文档文本内容
数列小题
一、数列通项公式
1．在数列
中，
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将给定的递推公式变形，再借助累加法计算作答.
【详解】在数列
中，由
，得
，
则当
时，
，
因此
，显然
满足上式，
所以
.
故选：C
2．在数列
中，若
，
，则数列
的通项公式为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用累乘法求数列通项，注意验证
是否满足通项，即可得.
【详解】由题设
，
，则
，
，
，
当
时
，
，
，
，
，
，
，
所以
，且
，
显然
均满足上式，所以
.
故选：C
3．已知数列
的前
项和为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用
与
的关系以及
的值证明得到数列
是从第 1 项起是公比为 3 的
等比数列，得
【详解】已知
，
则当
时，
，
两式相减得到
，即
；
所以数列
是从第 2 项起是公比为 3 的等比数列，
当
时，
；
所以数列
是从第 1 项起是公比为 3 的等比数列，
所以
；
故选：A.
4．已知数列
的各项为正数，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由已知等式变形得出
，结合题意得出
，
，可知数列
为常数列，由此可求得数列
的通项公式.
【详解】因为数列
的各项为正数，且
，
，
故当
时，
，
由题意可知，对任意的
，
，则
，所以，
，
则有
，所以，数列
为常数列，
故
，所以
.
故选：A.
5．已知数列{an} 满足a1=1，且
，且n N*
∈
），则数列{an}的通项公式
为
A．
B．
C．an=n+2
D．an=（ n+2）·3 n
【答案】B
【详解】试题分析：由题可知，将
，两边同时除以
，得出
，运用累加法，解得
，整理得
；
考点：累加法求数列通项公式
二、数列递推
6．已知数列
满足
，则
（ ）
A．0
B．
C．1
D．2
【答案】B
【分析】根据数列递推公式，依次求出数列后面的项，判断数列周期，进而求出结果.
【详解】可知
，
，
，
，
，
可知数列周期为
，即
，可得
.
故选：B.
7．已知数列
满足
（
且
），且数列
是递增数列，数列
是递减数列，又
，且
，则
（ ）
A．
B．5050
C．
D．4950
【答案】A
【分析】根据数列的单调性，结合递推公式，利用分组求和以及等差数列求和，可得答案.
【详解】由数列
是递增数列，得
；由数列
是递减数列，
得
.
由
，且
，即
，
则当
为偶数时，
；当
为奇数时，
.
所以
.
故选：A.
8．设
为数列
的前
项积，已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可得
，结合已知可推出当
时，
，从而求得
，利用
即可求得答案.
【详解】由
为数列
的前
项积，则
，
则由
，可得当
时，有
，
又当
时，
，则由
可得
，
即
，则
，
则数列
是以
为首项，为公差的等差数列，
则
，则
，
故
.
故选：B.
9．已知一组整数
满足
，其中
为正整数，若
，则这组数
前
项的和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据数列的递推公式，写出数列的前几项，总结数列的周期性，可求数列的前50
项和.
【详解】因为
，且
，
所以
；
由
；
由
；
由
…
所以，该组整数从第项开始，以
的规律循环，
故这组数的前
项和为
.
故选：C
10．已知数列
满足
，且
，则
（ ）
A．60
B．62
C．64
D．66
【答案】A
【分析】根据递推关系得到
，再求出
，结合等差数列的通项公式求出即可.
【详解】因为
，所以
，
两式作差得
，
故数列
中的偶数项构成的新数列是以
为首项，
为公差的等差数列，
又
，
，得
，
故
为偶数时
，故
.
故选：A
三、等差数列及其通项
11．记
为等差数列
的前
项和，若
，则
（ ）
A．
B．
C．7
D．-7
【答案】B
【分析】根据等差数列通项公式和前
项和公式，代入题目等式条件中，求出结果即可.
【详解】根据等差数列性质，可知
，即
，
化简得
，可知
.
故选：B.
12．已知等差数列
的前
项和为
，且
，则
（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】C
【分析】利用等差数列的前
项和公式和性质化简得到
，则
.
【详解】因为
，所以
，即
，
所以公差
，所以
故选：C
13．已知等差数列
的前
项和为
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据等差数列的前
项和公式及通项公式列方程可得到一个关于
的等式，整
体代入
的表达式中即可.
【详解】设等差数列
的公差为
，
由
，得
，
所以
．
故选：B.
14．记
为公差
不为0 的等差数列
的前
项和，则下面说法不正确的是（ ）
A．
成等差数列
B．
成等差数列
C．
D．
【答案】D
【分析】由等差数列性质及前
项和公式对4 个选项依次判断即可．
【详解】对于A，
，
，
，
，
成等差数列，故A 正确；
对于B，
，
，
，
，
，
，
即
，
，
成等差数列，故B 正确；
对于C，
，
成立，故C 正确；
对于D，
，
不成立，故D 错误.
故选：D．
15．在等比数列
中，
成等差数列，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用等差数列的等差中项的定义及等比数列的通项公式计算即可．
【详解】设等比数列
的公比为
，则
，
故
，
由
成等差数列，得
，
即
由于等比数列
中，
，
故可得
，解得：
或
，
由于
，故
即得
，
故
．
故选：D.
四、等差数列性质
16．在等差数列
中，
，则
的值为（ ）
A．15
B．20
C．30
D．40
【答案】D
【分析】借助等差数列等差中项的性质计算即可得.
【详解】等差数列中
，解得
，
则
.
故选：D.
17．已知等差数列
、
的前
项和分别为
、
，若
，则
＝
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据等差数列的性质以及等差数列的前
项和公式计算可得.
【详解】因为
，
所以
.
故选：D.
18．若在等差数列
中，
．则
的公差为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．6
【答案】B
【分析】根据等差数列的通项公式，将已知等式化简，两式相减即可求得答案
【详解】因为
，所以
,
解得
故选：B
19．已知等差数列
的前
项和为
，且
，则使得
的
的最小
值为（ ）
A．4049
B．4050
C．4051
D．4052
【答案】C
【分析】先由已知不等式结合等差数列的性质得到
，再利用等差数列的求和
公式和下标的性质判断可得.
【详解】由
得
，因为
，所以
，所以
由
和
得
，
所以
，
，
故使得
的
的最小值为4051.
故选：C
20．已知
为数列
的前n 项和，
，
是公差为1 的等差数列，则下列选项
中不正确的是（ ）
A．
B．当且仅当
时，
取得最小值
C．
D．数列
中第5 项的值最大
【答案】B
【分析】根据等差数列的通项公式、
与
的关系，结合二次函数的性质逐一判断即可.
【详解】A：因为
是公差为1 的等差数列，
所以
，
因此
，所以A 正确；
B：由上可知：
，
因为
，所以当
或6 时，
取得最小值，因此B 不正确；
C：由上可知：
，
于是当
时，
，
显然
，符合
，所以C 正确；
D：由上可知：
，
令
，
显然当
时，因为
，
所以
，而
，
显然数列
中第5 项的值最大，故D 正确，
故选：B
五、等差数列函数特性
21．已知数列
的首项为
，对于任意的
都有
，则“
为单调递增
的数列”是“
”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据题设易得数列
的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为1，进而
结合充分、必要条件的定义判断即可.
【详解】由
，则数列
的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为1，
若
为单调递增的数列，则
；
若
，
则
，
，
，
，
所以
，
，
则“
为单调递增的数列”.
综上所述，“
为单调递增的数列”是“
”的充要条件.
故选：C
22．已知等差数列
的前
项和为
，若
，
，则使
的最小的
的值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据条件可得数列
为递减数列，且
，
，
，根据等差数列前
项和公式结合等差数列的性质可得结果.
【详解】设等差数列
的公差为
，
∵
，
，
∴数列
为递减数列，
∴
，
，
，
由
得
，即
，
∴
，
∴使
的最小的
的值为
.
故选：D．
23．已知
是等差数列
的前
项和，且
，有下列四个命题，其中正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．数列
中的最大项为
【答案】B
【分析】推导出
，
，可推出
，再利用等差数列的求和公式以及数列
的单调性逐项分析，可得合适的选项.
【详解】因为
，则
，因为
，则
，
所以，
，所以，
，A 错；
，B 对；
，C 错；
因为
，所以数列
为递减数列，
当
且
时，
；当
且
时，
，
所以，
中最大项为
，D 错.
故选：B.
24．数列
的前
项和为
，已知
，则下列说法错误的是（ ）
A．
是递减数列
B．数列
的前 2025 项和为 2017
C．
D．设
，当且仅当
时，数列
的前
项和取最大值
【答案】D
【分析】根据
作差求出
的通项公式，即可判断A、C；再由并项求
和法判断B；列出
的前几项，再分析其余项的特征，即可判断D.
【详解】因为
，当
时
，
当
时
，
所以
，
经检验当
时
也成立，所以
，
因为
，所以
，
所以
是递减数列，故A 正确；
因为
，
记
的前
项和为
，
则
，故B 正确；
因为
，所以
，故C 正确；
因为
，所以
，
，
又
，所以
，
，
，
，
，
当
时，
，
，
，所以
，
所以当
或
时数列
的前
项和取最大值，故D 错误.
故选：D
六、等比数列及其通项
25．已知
为等比数列，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】结合题意先求出基本量，再把目标式转化为等比数列求和，进而利用公式法求解
即可.
【详解】由题意得
为等比数列，则设首项为
，公比为
，
因为
，
，所以
，
联立方程组
，解得
，
结合题意可得
是首项为1，公比为4 的等比数列的前50 项和，
由求和公式得前50 项和为
，故D 正确.
故选：D
26．数列
满足
且
，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
是等比数列
C．
D．
【答案】D
【分析】将
变形为
，根据等差数列定义可知
是等差数列，利
用等差中项性质判断A；利用等比数列定义判断B；由
判断C；求解
和
判断D.
【详解】由数列
满足
，可得
，
所以
，且
，
所以数列
是首项为，公差为
的等差数列，
故
，
对于A，因
是等差数列，则
是
的等差中项，
即
，故A 正确；
对于B，由
，且
，
所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列，故B 正确；
对于C，由
，可得
，其中
，故C 正确；
对于D，由
，可得
，
则
，
，
即
，故D 错误.
故选：D.
27．已知数列
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由递推关系证明数列
是等比数列从而得
，代入
即可求
解.
【详解】易知
，从而由题意得：
，即
，
由
，得
，从而得
，
故数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
故
，所以
，解得
.
故选：A.
28．在等比数列
中，
，
，则
（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】A
【分析】设等比数列
的公比为
，易得数列
为等比数列，公比为
，进而
结合等比数列的通项公式可得
，根据
的正负讨论求解即
可.
【详解】设等比数列
的公比为
，则
，
所以数列
为等比数列，公比为
，
由题设可得
，
当
时，
，两式相互矛盾；
当
时，
，
两式相加得，
，即
，
两式相减得，
，即
，
所以
，即
，则
；
当
时，
，即
，两式相互矛盾；
当
时，
，
两式相加得，
，即
，
两式相减得，
，即
，
所以
，即
，则
.
综上所述，
或
.
故选：A
29．已知数列
满足：
，对
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据递推关系式可整理得到
，由此可得数列
为等比
数列，利用等比数列通项公式可推导得到
，代入
即可求得结果.
【详解】因为
，
，
所以
为公比为
的等比数列，
则
，
故
．
取
，则
．
故选：C．
七、等比数列函数特性
30．已知数列
是等比数列，若
，
是方程
的两个根，则
的值为（ ）
A．1013
B．
C．2023
D．1022
【答案】A
【分析】先根据韦达定理得到
，再利用等比数列的性质得到
，最后利用倒序相加法求和.
【详解】由题设及韦达定理，得
，
由等比数列性质，得
，
设
，
所以
，
则
，
得
，
所以
.
故选：A
31．若1，
，
，4 成等差数列；1，
，
，
，4 成等比数列，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用等差数列的通项公式得
、等比中项的性质及等比数列通项公式得
，即可求.
【详解】若1，
，
，
，4 的公比为
，则
，
由题设
，
，则
（负值舍），
所以
.
故选：A
32．已知数列
是等比数列，数列
是等差数列，若
则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先应用等差数列及等比数列的项的性质结合已知得出
，再结合特殊
角的余弦计算求解.
【详解】因为数列
是等比数列，数列
是等差数列，且
，
则
，
所以
，
则
.
故选：A.
33．已知等比数列
的前
项积为
，若
，则
（ ）
A．16
B．4
C．2
D．1
【答案】A
【分析】首先结合
的意义，由条件得到
，再根据等比数列的性质求
.
【详解】因为
，所以
，
则
.
故选：A
34．在等比数列
中，
，
，则当
取得最小值时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设等比数列
的公比为
，根据已知条件可得出关于
、
的方程组，解出这
两个量的值，可求出等比数列
的通项公式，解不等式
，即可得出结果.
【详解】设等比数列
的公比为
，则
，解得
，
故
，所以
，且
是递增数列.
由
可得
，可得
，解得
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以当
取得最小值时，
.
故选：A.
八、等比数列函数特性
35．已知公比不为1 的等比数列
的前
项和为
，
为
的前
项积，若数列
是首项为2 的等差数列，则
的最大值为（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】B
【分析】设等比数列
的公比为
，根据题意可得
，化简整理
求得
，进而求出通项
，
进而求出
，结合指数函数的单调性得解.
【详解】设等比数列
的公比为
，且
，由题知
，又
，得
，
所以
，
，
，
，
数列
是首项为2 的等差数列，可得
，得
，
解得
，所以
，则
，
又
，因为
，所以当
时，
取到最小值，
所以
.
故选：B.
36．已知等比数列
的前
项积为
，若
，若使
成立的最大自然数为
，则
（ ）
A．2025
B．2026
C．4050
D．4051
【答案】C
【分析】通过分析得等比数列
为单调递减，且前
项大于1，
项以后小于1，
再结合等比数列的性质可得.
【详解】由
，所以
和
中一个大于1 一个小于1.
若公比
，而
，所以数列中所有项都大于1，与上述矛盾，所以
；
若公比
，则数列为摆动数列，因
，所以奇数项为正数，偶数项为负数，这与
矛盾；
所以
，
，等比数列
是单调递减数列，且
，
.
所以当
时，
，当
时，
.
由等比数列性质，
，
所以
，
.
当
时，
，
单调递增且
；
当
时，
，
,
单调递减且
；
当
时，
，即
，所以
时，
单调递减,
又
.
所以
，即
时，
单调递减且小于1.
所以
最大的自然数为
.
故选：C.
37．已知等比数列
，满足
，则下面说法正确的是（ ）
A．若
，则数列
是递增数列
B．若
，则数列
是递减数列
C．若
，则数列
是递增数列
D．若
，则数列
是递增数列
【答案】D
【分析】先根据题意用
表示出公比，再根据选项讨论当
的取值范围不同时数列的增减
情况即可.
【详解】由等比数列
，则公比
，
对于选项A，若
，则公比
，故
，又
，
数列
是
递减数列，故选项A 错误.
对于选项B，若
，则公比
，又
，
数列
是递增数列，
故选项B 错误.
对于选项C，若
，则公比
，故
，又
，
数列
是递减数列，故选项C 错误.
对于选项D，若
，则公比
，故
，又
，
数列
是递增数列，故选项D 正确.
故选：D.
38．设公比为q 的等比数列
的前n 项和为
，前n 项积为
，且
，
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．数列
无最大值
C．
是数列
中的最大值
D．
【答案】D
【分析】分析得到
，当
时，
，当
时，
，从而得
到
有最大值，最大值为
，
，
，得到D 正确，ABC 错
误.
【详解】A 选项，
，若
，则对任意的
，都有
，则
，
不合要求，A 错误；
BC 选项，若
，则
，与
矛盾，不合要求，
当
时，
，又
，
所以
，即
，
又
，故
满足要求，
故当
时，
，当
时，
，
故
有最大值，最大值为
，BC 错误；
D 选项，当
时，
，当
时，
，
故
，
，
所以
，D 正确.
故选：D
39．设数列
是公比为q 的等比数列，其前n 项的积为
，并且满足条件
，
，
，下列结论中：①
②
③
④使得
成立的最小自然数n 等于4018，其中正确结论序号是（ ）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①③④
【答案】C
【分析】由题意可得
，
，结合等比数列的性质逐一核对四个命题得答案．
【详解】
，
，∴
，则
又
，
若
，则
，与前提矛盾，
所以
，故①正确；
由等比中项的性质知：
，故③正确；
易知
，
，
且
使
成立的最小自然数等于4019，故②④不正确．
正确结论的序号是①③．故选：C．
九、数列求和
40．已知数列
的通项公式是
，
，设
的前
项和为
，则
（ ）
A．100π
B．75π
C．50π
D．25π
【答案】C
【分析】当
为奇数时，
，当
为偶数时，
，分组求和得到答
案.
【详解】
，
当
为奇数时，
，当
为偶数时，
，
所以
.
故选：C
41．若等差数列
满足
，则
（ ）
A．2025
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据等差中项的性质，利用倒序相加法，可得答案.
【详解】由等差数列
满足
，
则对于
，当
时，
，
则
，
设
，则
，
两式相加可得
，解得
.
故选：C.
42．数列
满足
，数列
的前n 项和
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用已知条件构造
是等比数列，即可求出
通项公式，再由错位相减法进
行求和即可.
【详解】
，可得
，又
，
是首项为，公比为的等比数列，
，
，
，①
则
，②
①②可得
，
.
故选：D.
43．设等差数列
的前n 项和为
，已知
，
，设
，则数列
的前n 项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
求得
，由等差数列项之间的关系求得公差
和首项
，即得数列通项
，
然后化简数列
的通项公式，利用裂项相消法即得答案.
【详解】设等差数列的公差为
，
，解得
，
则
，∴
，
∴
，
∴
，
设数列
的前
项和为
，
则
.
故选：B
44．已知数列
中，
，若
，则满足条件的整数
的最
大值为（ ）
A．7
B．9
C．11
D．13
【答案】B
【分析】通过递推式变形构造等比数列，求出
的表达式，利用分组求和法得到
，
解不等式得到满足条件的最大整数
.
【详解】
，
因为
，即
，
故
，
所以
是首项
，公比为
的等比数列，
所以
，
所以
，
，数列
是单调递增数列，
时，
，
时，
，
所以不等式
解得
.
故选：B
45．已知正项数列
的前
项和为
，满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】作差得到数列
的通项公式和前
项和，从而得到
，裂项相
加得到答案.
【详解】已知正项数列
的前
项和为
，满足
，化简得
．
当
时，
，解得
；当
时，
，
相减可得
，
，
因为
，所以
，所以数列
是以1 为首项，以2 为公差的等差数列；
所以
，
，
即
，
所以
，
故选：C．
十、数列与不等式
46．已知数列
的前
项和为
，且满足
，若对任意
，
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据
与
的关系，当
时，将已知等式转化为
，结合
等差数列的定义与通项公式即可求得
，作差求解
判断
的单调性，从而得
的最值，即可求得实数
的取值范围.
【详解】已知数列
的前n 项和为
，且满足
，
则当
时，
，整理得
，
所以
，
又当
时，
，
故数列
是以
为首项，
为公差的等差数列，
所以
，故
，
所以
，
当
时，
，则
，
当
时，
，所以
，
综上可得：
，
若对任意
，
恒成立，则
，故实数
的取值范围是
.
故选：A.
47．在正项数列
中，
，
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用递推公式，可得
是等比数列，求出通项，分奇偶讨论可得答案.
【详解】由
，得
，得
，
则
是首项为
，公比为
的等比数列，
所以
，即
．
当
为奇数时，
为递增数列，
所以
，即
．
当
为偶数时，
为递减数列，
所以
，所以
．
又
，所以
，所以
.
故选：C
48．已知数列
的前
项和为
，
，
，
.若
，有
恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据等差中项的应用可知
是以1 为首项的等差数列，进而求出
，代入题
意中的不等式可得
，设
，根据对勾函数的性质计算即可求解.
【详解】由
，
知数列
是以1 为首项的等差数列，
又
，所以公差
，
得
.
由
，得
，
即
，设
，
由对勾函数的图象与性质知，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
，
所以当
时，
取得最小值
.
所以
，即t 的最大值为
.
故选：C
49．已知数列
中，
，
，
，若对于任意的
，
，不等式
恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造常数列
，求出
，得出
，继而求解
对
任意的
恒成立的问题，构造函数
，解
，
即可.
【详解】因
，则
，
则
，即
，
因
，则
，故数列
是各项为的常数列，
则
，即
，则
，
因对于任意的
，
，不等式
恒成立，
则
，即
对任意的
恒成立，
令
，
，
则
，
，
即
，得
或
，
故实数t 的取值范围为
.
故选：B
50．已知
为数列
的前
项和，且
，若
对任意正整数
恒
成立，则实数
的最小值为（ ）
A．4
B．
C．3
D．
【答案】D
【分析】根据
的关系，利用相减法结合等比数列的定义求解数列
的通项公式
，
从而将不等式转化为
，利用数列的单调性求最值即可得实数
的范围，从而得最
小值.
【详解】由
，令
，解得
，
当
时，由
得
，即
，
所以数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，所以
，
由
，即
恒成立，令
，则
，
而
，所以
，即数列
单调递减，故
，
所以
，所以
的最小值为
.
故选：D.
