文档文本内容
第 01 讲 函数的概念及其表示
目录
第一部分：题型篇.........................................................................................................2
题型一：重点考查函数的定义域（具体函数，抽象函数）...............................2
题型二：重点考查函数定义域中的参数问题.......................................................5
题型三：重点考查求函数的解析式.......................................................................7
题型四：重点考查分段函数求值及参数问题.......................................................9
题型五：重点考查分段函数单调性问题.............................................................11
题型六：重点考查分段函数不等式问题.............................................................14
题型七：重点考查分段函数值域问题.................................................................18
题型八：重点考查分段函数零点问题.................................................................20
第二部分：方法篇.......................................................................................................26
函数值域问题方法一：判别式法.........................................................................26
函数值域问题方法二：分离常数法.....................................................................28
函数值域问题方法三：基本不等式法.................................................................30
函数值域问题方法四：分类讨论法.....................................................................32
第三部分：易错篇.......................................................................................................35
易错一：换元必换范围.........................................................................................35
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：题型篇
题型一：重点考查函数的定义域（具体函数，抽象函数）
典型例题
例题1．（2023春·河北·高二统考学业考试）若函数 的定义域是 ，则函数 的定义域
是（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
【答案】A
【详解】由函数 的定义域是 ，可得 ，
从而 ，解得 ，所以函数 的定义域是
又 ，得 ，函数 的定义域是 且
故选：A.
例题2．（2023春·广东河源·高一龙川县第一中学校考期中）求函数 的定
义域为_________．
【答案】
【详解】函数 有意义，则 ，即 ，
解 ，得 ，
解 ，得 ，于是 ，
所以所求定义域为 .
故答案为：例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域是 ，则函数 的
定义域是_______．
【答案】
【详解】令 ，
则 ，
在 上单调递增， ， ， ，
的定义域为 .
故答案为： .
例题4．（2023·高一课时练习）已知函数 的表达式 ，求函数 的定义
域．
【答案】答案见解析
【详解】注意到
当 时， 或 ，得函数
定义域是 ；
当 时， ，得函数定义域是 ；
当 时， 或 ，得函数
定义域是 ．
综上：当 时，函数定义域是 ；
当 时，函数定义域是 ；
当 时，函数定义域是 ．
精练核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数f（x）的定义域为 ,
由0≤2x≤6，解得0≤x≤3．又x-3≠0，
所以函数 的定义域为 ．
故选：D．
2．（2023·北京·校考模拟预测）函数 的定义域为______________．
【答案】
【详解】因为函数
则 ，解得 且
所以函数的定义域为
故答案为:
3．（2023春·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考阶段练习）函数 的定义域为______．
【答案】
【详解】根据题意，得 ，
解得 ，
所以函数的定义域为 .
故答案为： .
4．（2023·全国·高三专题练习）设 ，则 的定义域为_______.
【答案】【详解】由 得 ，
故 且 ，
, 或
解得： .
故答案为：
题型二：重点考查函数定义域中的参数问题
典型例题
例题1．（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）若函数 的定义域为 ，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为函数 的定义域为 ，
所以 在 上恒成立，
当 时， ，得 ，不合题意，
当 时，则 ，解得 ，
综上实数 的取值范围为 ，
故选：C
例题2．（2023·全国·高三专题练习）若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知，函数 的定义域为 ，所以不等式 在 上恒成立.
当 时，当 时， ，
所以不等式 在 上恒成立显然不成立，
当 时，则满足 ，解得 ，
综上，实数 的取值范围是 .
故选：B.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是
__________．
【答案】
【详解】 的定义域是R，则 恒成立，
时， 恒成立，
时，则 ，解得 ，
综上， ．
故答案为： ．
精练核心考点
1．（2023·高一课时练习）已知函数 ，若此函数的定义域为 ，求实数 的取值范围．
【答案】
【详解】解：由题知 ，由题意知 ，则 ，
因为函数 的定义域为
所以， ，解得 .
所以，
2．（2023·高一课时练习）若函数 的定义域为R，则实数m的取值范围是
___________．
【答案】【详解】∵函数 的定义域为R，∴ 在R上恒成立，
①当 时，符合题意，
② ，由 ，则 ，解得： ，
∴综上所述 ，
故答案为： ．
3．（2023·全国·高三专题练习）函数 的定义域为 ，则实数a的取值范围是
___________.
【答案】
【详解】因为函数 的定义域为 R，所以 的解为R，
即函数 的图象与x轴没有交点，
（1）当 时，函数 与x轴没有交点，故 成立；
（2）当 时，要使函数 的图象与x轴没有交点，则 ，解得 .
综上：实数 的取值范围是 .
故答案为：
题型三：重点考查求函数的解析式
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）已知 ，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为
令 ，所以
所以故选：C.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由已知可得 ，解得 ，其中 ，因此， .
故选：C.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且 为一次函数，求 _________
【答案】 或 .
【详解】因为 为一次函数，所以设 ，
所以 ，
因为 ，所以 恒成立，
所以 ，解得： 或 ，
所以 或 ，
故答案为： 或 .
例题4．（2023春·内蒙古呼和浩特·高一统考阶段练习）（1）已知 ，求 的解析式；
（2）已知 ，求 的解析式．
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）令 ，则 ，故 ，
所以 ；
（2）由题设 ①，结合 ②，
3×① ②得： ，故 .
精练核心考点
1．（2023·高一课时练习）若 ，则 的解析式为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【详解】解：已知 ，
令 ，则 ， ，
，
.
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 求 的解析式
【答案】
【详解】令 ，则 ，代入 ，
得 ，
即
3．（2023·全国·高三专题练习）若对任意实数 ，均有 ，求 ___________
【答案】 /
【详解】∵ （1）
∴ （2）
由 得 ，
∴ .
故答案为： .
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 满足 ，则 ___________.
【答案】 /
【详解】解：因为 ①，
所以 ②，
② ①得， ．
故答案为： ．题型四：重点考查分段函数求值及参数问题
典型例题
例题1．（2023春·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考期中）已知函数 ，若 ，
则实数 的值是（ ）
A． 或5 B．3或 C．5 D．3或 或5
【答案】A
【详解】若 ，则 ，∴ （ 舍去），
若 ，则 ，∴ ，
综上可得， 或 .
故选：A．
例题2．（2023·陕西安康·统考三模）已知函数 ，则 ___________．
【答案】 /
【详解】因为 ，且 ，
则 .
故答案为： .
例题3．（2023春·江西上饶·高一江西省余干中学校考阶段练习）若函数 ，
则 ___．
【答案】
【详解】由题，当 时， ，结合 ，则可得
时， .
即 时， .
则 .又 ，则
.故答案为： .
精练核心考点
1．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知函数 若 ，则实数
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】根据题意，当 时， ，不符合题意；
当 时， ，解得 ；
当 时， ，不符合题意；
当 时， ，不符合题意．
故选:B．
2．（2023·四川德阳·统考模拟预测）已知函数 ，则 ________．
【答案】 /
【详解】解：由题知 ， .
故答案为：
3．（2023春·江苏南京·高一江苏省高淳高级中学校联考阶段练习）已知函数 则
________．
【答案】
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 .
故答案为：题型五：重点考查分段函数单调性问题
典型例题
例题1．（2023秋·广东清远·高一统考期末）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意, 函数 ，
若 在 上单调递增,
必有 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
故选：C
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 若 ，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由解析式易知： 在R上递增，又 ，
所以 ，则 .
故选：D
例题3．（2023秋·湖北武汉·高一武汉市第十七中学校联考期末）已知函数 ，满
足对任意 ，都有 成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】不妨设 ，由 ，因此该函数是实数集上的增函数，
于是有 ，
故选：B
例题4．（2023春·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）已知 且 ，函数 ，
满足 时，恒有 成立，那么实数 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为函数 满足 时，恒有 成立，
即函数 满足 时，恒有 成立，
所以函数 在 上单调递增，
所以 ，解得 .
故选：D.
精练核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 上单调，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 的开口向下，对称轴是直线 ，
所以函数 在 上单调递增，
依题意可知， 在 上单调递增，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D2．（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考开学考试）已知 是 上的增函数，则
实数a的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为 是 上的增函数，所以 ，解得 ，即实数 的取
值范围是
故选： .
3．（2023秋·陕西宝鸡·高一统考期末）已知函数 ，满足对任意 ，都有
成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对任意 ，都有 成立，即 时， 恒成立，
∴ 是增函数，
∴ ，解得 ,
故选：B．
4．（2023秋·湖南湘潭·高一校联考期末）已知 是 上的减函数，那么 的取值
可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC【详解】依题意， 在 上递减，
所以 ，解得 .
所以AC选项符合，BD选项不符合.
故选：AC
题型六：重点考查分段函数不等式问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则不等式 的解集是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】令 ，则 即为 ，
当 时， ，故 无解，
当 时， 即为 ，
在同一平面直角坐标系下画出 和 的大致图像如图，
由图可得当且仅当 时， ，
综上所述， 的解为 ，又 ，
所以 ，
当 时， ，故 ，解得： ，所以 ，
当 时， ，
故 ，解得： ，所以 ，
综上所述，不等式 的解集是 .
故选：D.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】当 时， ， ，且 在 上递增，
当 时， ， ，且 在 上递增，
所以 在 上有 ，且函数 是 上的增函数，
于是原不等式可化为 ，
， ，
得
解得 ，
故选：B
例题3．（2023·云南昆明·安宁市第一中学校考模拟预测）已知函数 ，则
___________；若 ，则实数 的取值范围是___________.
【答案】
【详解】解：由 ，得 ，
所以 ，因为 都是减函数，
且当 时， ，
所以函数 是 上的减函数，
则 ，
即为 ，解得 .
故答案为： ； .
精练核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：当 时， ，
所以 ，即 ，解得 ，
当 时， ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以， 的取值范围是
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】依题意，当 时，由 得： ，解得 ，则 ，
当 时，由 得： ，即0<x-1≤2，解得 ，则 ，所以不等式 的解集为 .
故选：A
3．（2023秋·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）设函数 ，则满足
的 的取值范围是__________.
【答案】
【详解】当 时， ，则 在 时
无解；
当 时， ，在 单调递增， 时 ，
则 的解集为 ；
当 时， ，则 在 时恒成立；
综上， 的解集为 .
故答案为： ．
题型七：重点考查分段函数值域问题
典型例题
例题1．（2023春·四川雅安·高一雅安中学校考开学考试）已知函数 的值域
为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意知当 时， ，
由于函数 的值域为 ，
故 时， 的取值范围应包含 ，
故此时 ，且 ，故 ，即实数a的取值范围是 ，
故选：D
例题2．（2023春·广东广州·高一广州市第五中学校考阶段练习）已知函数 ，若函数
的值域为 ，则实数 的取值范围是____________．
【答案】
【详解】当 时，由于 为 上的增函数，其值域为 ；
当 时， 为顶点在 开口向上的抛物线，对称轴 .
i.若 ，则二次函数的最小值为 .
要使 的值域为R，只需： ，解得： .
所以 ；
ii.若 ，则二次函数在 上单调递增，所以最小值为 .
要使 的值域为R，只需： ，解得： .
所以 ；
综上所述：实数t的取值范围是 .
故答案为：
例题3．（2023春·全国·高一校联考开学考试）已知函数 的值域为 ，则实数
的取值范围为______．
【答案】
【详解】当 时， 的值域为 ；
记 ， 的值域为 ，
的值域为 ， ；
当 ，即 时， 在 上单调递增，
，解得： ， ；
当 ，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
，解得： 或 ， 或 ；
综上所述：实数 的取值范围为 .故答案为： .
精练核心考点
1．（2023秋·贵州安顺·高一统考期末）已知函数 ，若 是 的最小值，则实数a的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由已知可得， ，所以 ，解得 .
当 时， ，
显然 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 在 处取得最小值，于题意不符；
当 时， ，此时函数 在 上单调递减，在 上单调递增，且满足
，所以有 是 的最小值.
故选：A.
2．（2023春·上海嘉定·高一统考阶段练习）已知函数 的值域为 ，则实数 的取
值范围是______.
【答案】
【详解】当 时， ；
当 时， .
因为原函数的值域为 ，即 ，
则 ，解得 .
故答案为： .
3．（2023秋·山东聊城·高一校联考期末）已知函数 的值域是R，则实数 的
最大值是______．
【答案】
【详解】当 时， ．因为 的值域为 ，则当 时， ．
当 时， ，
故 在 上单调递增，
，即 ，
解得 ，即 的最大值为 ．
故答案为： ．
题型八：重点考查分段函数零点问题
典型例题
例题1．（2023春·河南洛阳·高二统考期中）已知函数 ，若函数 有唯
一零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】当 时， 单调递减；
当 时， ，当 时， ，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
所以在 处取得极大值， ，并且有 ，函数 得大致图象如图：
由图可知： 只有1个零点，则必须： 或 ；
故选：D.例题2．（多选）（2023秋·山东德州·高一统考期末）已知函数 ，若
（ 互不相等），则 的值可以是（ ）
A．-2 B． C． D．-1
【答案】BC
【详解】 图象如图所示，令 ，则有 ，
则有 .
又 ，∴ ，故 .
故选：BC
例题3．（2023春·山东淄博·高三山东省淄博实验中学校联考阶段练习）已知函数 ，
若函数 恰有4个不同的零点，则 的取值范围是__________．
【答案】
【详解】令 ，得 或 ，
画出 的大致图象．
设 ，由图可知，
当 或 时， 有且仅有1个实根；
当 或 时， 有2个实根；
当 时， 有3个实根．
则 恰有4个不同的零点等价于
或 或 或
解得 或 ．故答案为：
例题4．（2023·北京·北师大实验中学校考模拟预测）已知函数 ，则 的最小
值是__________，若关于 的方程 有且仅有四个不同的实数解，则整数 的取值范围是
__________．
【答案】
【详解】函数 ，由 可知， 时，函数有最小值 ；
函数 ，由 ，得 ，则 ，此时函数最小值为 .
所以函数 的最小值是 .
方程 有且仅有四个不同的实数解,即函数 的图像与函数 的图像有四个不同的交点，
作出函数 的图像，由a为整数，如图所示，只有函数 和 的图像与函数 的图像有四
个不同的交点，
所以整数a的取值范围是 .
故答案为： ；
精练核心考点1．（2023春·广东深圳·高一深圳外国语学校校考阶段练习）已知函数 ，
.若 有 个零点，则实数 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令 可得 ，
当 时， ，
当 时， 的图象与 关于 轴对称，
所以作出函数 与函数 的图象如下图所示：
由上图可知，当 时，函数 与函数 的图象有2个交点，
此时，函数 有2个零点.
因此，实数 的取值范围是 .即实数 的最小值为1.
故选：D
2．（2023春·湖南邵阳·高二邵阳市第二中学校考期中）已知函数 ，若对任意实数 ，
总存在实数 ，使得 ，则实数 的取值范围是___．
【答案】
【详解】因为函数 在定义域 上单调递增，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
要使对任意实数 ，总存在实数 ，使得 ，即函数 的值域为 ，当 时 在 上单调递增，在 上也单调递增，
则只需 ，解得 ；
当 时 在 上的最小值为 ，则只需要 ，解得 ；
综上可得 ，即实数 的取值范围是 .
故答案为：
3．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知函数
①函数 的零点个数为__________．
②若存在实数b，使得关于x的方程 有三个不同的根，则实数m的取值范围是__________．
【答案】 1
【详解】第一空：当 时，可知 有一个零点 ；
当 时， 有一个零点 ；
当 时，可知 有一个零点 ；
综上函数 的零点个数为1个.
第二空：
如图所示，当 时，若要满足题意需 ，得 ；
当 时，不符题意；
如图所示，当 时，若要满足题意需 ，得 ；综上m的取值范围是：
故答案为：1；
4．（2023秋·湖南郴州·高一统考期末）已知 ，函数 ，若方程 恰有2
个实数解，则 的取值范围是__________.
【答案】
【详解】解：函数 ，函数图象如下图所示：
方程 ，若 ，即 ；若 ，得 ， ；
结合图象可知：
当 时，方程 仅有一个实数解 ；
当 时，方程 恰有两个实数解 ， ；
当 时，方程 恰有三个实数解 ， ， ；
当 时，方程 恰有两个实数解 ， ；
综上，若方程 恰有2个实数解，则 的取值范围是 .
故答案为： .第二部分：方法篇
函数值域问题方法一：判别式法
典型例题
例题1．（2022·北京·高三强基计划）函数 的值域为（ ）
A． B．
C． D．以上答案都不对
【答案】C
【详解】设题中函数为 ，则 ，
当 时， ；
当 时，视其为关于x的二次方程，
判别式 ，
综上，故值域为 ．
故选：C.
例题2．（2023高一课时练习）函数 的值域为________.
【答案】
【详解】由 得： ， 的定义域为 ，
由 得： ，
即 …①
当 时，①式不成立，，解得： ， 值域为 .
故答案为： .
例题3．（2023·江苏·高三专题练习）求函数 的值域．
【答案】
【详解】由题意得：函数的定义域为
则 ，即：
当 时， 不成立
，解得：
函数值域为：
精练核心考点
1．（2023·浙江衢州·高一校考阶段练习）函数 的值域是______．
【答案】
【详解】由题知函数的定义域为 ，
所以，将 整理得 ，
所以，当 时， ；
当 时， ，解得 ，
所以， ，即函数 的值域是
故答案为：
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （a、x为实数且 、 ）可取任意实数（即
函数的值域为一切实数），求参数a的取值范围.
【答案】 .【详解】解：把 去分母，整理可得 .①
当 时，上式为 .
且 ， 且 .②
当 时， 是实数， 由方程①得 ，即 ，③
不等式③对任意实数y都成立， ，解之，得 .④
于是由②、④可知α的取值范围是 .
函数值域问题方法二：分离常数法
典型例题
例题1．（2023秋·辽宁·高一大连二十四中校联考期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，
享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为：
， 表示不超过 的最大整数，如 ， ， ，已知 ，
则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为
又 ，
所以 ，
所以
所以 ，
则 的值域 ．
故选：C．
例题2．（2023·天津滨海新·高一校考期中）已知函数 ．(1)求函数 的值域 ；
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）对于 ，
有 ，
，
，
即 ；
精练核心考点
1．（2023·浙江·高一浙江省普陀中学校联考期中）已知函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ，
因为函数 在 上单调递减，
所以当 时，函数 取得最小值，所以 ，
当 时，函数 取得最大值，所以 ，
所以函数 的值域是 .
故选：D.
2．（2023·高一课时练习）函数 的定义域是______，值域是______．
【答案】
【详解】由 可得 ,
函数的定义域为 ,
又,
，
所以函数的值域为 ；
故答案为： ； .
函数值域问题方法三：基本不等式法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）设二次函数 在 上有最大值，最大值为 ，
当 取最小值时， （ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】A
【详解】 在 上有最大值 ，
且当 时， 的最大值为 ，
即 且 ，
当且仅当 时，即 时， 有最小值2，
故选：A．
例题2．（2023·江西·校联考模拟预测）已知实数 满足， ，则 的最小值为
__________.
【答案】2025
【详解】 ，
因为 ，所以 ， ，
，故 ，
由基本不等式得： ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 ，
即 的最小值为2025.
故答案为：2025.
精练核心考点
1．（2023春·吉林·高二四平市实验中学校考阶段练习）函数 的最小值为
___________．
【答案】﹣2
【详解】函数 ，所以函数是奇函数，
当x∈（0，2]时， ，当且仅当x=1时取等号，所以x∈（0，2]时，函数的
最大值为2．
所以函数 ，x∈[﹣2，2]的最小值为：﹣2．
故答案为：﹣2．
2．（2023春·上海虹口·高三统考期中）对于定义在 上的奇函数 ，当 时，
，则该函数的值域为________.
【答案】
【详解】因为 为 上的奇函数，
所以 ，所以 ，
又当 时， ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，
即当 时， ，
因为 为 上的奇函数，
所以函数 的图象关于原点对称，
所以 时， ，所以函数 的值域为 .
故答案为： .
函数值域问题方法四：分类讨论法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）当 时，求 的最大值（ 为常数，结果可用
来表示）．
【答案】
【详解】 为开口向上的二次函数，且对称轴为 ，
当 时， ，此时二次函数在 上单调递减，故当 时， ，
当 时， 且 ，此时二次函数在 上单调递减，在 上
单调递增，故当 时， ，
当 时， 且 ，此时二次函数在 上单调递减，在
上单调递增，故当 时， ，
当 时，此时二次函数在 上单调递增，故当 时， ，
综上可知：设 的最大值为 ，则 .
例题2．（2023·上海闵行·高一校考期中）已知函数 严格单调，且 的最大值
为8，求实数 的值.
【答案】
【详解】 ，对称轴为 ，开口向上，
当 时， 在 上单调递增，
故当 时， 取得最大值， ，解得： ，满足 ，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，所以当 时， 取得最大值，
由 ，解得： ，与 矛盾，舍去；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ，所以当 时， 取得最大值，
由 ，解得： ，与 矛盾，舍去；
当 时， 在 上单调递减，
故当 时， 取得最大值， ，解得： ，与 矛盾，舍去；
综上： .
例题3．（2023·陕西宝鸡·高一统考期中）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在 上的最大值与最小值；
(2)若 在 上的最大值为4，求实数 的值．
【答案】(1)最小值为0，最大值为9
(2) 或﹣1
【详解】（1）当 时， ，对称轴为 ，
故当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
故当 时， 取得最小值，最小值为 ，
又 ，故 的最大值为9；
（2）因为 是开口向上的抛物线， ，
对称轴为 ，
①当 ，即 时，
，解得： ，满足要求，
②当 ，即 时，
，解得： ,满足要求，
综上： 或 .精练核心考点
1．（2023·上海徐汇·高一南洋中学校考期中）已知函数 的值域为 ，
(1)求实数 的值；
(2)求函数 ， 的最小值．
【答案】(1)
(2)当 时， .当 时， .
【详解】（1）因为函数 的值域为 ，
所以 ，即 .
（2） ，
当 时， .
当 时， .
2．（2023·四川巴中·高一四川省平昌中学校考阶段练习）已知二次函数 的图象过点
，且最小值为 ．
(1)求函数的解析式；
(2)当 时，该函数的最小值为 ，求此时t的值．
【答案】(1)
(2)1或3
【详解】（1）由题意设函数的解析式为 ，
由已知可得二次函数的顶点坐标为 ，
代入得 ，解得 ，
所以二次函数解析式为 ，即 ．
（2）由（1）知 ，
则其图象的开口向上，对称轴为 ，
当 ，即 时， 在 上单调递减，
所以当 时， 取得最小值，
所以 ，解得 或 （舍去），所以 ；当 ，即 时， 在对称轴 处取得最小值 ，不满足题意；
当 时， 在 上单调递增，
所以当 时， 取得最小值，
所以 ，解得 或 （舍去）．
综上所述：t的值为1或3．
3．（2023·陕西汉中·高一校联考期中）已知函数 .
(1)若函数 在区间 上具有单调性，求实数a的取值范围；
(2)若 ，求函数 的最小值 .
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）二次函数 图像的对称轴为直线 ，
又∵ 在区间 上具有单调性，
∴ 或 .
∴实数a的取值范围为 .
（2）由（1）易知函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
∴ .第三部分：易错篇
易错一：换元必换范围
典型例题
1．（2023·安徽合肥·高一合肥市第六中学校考阶段练习）若函数 ，且 ，则实
数 的值为（ ）
A． 或 B． 或3 C． D．3
【答案】B
【详解】令 ，则 ，
可得： ，即 ，
∵ ，
∴ .
故选：B.
2．（2023·高一课时练习）函数 的值域为__．
【答案】[ ,2]
【详解】解：令t＝sinx，t∈[-1,1]，
所以原式可化为： ，
∵﹣1≤t≤1，∴2≤t+3≤4，
∴ ，则 ，
∴ ，函数 的值域为 ．
故答案为： ．
3．（2023·全国·高三专题练习）设 ，则 值域是_______
【答案】【详解】设 ，则 ，于是 .
设 ，根据二次函数性质， 时， 关于 单调递减；
根据对数函数性质， 在定义域上递增.
于是由复合函数单调性的性质， 在 上单调递减，
而 ，于是 值域是： .
故答案为：
4．（2023·全国·高一专题练习）已知 ，则 __．
【答案】
【详解】设 （ ），则 ， ，（ ），
则 .
故答案为：
