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第 04 讲 空间角的传统法和向量法
目录
题型一：异面直线所成角（传统法）....................................1
题型二：利用向量法求异面直线所成角..................................6
题型三：已知线线角求参数...........................................11
题型四：直线与平面所成角（传统法）.................................18
题型五：直线与平面所成角（向量法）.................................23
题型六：利用向量法求直线与平面所成角最值或范围.....................31
题型七：直线与平面所成角探索性问题.................................35
题型八：二面角（传统法）...........................................47
题型九：二面角（向量法）...........................................52
题型十：利用向量法求二面角最值或范围...............................63
题型十一：二面角探索性问题.........................................70
题型一：异面直线所成角（传统法）
典型例题
例题1．（2023春·四川成都·高一统考期末）在直三棱柱 中，
，则直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．例题2．（2023春·四川眉山·高一统考期末）三棱台 中，两底面 和 分别是边
长为2和1的等边三角形， 平面 .若 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2023春·四川成都·高一石室中学校考期末）如图，在三棱锥 中， ，
， ， 平面 ， 为 的中点，则直线 与 所成角的余弦值为 .
精练核心考点
1．（2023·江苏·高一专题练习）在长方体 中，已知 ， ，则 和
所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·甘肃白银·高一校考期末）如图，在四面体 中，点 在平面 上的射影是 ，，若 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·山东济宁·高一统考期末）在正四棱锥 中， ，点 是 的中点，则直
线 和 所成角的余弦值为 ．
题型二：利用向量法求异面直线所成角
典型例题
例题1．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）在三棱锥 中， 平面 ， ，
，则直线 与 夹角的余弦值是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2023秋·陕西西安·高二校考期末）如图，长方体 中， ， ，
， 、 分别是线段 和 的中点，则异面直线 与 所成的角是（ ）A． B． C． D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱 中， 分别是
的中点， ，则 与 所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
精练核心考点
1．（2023·四川绵阳·校考模拟预测）已知直三棱柱 的所有棱长均为1，则直线 与直线
夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， ，
， 分别为 的中点，则异面直线 所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）设 、 分别在正方体 的棱 、 上，且 ，
，则直线 与 所成角的余弦值为 ．
题型三：已知线线角求参数
典型例题
例题1．（2022秋·重庆渝北·高二重庆市两江育才中学校校考阶段练习）在正方体 中，
棱长为2， 是底面正方形 的中心，点 在 上， 是 上靠近 的三等分点，当直线 与
垂直的时候， 的长为（ ）A．1 B． C． D．
例题2．（2022秋·全国·高二专题练习）已知正方体 的棱长为1，点 在线段 上，
若直线 与 所成角的余弦值为 ，则线段 的长为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）已知正方体 ，点 为 中点，
直线 交平面 于点 .
(1)证明：点 为 的中点；
(2)若点 为棱 上一点，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值.
精练核心考点
1．（2022秋·山东淄博·高二山东省淄博第一中学校考阶段练习）在我国古代数学名著《九章算术》中，将
底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵 中， ，
， ，若直线 与直线 所成角为 ，则 ( )
A． B．2 C． D．
2．（2022秋·江苏盐城·高三统考阶段练习）已知四棱锥 底面是边长为 的正方形， 是以为斜边的等腰直角三角形， 平面 ，点 是线段 上的动点(不含端点)，若线 段上存在
点 (不含端点)，使得异面直线 与 成 的角，则线段 长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·河南安阳·高二校考阶段练习）如图：在三棱锥 中， 底面 ， ，
点 ， ， 分别为棱 ， ， 的中点， 是线段 的中点， ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）已知点 在棱 上，且直线 与直线 所成角的余弦值为 ，求线段 的长.
题型四：直线与平面所成角（传统法）
典型例题例题1．（2023春·湖北黄冈·高一黄冈中学校联考期末）在长方体 中， ，
，则 与平面 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023春·广东茂名·高一统考期末）在正方体 中，直线 和平面 所
成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2023·江苏·高一专题练习）在正方体 中，点 在线段 上，若直线 与
平面 所成的角为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
精练核心考点
1．（2023春·陕西宝鸡·高一宝鸡中学校考期末）在正方体 中，直线 和平面 所
成角为（ ）A． B． C． D．
2．（2023春·安徽合肥·高一统考期末）在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱
锥称为“阳马”.如图，四棱锥 为阳马，侧棱 底面 ， ，E为棱PA的中
点，则直线CE与平面PAD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）如图，在圆台OO 中， ，点C是底面圆周上
1
异于A、B的一点， ，点D是BC的中点，l为平面 与平面 的交线，则交线l与平面
所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．题型五：直线与平面所成角（向量法）
典型例题
例题1．（2023春·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）如图所示的多面体，底面 为长方形，
平面 ， ，则 与平面 所成角正弦值为
（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，四棱锥 的底面 是矩形， 底面
， ， ， ， .求直线 与平面 所成角的正弦值.
例题3．（2023春·湖南长沙·高二雅礼中学校考期末）如图，在直三棱柱 中，
， ， ， 依次为 ， 的中点．(1)求证： ；(2)求 与平面 所成角的正弦值．
精练核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体 中，点 ， 分别为 ， 的中点，
则直线 与平面 所成的角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直棱柱 中， ， ，
分别是 ， ， 的中点.求AE与平面DEF所成角的正弦值.3．（2023春·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面
ABCD是梯形，AB∥CD，ABC＝90°，AB＝DP＝2，DC＝BC＝1．
(1)证明：AD⊥PB；
(2)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．
题型六：利用向量法求直线与平面所成角最值或范围
典型例题
例题1．（2023·江苏·高二专题练习）在长方体 中， ， ， 是
的中点，点 在线段 上，若直线OP与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）如图， 是以 为直径的圆 上异于 ， 的点，平面
平面 ， 中， ， ， ， 分别是 ， 的中点.（1）求证： 平面 ；
（2）记平面 与平面 的交线为直线 ，点 为直线 上动点，求直线 与平面 所成的角的
取值范围.
精练核心考点
1．（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）如图，矩形ABCD中， ，E为边AB的中
点，将 沿直线DE翻折成 .在翻折过程中，直线 与平面ABCD所成角的正弦值最大为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·安徽黄山·高二统考期末）马戏团的表演场地是一个圆锥形棚，如图， 为棚顶， 是棚底地
面的中心， 为棚底直径， ， 是棚底的内接正三角形，中间的支柱 米，从支柱上
的 点向棚底周围拉了4根绳子 供动物攀爬表演，有一个节目表演的是猴子从 点沿着
绳子 爬到 点，再沿着 爬到棚顶，然后从棚顶跳到 中的某一根绳子上.(1)当 点取在距离 点 米处时，证明拉绳 所在直线和平面 垂直；
(2)经验表明当拉绳 所在直线和平面 所成角的正弦值最大时，节目的观赏性最佳，问此时应该把
点取在什么位置.
题型七：直线与平面所成角探索性问题
典型例题
例题1．（2023春·贵州六盘水·高二统考期末）如图，在长方体 中， ，
，点 在长方体内（含表面）且满足 ．
(1)当 时，证明： 平面 ；
(2)当 时，是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，指出点
的位置；若不存在，请说明理由．
例题2．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第70中校考期中）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， 平面 ， ， 为 的中点， 为边 上的
一个点.
(1)求证:平面 平面 ；
(2)若 为 上的动点， 与平面 所成角的正切值的最大值为 ，求平面 与平面 夹
角的余弦值.
例题3．（2023春·浙江·高二浙江省开化中学校联考期中）如图，在三棱锥 中，已知侧面
是边长为2的等边三角形， ，点 为侧棱 的中点.
(1)求证： ；
(2)若 ， ，若直线 与平面 所成角的正切值为 ，求 的值.精练核心考点
1．（2023春·辽宁朝阳·高二统考期末）如图，在三棱柱 中，平面 平面 ，
， ， ，且 ， 是棱 上的一点.
(1)求证： ；
(2)是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存
在，说明理由.
2．（2023·山西临汾·统考二模）已知四棱锥 中,平面 底面
, 为 的中点, 为棱 上异于 的点.
(1)证明: ;(2)试确定点 的位置,使 与平面 所成角的正弦值为 .
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， 是
的中点，点 在棱 上．
(1)证明： ；
(2)若 ， ，直线 与平面 所成的角为 ，求 的值．
题型八：二面角（传统法）
典型例题
例题1．（2023春·江西九江·高一德安县第一中学校考期末）如图，在四棱锥 中，底面为正方形，侧面 是正三角形，侧面 底面 ， 是 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求侧面 与底面 所成二面角的余弦值．
例题2．（2023春·江西宜春·高一灰埠中学校考期末）如图1，在等腰梯形 中， ，
， ， 为 的中点.将 沿 翻折，得到四棱锥 （如图2）.
(1)若 的中点为 ，点 在棱 上，且 平面 ，求 的长度；
(2)若四棱锥 的体积等于2，求二面角 的大小.
精练核心考点
1．（2023春·四川凉山·高二宁南中学校联考期末）如图，四棱锥 的底面 是菱形， ，
， .(1)求证： 平面PBD；
(2)若E为 的中点，求二面角 的余弦值.
2．（2023春·吉林长春·高一东北师大附中校考期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为AB、BC
的中点，将 ， 分别沿DE、DF折起，使A，C两点重合于P，连接EF，PB.
(1)点M是PD上一点.若 平面EFM，则 为何值？并说明理由；
(2)点M是PD上一点，若 ，求二面角 的余弦值.
题型九：二面角（向量法）
典型例题例题1．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）如图，在三棱柱 中， ，
．
(1)证明： ；
(2)若 ， ， ，求二面角 的余弦值．
例题2．（2023春·江西九江·高二江西省湖口中学校考期末）如图，三棱柱 中，侧面
为矩形， 且 ， 为 的中点， ．
(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值．例题3．（2023春·江苏苏州·高一统考期末）已知直角梯形 中， ， ， ，
， ， 为 的中点， ，如图，将四边形 沿 向上翻折，使得平面
平面 .
(1)在 上是否存在一点 ，使得 平面 ？
(2)求二面角 的余弦值.
精练核心考点
1．（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）如图，在四棱锥 中， 为平行四边形，
，平面 平面 ， ， ， .(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 与平面 所成角为 ，E为 的中点，求锐二面角 的余弦值.
2．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）如图，在三棱柱 中，底面ABC是边长为8
的等边三角形， ， ， ，D在 上且满足 .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的正弦值.
3．（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）如图所示，在多面体 中，底面 为
矩形，且 底面 ∥ .(1)证明： ∥平面 .
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
题型十：利用向量法求二面角最值或范围
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在长方体 中， ， ， ，点
是 的中点，点 为棱 上的动点，则平面 与平面 所成的锐二面角正切的最小值是
（ ）A． B．
C． D．
例题2．（2022秋·辽宁·高二校考阶段练习）某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个
正四棱柱ABCD﹣A B C D ，其底面边长为4，高为1，工作台的上半部分是一个底面半径为 的圆柱体的
1 1 1 1
四分之一．
（1）当圆弧E F （包括端点）上的点P与B 的最短距离为5 时，证明：DB ⊥平面D EF．
2 2 1 1 2
（2）若D D ＝3．当点P在圆弧E E （包括端点）上移动时，求二面角P﹣A C ﹣B 的正切值的取值范围．
1 2 2 2 1 1 1
精练核心考点
1．（2023·湖北·校联考模拟预测）如图所示，在梯形 中， ， ，四边形
为矩形，且 平面 ， .（1）求证： 平面 ；
（2）点 在线段 上运动，设平面 与平面 所成锐二面角为 ，试求 的取值范围.
2．（2022秋·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）如图，在四棱锥 中，底面
为平行四边形， 平面 ，点 分别为 的中点，且 .
(1)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 ，求平面 与平面 的夹角的余弦
值的取值范围.题型十一：二面角探索性问题
典型例题
例题1．（2023·西藏日喀则·统考一模）如图，已知直角梯形 与 ，
， ， ，AD⊥AB， ，G是线段 上一点.
(1)平面 ⊥平面ABF
(2)若平面 ⊥平面 ，设平面 与平面 所成角为 ，是否存在点G，使得 ，
若存在确定G点位置；若不存在，请说明理由.
例题2．（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）如图， 为圆 的直径，点 在圆 上，
且 为等腰梯形，矩形 和圆 所在的平面互相垂直，已知 .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)当 的长为何值时，平面 与平面 的夹角的大小为 .例题3．（2023春·广东茂名·高二统考期末）如图，在平面四边形 中， 为边长为
2的正三角形， ，点 为 的中点，沿 将 折起得到四棱锥 ，且 .
(1)证明： ；
(2)点 为线段 上的动点（不含端点），当平面 与平面 的夹角为 时，求 的值.
精练核心考点
1．（2023春·福建宁德·高二统考期末）如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 平
面 ， ．(1)证明：平面 平面 ；
(2)已知 ，在线段 上是否存在一点 ，使得二面角 的平面角为 ？若存在，求出
的值，若不存在，请说明理由．
2．（2023春·湖北·高二统考期末）如图1，在等腰梯形 中， ∥ ， ，
.将 沿 折起，使得 ，如图2.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得平面 与平面 的夹角的余弦值为 ?若存在，求 的值；
若不存在，请说明理由.3．（2023春·江苏淮安·高二统考期末）如图，正方体 的棱长为1，点 是对角线 上异
于 ， 的点，记 ．
(1)当 为锐角时，求实数 的取值范围；
(2)当二面角的大小为时，求点到平面的距离．
