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专题05 导数核心考点全解：从基础应用到高考压轴
一、考点总结与提升
1.求函数的单调区间
（1）求函数
的定义域．
（2）求出
．
（3）解不等式
可得函数
的单调递增区间，解不等式
可得函数
的单调递减
区间．
2.用导数判断函数单调性
（1）确定函数的定义域；
（2）求出导数
的零点；
（3）用
的零点将
的定义域划分为若干个区间，列表给出
在各区间上的正负，由此得出
函数
在定义域内的单调性．
3.求函数
的极值
解方程
，当
时：
（1）如果在
附近的左侧
，右侧
，那么
是极大值；
（2）如果在
附近的左侧
，右侧
，那么
是极小值．
4.求函数
在
上的最大值和最小值
（1）求函数
在区间
内的极值；
（2）将函数
的各极值与端点处的函数值
，
比较，其中最大的一个是最大值，最小的
一个是最小值．
5.利用函数零点求参数取值范围的方法及步骤
（1）常用方法：
①直接法：先直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范
围.
②分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.
③数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.
（2）一般步骤：
①转化：把已知函数零点的存在情况转化为方程（组）的解、不等式(组)的解集或两函数图象的交点的情
况；
②列式：根据零点存在性定理或结合函数图象列式；
③结论：求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围.
6.利用导数解决含双变量的不等式证明问题的策略
含有双变量的不等式证明问题中的双变量指的是所给的不等关系中涉及的函数有两个不同变量，处理此类
问题有两个策略：一是转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的关系式，并把含双变量的不等式转
化为含单变量的不等式求解；二是巧妙构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值.
7.利用导数解决函数零点问题的方法
（1）先求函数的单调区间和极值，根据函数的性质画出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴交点问题，
突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想.
（2）构造新函数，将问题转化为研究两个函数的图象的交点问题.
（3）分离参变量，即由
分离参变量，得
，研究直线
与
的图象的交点问
题.
8.利用导数研究不等式恒成立或存在性问题的思路方法
首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的
取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.一般地，
恒成立，则
；
恒成立，则
.
9.双变量（双参数）恒成立，能成立求参数范围问题
一般地，已知函数
，
①若
，
，总有
成立，故
；
②若
，
，有
成立，故
；
③若
，
，有
成立，故
；
④若
，
，有
，则
的值域是
值域的子集．
⑤若
，
，有
，则
的值域与
值域的交集非空．
⑥若
，对
，都有
.
⑦若
，对
，都有
.
⑧若
，对
，都有
.
⑨若
，对
，都有
.
二、典例精讲
核心考点01：求在曲线上一点处的切线方程
1 已知函数
.
（1）求曲线
在点
处的切线方程；
（2）证明：
，
.
核心考点02：利用导数研究函数的单调性
2．（多选）已知函数
，则( )
A．
B．
是偶函数
C．
的一个周期为
D．
在区间
单调递增
核心考点03：利用导数研究函数的极值
3 若
是函数
的极值点，则
_________.
核心考点04：利用导数研究函数的零点
4（多选）已知函数
2
3
ln
f x
x
x
x
，则( )
A.
f x 的极小值为-2
B.
f x 有两个零点
C.存在a 使得关于x 的方程
f x
a
有三个不同的实根
D.
2
f x
f x
的解集为
1,
核心考点05：利用导数研究不等式恒成立问题
5．【2025 年全国一卷高考真题】（1）求函数
在区间
的最大值；
（2）给定
和
，证明：存在
，使得
；
（3）设
，若存在
使得
对
恒成立，求b 的最小值.
核心考点06：恒成立问题
恒成立问题的一般形式为：若函数
的定义域为
，任意的
，都有
等
价于
即可，其他情形可类比得到. 于是，解决恒成立问题的第一种方法就是值域方
法，实质就是找到函数在其定义区间上的最大值或最小值，在这个过程中我们需要借助导数
来讨论原函数的单调性进而求得值域.
6.（浙江省Z20 名校联盟2026 届高三开学考试）
已知函数
．
（1）若
，求
在
处的切线的方程；
（2）判断
是否是函数
的极值点，并说明理由；
（3）若不等式
对任意的
恒成立，求正整数
的最大
值．（参考数据：
）．
7.已知函数
（其中e 为自然对数的底数）．
（1）求曲线
在点
处的切线方程；
（2）求函数
在
上的最值；
（3）设函数
，若对
，不等式
恒成立，求a 的取值范围．
核心考点07：不等式证明与放缩
9．已知函数
．
（1）当
时，讨论
的单调性；
（2）当
时，
，求的取值范围；
（3）设
，证明：
．
10．已知函数
，
.
（1）当
时，
，求实数的取值范围；
（2）已知
，证明：
.
核心考点08：：同构变换
若
能够变形成
，然后利用
的单调性，如递增，转化为
，即
为同构变换.
例如：
....
11.（2022 全国甲卷）已知函数
.
（1）若
恒成立，求
的取值范围；
（2）若
有两个零点
，证明：
.
12. 已知函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）当
时，不等式
恒成立，求的取值范围.
三、高考练场
1. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，f(2)＝0，当x>0 时，有x f
' (x)- f (x)
x
2
<0恒成立，则不等式
x2f(x)>0 的解集是( )
A．(－2,0)∪(2，＋∞)
B．(－2,0)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(0,2)
2. 定义在R 上的奇函数y＝f(x)满足f(3)＝0，且不等式f(x)>－xf′(x)在(0，＋∞)上恒成立，则
函数g(x)＝xf(x)＋lg|x＋1|的零点个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
3. 已知f(x)，g(x) (g(x)≠0)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x<0 时，f′(x)g(x)<f(x)g′
(x)，且f(－3)＝0，则f (x)
g(x)<0 的解集为( )
A．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－3,0)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
4. 已知定义在R 上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)<f(x)，且f(x＋2)为偶函数，f(4)
＝1，则不等式f(x)<ex 的解集为( )
A．(－2，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(4，＋∞)
5. 当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0 恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A．[－5，－3]
B．[－6，－]
C．[－6，－2]
D．[－4，－3]
6.已知函数
在点
处的切线方程为l：
，若对任意
，都
有
成立，则
______．
7．已知函数
，
.
（1）讨论
的零点个数；
（2）若对
，不等式
恒成立，求a 的取值范围.
8．（2022 新高考2 卷）已知函数
．
（1）当
时，讨论
的单调性；
（2）当
时，
，求a 的取值范围；
（3）设
，证明：
．
9.已知函数
（
）．
（1）讨论
的单调性；
（2）若
，当
时，
，求k 的取值范围．
10.设函数
.
当
时，判断
是否为函数
的极值点，并说明理由；
当
时，不等式
恒成立，求
的最小值.
