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25 秋季版九年级第一学期九校联考期中检测卷
【数学】
一、选择题（10 小题，每小题4 分共40 分）
1．下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．抛物线y=﹣2x2+1 的对称轴是（ ）
A．直线x=1/2 B．直线x=-1/2 C．y 轴
D．直线x=2
3．抛物线y=（x+2）2﹣3 可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程
正确的是（ ）
A．先向左平移2 个单位，再向上平移3 个单位
B．先向左平移2 个单位，再向下平移3 个单位
C．先向右平移2 个单位，再向下平移3 个单位
D．先向右平移2 个单位，再向上平移3 个单位
4．用配方法解方程x2+2x﹣5=0 时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2=6
B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9
D．（x﹣2）2=9
5．如图，在△ABC 中，∠CAB=65°，将△ABC 在平面内绕点A 旋转到△
AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．35°
B．40°
C．50°
D．65°
6．若关于x 的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0 有两个不相等的实数根，则k
的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1
B．k＞﹣1 且k≠0
C．k＜1
D．k＜1 且k≠0
7．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+a
上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
8．已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围
是（ ）
A．k＜4
B．k≤4
C．k＜4 且k≠3
D．k≤4 且k≠3
班级_______________
姓名_______________ 准考证号_______________
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
装
订
线
内
请
不
要
答
题
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
9．已知，α、β是关于x 的一元二次方程x2+4x﹣1=0 的两个实数根，
则α+β的值是（ ）
A．﹣4
B．4
C．4 或﹣4
D．-1/4
10．如图，一次函数y1=x 与二次函数y2=ax2+bx+c 图象相交于P、Q 两点，
则函数y=ax2+（b﹣1）x+c 的图象可能是（ ）
二、填空题（6 小题，每小题4 分共24 分）
11．一元二次方程2x2=3x 的根是 ．
12．坐标平面内的点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，则m+n= ．
13．已知抛物线y=ax2﹣2ax+c 与x 轴一个交点的坐标为（﹣1，0），则
一元二次方程ax2﹣2ax+c=0 的根为 ．
14．某药品原价每盒25 元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经
过连续两次降价，现在售价每盒16 元，则该药品平均每次降价的百分率
是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y=x2﹣2x+2 上运动．过
点A 作AC⊥x 轴于点C，以AC 为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角
线BD 的最小值为 ．
【第15 题】 【第16 题】
16．已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，有以下结论：①abc＞
0，②a﹣b+c＜0，③2a=b，④4a+2b+c＞0，⑤若点（﹣2，y1）和（﹣
1/3，y2）在该图象上，则y1＞y2．其中正确的结论是 （填入正确结
论的序号）．
三、解答题（6 小题，共86 分）
17．（10 分）解方程
（1）2x2+3=7x （2）4（x+3）2=（x﹣1）2．
18．（10 分）二次函数中y=ax2+bx﹣3 的x、y 满足表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
m
…
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求m 的值并直接写出对称轴及顶点坐标．
19．（10 分）如图，点E 是正方形ABCD 的边DC 上一点，把△ADE 顺时
针旋转△ABF 的位置．
（1）旋转中心是点 ，旋转角度是 度；
（2）若连结EF，则△AEF 是 三角形；并证明；
（3）若四边形AECF 的面积为25，DE=2，求AE 的长．
20．（10 分）已知：△ABC 在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A
（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的
边长是1 个单位长度）．
（1）作出△ABC 绕点A 顺时针方向旋转90°后得到的△A1B1C1，并直接
写出C1点的坐标；
（2）作出△ABC 关于原点O 成中心对称的△A2B2C2，并直接写出B2的坐标．
21．（10 分）在“全民阅读”活动中，某中学对全校学生中坚持每天半
小时阅读的人数进行了调查，2012 年全校坚持每天半小时阅读有1000
名学生，2013 年全校坚持每天半小时阅读人数比2012 年增加10%，2014
年全校坚持每天半小时阅读人数比2013 年增加340 人．
（1）求2014 年全校坚持每天半小时阅读学生人数；
（2）求从2012 年到2014 年全校坚持每天半小时阅读的人数的平均增长
率．
22．（10 分）关于x 的一元二次方程x2+2x+k+1=0 的实数解是x1和x2．
（1）求k 的取值范围；
（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1 且k 为整数，求k 的值．
23．（12 分）某衬衣店将进价为30 元的一种衬衣以40 元售出，平均每
月能售出600 件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1 元，其销售量将减
少10 件．
（1）写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/件）之间的函
数解析式．
（2）当销售价定为45 元时，计算月销售量和销售利润．
（3）当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
24．（14 分）抛物线y=ax2+bx﹣4 与x 轴交于A，B 两点，（点B 在点A
的右侧）且A，B 两点的坐标分别为（﹣2，0）、（8，0），与y 轴交于
点C，连接BC，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC，点P 是x
轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m，0），过点P 作x 轴的垂线l 交
抛物线于点Q，交BD 于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P 在线段OB 上运动时，试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平
行四边形？
（3）在（2）的结论下，试问抛物线上是否存在点N（不同于点Q），使
三角形BCN 的面积等于三角形BCQ 的面积？若存在，请求出点N 的坐标；
若不存在，请说明理由．
2024--2025 学年九年级第一学期九校联考期中检测卷
【数学】
一、选择题（10 小题，每小题4 分共40 分）
1．下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ D ）
A．
B．
C．
D．
2．抛物线y=﹣2x2+1 的对称轴是（ C ）
A．直线x=1/2 B．直线x=-1/2 C．y 轴
D．直线x=2
3．抛物线y=（x+2）2﹣3 可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程
正确的是（ B ）
A．先向左平移2 个单位，再向上平移3 个单位
B．先向左平移2 个单位，再向下平移3 个单位
C．先向右平移2 个单位，再向下平移3 个单位
D．先向右平移2 个单位，再向上平移3 个单位
4．用配方法解方程x2+2x﹣5=0 时，原方程应变形为（ A ）
A．（x+1）2=6
B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9
D．（x﹣2）2=9
5．如图，在△ABC 中，∠CAB=65°，将△ABC 在平面内绕点A 旋转到△
AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ C ）
A．35°
B．40°
C．50°
D．65°
6．若关于x 的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0 有两个不相等的实数根，则k
的取值范围是（ B ）
A．k＞﹣1
B．k＞﹣1 且k≠0
C．k＜1
D．k＜1 且k≠0
7．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+a
上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ A ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
8．已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围
是（ B ）
A．k＜4
B．k≤4
C．k＜4 且k≠3
D．k≤4 且k≠3
班级_______________
姓名_______________ 准考证号_______________
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
装
订
线
内
请
不
要
答
题
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
9．已知，α、β是关于x 的一元二次方程x2+4x﹣1=0 的两个实数根，
则α+β的值是（ A ）
A．﹣4
B．4
C．4 或﹣4
D．-1/4
10．如图，一次函数y1=x 与二次函数y2=ax2+bx+c 图象相交于P、Q 两点，
则函数y=ax2+（b﹣1）x+c 的图象可能是（ A ）
二、填空题（6 小题，每小题4 分共24 分）
11．一元二次方程2x2=3x 的根是x1=0，或x2=3/2．
解：∵2x2=3x，
∴2x2﹣3x=0，
x（2x﹣3）=0，
2x2﹣3x=0x=0 或2x﹣3=0，
∴x1=0 或x2=3/2.
12．坐标平面内的点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，则m+n=
﹣1．
解：∵点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，
∴m=﹣3，n=2，
∴m+n=﹣3+2=﹣1.
13．已知抛物线y=ax2﹣2ax+c 与x 轴一个交点的坐标为（﹣1，0），则
一元二次方程ax2﹣2ax+c=0 的根为﹣1，3．
解：c=﹣3a．
将c=﹣3a 代入方程得：ax2﹣2ax﹣3a=0．
∴a（x2﹣2x﹣3）=0．
∴a（x+1）（x﹣3）=0．
∴x1=﹣1，x2=3．
14．某药品原价每盒25 元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经
过连续两次降价，现在售价每盒16 元，则该药品平均每次降价的百分率
是20%．
解：设该药品平均每次降价的百分率为x，
由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16 元，
故25（1﹣x）2=16，
解得x=0.2 或1.8（不合题意，舍去），
故该药品平均每次降价的百分率为20%．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y=x2﹣2x+2 上运动．过
点A 作AC⊥x 轴于点C，以AC 为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角
线BD 的最小值为 1 ．
解：∵y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，1），
∵四边形ABCD 为矩形，
∴BD=AC，
而AC⊥x 轴，
∴AC 的长等于点A 的纵坐标，
当点A 在抛物线的顶点时，点A 到x 轴的距离最小，最小值为1，
∴对角线BD 的最小值为1．
16．已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，有以下结论：①abc＞
0，②a﹣b+c＜0，③2a=b，④4a+2b+c＞0，⑤若点（﹣2，y1）和（﹣
1/3，y2）在该图象上，则y1＞y2．其中正确的结论是②④（填入正确结
论的序号）．
解：∵二次函数开口向下，且与y 轴的交点在x 轴上方，
∴a＜0，c＞0，
∵对称轴为x=1，
∴﹣b/2a=1，
∴b=﹣2a＞0，
∴abc＜0，故①、③都不正确；
∵当x=﹣1 时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，故②正确；
由抛物线的对称性可知抛物线与x 轴的另一交点在2 和3 之间，
∴当x=2 时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，故④正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为x=1，
∴当x＜1 时，y 随x 的增大而增大，
∵﹣2＜﹣1/3，
∴y1＜y2，故⑤不正确；
三、解答题（6 小题，共86 分）
17．（10 分）解方程
（1）2x2+3=7x
解：2x2﹣7x+3=0，
（2x﹣1）（x﹣3）=0，
2x﹣1=0 或x﹣3=0，
所以x1=1/2，x2=3
（2）4（x+3）2=（x﹣1）2．
解：2（x+3）=±（x+1），
所以x1=﹣7，x2=﹣5/3．
18．（10 分）二次函数中y=ax2+bx﹣3 的x、y 满足表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
m
…
（1）求该二次函数的解析式；
解：设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
把（﹣1，0），（0，﹣3），（1，﹣4）代入得a-b+c=0，c=-3，a+b+c=-4
解得a=1，b=﹣2，c=﹣3，
所以抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3
（2）求m 的值并直接写出对称轴及顶点坐标．
解：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
所以抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，﹣4）
19．（10 分）如图，点E 是正方形ABCD 的边DC 上一点，把△ADE 顺时
针旋转△ABF 的位置．
（1）旋转中心是点 A ，旋转角度是 90 度；
（2）若连结EF，则△AEF 是 等腰直角 三角形；并证明；
解：由题意得：AF=AE，∠EAF=90°，
∴△AEF 为等腰直角三角形
（3）若四边形AECF 的面积为25，DE=2，求AE 的长．
解：由题意得：△ADE≌△ABF，
∴S 四边形AECF=S 正方形ABCD=25，
∴AD=5，而∠D=90°，DE=2，
∴AE=√5²+2²=√29．
20．（10 分）已知：△ABC 在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A
（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的
边长是1 个单位长度）．
（1）作出△ABC 绕点A 顺时针方向旋转90°后得到的△A1B1C1，并直接
写出C1点的坐标；
解：如图所示：△A1B1C1，即为所求，C1（1，1）
（2）作出△ABC 关于原点O 成中心对称的△A2B2C2，并直接写出B2的坐标．
解：如图所示：△A2B2C2，即为所求，B2（﹣3，﹣4）
21．（10 分）在“全民阅读”活动中，某中学对全校学生中坚持每天半
小时阅读的人数进行了调查，2012 年全校坚持每天半小时阅读有1000
名学生，2013 年全校坚持每天半小时阅读人数比2012 年增加10%，2014
年全校坚持每天半小时阅读人数比2013 年增加340 人．
（1）求2014 年全校坚持每天半小时阅读学生人数；
解：由题意，得
2013 年全校学生人数为：1000×（1+10%）=1100 人，
∴2014 年全校学生人数为：1100+340=1440 人
（2）求从2012 年到2014 年全校坚持每天半小时阅读的人数的平均增长
率．
解：设从2012 年到2014 年全校坚持每天半小时阅读的人数的平均增长
率为x，
根据题意得：1000（1+x）2=1440，
解得：x=0.2=20%或x=﹣2.2（舍去）．
答：从2012 年到2014 年全校坚持每天半小时阅读的人数的平均增长率
为20%．
22．（10 分）关于x 的一元二次方程x2+2x+k+1=0 的实数解是x1和x2．
（1）求k 的取值范围；
解：∵方程有实数根，
∴△=22﹣4（k+1）≥0，
解得k≤0．
故K 的取值范围是k≤0．
（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1 且k 为整数，求k 的值．
解：根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1，
x1+x2﹣x1x2=﹣2﹣（k+1）．
由已知，得﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k＞﹣2．
又由（1）k≤0，
∴﹣2＜k≤0．
∵k 为整数，
∴k 的值为﹣1 或0．
23．（12 分）某衬衣店将进价为30 元的一种衬衣以40 元售出，平均每
月能售出600 件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1 元，其销售量将减
少10 件．
（1）写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/件）之间的函
数解析式．
解：由题意可得：
y=（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]，
=﹣10x2+1300x﹣30000；
（2）当销售价定为45 元时，计算月销售量和销售利润．
解：当x=45 时，600﹣10（x﹣40）=550（件），
y=﹣10×452+1300×45﹣30000=8250（元）；
（3）当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
解：y=﹣10x2+1300x﹣30000，
=﹣10（x﹣65）2+12250，
故当x=65（元），最大利润为12250 元．
24．（14 分）抛物线y=ax2+bx﹣4 与x 轴交于A，B 两点，（点B 在点A
的右侧）且A，B 两点的坐标分别为（﹣2，0）、（8，0），与y 轴交于
点C，连接BC，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC，点P 是x
轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m，0），过点P 作x 轴的垂线l 交
抛物线于点Q，交BD 于点M．
（1）求抛物线的解析式；
解：将A（﹣2，0），B（8，0）代入抛物线y=ax2+bx﹣4
得：4a-2b-4=0，64a+8b-4=0，
解得：a=1/4，b=-3/2
∴抛物线的解析式：y=1/4x2﹣3/2x﹣4；
（2）当点P 在线段OB 上运动时，试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平
行四边形？
解：当x=0 时，y=﹣4，
∴C（0，﹣4），
∴OC=4，
∵四边形DECB 是菱形，
∴OD=OC=4，
∴D（0，4），
设BD 的解析式为：y=kx+b，
把B（8，0）、D（0，4）代入得：8k+b=0，b=4,
解得：k=-1/2，b=4
∴BD 的解析式为：y=﹣1/2x+4，
∵l⊥x 轴，
∴M（m，﹣1/2m+4）、Q（m，1/4m2﹣3/2m﹣4），
如图1，∵MQ∥CD，
∴当MQ=DC 时，四边形CQMD 是平行四边形，
∴（﹣1/2m+4）﹣（1/4m2﹣3/2m﹣4）=4﹣（﹣4），
化简得：m2﹣4m=0，
解得m1=0（不合题意舍去），m2=4，
∴当m=4 时，四边形CQMD 是平行四边形；
（3）在（2）的结论下，试问抛物线上是否存在点N（不同于点Q），使
三角形BCN 的面积等于三角形BCQ 的面积？若存在，请求出点N 的坐标；
若不存在，请说明理由．
解：如图2，要使三角形BCN 的面积等于三角形BCQ 的面积，N 点到BC
的距离与Q 到BC 的距离相等；
设直线BC 的解析式为：y=kx+b，
把B（8，0）、C（0，﹣4）代入得：8k+b=0，b=-4，
解得：k=1/2，b=-4，
∴直线BC 的解析式为：y=1/2x﹣4，
由（2）知：当P（4，0）时，四边形DCQM 为平行四边形，
∴BM∥QC，BM=QC，得△MFB≌△QFC，
分别过M、Q 作BC 的平行线l1、l2，
所以过M 或Q 点的斜率为的1/2 直线与抛物线的交点即为所求，
当m=4 时，y=﹣1/2m+4=﹣1/2×4+4=2，∴M（4，2），
当m=4 时，y=1/4m2﹣3/2m﹣4=1/4×16﹣3/2×4﹣4=﹣6，Q（4，﹣6），
①设直线l1的解析式为：y=1/2x+b，
∵直线l1过Q 点时，∴﹣6=1/2×4+b，b=﹣8，
∴直线l1的解析式为：y=1/2x﹣8，则y=1/2x-8，y=1/4x²-3/2x-4
1/4x²-3/2x-4=1/2x﹣8，
解得x1=x2=4（与Q 重合，舍去），
②∵直线l2过M 点，相关配套资料关注公众号一只爱学习的猫获取
同理求得直线l2的解析式为：y=1/2x，
则y=1/2x，y=1/4x²-3/2x-4，
1/4x²-3/2x-4=1/2x，x²-x-16=0，
解得x1=4+4√2，x2=4﹣4√2，
代入y1/2x，得x1=4+4√2，y1=2+2√2；x2=4-4√2，y2=2-2√2；
则N1（4+4√2，2+2√2），N2（4﹣4√2，2﹣2√2），
故符合条件的N 的坐标为
N1（4+4√2，2+2√2），N2（4﹣4√2，2﹣2√2）．
