为等边三角形，故B正确；
对于C，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 或 ，
所以 或 ，
所以 是等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D，因为 ，所以 ，
即 ，则 ，
又因为 ，所以 或 （舍去），
所以 为等腰三角形，故D正确.
故选：BD.
题型三：重点考查利用正、余弦定理确定三角形个数
典型例题
例题1．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第四中学校考期中）在 中， ， ，
．若利用正弦定理解 有两解，则 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，B=45°，CD⊥AB，则 ，
以C为圆心，CA=b=2为半径画圆弧，要使△ABC有两个解，则圆弧和BA边应该有两个交点，
故CA>CD且CA<CB，即 ，解得 ．
故选：B．
例题2．（2023春·全国·高一专题练习）在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（
）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】D
【详解】 ， ， ， 由正弦定理 得： ，
又 为三角形的内角， ，故只有一解，故A错误；
， ， ，
由正弦定理 得： ，所以无解，故B错误；
， ， ， ，又 为钝角， 为锐角，
故 只有一解，故C错误；
， ， ， 由正弦定理 得： ，
， ，即 ，
则满足题意的 有两解，故D正确.
故选：D
例题3．（2023春·陕西西安·高一西安市第八十三中学校考期中）在 中， ， ， 分别是角 ，
， 所对的边， ， ，若 有两解，请写出一个满足题意的 的值：_____.
【答案】 （答案不唯一）
【详解】取 ，则 ，即 ， ，
， 或 ，验证满足，故有两个解，满足.
故答案为： （答案不唯一）例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，若
， ，给出下列条件中：① ，② ，③ ，能使 有两解的为
_________.（请写出所有正确答案的序号）
【答案】②③
【详解】选择①，由余弦定理，得 ，解得 ，所以
只有一解.故①错误；
选择②，因为 ，所以 ,由正弦定理，得 ，解得 ，
所以 ,所以 有两解，故②正确；
选择③，由 ，得 ,解得 ，因为 ，
所以 或 ，所以 有两解，故③正确；
故答案为：②③.
精练核心考点
1．（2023春·广东深圳·高一校考期中）在 中， ，若三角形有两解，则 的取值
范围是（ ） △
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题设，过 作 于 ，如下图示，
则 ，可得 时，三角形有两解.
当 ，即 时，三角形不存在；
当 或2时， 分别对应等边三角形或直角三角形，仅有一个三角形；
当 时，在射△线 方向上有一个 ，而在射线 方向上不存在，故此时仅有一个三角形；
△
故选：C2．（多选）（2023春·陕西咸阳·高一统考期中）在 中，角 的对边分别为 .根据下列条
件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）
A． ，有唯一解
B． ，无解
C． ，有两解
D． ，有唯一解
【答案】AD
【详解】解：选项A， ，已知三边三角形确定，有唯一解，A正确；
选项B，由正弦定理得： ，则 ，再由大边对大角可得
，故 可以为锐角，也可以为钝角，故三角形有两解，B错误；
选项C，由正弦定理得： ，则 ，且 ，由大边对大角可得
，则 只能为锐角，故三角形有唯一解，C错误；
选项D，由正弦定理得： ， ，由于 ，则 是锐角，有
唯一解，D正确.
故选：AD.
3．（2023春·四川成都·高一成都外国语学校校考期中）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，
c，若 ， 的 恰有一个，则实数b的取值范围为______．
【答案】
【详解】由正弦定理可得 , ,
又 ， ，
所以 在 有唯一解，
故 或
故答案为： .
4．（2023春·江苏南通·高一江苏省通州高级中学校考期中）在 ABC中，角A，B，C所对的边长分别为
a，b，c，且 ， ，若三角形有且只有一解，则b的△取值范围为___________.
【答案】【详解】因为 ， ，由正弦定理 得 ，
要使三角形有唯一解，则 或 ，
所以 或 ，即 或 ，
解得 或 ，则b的取值范围为 .
故答案为： .
题型四：重点考查利用正、余弦定理求三角形周长（边的代数和）
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）在平面四边形 中， ．
(1)若在锐角 中， ，求 周长的取值范围；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设 ，
则在 中，由正弦定理得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 周长的取值范围为 ；
（2）在 中， ，在 中， ，所以 ，
整理得 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ,
所以 .
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知锐角 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
向量 ， ，且 ．
(1)求角 的值；
(2)若 ，求 周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1） ，
（法一） ， ， ，
∴ ，则 ，又 为锐角三角形，故 .
（法二）则 ， ，
∴ ，且 为锐角三角形，故 .
（2） ， ，
由于 为锐角三角形，则 ，且 ，解得 ，
（法一）周长，而 ，即 ，
∴ ，故 的周长l的取值范围为 ．
（法二）由上 ，由余弦定理得 ，
周长 ，
记 ，则 在 单调递增，
∴ 的周长l的取值范围为 ．
例题3．（2023春·宁夏吴忠·高一吴忠中学校考期中）在 中， ，从条件①
；条件② ，两个条件中，选出一个作为已知，解答下面问题.
(1)若 ，求 的面积；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)面积为
(2)
【详解】（1）选①： ，又 ，则 ，
由 ，故 ，
根据 ，而 ，故 ， ，
所以 或 （舍），
综上， ，则 的面积为 ；
选②： ，
所以 ，则 ，
由 ，则 ， ，可得 ，根据 ，而 ，故 ， ，
所以 或 （舍），
综上， ，则 的面积为 ；
（2）由（1）， ，则 ，且 ，
所以 ，
又 为锐角三角形， ，则 ，故 ，
所以 ，则 .
例题4．（2023春·辽宁朝阳·高二校联考期中）在① ，② 这两个条件中任选一个，补充在下
面问题中的横线上，并给予解答：问题：锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
，___________，求 周长的取值范围．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】答案见解析
【详解】解：因为 ，由正弦定理得 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
若选①：若 ，
由正弦定理 ，可得 ，
所以 ，因为 为锐角三角形，则满足 ，可得 ，
则 ，所以 ，可得 ，
则 周长的取值范围为 ．
若选②：若 ，由正弦定理 ，
可得
，
因为 为锐角三角形，则满足 ，可得 ，
则 ，所以 ，所以 ，
则 周长的取值范围为 ．
精练核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ，C= .
(1)当 时，求 的面积;
(2)求 周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由 ，得 ，
即 ，
即 ，
当 时， ，得 ;当 时， ，由正弦定理得 ，
由余弦定理及已知条件可得 ，
联立 . 解得 ，
故三角形的面积为 .
（2）法一：由余弦定理可得: ，
由 得 ，当且仅当a=b取等号.
又 ，即 .
即 周长的取值范围是 .
法二: ，
中，由正弦定理有 ，
.
即 周长的取值范围是 .
2．（2023·河北·统考模拟预测）已知 ， ， 分别为 三个内角 ， ， 的对边，且
.
(1)证明： ；
(2)若 为 的中点，且 ， ，求 的周长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意知 ，
故由正弦定理可得 ，即 ，
又 ，所以 ,
即 ，即 ，而在 中， ，
所以 ，即 ；
（2）若 为 的中点，且 ， ，即 ,
则 ,
故 ，由 得 ，
由 可得 ，则 ，
故 的周长为 .
3．（2023春·浙江杭州·高一杭师大附中校考期中）在锐角 中，角 的对边分别为 ，S为
的面积，且 ．
(1)求 的值；
(2)求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴
∴ ，∴ （舍）， .
（2）∵ ，
∴ ，
∴
∵ 为锐角三角形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
令 ，
单调递减， 单调递增，
当 ，当 ，
4．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边， ，
，则 的取△值范围是_____.
【答案】
【详解】法一：由正弦定理得 ，即 ，
，
因为 ，所以 ，故 ，
因为 ，所以 ，利用极限思想，当A为直角时， ， ，此时 ；
当C为直角时， ， ，此时 ；
所以 ；
法二：由正弦定理得 ，即 ，
，
因为 ，所以 ，故 ，
因为 ，所以 ，
由正弦定理得 ，所以 ，
其中 ，
所以
，
因为 为锐角三角形， ，所以 ， ，
解得 ，故 ，
因为 在 上单调递增，
所以当 时， 取得最大值，
其中 ，此时 ，
当 时， 取得最小值，
∴ ，
故 .
故答案为：
题型五：重点考查利用正、余弦定理求三角形面积
典型例题
例题1．（2023春·四川成都·高一树德中学校考阶段练习）直线 过 的重心 （三条中线的交
点），与边 、 交于点 ，且 ， ，直线 将 分成两部分，分别为
和四边形 ，其对应的面积依次记为 和 ，则 的最大值为__________．
【答案】 /
【详解】
由 ， 可知， ，连接 并延长交 于 ，过 作 // ，过 作 // ，分别交 的延长线于 如图所示.
根据重心的性质可知， ，不妨设 .
由 // ，容易得到 和三角形 相似，于是 ；
由 // ，容易得到 和三角形 相似，于是 .
由 是梯形 的中位线可得 .
根据三角形的面积公式： .
根据基本不等式 ，即 ，当 时取得等号.
故 ，即 ， 最大值为 .
故答案为：
例题2．（2023·全国·高三专题练习）在 中，若 ，且 的周长为
12．
(1)求证： 为直角三角形；
(2)求 面积的最大值．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【详解】（1）在 中有 ， ，
又 ，
则 ，
可得 ，
可得 ①，
又 ， ， 是三角形内角，
若 ，则 ，此时①式不成立；
若 ，则 ，此时①式不成立；
所以 ，则 ，则 ，所以 是直角三角形．
（2）设直角三角形的两直角边分别为 ， ，斜边为 ，则直角三角形的面积 ，
又 ，则 ，
所以 ，
即 ，即 ，
所以 ，当且仅当 时， 取最大值，且最大值为 ．
例题3．（2023春·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）从① ；②
这两个条件中选择一个，补充在下面问题中，并解答．
已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ．
(1)求角 ；
(2)若 的平分线交 于点 ，且 ， ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若选①： ，
由正弦定理得，即： ，
∵ ，∴ ，
∵在△ABC中， ，
∴ ，
化简得： ，
∵ ，∴ ，∴ ．
若选②： ，
由正弦定理得， ，
∵在△ABC中， ，∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
故 ．
（2）由角平分线定理： ，
设 ， ，
由（1）知 ，则 ，
∵ ，
即 ，
化简得 ，
故 （舍去），或 ，
故 ．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若
.
(1)求 ；
(2)若 ， ，求 的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，
在 中， ，
∵ ，
∴ ,即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，可得 ，解得： .（2）由题意及（1）得
在 中， ， ， ，
∴ 为边 的中点，
∴ ,
∴ ，即 ，
设 ， ，则 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立.
∴ ，当且仅当 时，等号成立，
∴ 的面积的最大值为 .
精练核心考点
1．（2023春·安徽安庆·高一安庆一中校考阶段练习）在 中，角 的对边分别是
，点 是边 上的一点，且 .
(1)求证： ；
(2)若 求 面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在 中， ，则 ，
整理得 ，则 ，
又 ，则 ，
则 ， ，则
.（2）由 ，可得 ，又 ，
则 ，
易知 ，
可得 ，解之得 ，
又 ，则 ，由 ，可得 ，
则 .
2．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD中， ， ，点B，D在直线
AC的两侧， ， ．
(1)求∠BAC；
(2)求 与 的面积之和的最大值．
【答案】(1)
(2)1
【详解】（1）在 中，由余弦定理 ，
即 ，
因为 ，所以 .
（2）设 ，则 ，
在 中，由正弦定理 ，
可得 ，
因为 的面积 ，的面积 ，
可得 与 的面积之和
，
因为 ，则 ，
可知当 ，即 时， 取到最大值1，
即 与 的面积之和的最大值为1.
3．（2023·全国·高三专题练习） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 ，
， ．
(1)求A；
(2)若M是直线BC外一点， ，求 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由 得 ，
由正弦定理得 ，
因为 ，
所以 ．
又因为 ，所以 ，
所以 .
因为 ，所以 ．（2）由 得 ，
故 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，可得 .
根据正弦定理 可得， .
设 ， ，
在 中， ，
由余弦定理可得 .
所以 ，
当且仅当 时取等号，
所以 .
所以 ．
故 面积的最大值为 ．
4．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角 的对边分别为
(1)求角 ；
(2)已知边 的中点为 ，且 ，求 面积的最大值.
【答案】(1)
(2) .【详解】（1）因为 ，
所以由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
，即 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，即 .
（2）因为 ，所以 ，
由余弦定理 ，
解得 ，
又 ，所以 ，
所以
当且仅当 时取等号，
所以 ，
因为 ，所以 面积的最大值为 .
题型六：重点考查利用正、余弦定理解决四边形问题
典型例题
例题1．（2023春·吉林·高一长春吉大附中实验学校校考期中）如图，在 中，内角 ， ， 的
对边分别为 ， ， ，若 ，且 ，D是 外一点， ，
，则下列说法错误的是（ ）A． 是等边三角形 B．若 ，则 、 ， ， 四点共圆
C．四边形 面积最大值为 D．四边形 面积最小值为
【答案】D
【详解】对于A，因为 ，所以 ，
即 ，
由 ，可得 ，所以 或 ，
又因为 ，可得 ．所以 ，故A正确；
对于B，在 中，因为 ， ， ，
所以 ，所以 ，此时四边形对角互补，
四点 ， ， ， 共圆，故B正确；
对于CD，等边 中，设 ， ，
在 中，由余弦定理得 ，
由于 ， ，可得 ，
所以 ，
因为 ， ，所以 ，
所以四边形 面积的最大值为 ，无最小值，故C正确，D错误.
故选：D．
例题2．（2023·全国·高一专题练习）如图，四边形 中，
．(1)求线段 的长；
(2)求四边形 面积的最大值．
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）在 中，由余弦定理得 ，
即 ，由 解得 ，
所以 ；
（2）设 ，在 中，由余弦定理，
得 ，
当且仅当 时等号成立，此时 ，
所以 .
又 ， ，
所以 ，
所以 ，
故四边形ABCD的面积的最大值为 .
例题3．（2023·全国·高三专题练习）如图， 是边长为2的正三角形， 在平面上且满足
，记 ．
(1)若 ，求PB的长；
(2)用 表示 ，并求 的取值范围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由 ，且 是边长为2的正三角形，
则 ，且 ，
所以在 中，
由余弦定理得 ，
所以 ．
（2）由 ，则 ，则 ，
在 中，由正弦定理有 ，得 ，
所以
，
又 ，且 ，
则 ，则 ，
所以 ，则 ，
故 的取值范围为 ．
精练核心考点
1．（2023春·北京·高一101中学校考期中）在 中，角 的对边分别为 ，
.
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 为 外一点，如图 ， ，求四边形 面积的最大值.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为 由正弦定理得 ，
，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 .
（2）在 中， ， ，
所以 ，
又 ，则 为等边三角形， ，
又 ，
所以 ，
所以当 时，四边形 的面积取最大值，最大值为 .
2．（2023春·安徽·高一安徽省宿松中学校联考期中）如图，某学校有一块平面四边形 空地，已知
， ，且 .
(1)求 ， 两点间的距离；
(2)设 的角 的对边分别是 ，且满足 ，现要在 内做一个最大的圆
形花圃，求这个最大圆形花圃的面积.
【答案】(1)7
(2)
【详解】（1）在 中，因为 ，
所以 .由余弦定理可得
，
所以， .
故 ， 两点间的距离是7.
（2）由正弦定理得， ，整理可得 ，
由余弦定理得， .
又 ，所以 .
因为在 内部的圆中， 内切圆的面积最大，
设 内切圆的半径是 ，
由（1）可知 ，则 .
又 ，
因此 .
在 中， ， ，
由正弦定理得 ，
所以 ， ，
于是
.
又 ，所以 .
当 时， 取得最大值14，从而内切圆的半径 取得最大值 .故最大圆形花圃的面积是 .
3．（2023·江西九江·统考三模）如图，圆内接四边形ABCD中，已知 ，
．
(1)求 ；
(2)求四边形 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设四边形ABCD外接圆的半径为R， ，
则 ，且 ，∴
如图，在△ABD和△BCD中，由正弦定理得 ．
即 ∴ ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ．
∵ ，∴
（2）连接AC，由（1）知 ，∴又 ，∴△ABC为等腰直角三角形，∴
解法一：
取BC的中点O，AC的中点E，连接OE，则 ，
∴
当点D在OE的延长线上时， ，
此时△ADC面积最大，最大值为
∴四边形ABCD面积的最大值为 ．
解法二：在△ADC中，由余弦定理得
即 即 ，
∴ ，
即 ，当且仅当 时取等号．
∴
∴四边形ABCD面积的最大值为 ．
题型七：重点考查正、余弦定理的实际应用
典型例题
例题1．（2023春·北京·高一北京市第二十二中学校考期中）小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教
堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物 ，高为 ，在它们之间的地面上的点
（ ， ， 三点共线）处测得楼顶 ，教堂顶 的仰角分别是 和 ，在楼顶 处测得塔顶 的仰
角为 ，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ，
由题意知：∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，所以∠ACM＝30°，
在Rt△ABM中，AM＝ ＝ ，
在△ACM中，由正弦定理得 ＝ ，
所以CM＝ ＝ ，
在Rt△DCM中，CD＝CM·sin∠AMD＝ ＝30 .
故选：D.
例题2．（2023·山东济南·统考三模）山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建
筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“ ”完美嵌入其中，寓意无限未知､无限发展､无限可能和无
限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点 与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得
点 和点 的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点 ，此时测得点 和点
的俯角分别为45°和60°（ ， ， ， 在同一铅垂面内），则 ， 两点之间的距离为______米.
【答案】
【详解】由题意， ，所以 ，
所以在 中， ， ，
又 ，所以 ，
在 中，由正弦定理得， ，所以 ，
在 中， ，由余弦定理得，
，
所以 .
故答案为：
例题3．（2023春·浙江·高一校联考期中）如图，为了测量两山顶 间的距离，飞机沿水平方向在
两点进行测量， 在同一个铅垂平面内，在A点测得 的俯角分别为 ，在
B点测得 的俯角分别为 ，同时测得 ．
(1)求 和 的长度；
(2)求 之间的距离．
【答案】(1) ，
(2)
【详解】（1）在 中，由题知 , ，所以
，
由正弦定理得 ，所以 ，
在 中，又因为 ，得到
，
所以 .
（2）在 ，由（1） ， ， ，
所以 ，
在 中， ， ， ，由余弦定理得
，所以 .例题4．（2023春·吉林·高一东北师大附中校考期中）三角学起源于土地和天文学中的测量.1752年，
法国天文学家拉卡伊（1713-1762）和他的学生拉朗德（1732-1807）利用三角测量法首次精确地计算出地
月距离.他们的测量方案是：拉卡伊和拉朗德分别来到观测地德国柏林（A点）和非洲南端的好望角（
点），这两个地方经度相近，可看做在同一经度线上，纬度分别是北纬 度和南纬 度，他们同一时间分
别在这两个地方进行观测.如图所示，当夜幕降临时，月亮从地平线上越升越高，当它到达最高点，即
是平面四边形时，在A点（柏林）测出月亮的天顶距 （即离开头顶方向的角度），在 点（好望
角）测出月亮的天顶距 .在 中求出 ，和 ，在此基础上，解 ，求出地月距离的近似
值 或 .设地球的半径为 ，利用测量方案中提供的数据（ ， ， ， ， ），求：
(1) 和 ；
(2) .
【答案】(1) ， ；
(2)
【详解】（1）由题意可得：
，则 为等腰三角形，顶角 ，
所以 ，
由余弦定理得：
即 ；
（2）由上可得： ，，
由正弦定理解 可得：
精练核心考点
1．（2023·浙江·高三专题练习）喜来登月亮酒店是浙江省湖州市地标性建筑，某学生为测量其高度，在远
处选取了与该建筑物的底端 在同一水平面内的两个测量基点 与 ，现测得 ，
， 米，在点 处测得酒店顶端 的仰角 ，则酒店的高度约是（ ）
（参考数据： ， ， ）
A．91米 B．101米 C．111米 D．121米
【答案】B
【详解】由题设 ，在△ 中 ，
又 ，
所以 ，
又 米.
故选：B
2．（2023春·浙江·高一校联考期中）如图，A，B是某海城位于南北方向相距 海里的两个观测
点，现位于A点北偏东 ，B点南偏东 的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方
向且与B点相距100海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为80海里/时.(1)求B，C两点间的距离；
(2)该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行？救援船到达C处需要多长时间？（参考数
据： ，角度精确到0.01）
【答案】(1)60海里
(2)方向是南偏东 ，需要的时间为 小时.
【详解】（1）依题意得 ， ，
所以 ，
在 中，由正弦定理得 ,
,
故 （海里），
所以求 两点间的距离为60海里.
（2）依题意得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
所以 （海里），
所以救搜船到达C处需要的时间为 小时，
在 中，由余弦定理得 ,
因为 ，
所以 ，
所以该救援船前往营救渔船时的方向是南偏东 ﹒
3．（2023春·浙江·高一期中）如图所示，甲乙两人站在同一水平面上，与缆车 在同一铅垂平面内且相
距50米．假设甲､乙两人的视线处于同一水平线且缆车处于静止状态，甲处观察缆车 的仰角为 ，乙处
观察缆车 的仰角为 ，甲处观察缆车 的仰角为 ，乙处观察缆车 的仰角为 ．(1)求缆车 相对甲乙所在水平面的高度；（结果用 表示）
(2)若测得 ，求缆车 之间的距离．
【答案】(1)
(2) 米
【详解】（1）过A作 于E，设A相对甲、乙所在的水平高度为h，
则 ，
即 ，所以 ，
即A相对甲、乙所在的水平高度为 ；
（2）由（1）得 ，
所以 ，
在 中， ，则 ，
由正弦定理得 ，
在 中， ， ,
由余弦定理，得
，
(米).4．（2023春·广东茂名·高一茂名市第一中学校考期中）借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在
村内扇形荷花水池 中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池 的半径为20
米，圆心角为 .设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台 ，另一部分是三角形观赏
台 现计划在弧 上选取一点 ，作 平行 交 于点 ，以 为边在水池中修建一个矩形
观赏台 ， 长为5米；同时在水池岸边修建一个满足 且 的三角形观赏
台 ，记 .
(1)当 时，过点 作 的垂线，交 于点 ， 过点 作OA的垂线，交 于点 ， 求
， 及矩形观赏台 的面积；
(2)求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值.
【答案】(1) ， ， 平方米
(2)212.5平方米
【详解】（1）由题意如图所示：
则由题意知 ，
当 时， 则 .
.∵ ， ，
∴ .
因为 .
矩形 的面积 平方米.
所以矩形观赏台 的面积 平方米.
（2）由题意可知， ， ， ， ，
在 中，由 ，
得 .
矩形MNPQ的面积： .
观赏台 的面积： .
整个观赏台面积 .
设 ， ，
∴.
.
∴ .
∴
当 时，整个观赏台观赏台S取得最大值为212.5平方
∴整个观赏台的面积S的最大值为212.5平方米.
