第 06 讲 利用导数研究能成立（有解）问题
核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为12分
【备考策略】1能用导数证明函数的单调性
2能求出函数的极值或给定区间的最值
3 有解 ， 有解 ，
【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一近几年高考命题的趋势，是稳中
求变、变中求新、新中求活，纵观近几年的高考题,导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,
有一定的难度,一般放在解答题的最后位置，对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学学科的核心素养
都有较深入的考查，需综合复习
知识讲解
1. 能成立（有解）问题常见类型
假设 为自变量，其范围设为 ， 为函数； 为参数， 为其表达式，
（1）若 的值域为
① ，则只需要
，则只需要
② ，则只需要
，则只需要（2）若 的值域为
① ，则只需要 （注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要
② ，则只需要 （注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要
2. 能成立（有解）问题的解决策略
①构造函数，分类讨论；
②部分分离，化为切线；
③完全分离，函数最值；
④换元分离，简化运算；
在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找
临界.
一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等
式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综
合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热
点．
考点一、 利用导数解决函数能成立（有解）问题
1．（全国·高考真题）设函数 ，曲线 处的切线斜率
为0
求b;若存在 使得 ，求a的取值范围．
【答案】（1） ;（2） .
【详解】试题分析：（1）根据曲线在某点处的切线与此点的横坐标的导数的对应关系，可先对函数进行
求导可得： ，利用上述关系不难求得 ，即可得 ;（2）由第（1）小题中
所求b，则函数 完全确定下来，则它的导数可求出并化简得：
根据题意可得要对 与 的大小关系进行分类讨论，则可分以
下三类：（ⅰ）若 ，则 ，故当 时， ， 在 单调递增，所以，存在，使得 的充要条件为 ，即 ，所以 .（ⅱ）若
，则 ，故当 时， ；当 时， ， 在 单
调递减，在 单调递增.所以，存在 ，使得 的充要条件为 ，无解
则不合题意.（ⅲ）若 ，则 .综上，a的取值范围是 .
试题解析：（1） ，
由题设知 ，解得 .
（2） 的定义域为 ，由（1）知， ，
（ⅰ）若 ，则 ，故当 时， ， 在 单调递增，
所以，存在 ，使得 的充要条件为 ，即 ，
所以 .
（ⅱ）若 ，则 ，故当 时， ；
当 时， ， 在 单调递减，在 单调递增.
所以，存在 ，使得 的充要条件为 ，
而 ，所以不合题意.
（ⅲ）若 ，则 .
综上，a的取值范围是 .
考点：1.曲线的切线方程;2.导数在研究函数性质中的运用;3.分类讨论的应用
2．（·天津·高考真题）已知 ，函数 ， ．（ 的图象连续不断）
(1) 求 的单调区间；
(2) 当 时，证明：存在 ，使 ；(3) 若存在属于区间 的 ，且 ，使 ，证明： ．
【答案】（1）单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】（1）利用函数的单调性与导数的关系可得解；
（2）令 ，先得 ，再分析单调性即可得证；
（3）结合（1）分析函数的单调性可得 ，解不等式组即可得证.
【详解】（1）
令 ，解得
当 变化时， 的变化情况如下表：
＋ 0 －
递增 极大值 递减
所以， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是
（2）证明：当 时， ，
由（1）知 在 内单调递增，在 内单调递减．
令 ．
由于 在 内单调递增，故 ，即
取 ，则 .
所以存在 ，使 ，
即存在 ，使 ．
（说明： 的取法不唯一，只要满足 ，且 即可．）（3）证明：由 及（1）的结论知 ，
从而 在 上的最小值为 ，
又由 ， ，知
故 即
从而 .
【点睛】本题主要考查了导数的应用，利用导数研究函数的单调性，着重考查了学生的转化与划归的能力，
属于难题.
3．（2021·天津·统考高考真题）已知 ，函数 ．
（I）求曲线 在点 处的切线方程：
（II）证明 存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得 对任意 成立，求实数b的取值范围．
【答案】（I） ；（II）证明见解析；（III）
【分析】（I）求出 在 处的导数，即切线斜率，求出 ，即可求出切线方程；
（II）令 ，可得 ，则可化为证明 与 仅有一个交点，利用导数求出
的变化情况，数形结合即可求解；
（III）令 ，题目等价于存在 ，使得 ，即 ，利用导
数即可求出 的最小值.
【详解】（I） ，则 ，
又 ，则切线方程为 ；
（II）令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
当 时， ， ，当 时， ，画出 大致图像如下：所以当 时， 与 仅有一个交点，令 ，则 ，且 ，
当 时， ，则 ， 单调递增，
当 时， ，则 ， 单调递减，
为 的极大值点，故 存在唯一的极值点；
（III）由（II）知 ，此时 ，
所以 ，
令 ，
若存在a，使得 对任意 成立，等价于存在 ，使得 ，即 ，
， ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ，故 ，
所以实数b的取值范围 .
【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明 与 仅有一个交点；第三问解题的关键是
转化为存在 ，使得 ，即 .
1．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若存在 ，使 成立，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)【分析】(1)先求导，把切点的横坐标代入导数方程得切线的斜率，再求切点坐标，从而求出切线方程，由
方程求出切线与 轴的交点即可求出三角形的面积.
(2) 令 ，则只要函数 在区间 的最小值小于 即可.通过求导讨论函数 的单
调性，从而可求函数的最小值，最后求出a的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，
，所以曲线 在 处的切线的斜率 ，又 ，
切线方程为 .
与 轴的交点分别是 ，
切线与坐标轴围成的三角形的面积 ·
（2）存在 ，使 即 ，即 .
即存在 ，使 成立.
令 ，因此，只要函数 在区间 的最小值小于 即可·
下面求函数 在区间 的最小值.
，
令 ，因为 ，
所以 为 上的增函数，且 .
在 恒成立·
在 递调递增，
函数 在区间 的最小值为 ，
，得 .
【点睛】易错点点睛：第二问的关键点在于把不等式能成立问题转化为求函数的最小值问题，在这类问题
中，最容易错的地方是分不清恒成立和能成立的区别，若 在给定区间内恒成立，则 要大于的最大值；若 在给定区间内能成立，则 只需要大于 的最小值.
2．（2023·安徽宿州·统考一模）已知函数 （e为自然对数的底数），a， .
(1)当 时，讨论 在 上的单调性；
(2)当 时，若存在 ，使 ，求a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）对a分类讨论，由导数法求函数单调性；
（2）法一，由分离变量法，转为由导数法研究函数最值，得出结论；法二，将函数拆分为前后两个函数，
对a分类讨论，由导数法分别研究两函数单调性及最值，得出结论；
【详解】（1）当 时， ， 的定义域为 ，
，
当 ，即 时， 且不恒为0，所以 在 上单调递增；
当 时，方程 有两不等正根 ，
结合定义域由 可得 ，由 可得
，
所以 在区间 上单调递减，在区间 和
上单调递增；
当 时，方程 有一负根 和一正根 ，
结合定义域由 可得 ，由 可得 ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
综上可知：当 时， 在区间 上单调递减，在区间 和
上单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
（2）法一：分离变量可得： ，令 ， ，则
，
易得当 时， ，且 ，从而 ，
所以 在 单调递减，于是 .
即a的取值范围为 .
法二：当 时， ，令 ， ，则 ，即为
，
而 在 上单调递减，所以当 时， ，
又 ，
i. 当 ，即 时， ，符合题意；
ii. 当 时，由（1）知 在 上是增函数，恒有 ，故不存在 ，
使 ；
iii. 当 时，由于 时， ，所以 ，
令 ，则 ，所以 在 上是增函数，
最大值为 ，
又 ，所以 ，此时恒有 ，因此不存在 ，使 .
综上可知， ，即a的取值范围为 .
【点睛】函数不等式恒成立或可能成立问题，一般可用分离变量法，转为由导数法研究函数最值，得出结
论；或采用分类讨论法，由导数法研究函数单调性及最值，得出结论；
3．（2023·四川宜宾·宜宾市叙州区第一中学校校考模拟预测）已知 ．（
）
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，且存在 ，使得 ，求 的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）分 和 讨论即可；
（2）代入 值，分离参数得 ，，设 ，利用导数和隐零点法即可得到答案.
【详解】（1）因为 ,
所以 ,
若 时, 单调递减, 时, , 单调递增；
若 ,由 得 或 ,
设 ,则 ,
时, 单调递减,
时, 单调递增,
所以 ，所以 ,
所以 时, 单调递减,
， 时, , 单调递增.
综上得,当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增,
当 时, 在 上单调递减,在 ， 上单调递增.
（2）当 时, ,
存在 ,使得 成立,即 成立,即 成立，
设 ,则 ,
设 , ，则 在 上单调递增，
且 ,
所以存在 ,使得 ,
所以
令 ， ， 在 上单调递增,得 ,
所以 , 时, 单调递减,
时, , 单调递增，
所以 ,
所以 ,即 的取值范围是 .
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是利用分离参数法得到 ，然后设 ，
利用导数求解最小值，其中用到了经典的隐零点法，是导数大题中的难点.
4．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)已知 ，若存在 ，不等式 成立，求实数 的最大值.
【答案】(1)函数 在 ， 上单调递减
(2)
【分析】（1）对 求导，令 ，判断 与 的大小，即可求出 的单调性，则在 恒成立，则 ，即可求出函数 的单调性；
（2）将不等式转化为 在 上能成立，令 ，对 求导，可求出 ，
即可求出实数 的最大值.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
所以 ，∴令 ，则 ，
∴函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
又∵ ，∴当 时， ，∴ ，
∴函数 在 ， 上单调递减.
（2）∵ ，且 ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ .
∵ ，由（1）知，函数 在 上单调递减，
∴只需 在 上能成立，
∴两边同时取自然对数，得 ，即 在 上能成立.
令 ，则 ，
∵当 时， ，∴函数 在 上单调递增，
当 时， ，∴函数 在 上单调递减，
∴ ，∴ ，
又 ，∴ ，
∴实数 的最大值为 .
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键点在于由 的单调性将不等式转化为 在 上能成立，
令 ，对 求导，可求出 ，即可求出实数 的最大值.【基础过关】
1．（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考模拟预测）已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的极小值；
（2）若 上，使得 成立，求 的取值范围．
【答案】(1)2；(2) .
【详解】试题分析：（1）将参数值代入表达式，再进行求导，根据导函数的正负得到原函数的单调性，
进而得到极值；（2） ,有解，即h(x)的最小值小于0即可，对函数求导，研究函数
的单调性，得到最小值即可.
解析：
（1）当 时，
令 0，得
且 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增
所以 在 时取得极小值为 .
（2）由已知： ，使得
，即：
设 ，则只需要函数 在 上的最小值小于零．
又 ，
令 ，得 （舍去）或 ．
①当 ，即 时， 在 上单调递减，
故 在 上的最小值为 ，由 ，可得 ．因为 ，所以 ．
②当 ，即 时， 在 上单调递增，
故 在 上的最小值为 ，由 ，
可得 （满足 ）．
③当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，故 在
上的最小值为 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，不满足题意，舍去．
综上可得 或 ，
所以实数 的取值范围为 ．
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，
若 恒成立 ；
（3）若 恒成立，可转化为 （需在同一处取得最值）
2．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性﹔
（2）若存在 ，求 的取值范围．
【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2） ．
【分析】(1)对函数 求导，再按 和 分别讨论导函数值正负而得解；
(2)构造函数 ，讨论 时 在 的值的正负， 时再分段讨论 最小值情况即
可得解.
【详解】(1)函数 的定义域为(0，+∞)， ，
当 时， ，则 在 上递增，
当 时﹐由 得 ，由 ，得 ，由 ，得 ，
于是有 在 上递增，在 上递减；
由 ，得 ，
，当 时， ，满足题意，
当 时，令 ， ， 在 上递增，则
不合题意，
当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
于是有 在 上递减，在 上递增， ，
则 时， ，
综上， 的取值范围为 ．
【点睛】结论点睛：对于能成立问题，(1)函数f(x)定义区间为D， ，a≥f(x)成立，则有a≥f(x) ；(2)
min
函数f(x)定义区间为D， ，a≤f(x)成立，则有a≤f(x) .
max
3．（2023·河南洛阳·校联考模拟预测）已知函数 在 处取得极值4．
(1)求a，b的值；
(2)若存在 ，使 成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）利用题给条件列出关于a，b的方程组，解之并进行检验后即可求得a，b的值；
（2）利用题给条件列出关于实数 的不等式，解之即得实数 的取值范围．
【详解】（1） ，则 ．
因为函数 在 处取得极值4，
所以 ，解得
此时 ．
易知 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，则 是函数 的极大值点，符合题意．故 ， ．
（2）若存在 ，使 成立，则 ．
由（1）得， ，
且 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
4．（2023·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）已知函数 ．
(1)若曲线 在 处的切线与直线 垂直，求实数 的值．
(2) ，使得 成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为 ，即可得到所求
的值；
（2）由题意可得 ，使得 成立，运用参数分离和构造函数运用导数，判断单调性
即可得到最小值，进而得到 的范围．
【详解】（1）函数 的导数为 ，
即有曲线 在 处的切线斜率为 ，
由切线与直线 垂直，可得 ，解得 ；
（2）因为 ，使得 成立，
即 ，使得 成立，
由 ，则 ，
当 ，即 时 ，
此时显然不满足 ，
当 ，即有 ， ，令 ， ，则 ，
由于 ，所以 ，
所以函数 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，解得 ，
则实数 的取值范围是 ．
5．（2023·青海西宁·统考二模）设函数 ．
(1)若函数 在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围；
(2)当 时，设函数 ，若在[ 上存在 ， 使 成立，求实数a的取值范
围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意 在 上恒成立，进一步化为 在 上恒成立，利用基本不
等式求右侧最值，即可得范围；
（2）由题意 时 ，求 最小值，利用导数并讨论参数a研究 区间单调性确
定最大值，即可求范围.
【详解】（1）因为函数 在其定义域上为增函数，即 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
又 （仅当x＝1时取等号），故a的取值范围为 ；
（2）在 上存在 ， ，使 成立，即当 时 ，
又 ，所以当 时， ，
即函数 在区间 上单调递增，故 ，
由（1）知 ，
因为 ，又 的判别式 ，
①当 时 ，则 恒成立，即 在区间 上单调递增，故 ，故 ，即 ，得 ，
又 ，所以 ；
②当 时 ， 的两根为 ， ，
此时 ， ，故函数 在区间 上是单调递增．由①知 ，所以
综上，a的取值范围为 ．
【能力提升】
1．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，讨论函数 的单调性；
(2)设函数 ，若至少存在一个 ，使得 成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)在 和 上单调递增，在 上单调递减
(2)
【分析】（1）求导可得 ，又 即可根据导函数的 正负求得单
调性；
（2）由存在性问题进行参变分离可得 即可.
【详解】（1）函数 的定义域是
.
当 时，由 ，得 或 ，
由 ，得 ，
∴ 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
（2）至少存在一个 ，使得 成立，即当 时，
有解
∵当 时， ，∴ 有解，令 ，则 .
∵ ，
∴ 在 上单调递减，∴ ，
∴ ，即 ，
∴实数a的取值范围 .
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了根的大小的讨论，同时考查了存在性思想，有一
定的计算量，属于艰难题.
本题关键点有：
（1）求导过后注意因式分解；
（2）存在性问题，利用参变分离进行求解.
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ， ， ．
(1)求 的极值；
(2)若存在 ，对任意的 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围．（
）
【答案】(1)极大值 ，极小值为
(2)
【分析】（1）求出 ，令 ，得 或 ，再列出 的变化关系表，根据表格
和极值的概念可求出结果；
（2）根据（1）求出 在 上的最小值为 ，则将若存在 ，对任意的 ，
使得不等式 成立，转化为 在 上恒成立，再构造函数
， ，转化为 ，利用导数求出 代入可得解
【详解】（1）由 ，
得 ,令 ，得 或 ，
的变化关系如下表：
3
＋ 0 － 0 ＋
单调递
单调递增 极大值 极小值 单调递增
减
由表可知，当 时， 取得极大值，为 ，
当 时， 取得极小值，为 .
（2）由（1）知， 在 上单调递减，所以当 时， ，
于是若存在 ，对任意的 ，使得不等式 成立，则
在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ， ，则 ，
，
因为 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 单调递减，故 ，
于是 ，得 ，又 ，
所以实数a的取值范围是 ．
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 ， ，
（1）若 ， ，总有 成立，故 ；
（2）若 ， ，有 成立，故 ；
（3）若 ， ，有 成立，故 ；（4）若 ， ，有 ，则 的值域是 值域的子集.
3．（2023·北京海淀·统考一模）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 的单调区间；
(3)若存在 ，使得 ，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)当 时， 的减区间为 ，无增区间；当 时， 的减区间为 ，增区间
为
(3)
【分析】（1）当 时，求出函数 的导数，求出曲线 在点 处切线的斜率，然后求解
切线的方程即可；
（2）先求出函数 的导数，分 和 两种情况讨论即可得到单调区间；
（3）将题中条件转化为若 ，使得 成立，再结合函数放缩得到若 ，使得
成立，再根据（2）中的单调情况可知 为 与 中的较大者，从而得到当
或 即可满足题意，进而求解即可．
【详解】（1）当 时， ，则 ，
得 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ．
（2）由 ，则 ，
当 时， 恒成立，此时 在R上单调递减；
当 时，令 ，解得 ，
此时 与 的变化情况如下：
- 0 +
↘ 极小值 ↗由上表可知， 的减区间为 ，增区间为 ，
综上，当 时， 的减区间为 ，无增区间；
当 时， 的减区间为 ，增区间为 ．
（3）将 在区间 上的最大值记为 ，最小值记为 ，
因为存在 ，使得 ，
所以 ，使得 成立，即 或 ，
当 时， ，
若 ，使得 成立，只需 ，
由（2）可知 在区间 上单调或先减后增，
故 为 与 中的较大者，
所以只需当 或 即可满足题意，
即只需 或 ，
解得 或 ，
综上所述， 的取值范围是 ．
【点睛】关键点点睛：函数不等式恒成立问题，要进行适当转化．解答小问（3）的关键在于转化为若
，使得 成立，再结合函数放缩得到若 ，使得 成立，再根据（2）
中的单调情况求解 即可得到 的取值范围．
4．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）已知函数 ．
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若存在 ，使 成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间为 ；单调递减区间为
(2)
【分析】（1）求导，利用导数判断原函数的单调性；
（2）由题意分析可得 ，求导，分类讨论判断原函数的单调性及最值，结合存在性问题分析
运算.【详解】（1） 时，则 且 ，可得 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
所以函数 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 ．
（2）若存在 ，使 成立，等价于当 时，有 ．
因为 且 ，
可得 ，
故当 ，即 时， ，则有：
①当 时，则 在 上恒成立，所以 在 上为减函数，
可得 ，故 ；
②当 时，由于 在 上为增函数，
故 的值域为 ，且 ，
由 的单调性和值域知：存在唯一 ，使 ，
且满足：当 时， ，则 在 上为减函数；
当 时， ，则 在 上为增函数；
所以 ， ，
所以 ，与 矛盾，不合题意；
③当 时，由（1）知 在 上单调递增，
所以 ，不满足题意；
综上所述：实数 的取值范围 ．
【点睛】方法点睛：利用导数解决不等式存在性问题的方法技巧
根据条件将问题转化为某函数在该区间上最大(小)值满足的不等式成立问题，进而用导数求该函数在该区
间上的最值问题，最后构建不等式求解．5．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)若曲线 在点 处的切线与直线 ： 垂直，求 ；
(2)若对 ，存在 ，使得 有解，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，得到 ，根据切线与直线 垂直得到斜率乘积为-1，列出方程，求出 ；
（2）问题转化为当 时， ， ，对 求导，对导函数因式分解，
结合 和 的取值范围及导函数两零点的大小，对 进行分类讨论，求出不同范围下的 的最小值，在
构造关于 的函数，求导研究其单调性，极值，最值情况，从而求出 的取值范围.
【详解】（1） ,
则 ,
因为曲线 在点 处的切线与直线 ： 垂直，
所以 ，解得： ；
（2） ，存在 ，使得 有解，
等价于当 时， ， ，
，
当 时， ，即 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，即 ；
当 时， ，易得 在 上单调递增，
故 ，即 ， 恒成立，
即 ， 恒成立，
令 ，则 在 上单调递增，所以当 时， ，所以 ；
当 时， ，故 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以此时 ， 恒成立，
①当 时， 恒成立，此时 ，
②当 时， ，可转化为 ， ，
设 ， ， ，
则 ，令 ，得 ，
当 ， ，令 ， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 处取得极大值，也是最大值， ，
即 ，
③当 时， ，可转化为 ， 恒成立，
即 ， ，
设 ， ，
， ，
则 ，
令 ， ，令 ， ，令 ， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极小值，也是最小值，
，即 ，
又 ，所以 ，综上： 的取值范围是 .
【点睛】导函数解决不等式恒成立或能成立问题，参变分离是一种很重要的方法，注意参变分离时，乘以
或除以某一项正数时，不等号方向不改变，若是负数，则要不等号方向改变，再构造函数，求出其单调性，
极值和最值情况，从而求出参数的取值范围.
【真题感知】
1．（湖北·高考真题）设 是函数 的一个极值点．
(1)求 与 的关系式（用 表示 ），并求 的单调区间；
(2)设 ．若存在 使得 成立，求 的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）求导根据 得 ，在讨论 时， 和 的大小即可；
（2）根据题意求出 的值域即可求解.
【详解】（1）由题知 ，
，
由 ，得 ，
化简得： ，
令 ，得 或 ，
由于 是极值点，
，那么 ，
当 时， 则
在区间 上， 为减函数；
在区间 上， 为增函数；
在区间 上， 为减函数；
当 时， 则
在区间 上， 为减函数；在区间 上， 为增函数；
在区间 上， 为减函数；
（2）由（1）知，当 时，
在区间 上单调递增，
在区间 上单调递减，
那么 在区间 上的值域是 ，
而 ， ，
那么在区间 上的值域是 ，
又 在区间 上是增函数，
且它在区间 上的值域是 ，
由于
只要 且 ，
解得 ，
故 的取值范围是 .
2．（广东·高考真题）已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）当 时，试讨论是否存在 ，使得 .
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【详解】试题分析：（1）先求出导数 为二次函数，对 和 进行分类讨论，根据导数的正负
求出函数 的单调区间；（2）由作差法 将等式进行因式分解，得到
，于是将问题转化为方程 在 上有解，
并求出该方程的两根，并判定其中一根 在区间 上，并由
以及 确定满足条件 时 的取值范围，然后取相应的补集作为满足条件 时 的取值范围.
（1） ，方程 的判别式为 ，
①当 时， ，则 ，此时 在 上是增函数；
②当 时，方程 的两根分别为 ， ，
解不等式 ，解得 或 ，
解不等式 ，解得 ，
此时，函数 的单调递增区间为 和 ，
单调递减区间为 ；
综上所述，当 时，函数 的单调递增区间为 ，
当 时，函数 的单调递增区间为 和 ，
单调递减区间为 ；
（2）
，
若存在 ，使得 ，
必须 在 上有解，
， ，
方程的两根为 ， ，
， ，依题意， ，即 ，
，即 ，
又由 得 ，
故欲使满足题意的 存在，则 ，
所以，当 时，存在唯一 满足 ，
当 时，不存在 满足 .
考点：本题以三次函数为考查形式，考查利用导数求函数的单调区间，从中渗透了利用分类讨论的思想处
理含参函数的单调区间问题，并考查了利用作差法求解不等式的问题，综合性强，属于难题.
3．（辽宁·高考真题）设函数 ．
（1）求 的单调区间和极值；
（2）是否存在实数a，使得关于x的不等式 的解集为（0，+ ）？若存在，求a的取值范围；若
不存在，试说明理由．
【答案】（1） 在 单调递增，在 单调递减， 在 的极大值为 ，没有极小
值；
（2）存在 ，使得关于 的不等式 的解集为 ，且 的取值范围为 ．
【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数 ，在函数的定义域内解不等式 和 ，求
出单调区间，讨论满足 的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值；
（2）对 进行讨论，当 时， 恒成立，关于 的不等式 的解集为 符合题意．当
时，关于 的不等式 的解集不是 ．
【详解】解：（1） ．
故当 时， ， 时， ．
所以 在 单调递增，在 单调递减．
由此知 在 的极大值为 ，没有极小值．
（2）（ⅰ）当 时，
由于 ，故关于 的不等式 的解集为 ．
（ⅱ）当 时，由 知 ，其中 为正整数，且有
．
又 时， ．
且 ．
取整数 满足 ， ，且 ，
则 ，
即当 时，关于 的不等式 的解集不是 ．
综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在 ，使得关于 的不等式 的解集为 ，且 的取值范围为 ．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于第二问的（ⅱ），转化为证明 .
4．（江苏·高考真题）已知函数 ，其中 是自然对数的底数.
（1）证明： 是 上的偶函数；
（2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
（3）已知正数 满足：存在 ，使得 成立，试比较 与 的大小，并证明
你的结论.
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）当 时， ，当 时， ，
当 时， ．
【详解】试题分析：
试题解析：（1）证明：函数 定义域为 ，∵ ，∴ 是偶函数．
（2）由 得 ，由于当 时， ，因此 ，即
，所以 ，令 ，设 ，则 ，
，∵ ，∴ （ 时等号成立），即 ， ，所以 ．
（3）由题意，不等式 在 上有解，由 得 ，
记 ， ，显然 ，当 时， （因为 ），
故函数 在 上增函数， ，于是 在 上有解，等价于
，即 ．考察函数 ， ，当
时， ，当 时， ，当 时 ，即 在 上是增函数，
在 上是减函数，又 ， ， ，所以当 时， ，即
， ，当 时， ，，即 ， ，因此当
时， ，当 时， ，当 时， ．
【考点】（1）偶函数的判断；（2）不等式恒成立问题与函数的交汇；（3）导数与函数的单调性，比较
大小．
