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第35 讲 专题：碰撞模型及拓展
一、 考点精讲练
考点01： 碰撞模型（必备知识+2 例+2 变式）
考点02：“滑块——斜（曲）面”模型（必备知识+1 例+1 变式）
考点03：“滑块——弹簧”模型（必备知识+1 例+2 变式）
二、 巩固提升（精选18 道题）
1.碰撞
碰撞是指物体间的相互作用持续时间很短，而物体间相互作用力很大的现象。
2.特点
在碰撞现象中，一般都满足内力远大于外力，可认为相互碰撞的物体组成的系统动量守恒。
3.分类
考点一
碰撞模型
本讲要点
动量是否守恒
机械能是否守恒
弹性碰撞
守恒
守恒
非弹性碰撞
守恒
有损失
完全非弹性碰撞
守恒
损失最大
4.“一动碰一静”弹性碰撞实例分析
以质量为m1、速度为v1的小球与质量为m2的静止小球发生弹性碰撞为例，则有
m1v1＝m1v1'＋m2v2'
1
2m1v1
2＝1
2m1v1'2＋1
2m2v2'2
联立解得：v1'＝m1−m2
m1＋m2
v1，v2'＝
2m1
m1＋m2
v1
讨论：
①若m1＝m2，则v1'＝0，v2'＝v1(速度交换)；
②若m1>m2，则v1'>0，v2'>0(碰后两小球沿同一方向运动)；当m1≫m2时，v1'≈v1，v2'≈2v1；
③若m1<m2，则v1'<0，v2'>0(碰后两小球沿相反方向运动)；当m1≪m2时，v1'≈-v1，v2'≈0。
【例1-1】（多选）如图所示，质量为m 的平板小车静止在足够大的水平地面上，小车上表面距地面的高
度为h，小车右端固定一根轻质弹簧，一与小车质量相等、可视为质点的物块从左侧以速度v0滑上平板小
车，物块与弹簧发生相互作用后，从小车左端离开，弹簧始终处于弹性限度内，不计一切摩擦，重力加速
度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．物块离开小车后做平抛运动
B．物块着地时的动能为mgh
C．小车的最大动能为m v0
2
2
D．弹簧具有的最大弹性势能为m v0
2
2
【例1-2】（2025·江苏·高考真题）如图所示，在光滑水平面上，左右两列相同的小钢球沿同一直线放置。
每列有n 个。在两列钢球之间，一质量为m 的玻璃球以初速度v0向右运动，与钢球发生正碰。所有球之间
的碰撞均视为弹性碰撞。
(1)若钢球质量为m，求最右侧的钢球最终运动的速度大小；
(2)若钢球质量为3m，求玻璃球与右侧钢球发生第一次碰撞后，玻璃球的速度大小v1；
(3)若钢球质量为3m，求玻璃球经历2n次碰撞后的动能Ek。
【变式1-1】（多选）如图所示，物体A、B 放在光滑的水平面上，且两物体间有一定的间距。t =0时刻，
分别给物体A、B 向右的速度，物体A、B 的动量大小均为p=12kg⋅m /s（规定向右为正方向），经过一
段时间两物体发生碰撞，已知碰后物体B 的动量变为pB=16kg⋅m /s，两物体的质量分别为mA、mB，则
下列说法正确的是（ ）
A．物体A 的动量增加4 kg⋅m /s
B．物体A 的质量一定小于物体B 的质量
C．若碰后两物体粘合在一起，则mA:mB=1:2
D．若该碰撞无机械能损失，则mA:mB=7:5
【变式1-2】（2025·天津·二模）落锤打夯机是一种结构简单的建筑施工设备，其原理可以简化为以下模型
∶质量为m1=800kg的夯体一部分埋人土层中，质量为m2=200kg的重锤（可视为质点）从夯正上方
ℎ=20 m处自由下落，与夯发生碰撞（碰撞时间极短），碰后重锤和夯一起下移d =0.5 m深度。（重力加
速度g取10 m /s
2）
(1)求重锤与夯碰后的速度；
(2)求夯在下移过程中受到的平均阻力的大小。
【解题能力提升】
碰撞问题遵守的三条原则
1.动量守恒：p1＋p2＝p1'＋p2'。
2.动能不增加：Ek1＋Ek2≥Ek1'＋Ek2'。
3.速度要符合实际情况
(1)碰前两物体同向运动，若要发生碰撞，则应有v 后>v 前，碰后原来在前的物体速度一定增大，若碰后两
物体同向运动，则应有v 前'≥v 后'。
(2)碰前两物体相向运动，碰后两物体的运动方向至少有一个改变。
“
1．模型图示
2．两个规律
(1)水平方向动量守恒；
(2)系统机械能守恒。
3．两个状态
(1)上升到最大高度：滑块m 与斜(曲)面M 具有共同水平速度v 共，此时滑块m 的竖直速度vy ＝0。系
统水平方向动量守恒，mv0＝(M＋m)v 共；系统机械能守恒，mv＝(M＋m)v＋mgh，其中h 为滑块上升的最
大高度，不一定等于轨道的高度(相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为滑块m 的重力势能)。
(2)返回最低点：滑块m 与斜(曲)面M 分离点。系统水平方向动量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能
守恒，mv＝mv＋Mv(相当于弹性碰撞)。
【例2】（多选）一个四分之一光滑圆弧形物块B 静止在光滑的水平面上，圆弧的半径为R，一可视为质
点的小物块A 从物块B 的底端以速度v0=2❑√gR滑上圆弧，经过时间t 恰好能滑上B 的圆弧面顶端，已知滑
块A 的质量为m，重力加速度为g，则（ ）
A．物块A 滑上圆弧面后，A、B 组成的系统动量守恒
B．物块B 的质量为m
考点二
“滑块——斜（曲）面”模型
C．物块A 从底端到滑上圆弧面顶端的过程物块B 的位移为2❑√gRt −R
2
D．A 和B 分离时，B 的速度大小为❑√gR
【变式2】（多选）如图甲，竖直挡板固定在光滑水平面上，质量为M的光滑半圆形弯槽静止在水平面上
并紧靠挡板，质量为m的小球从半圆形弯槽左端静止释放，小球速度的水平分量和弯槽的速度与时间的关
系如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．小球释放后，小球与弯槽系统动量守恒
B．t2时小球到达位置低于释放时的高度
C．由图可知m大于M
D．图中阴影面积S2<2S1
1．模型图示
2．两个规律
(1)动量守恒：两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒。
(2)机械能守恒：系统所受的外力为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。
3．两个状态
(1)弹簧最短(或最长)时两物体瞬时速度相等，弹性势能最大
①系统动量守恒：m1v0＝(m1＋m2)v 共；
②系统机械能守恒：m1v＝(m1＋m2)v＋Epm。
考点三
“滑块——弹簧”模型
(2)弹簧处于原长时弹性势能为零
①系统动量守恒：m1v0＝m1v1＋m2v2；
②系统机械能守恒：m1v＝m1v＋m2v。
【例3】（多选）如图所示，轻弹簧一端固定在质量为3m 的小球A 上，静止在光滑水平面上，质量为2m
的小球B 以速度v0向右运动，压缩弹簧然后分离，从刚开始接触到压缩最短经历的时间为t，则下列说法
正确的是（ ）
A．小球B 压缩弹簧过程中，小球A、小球B 和弹簧组成系统机械能守恒
B．弹簧压缩最短时小球A 的速度为 2
5 v0
C．弹簧压缩最短时弹性势能为m v0
2
D．从刚开始接触到弹簧压缩最短过程中，弹簧对小球B 的平均作用力大小为 F = 2m v0
3t
【变式3-1】（多选）（2021·湖南·高考真题）如图（a），质量分别为mA、mB的A、B 两物体用轻弹簧连
接构成一个系统，外力F作用在A 上，系统静止在光滑水平面上（B 靠墙面），此时弹簧形变量为x。撤去
外力并开始计时，A、B 两物体运动的a−t图像如图（b）所示，S1表示0 到t1时间内A的a−t图线与坐标
轴所围面积大小，S2
、S3
分别表示t1
到t2
时间内A、B 的a−t图线与坐标轴所围面积大小。A 在t1
时刻的速
度为v0。下列说法正确的是（ ）
A．0 到t1时间内，墙对B 的冲量等于mAv0
B． mA > mB
C．B 运动后，弹簧的最大形变量等于x
D．S1−S2= S3
【变式3-2】（多选）在相互平行且足够长的两根水平光滑的硬杆上，穿着三个半径相同的刚性球A、B、
C，如图所示。三球的质量分别为mA=1kg、mB=2kg、mC=6kg，初状态B、C 球之间连着一根轻质弹
簧并处于静止状态，B、C 连线与杆垂直并且弹簧刚好处于原长状态，A 球以v0=18 m /s的速度向左运动，
与同一杆上的B 球碰撞后粘在一起（作用时间极短），则下列判断，正确的是（ ）
A．A 球与B 球碰撞中损耗的机械能为108J
B．在以后的运动过程中，弹簧形变量最大时C 球的速度最大
C．在以后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能为36J
D．在以后的运动过程中，B 球的最小速度为2m/s
1．（多选）（2025·甘肃平凉·模拟预测）如图所示，两小球A、B 置于光滑的水平面上，小球B 静止，小
球A 以水平向右的速度运动，经过一段时间与小球B 发生碰撞，已知A 和B 的质量之比为2 1∶，且两球发生
的是对心碰撞。下列说法正确的是（ ）
A．碰后球A 被反弹
B．若碰后A、B 的动量大小之比为2 1∶，碰撞损失的能量为碰前A 球动能的1
3
C．若碰后A、B 的动量大小之比为1 2∶，则碰后两球共速
D．碰前球A 的动能可能为碰后球B 动能的4 倍
2．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图所示，光滑的平台与水平传送带平滑连接，传送带的长度为7m，
以恒定速率4m/s 顺时针转动，质量为1kg 的物块B静止在平台上，质量为2kg 的物块A以3m/s 的速度向右
巩固提升
运动，与物块B发生完全非弹性碰撞（时间极短），然后一起滑上传送带。物块A和物块B与传送带之间的
动摩擦因数均为0.2，二者均可视为质点，重力加速度g=10 m /s
2。下列说法正确的是（ ）
A．物块A和物块B在碰撞过程中损失的机械能为6J
B．物块A和物块B在传送带上的加速时间为2s
C．传送带对物块A和物块B做的功为42J
D．传送带克服摩擦力做的功为24J
3．（多选）如图所示，光滑水平面上有一质量为2 M、半径为R（R 足够大）的1
4
光滑圆弧曲面C，质量
为M 的小球B 置于其底端，另一个小球A 质量为M
2
，小球A 以v0=6 m /s的速度向B 运动，并与B 发生弹
性碰撞，不计一切摩擦，小球均可视为质点，则（ ）
A．B 的最大速率为4m/s
B．B 运动到最高点时的速率为2m/s
C．B 能与A 再次发生碰撞
D．B 不能与A 再次发生碰撞
4．（2025·江西九江·三模）如图，用不可伸长的轻绳将小球a 悬挂在O 点，初始时，轻绳处于水平拉直状
态，将小球a 由静止释放，当小球a 下摆至最低点时，恰好与静止在水平面上的物块b 发生弹性碰撞，碰
撞后b 滑行的最大距离为L，已知b 的质量是a 的2 倍，b 与水平面间的动摩擦因数为μ，不计空气阻力，
则（ ）
A．小球a 下摆至最低点过程中重力做功的功率一直在增大
B．碰撞后瞬间小球a 的速度大小为❑√2 μgL
C．轻绳的长度9
4 μL
D．小球a 反弹的最大高度为1
3 μL
5．（多选）（2025·辽宁朝阳·模拟预测）如图，轻弹簧一端固定，另一端与质量为m 的物块甲连接，小球
乙在C 点静止，现在让甲在A 点获得一个初速度2v0，甲在A 点时弹簧处于压缩状态且此时弹簧具有的弹
性势能为3mv0
2，当甲运动到B 时弹簧恰好恢复到原长，甲继续运动到C 与乙球发生弹性碰撞，已知甲与
水平面的动摩擦因数μ= v0
2
2 gL
，AB 两点距离与BC 间距均为L，则下列说法正确的是（ ）
A．物体甲到达B 点时速度为3v0
B．A--C 过程摩擦生热为2mv0
2
C．甲刚到C 时（未与乙发生碰撞前）的动能为mv0
2
D．若甲乙碰撞刚结束，乙的速度为❑√2v0
2
，则乙的质量为2m
6．如图，质量为3m的滑块Q套在固定的水平杆上，一轻杆上端通过铰链固定在Q上，下端与一质量为m的
小球P相连。某时刻给小球P一水平向左、大小为v0的初速度，经时间t小球P在水平方向上的位移为x。规
定水平向左为正方向，忽略一切摩擦，则滑块Q在水平方向上的位移为（ ）
A．x
3
B．v0t
3
C．v0t −x
3
D．x−v0t
3
7．如图，质量M=4kg 的圆环套在光滑水平轨道上，质量m=2kg 的小球通过长L=0.9m 的轻绳与圆环连接。
现将细绳拉直，且与AB 平行，小球以竖直向下的v0=2❑√6m/ s初速度开始运动，重力加速度g=10m/s2.则
（ ）
A．运动过程中，小球和圆环系统的动量和机械能均守恒。
B．在运动过程中，小球能绕圆环做完整的圆周运动
C．小球通过最低点时，小球的速度大小为❑√35 m/s
D．从小球开始运动到小球运动到最高点这段时间内，圆环向左运动的位移大小为0.3m
8．（多选）如图所示，半径为R、质量为M 内表面光滑的半球物体放在光滑的水平面上，左端紧靠着墙
壁，一个质量为m 的物块从半球形物体的顶端a 点无初速释放，图中b 点为半球的最低点，c 点为半球另
一侧与a 等高的顶点，关于物块M 和m 的运动，下列说法正确的有（ ）
A．m 从a 点运动到b 点的过程中，m 与M 系统的机械能守恒、动量守恒
B．m 从a 点运动到b 点的过程中，m 的机械能守恒
C．m 释放后不能到达右侧最高点c
D．m 释放后能再次回到a 点
9．（多选）（2024·广西·高考真题）如图，在光滑平台上有两个相同的弹性小球M 和N。M 水平向右运动，
速度大小为v。M 与静置于平台边缘的N 发生正碰，碰撞过程中总机械能守恒。若不计空气阻力，则碰撞
后，N 在（ ）
A．竖直墙面上的垂直投影的运动是匀速运动
B．竖直墙面上的垂直投影的运动是匀加速运动
C．水平地面上的垂直投影的运动速度大小等于v
D．水平地面上的垂直投影的运动速度大小大于v
10．（多选）（2025·陕西安康·模拟预测）如图所示，固定在竖直面内的光滑细管道顶部有质量分别为
m1、m2的小球A 和B，两小球受到微小扰动后同时由静止开始沿管道的两侧滑下，相遇后发生弹性碰撞，
碰撞时间极短。已知两小球均可视为质点，管的内径略大于两小球的直径，对小球下滑之后的运动判断正
确的是（ ）
A．在小球下滑至与管道圆心等高之前，管道对小球的支持力一定沿半径向外
B．碰前，管道受到两小球的最大压力为5(m1+m2)g
C．只有满足m1=m2时，两小球才能在最低点发生碰撞后同时返回最高点
D．若碰撞后小球B 返回管道最高点时对管道恰好无压力，则m1:m2=3:1
11．（多选）（2024·广东·高考真题）如图所示，光滑斜坡上，可视为质点的甲、乙两个相同滑块，分别
从H 甲、H 乙高度同时由静止开始下滑。斜坡与水平面在O 处平滑相接，滑块与水平面间的动摩擦因数为
μ，乙在水平面上追上甲时发生弹性碰撞。忽略空气阻力。下列说法正确的有（ ）
A．甲在斜坡上运动时与乙相对静止
B．碰撞后瞬间甲的速度等于碰撞前瞬间乙的速度
C．乙的运动时间与H 乙无关
D．甲最终停止位置与O 处相距H 乙
μ
12．如图所示，半径为R 的光滑半圆轨道AB 与光滑水平轨道BC 相切于B 点，质量分别为m 和2m 的小球
M、N 之间压缩一轻弹簧并锁定（弹簧与两小球均不拴连）。某时刻解除弹簧的锁定，两小球被弹开，小
球M 离开弹簧后恰好能沿半圆轨道通过最高点A，重力加速度为g。求：
（1）离开弹簧时小球M 的速度大小v M；
（2）弹簧锁定时所具有的弹性势能E p。
13．如图所示，光滑水平面上质量为mA=2kg，mB=3kg的A、B 两物块用轻质弹簧连接，一起以
v0= 4 m /s的速度向右匀速运动，与静止在水平面上质量mC=1kg的物块C 发生碰撞，碰撞时间极短，弹
簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦阻力。
(1)若物块B 与C 碰撞后粘合在一起运动，求碰后瞬间C 的速度大小；
(2)若物块B 与C 碰撞后粘合在一起运动，求此后弹簧能获得的最大弹性势能。
14．（2025·安徽·模拟预测）如图所示，固定的光滑弧形轨道底端O处切线水平，光滑的水平面上静置一
块长木板AB，P为长木板的中点，木板的上表面与O点等高，在板的左端点放置一个可视为质点、质量为
m的物块，物块与板之间的动摩擦因数为μ。可视为质点、质量为1
2 m的小球从弧形轨道上距离O点某一高
度处由静止释放，滑到O点时速度大小为v0，小球与物块发生弹性碰撞（碰撞后立即取走小球），当长木
板锁定时，物块恰好停在长木板的右端点。已知重力加速度为g，求：
(1)小球在弧形轨道上释放时的高度ℎ；
(2)长木板的长度L；
(3)解除长木板的锁定，要使物块最终停在P点左侧，但越过AP的中点，木板质量的范围。
15．（2024·辽宁·高考真题）如图，高度ℎ=0.8 m的水平桌面上放置两个相同物块A、B，质量
mA=mB=0.1kg。A、B 间夹一压缩量Δ x =0.1m的轻弹簧，弹簧与A、B 不栓接。同时由静止释放A、B，
弹簧恢复原长时A 恰好从桌面左端沿水平方向飞出，水平射程xA=0.4 m；B 脱离弹簧后沿桌面滑行一段距
离xB=0.25 m后停止。A、B 均视为质点，取重力加速度g=10 m/s
2。求：
（1）脱离弹簧时A、B 的速度大小vA和vB；
（2）物块与桌面间的动摩擦因数μ；
（3）整个过程中，弹簧释放的弹性势能Δ Ep。
16．（2024·天津·高考真题）如图所示，光滑半圆轨道直径沿竖直方向，最低点与水平面相切。对静置于
轨道最低点的小球A 施加水平向左的瞬时冲量I，A 沿轨道运动到最高点时，与用轻绳悬挂的静止小球B 正
碰并粘在一起。已知I = 1.8 N∙s，A、B 的质量分别为mA = 0.3 kg、mB = 0.1 kg，轨道半径和绳长均为R =
0.5 m，两球均视为质点，轻绳不可伸长，重力加速度g 取10 m/s2，不计空气阻力。求：
(1)与B 碰前瞬间A 的速度大小；
(2)A、B 碰后瞬间轻绳的拉力大小。
17．（2025·黑龙江·模拟预测）大型工厂的车间中有一种设备叫做天车如图甲所示，是运输材料的一种常
用工具。此装置可以简化为如图乙所示的模型，足够长的光滑水平杆上套有一个质量为3m 的滑块，滑块
正下方用长为L 不可伸长的轻绳悬挂一个质量为m 的小球。开始两者均静止，现给小球一个水平初速度v0
（未知），小球恰好能达到与滑块等高的位置，此时滑块水平向右移动s，重力加速度为g，求：
(1)初速度v0大小；
(2)小球第1 次返回最低点时绳的拉力大小；
(3)从给小球初速度开始到第1 次摆到最高点的时间。
18．（2025·全国卷·高考真题）如图，物块P 固定在水平面上，其上表面有半径为R 的1
4
圆弧轨道。P 右端
与薄板Q 连在一起，圆弧轨道与Q 上表面平滑连接。一轻弹簧的右端固定在Q 上，另一端自由。质量为m
的小球自圆弧顶端A 点上方的B 点自由下落，落到A 点后沿圆弧轨道下滑，小球与弹簧接触后，当速度减
小至刚接触时的1
3
时弹簧的弹性势能为2mgR，此时断开P 和Q 的连接，从静止开始向右滑动。g 为重力加
速度大小，忽略空气阻力，圆弧轨道及Q 的上、下表面均光滑，弹簧长度的变化始终在弹性限度内。
(1)求小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功；
(2)求小球与弹簧刚接触时速度的大小及B、A 两点间的距离；
(3)欲使P 和Q 断开后，弹簧的最大弹性势能等于2.2mgR，Q 的质量应为多大？
(4)欲使P 和Q 断开后，Q 的最终动能最大，Q 的质量应为多大？
