微专题10 端点效应
（先猜后证-必要性探索）在导数中的应用讲义
微专题教学内容
1. 端点效应的定义
恒成立问题中, 我们常常能见到类似的命题: “对于任意的
, 都有
恒成
立”，这里的端点
, 往往是使结论成立的临界条件, 因此, 如果能利用好这两个值, 能
方便解题，比如对于上述的命题,观察
和
的取值，这种观察区间端点值来解决问题
的做法, 我们称之为端点效应
2. 端点效应的核心思想
利用端点处所需满足的必要条件缩小参数的取值范围, 而在很多情况下, 该范围即为所求.
3. 端点效应的解题思路
端点效应问题中，可以通过取所构造函数定义域内的某些特殊的值使不等式成立进而得出恒
成立的一个必要条件，初步获得所求参数的范围再在该范围内讨论，进而缩小了参数的讨论
范围，使问题得以顺利的解决。
利用“端点效应”解决问题的一般步骤可分为以下几步
(1) 利用端点处函数值或导数值满足的条件，初步获得参数的取值范围，这个范围是不等式
恒成立的必要条件
(2) 利用所得出的参数范围判断函数在定义域内是否单调
(3) 若函数在限定参数范围内单调，则必要条件即为充要条件，问题解决.若不单调，则需进
一步讨论，直至得到使不等式恒成立的充要条件
4. 端点效应的类型
1.如果函数
在区间
上,
恒成立,则
或
.
2.如果函数
在区问
上,
恒成立,且
(或
),则
或
.
3.如果函数
在区问
上,
恒成立,且
(或
,
则
或
.
典例精讲
【典例1】
己知函数f (x)=e
x−ax
1
−(a>0)。 若f (x)≥0在[0,+∞)上恒成立，则a的取值范围为______
【答案】(0,1]
【分析】由题意可知，需保证f (x)在[0,+∞)上的最小值非负。利用导数研究函数单调性，分类讨论参数
a的取值范围。
【方法一】常规导数法
f (x)=e
x−ax
1,
−
x≥0,a>0.
求导得
f
′(x)=e
x−a.
令f
′(x)=0, 解得x=lna。
1.当0<a≤1时，lna≤0。对任意x≥0, 有f
′(x)≥e
0−a =1−a≥0,
故f (x)在[0,+∞)上单调递增。所以f (x)≥f (0)=0, 符合题意。
2.当a>1时，lna>0。
在[0,lna)上，f
′(x)<0, 函数单调递减：
在(lna,+∞)上f
′(x)>0, 函数单调递增。
故f (x)在x=lna处取得极小值，也是最小值：
f (lna)=a−alna
1.
−
令g (a)=a−alna
1
−(a>1), 则g
′(a)= ln
−
a<0,
所以g (a)在(1,+∞)上单调递减，故g (a)<g (1)=0,即f (lna)<0, 不符合题意。
综上所述，a的取值范围是(0,1]。
【方法二】端点效应
先证必要性：因为f (x)≥0在[0,+∞)上恒成立，且f (0)=0,
所以必须有f
′(0)≥0。
计算得f
′(x)=e
x−a, 故f
′(0)=1−a≥0, 解得a≤1。
结合已知a>0, 得0<a≤1。
再验证充分性：当0<a≤1时，对任意x≥0,
利用不等式e
x≥x+1(当x≥0时等号仅在x=0处成立)，
有f (x)=e
x−ax
1≥
−
(x+1)−ax
1=
−
(1−a)x≥0,恒成立。
故a的取值范围为(0,1]。
会一题通一类
1.已知函数
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
恒成立，求a 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析.
(2)
【分析】（1）求导,然后令
,讨论导数的符号即可;
（2）构造
,计算
的最大值,然后与0 比较大小,得出的分界点,再对讨论
即可.
【详解】（1）
令
,则
则
当
当
,即
.
当
,即
.
所以
在
上单调递增,在
上单调递减
（2）
【法一】设
设
所以
.
若
,
即
在
上单调递减,所以
.
所以当
,符合题意.
若
当
,所以
.
.
所以
,使得
,即
,使得
.
当
,即当
单调递增.
所以当
,不合题意.
综上, 的取值范围为
.
【法二】端点效应
(2)
由于
, 且的
,
注意到当
, 即
时,
使
在
成立, 故此时
单调递减
, 不成立.
另一方面, 当
时,
, 下证它小于等于 0 .
单调递减,
. 特上所述:
.
【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性
在定义域内是减函数,若
,当
,对应当
.
2.已知函数
.
（1）当a=1 时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0 时，f（x）≥
x3+1，求a 的取值范围.
【答案】（1）当
时，
单调递减，当
时，
单调递
增.（2）
【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性
即可.
(2)方法一：首先讨论x=0 的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的
函数的最大值即可确定实数a 的取值范围.
【详解】(1)当
时，
，
，
由于
，故
单调递增，注意到
，故：
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增.
(2) [方法一]【最优解】：分离参数
由
得，
，其中
，
.
①当x=0 时，不等式为：
，显然成立，符合题意；
.
②当
时，分离参数a 得，
，
记
，
，
令
，
则
，
，
故
单调递增，
，
故函数
单调递增，
，
由
可得：
恒成立，
故当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
因此，
,
综上可得，实数a 的取值范围是
.
[方法二]：特值探路
当
时，
恒成立
．
只需证当
时，
恒成立．
当
时，
．
只需证明
⑤式成立．
⑤式
，
令
，
则
，
所以当
时，
单调递减；
当
单调递增；
当
单调递减．
从而
，即
，⑤式成立．
所以当
时，
恒成立．
综上
．
[方法三]：指数集中
当
时，
恒成立
，
记
，
，
.
①当
即
时，
，则当
时，
，
单调递增，又
，所以当
时，
，不合题意；
.
②若
即
时，则当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，又
，
所以若满足
，只需
，即
，所以当
时，
成立；
③当
即
时，
，又由②可知
时，
成立，所以
时，
恒成立，
所以
时，满足题意.
综上，
.
【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重
要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有：
方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；
方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，
具有风险性；
方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定
的技巧性！
3.已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x [0
∈
，π]时，f（x）≥ax，求a 的取值范围．
【答案】（1）见解析；
（2）
.
【分析】（1）求导得到导函数后，设为
进行再次求导，可判断出当
时，
，当
时，
，从而得到
单调性，由零点存在定理可判断出唯一零
点所处的位置，证得结论；（2）构造函数
，通过二次求导可判断出
，
；分别在
，
，
和
的情况下根据导函数的符号判断
单调性，从而确定
恒成立时的取值范围.
【详解】（1）
令
，则
当
时，令
，解得：
当
时，
；当
时，
在
上单调递增；在
上单调递减
又
，
，
即当
时，
，此时
无零点，即
无零点
，使得
又
在
上单调递减
为
，即
在
上的唯一零点
综上所述：
在区间
存在唯一零点
（2）若
时，
，即
恒成立
令
则
，
由（1）可知，
在
上单调递增；在
上单调递减
且
，
，
，
①当
时，
，即
在
上恒成立
在
上单调递增
，即
，此时
恒成立
②当
时，
，
，
，使得
在
上单调递增，在
上单调递减
又
，
在
上恒成立，即
恒成立
③当
时，
，
，使得
在
上单调递减，在
上单调递增
时，
，可知
不恒成立
④当
时，
在
上单调递减
可知
不恒成立
综上所述：
【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对
于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成
函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最
值.
学后测评
1．（24-25 高二下·广东中山·期中）已知
.
(1)若
，求
的极值；
(2)当
时，
，求
的取值范围.
【答案】(1)极小值0，无极大值；
(2)
.
【分析】（1）将
代入函数解析式，利用导函数求得
的单调性，再求极值即可；
（2）求导
，设新函数
，分类讨论函数
的正负，从而得出函数
的单调性，找出符合题意的
的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，则
，
时，
，即
单调递减；
时，
，即
单调递增；
故
在
处有极小值
，无极大值，
所以
有极小值0，无极大值.
（2）由题意得，
，令
，
易得
在
为增函数，
①若
，即
时，
则
时，
所以
单调递增，
故
，符合题意；
②若
，即
时，
，
故存在
，使得
，
时，
即
，
单调递减；
时，
即
，
单调递
增，
故
时，
，不符合题意.
综上，
的取值范围是
.
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
．
(1)证明：当
，
时，
；
(2)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）求导，确定函数单调性即可求证；
（2）求导，通过
，
，
时，讨论单调性即可求解；
【详解】（1）当
时，
，
,
则函数
在
单调递减
即
．
（2）
①当
时，
在
上单调递减，
即
，故原不等式不成立．
②当
时，因为
，所以
，
即
，显然原不等式成立．
③当
时，存在
，使得
，
当
在
单调递增，
当
在
单调递减，
即
，
由题意
，可知
，解得
综上所述：
．
3．（2025·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)若
，求
的单调区间；
(2)当
时，
，求
的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间为
，无单调递减区间；
(2)
【分析】（1）求导，令
，根据导数求得
最小值后可得
，即可求得
的单调
区间；
（2）求导，要使当
时，
成立，则
，再分
，
，
三种情况，结合导数证
明即可.
【详解】（1）当
时，
的定义域为
，
，显然
，
令
，
，
则
，令
，则
，
当
时，
，所以
在区间
上单调递减；
当
时，
，所以
在区间
上单调递增，
所以
，即
，
故
的单调递增区间为
，无单调递减区间．
（2）由
，
，
则
，因为
，
所以要使当
时，
，则必须满足
，即
．
下面证明：
．
当
时，
，
令
，
，
由（1）知，
在
上单调递增，
所以
，即当
时，
；
而当
时，令
，
，
则
，故
在
上单调递增，
（ⅰ）当
时，
，
，
所以存在
，使得
，
又
在
上单调递增，
所以当
时
，
即
在
上单调递减，所以
；
（ⅱ）当
时，
，
所以当
时，
不恒成立．
综上所述，实数
的取值范围是
．
4．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数
（
）.
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)当
时，
恒成立，求a 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导，解不等式
，
即可；
（2）令
，根据
即可得出
，再检验
的合理性即可.
【详解】（1）当
时，
，则
且
，
由
，得
或
；
，得
；
则
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）由题知
，令
，则
，
因当
时，
恒成立，且
，
则必有
，即
，
另一方面，
时，
，
所以
在
上单调递增，则
，
所以
在
上单调递增，则
，满足题设，
综上，a 的取值范围为
.
5．（25-26 高三上·四川成都·月考）已知函数
.
(1)若
，讨论
的单调性；
(2)若
，当
时，判断
是否存在零点，并说明理由；
(3)当
时，
，求
的取值范围.
【答案】(1)函数
在
上单调递减，在
单调递增；
(2)不存在零点；理由见解析；
(3)
【分析】（1）利用导数即可讨论函数的单调性；
（2）利用导数求出函数
的单调性，结合单调性得到函数
的值域，即可判断零点个数；
（3）求出
，令
，分类讨论
的范围，结合导数研究函数
的单调性，
从而得到
的正负，求得函数
的范围，即可得到
的取值范围
【详解】（1）当
时，
，其定义域为
，
则
，
令
，
则
，由于
，所以
在
上恒成立；
则
在
上单调递增，由于
，
所以当
时，
，当
时，
；
则函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
（2）当
时，
，
则
，
令
，
则
，因为
，则
在
上恒成立，
所以
在
上单调递减，
由于
，所以当
时，
，则函数
在
上单调递减，
即
，
所以若
，当
时，
不存在零点，
（3）由题可得：
令
，
则
，
当
时，由于
，则
，则
在
上单调递减；
所以
，则
在
上单调递减，则
，不满足题意；
当
时，令
，解得：
，
若
，即
时，则
在
上恒成立，
则
在
上单调递增，则
，则
在
上单调递增，则
，满
足题意；
若
，即
时，令
，解得：
,
令
，解得：
,
所以
在
上单调递减；在
上单调递增，
则当
时，
，则函数
在
上单调递减；
则当
时，
，不满足条件；
综上：
的取值范围为
.
6．（25-26 高三上·天津武清·月考）已知函数
，
.
(1)若曲线
在
处的切线的斜率为2，求a 的值；
(2)若
在区间
上恒成立，求a 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数导数的几何意义，求出函数导数，列出导数值的方程，求出参数；
（2）根据不等式恒成立的性质，构造函数，根据函数导数和函数最值之间的关系，求出函数最小值，求
出参数范围.
【详解】（1）由
，可知
，
因为
在
处的切线斜率为2，所以
，解得
.
（2）若
在区间
上恒成立，即
在区间
上恒成立.
令
，则
，
令
，则
，
所以
在
时单调递增，可知
.
当
时，
，即
，所以
在
时单调递增，
所以
成立.
当
时，
，当
时，
，所以
使得
.
当
时，
，即
，所以
此时单调递减；
当
时，
，即
，所以
此时单调递增；
所以，
不满足题设条件，舍去.
综上，
.
7．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)若
在
时恒成立，求
的取值范围．
【答案】(1)在区间
（
）上单调递增，在区间
（
）上
单调递减
(2)
【分析】（1）对函数求导，根据余弦函数的单调区间求解即可；
（2）将恒成立问题转化为最值问题，借助第一问求得的单调区间，数形结合即可求得最值.
【详解】（1）由
，函数定义域为
，得
，
当
时，
，
；
当
时，
，
.
故函数
在区间
（
）上单调递增，在区间
（
）上
单调递减．
（2）解法1：分类讨论
令
，
，
则
，
．
①当
时，
在
上单调递增，∴当
时，
，即
成立．
②当
时，令
，则
，
∴当
时，
，即
在
上单调递增，
因此当
时，
，即
．
于是，在
时，
，不符合题意．
③当
时，有
，与题意矛盾．
综上所述，所求
的取值范围为
．
解法2：数形结合
不等式
恒成立，说明函数
，
的图象在直线
的下方．
函数
的周期为
，结合（1）中
的单调区间，可作出函数
的图象如图所示．
注意到
，∴
在
处的切线斜率为
，直线
的斜率为
．
于是，对任意
，当且仅当
时，
成立．
故
的取值范围为
．
8．（2025·湖南长沙·二模）已知函数
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
与
恰有两个交点，求
的取值范围.
(3)当
时，
，求a 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
【分析】（1）求导后构造函数
再次求导后可得；
（2）变形不等式后令
，问题转化为
有两个零点，求导分
和
两种情况结
合零点存在定理分析可得；
（3）当
时显然成立；当
时，分离参数可得
，构造函数求导结合隐零点分析
最值即可.
【详解】（1）当
时，
，
，
令
，则
恒成立，
所以
在
单调递增，
又
，
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
（2）
，
令
，问题转化为
有两个零点，
求导
，
若
，则
，
单调递增，在
上至多有一个零点，不符合题意；
若
，令
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以
，
由零点存在定理可得要使
有两个零点，则
，
当
时，
，
，则
；
当
，由指数爆炸模型可知
，
所以
的取值范围为
.
（3）当
时，
，即
，整理可得
，
当
时显然成立；
当
时，分离参数可得
，
令
，求
的最大值即可，
求导
，
令分子为
，
则
，
再令
，
则
，
所以当
时，
，则
单调递增；
当
时，
，则
单调递减，
又
，
故存在
，使得
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
又
，
所以
时，
，即
，
单调递增；
时，
，即
，
单调递增，
所以
.
所以a 的取值范围为
.
9．（2025·四川资阳·一模）已知函数
.
(1)若
有3 个极值点
，
，
，且
，
（i）求
的取值范围；
（ii）求证：
；
(2)若
，
，求
的取值范围.
【答案】(1)（i）
；(ii)证明见解析；
(2)
【分析】（1）（i）
有3 个极值点
转化为
与
有3 个交点，求导研究单调性，结
合图像即可得出
的取值范围；（ii）根据（i）得出
与
的关系，以及
的范围，利用
表示
，代入
表达式，构造函数求导研究单调性最值即可.
（2）设
，可以发现
，
，则根据尝试端点效应进行讨论，证明
成立以及
不成立即可.
【详解】（1）（i0 当
时，
不符合题意，
当
时，
，
设
，
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
极小值
，极大值
，
且由指数函数与二次函数增长速度可得，当
趋于
时，
趋于
，
当
趋于
时，
趋于
，
作出
图像：
则要使
有3 个极值点，需使
与
有3 个交点，
则
，即
.
设
与
的3 个交点横坐标从小到大分别为
，
，
，
则由图像可得当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
则极大值点为
，极小值点为
符合题意，
故
的范围为
.
(ii)证明：由（i）,
,
且
时，
单调递增，则
，
由于
，则
，
代入得
，
设
，
则
，
则
，即
，
综上：
.
（2）设
，
则
，
设
，则
，
设
，则
，
设
，则
，
由于
时，
，所以
，则
单调递增，
当
时，
，则
单调递增，
则
，则
单调递增，
则
，则
单调递增，
则
符合题意；
当
时，
，则存在
，使得
时，
，
则
在
单调递减，则
，
则
在
单调递减，
不符合题意；
综上，
.
10．（25-26 高三上·江苏镇江·开学考试）已知函数
.
(1)若
，求
的极值；
(2)若
，判断
的零点个数并证明；
(3)若对任意
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
的极小值为
，无极大值；
(2)两个零点，证明见解析；
(3)
.
【分析】（1）将
代入函数
，确定定义域，求导分析导数的正负，确定单调性和极值；
（2）将
代入函数
，利用零点存在性定理，结合导数分析单调性来判断；
（3）根据不等式
恒成立，分析函数在区间
上的最小值，确保最小值非负.
【详解】（1）当
时，函数
，其定义域为
，
对
求导，得
，
设
，对
求导得
，所以
在
上单调递增；
又
，
当
时，
，即
，
单调递减；
当
时，
，即
，
单调递增；
所以
在
处取得极小值，
，无极大值；
（2）当
时，
，
，所以
是一个零点，
求导得
，令
，
，
当
时，
，
当
时，
，
综上
，即
在
上单调递增，
又
，
所以
存在唯一的零点
，
则
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增，
所以
，又
，
所以
在
上还有一个零点，
综上，
在
上有且仅有两个零点；
（3）当
时，
成立，
当
时，因为
，所以
，
，
所以
，所以
，
当
时，
，令
，
则
，
因为
，
，
，
，
所以
，所以
在
上单调递增，即
在
上单调递增，
又
，
①当
时，
，所以
，
在
上单调递增，则
，
所以
在
上单调递增；又
，所以
恒成立；
②当
时，
，
在
上单调递增，
存在
，使得当
时，
在
上单调递减，
则
，
时，
不恒成立；
当
时，
恒成立，则
.
