87.圆锥曲线中“手电筒模型”的十二个定点定值
一．基本原理[1]
鉴于篇幅，上述定点定值的证明过程从略（其实有个印象就行，很大程度上是记不住
的），需要了解证明详情的可以参考本文的参考文献
二． 典例分析
例1.（2022 新高考1 卷）．已知点
在双曲线
上，直线l 交C
(2,1)
A
2
2
2
2
:
1(
1)
1
x
y
C
a
a
a
于P，Q 两点，直线
的斜率之和为0．
,
AP AQ
（1）求l 的斜率；
（2）若
，求
的面积．
tan
2 2
PAQ
PAQ
△
解析：（1）解法1：设点解点
设直线
的方程为
，与双曲线
的方程
1
2
2
2
y
x
联立，消去
得到
AP
1
)
2
(
x
k
y
C
y
0
4
8
8
)1
2
(
4
)
2
1(
2
2
2
k
k
x
k
k
x
k
，根据韦达定理，得
2
2
2
1
4
8
8
k
k
k
x
x
P
A
，故
1
2
2
4
4
2
2
k
k
k
xP
，从而
2
2
2
1
1
4
2
1
)
2
(
k
k
k
x
k
y
P
P
.
因为直线
的斜率之和为
，所以直线
的方程为
，同理，可
AQ
AP、
0
AQ
1
)
2
(
x
k
y
得：
1
2
2
4
4
2
2
k
k
k
xQ
，
2
2
2
1
1
4
2
k
k
k
yQ
.
所以直线的斜率为
1
1
2
2
4
4
1
2
2
4
4
2
1
1
4
2
2
1
1
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
x
x
y
y
Q
P
Q
P
l
解法2：不联立的艺术
设
，由点
都在双曲线
上，得
)
,
(
),
,
(
2
2
1
1
y
x
Q
y
x
P
A
Q
P
,
,
C
1
2
,1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
y
x
y
x
，
1
1
2
2
2
2
，所以，结合斜率公式，相减后变形，可得：
)1
(
2
2
2
1
1
1
1
1
y
x
x
y
kPA
，
)1
(
2
2
2
1
2
2
2
2
y
x
x
y
kQA
.因为直线
的斜率之和为
AQ
AP、
0
，即
，所以，
QA
PA
k
k
由
)1
(
2
2
2
1
2
2
1
1
y
x
x
y
得
)
4
2
2
(
)1
(
2
2
1
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
y
y
y
y
. ②
由
)1
(
2
2
2
1
1
1
2
2
y
x
x
y
得
)
4
2
2
(
)1
(
2
1
2
2
1
1
2
2
1
x
x
x
x
y
y
y
y
. ③
由②-③，得
1
2
2
1
x
x
y
y
，从而
1
2
1
2
1
x
x
y
y
kPQ
，即的斜率为
.
l
1
解法3：设而不求，韦达定理
将点
代入双曲线方程得
，化简得
，
，故双曲线方程
A
2
2
4
1
1
1
a
a
4
2
4
4
0
a
a
2
2
a
为
，由题显然直线的斜率存在，设
，设
，
，
，则
2
2
1
2
x
y
l
:l y
kx
m
1
(
P x
1
2
) (
y Q x
2)
y
联立双曲线得：
，故
，
，
2
2
2
(2
1)
4
2
2
0
k
x
kmx
m
1
2
2
4
2
1
km
x
x
k
2
1
2
2
2
2
2
1
m
x x
k
，
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
0
2
2
2
2
AP
AQ
y
y
kx
m
kx
m
k
k
x
x
x
x
化简得：
，
1
2
1
2
2
(
1
2 )(
)
4(
1)
0
kx x
m
k
x
x
m
故
，
2
2
2
2 (2
2)
4
(
1
2 )(
)
4(
1)
0
2
1
2
1
k
m
km
m
k
m
k
k
即
，当
时，直线
过点A，不合题
(
1)(
2
1)
0
k
m
k
0
1
2
k
m
1
)
2
(
:
x
k
y
l
意，舍去.,故
.
1
k
方法4.同构双斜率
设过点
的直线方程为
，直线的方程为
，联立解得
A
1
)
2
(
x
k
y
l
m
x
k
y
0
0
0
0
0
2
,
1
2
k
k
mk
k
kk
y
k
k
k
m
x
P
P
，代入双曲线
的方程
中，整理得
C
1
2
2
2
y
x
0
]
4
)1
[(
]
)
2
(
)1
[(
4
]
2
)
2
(
2
4
[
2
0
2
0
0
0
2
2
0
k
m
k
k
m
k
k
m
k
m
k
，这是关于
的一元二次方程，方程的两根
分别为直线
的斜率.
k
2
1
k
k 、
AQ
AP、
因为直线
的斜率之和为
，即
，所以
0
)
2
(
)1
(
0
0
0
k
m
k
k
m
AQ
AP、
0
0
2
1
k
k
，整理后分解得
0
)1
2
)(
1
(
0
0
m
k
k
.因为直线不经过点
，所以
，从而
l
A
1
2
0
m
k
，即的斜率为
.
1
0
k
l
1
方法5：齐次化联立
双曲线方程为
，设
，
2
2
1
2
x
y
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
∵AP,AQ 的斜率之和为0，∴
，
1
2
1
2
1
2
1
1
0
2
2
y
y
k
k
x
x
故将双曲线方程为
变形为：
，
2
2
1
2
x
y
2
2
2
2
1 1
1
2
x
y
且设直线
，
:
2
1
1
l m x
n y
由
式有：
2
2
2
2
1
4
2
1
0
x
y
x
y
2
2
2
2
1
4
2
1
2
1
0
x
y
x
y
m x
n y
2
2
4
1
2
4
2
1
4
4
2
1
0
m
x
n
y
m
n
x
y
,（两边同除以
），
2
2
1
1
4
2
4
4
4
1
0
2
2
y
y
n
m
n
m
x
x
2
2
x
即
，而
是此方程的两根.
2
4
2
4
4
4
1
0
n
k
m
n k
m
1
2
,
k k
∴
，故直线斜率为−1.
1
2
4
4
0
4
2
n
m
k
k
n
m
n
l
方法6：曲线系
点
处的切线方程为
，设直线
的方程为
，
的方程为
A
0
1
y
x
AP
)
2
(
1
1
x
k
y
AQ
，
的方程
，则过这四条直线交点的二次曲线方程为
)
2
(
1
2
x
k
y
PQ
b
kx
y
)
(
0
]1
)1
(
[
]1
)1
(
[
)1
)(
(
2
1
凌晨讲数学
y
x
k
y
x
k
y
x
b
y
kx
又因为双曲线过这些交点，比较
的系数得
.
xy
0
)
(
1
2
1
k
k
k
又由
，所以
.
0
2
1
k
k
1
k
（2）不妨设直线
的倾斜角为
，因为
，所以
，
,
PA PB
,
2
0
AP
BP
k
k
π
由（1）知，
，当
均在双曲线左支时，
，所以
2
1
2
2
2
0
x x
m
,
A B
2
PAQ
，
tan 2
2 2
即
，解得
（负值舍去）此时PA 与双曲线的渐近线平
2
2 tan
tan
2
0
2
tan
2
行，与双曲线左支无交点，舍去；当
均在双曲线右支时，因为
，所以
,
A B
tan
2 2
PAQ
，即
，即
，解得
（负值舍
tan
2 2
tan 2
2 2
2
2 tan
tan
2
0
tan
2
去），于是，直线
，直线
，
:
2
2
1
PA y
x
:
2
2
1
PB y
x
联立
可得，
，因为方程有一个根为
，所
2
2
2
2
1
1
2
y
x
x
y
2
3
2 1 2 2
10
4 2
0
2 x
x
2
以
，
，同理可得，
，
．
10
4 2
3
P
x
P
y 4 2
5
3
10
4 2
3
Q
x
Q
y
4 2
5
3
所以
，
，故
的面积为
．
5
:
0
3
PQ x
y
16
3
PQ
PAQ
△
1
16
2 2
16 2
2
3
3
9
例2.（2020 新高考卷）
已知椭圆C：
的离心率为
，且过点
．
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
2
2
2,1
A
（1）求
的方程：
C
（2）点
，
在
上，且
，
，
为垂足．证明：存在定点
，
M
N
C
AM
AN
AD
MN
D
Q
使得
为定值．
DQ
解析：（1）由题意可得：
，解得：
，故椭圆方程为：
2
2
2
2
2
2
2
4
1
1
c
a
a
b
a
b
c
2
2
2
6,
3
a
b
c
.
2
2
1
6
3
x
y
（2）方法1.设线解点
由题意，设直线
的方程为
，代入椭圆方程，可得
AM
)1,0
(1
)
2
(
k
x
k
y
.解得
.
0
4
8
8
)
8
4
(
)1
2
(
2
2
2
2
k
k
x
k
k
x
k
1
2
2
4
4
,2
2
2
2
1
k
k
k
x
x
所以
.因为
，将
代替上面的
，可
1
2
1
4
2
,
1
2
2
4
4
2
2
2
2
k
k
k
y
k
k
k
x
M
M
AN
AM
k
1
k
得
.故
.
2
2
4
,
2
4
4
2
2
2
2
2
k
k
k
y
k
k
k
x
N
N
)
2
(
)1
2
)(
2
(
1
3
2
k
k
k
k
k
x
x
y
y
k
N
M
N
M
MN
所以直线
的方程为
.
MN
)
2
4
4
2
(
)1
2
)(
2
(
1
3
2
2
4
2
2
2
2
2
k
k
k
x
k
k
k
k
k
k
k
y
化简，得
.即直线
恒过定点
.
3
1
)
3
2
(
)1
2
)(
2
(
1
3
2
x
k
k
k
k
y
MN
)
3
1
,
3
2
(
H
方法2：韦达定理
（2）设点
，若直线
斜率存在时，设直线
的方程为：
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
MN
MN
y
kx
m
，
代入椭圆方程：消去
并整理得：
，
y
2
2
2
1
2
4
2
6
0
k
x
kmx
m
可得
，
，因为
，所以
，即
1
2
2
4
1
2
km
x
x
k
2
1
2
2
2
6
1
2
m
x x
k
AM
AN
·
0
AM AN
，根据
,代入整理可得：
1
2
1
2
2
2
1
1
0
x
x
y
y
1
1
2
2
,
kx
m y
kx
m
y
，
2
2
1
2
1
2
1
2
1
4
0
x x
km
k
x
x
k
m
所以
，整理化简得
2
2
2
2
2
2
6
4
1
2
1
4
0
1
2
1
2
m
km
k
km
k
m
k
k
，因为
不在直线
上，所以
，
2
3
1
2
1
0
k
m
k
m
(2,1)
A
MN
2
1
0
k
m
故
，于是
的方程为
，所以直线过定点直线
2
3
1
0
1
k
m
k
，
MN
2
1
3
3
y
k x
1
k
过定点
.当直线
的斜率不存在时，可得
，由
得：
2
1
,
3
3
P
MN
1
1
,
N x
y
·
0
AM AN
，得
，结合
可得：
1
1
1
1
2
2
1
1
0
x
x
y
y
1
2
2
1
2
1
0
x
y
2
2
1
1
1
6
3
x
y
， 解得：
或
（舍）.此时直线
过点
.
2
1
1
3
8
4
0
x
x
1
2
3
x
2
2
x
MN
2
1
,
3
3
P
令
为
的中点，即
，若
与
不重合，则由题设知
是
的斜边，故
Q
AP
4 1
,
3 3
Q
D
P
AP
Rt
ADP
△
，若
与
重合，则
，故存在点
，使得
为定
1
2 2
2
3
DQ
AP
D
P
1
2
DQ
AP
4 1
,
3 3
Q
DQ
值.
方法3.齐次化
（2）将原坐标系平移，原来的O 点平移至点A 处，则在新的坐标系下椭圆的方程为
，设直线
的方程为
．将直线
方程与椭圆方程联立得
2
2
(
2)
(
1)
1
6
3
x
y
MN
4
mx
ny
+
=
MN
，即
，化简得
2
2
4
2
4
0
x
x
y
y
2
2
(
)
2
(
)
0
x
mx
ny x
y
mx
ny y
，即
．
2
2
(
2)
(
)
(1
)
0
n
y
m
n xy
m x
2
(
2)
(
)
(1
)
0
y
y
n
m
n
m
x
x
设
，因为
则
，即
．
1
1
2
2
,
,
,
M x
y
N x
y
AM
AN
1
2
1
2
AM
AN
y
y
k
k
x
x
1
1
2
m
n
3
m
n
代入直线
方程中得
．则在新坐标系下直线
过定点
，
MN
(
)
3
4
0
n y
x
x
MN
4
4
,
3
3
则在原坐标系下直线
过定点
．又
，D 在以
为直径的圆上．
MN
2
1
,
3
3
P
AD
MN
AP
AP
的中点
即为圆心Q．经检验，直线
垂直于x 轴时也成立．故存在
，使
4 1
,
3 3
MN
4 1
,
3 3
Q
得
．
1
2 2
|
|
|
|
2
3
DQ
AP
方法4. 不联立，不韦达
（2）设
)
,
(
),
,
(
2
2
1
1
y
x
B
y
x
A
，依题意知
1
2
1
2
1
2
2
1
1
x
y
x
y
k
k
BM
AM
，
因为
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
a
b
x
y
x
y
，所以
2
1
2
2
1
2
2
1
1
y
x
x
y
，
整理得
2
2
4
2
2
1
2
1
2
2
1
1
2
y
y
x
x
y
x
y
x
同理得
2
2
4
2
2
2
1
2
1
1
2
2
1
y
y
x
x
y
x
y
x
相减可得
),
(
3
1
)
(
3
2
1
2
2
1
2
1
1
2
x
x
y
y
y
x
y
x
即直线
恒过定点
)
3
1
,
3
2
(
H
.
MN
又
，D 在以
为直径的圆上．
的中点
即为圆心Q．经检验，直线
AD
MN
AP
AP
4 1
,
3 3
MN
垂直于x 轴时也成立．故存在
，使得
．
4 1
,
3 3
Q
1
2 2
|
|
|
|
2
3
DQ
AP
方法5.曲线系
（2）A 点处的切线方程为
，即
．设直线
的方程为
2
1
1
6
3
x
y
3
0
x
y
MA
，直线
的方程为
，直线
的方程为
1
1
2
1
0
k x
y
k
MB
2
2
2
1
0
k x
y
k
MN
．由题意得
．则过A，M，N 三点的二次曲线系方程用椭圆及直线
0
kx
y
m
1
2
1
k
k
×
= -
可表示为
（其中
为系数）．
,
MA MB
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
0
6
3
x
y
k x
y
k
k x
y
k
用直线
及点A 处的切线可表示为
（其中
为系数）．
MN
(
) (
3)
0
kx
y
m
x
y
即
．
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
(
)(
3)
6
3
x
y
k x
y
k
k x
y
k
kx
y
m x
y
对比
项、x 项及y 项系数得
，将①代入②③，消去
并
xy
1
2
1
2
1
2
(1
),
4
(
3 ),
2
1
(
3).
k
k
k
k
k
m
k
k
k
m
①
②
③
,
化简得
，即
．故直线
的方程为
，直线
过
3
2
1
0
m
k
2
1
3
3
m
k
MN
2
1
3
3
y
k x
MN
定点
．又
，D 在以
为直径的圆上．
中点
即为圆心Q．经
2
1
,
3
3
P
AD
MN
AP
AP
4 1
,
3 3
检验，直线
垂直于x 轴时也成立．故存在
，使得
．
MN
4 1
,
3 3
Q
1
2 2
|
|
|
|
2
3
DQ
AP
例3．（2017 全国1 卷）已知椭圆
，四点
，
，
1
2
2
2
2
b
y
a
x
1
2
(1,1),
(0,1)
P
P
3
3
1, 2
P
中恰有三点在椭圆上．
4
3
1, 2
P
（1）求椭圆的方程：
（2）设直线不经过点
且与椭圆交于
两点，若直线
的斜率之和为
l
2P
B
A,
B
P
A
P
2
2 与直线
，证明：过定点．
1
l
解析：（1）由条件知
不在椭圆上，易得椭圆方程为
．
1P
1
4
2
2
y
x
（2）①当直线的斜率不存在时，设
l
，得
，
1
2
1
1
),
,
(
),
,
(
,
:
m
m
y
m
y
k
k
y
m
B
y
m
A
m
x
l
A
A
PB
PA
A
A
2
m
此时直线过椭圆右顶点，无两个交点，故不满足．
l
②当直线斜率存在时，设
l
)
,
(
),
,
(
),
1
(
:
2
2
1
1
y
x
B
y
x
A
m
m
kx
y
l
因为
1
4
2
2
y
x
m
kx
y
0
)1
(
4
8
)
4
1(
2
2
2
m
kmx
x
k
所以
2
2
2
1
2
2
1
4
1
)1
(
4
,
4
1
8
k
m
x
x
k
km
x
x
所以
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
(
)
(
)
PA
PB
y
y
x kx
m
x
x kx
m
x
k
k
x
x
x x
1
2
1
2
1
2
2
(
1)(
)
kx x
m
x
x
x x
1
1
2
2
)1
(
4
)1
(
8
2
2
m
km
k
m
m
km
k
又
，此时
，存在
使得
1
2
1
k
m
m
k
m
k
16
)
1
4
(
16
2
2
k
0
所以直线的方程为
，
．
l
)
2
(
1
1
2
x
k
y
k
kx
y
)1
,2
(
过定点
l
例4. 已知
为抛物线
上的一点，
为
的焦点，
为坐标原
4,4
M
2
:
2
0
C y
px p
F
C
O
点．
（1）求
的面积；
MOF
△
（2）若
为
上的两个动点，直线
与
的斜率之积恒等于
，作
，
,
A B
C
MA
MB
2
MN
AB
N
为垂足，证明：存在定点
，使得
为定值．
Q
NQ
解析：（1）因为
在抛物线
上，所以
，解得
，
4,4
M
2
:
2
0
C y
px p
16
8p
2
p
所以
，
.
𝐅(𝟎,𝟏)
Δ
1
1 1 4
2
2
2
MOF
M
S
OF y
（2）由（1）可知
的方程为
，由题意可知直线
不与
轴平行，
C
2
4
y
x
AB
x
设直线
的方程为
，则
，联立方程得
AB
2
2
1
2
1
2
,
,
,
,
4
4
y
y
x
my
b A
y
B
y
1
2
,
4
y y
整理可得
，则
，且
①，
2
4
x
my
b
y
x
2
4
4
0
y
my
b
2
16
16
0
m
b
1
2
4
y
y
m
②，
1
2
4
y y
b
，同理可得
．由题意得
，即
1
2
1
1
4
4
4
4
4
MA
y
k
y
y
2
4
4
MB
k
y
1
2
4
4
2
4
4
MA
MB
k
k
y
y
，将①②代入可得
，即
，故直线
的
1
2
1
2
4
24
0
y
y
y y
16
4
24
0
m
b
4
6
b
m
AB
方程可化为
，即
，所以直线
过定点
，
4
6
x
my
m
6
4
x
m y
AB
6, 4
D
因为
于点
，所以点
在以
为直径的圆上，故存在
的中点
，即
MN
AB
N
N
MD
MD
Q
，使得
为定值．
5,0
Q
17
2
MD
NQ
例5 ．已知动点
到直线
的距离比到点
的距离大1．
M
+2=0
x
(1,0)
F
（1）求动点
所在的曲线
的方程；
M
C
（2）已知点
，
是曲线
上的两个动点，如果直线
的斜率与直线
的斜率互
(1,2)
P
A B
、
C
PA
PB
为相反数，证明直线
的斜率为定值，并求出这个定值；
AB
解析：（1）已知动点
到直线
的距离比到点
的距离大，等价于动点
到
M
+2=0
x
(1,0)
F
1
M
直线
的距离和到点
的距离相等，由抛物线的定义可得：动点
的轨迹是以
1
x
(1,0)
F
M
为焦点，以直线
为准线的抛物线，可得
，抛物线开口向右，∴曲线
的
(1,0)
F
1
x
=2
p
C
方程为
．
2
4
y
x
（2）设直线
的斜率为
，∵直线
的斜率与直线
的斜率互为相反数，∴直线
的
PA
k
PA
PB
PB
斜率为
，设
，
，联立方程组
，整理
k
:
2
(
1)
PA
l
y
k x
:
2
(
1)
PB
l
y
k x
2
2= (
1)
=4
y
k x
y
x
得
，即
，
或
（舍），可得
2-4 -4 +8=0
ky
y
k
(2
4) (
2)
0
ky
k
y
4
2k
y
k
=2
y
，
2
2
(2
)
4
2
(
,
)
k
k
A
k
k
联立方程组
，整理得
，即
，
2
2=
(
1)
=4
y
k x
y
x
2
4
4
8
0
ky
y
k
(2
4) (
2)
0
ky
k
y
或
（舍），可得
，则
，即直
4
2k
y
k
=2
y
2
2
(2
)
4
2
(
,
)
k
k
B
k
k
2
2
2
2
4
2
4
2
1
(2
)
(2
)
AB
k
k
k
k
k
k
k
k
k
线
的斜率为定值
．
AB
- 1
参考文献：[1]. 李鑫，常见二次曲线中斜率和或积为定值的性质探究. [J].中学数学研
究.2022.07
