文档文本内容
第八章直线和圆、圆锥曲线
§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
【考情分析·探规律】
考点
考情分析（2021-2024）
命题趋势
考点1 直线与圆的位置
关系及其应用
2023·全国新Ⅱ卷、2022·北京卷、
2022·天津卷
能根据给定直线、
圆的方程判断直线与圆、
圆与圆的位置关系；能用
直线和圆的方程解决一些
简单的数学问题与实际问
题。
考点2 圆中的切线问题
2024·全国新Ⅱ卷、2023·全国新Ⅰ
卷、2023·天津卷、2022·全国甲
卷、2021·全国新Ⅱ卷
考点3 直线、圆与其他
知识点综合
2024·天津卷、2023·全国甲卷、
2023·全国乙卷、2022·全国新Ⅱ
卷、2022·全国甲卷、2021·全国新
Ⅱ卷2021·全国乙卷、2021·全国甲
卷、
考点4 直线与圆中的最
值及范围问题
2024·全国甲卷、2024·全国甲卷、
2023·全国乙卷、2022·全国新Ⅱ
卷、2021·北京卷、2021·全国新Ⅰ
卷
【知识梳理】
1.直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l 的距离为
d.由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ<0
Δ＝0
Δ>0
几何观点
d>r
d＝r
d<r
2.圆与圆的位置关系(☉O1，☉O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
图形
量的关系
外离
d > r 1＋
r 2
外切
d ＝
r 1＋
r 2
相交
| r 1－
r 2|< d < r 1＋
r 2
内切
d ＝
| r 1－
r 2|
内含
d <| r 1－
r 2|
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r 和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2
❑√r
2−d
2.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m 与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 相交于点M，N，代入，消
去y，得关于x 的一元二次方程，则|MN|＝❑√1＋k
2·❑√( xM ＋xN )
2−4 xM xN.
【名师点拨】
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y
－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x0x＋
y0y＝r2.
2.设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，
(1)若两圆相交，两式相减，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，该方程表示圆C1与
C2的公共弦所在的直线方程.
(2)若两圆相切，两式相减，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，该方程表示圆C1与
C2的公共切线所在的直线方程.
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0 与圆x2＋y2＝1 相交”的必要不充分条件.( )
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( )
(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( )
(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，
A，B 四点共圆，且直线AB 的方程是x0x＋y0y＝r2.( )
【答案】(1)× (2)× (3)× (4)√
【解析】(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0 与圆x2＋y2＝1 相交”的充分不必要条件；
(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含.
2.直线3x＋4y＝5 与圆x2＋y2＝16 的位置关系是( )
A.相交且直线经过圆心
B.相切
C.相离
D.相交且直线不经过圆心
【答案】D
【解析】圆心到直线的距离d＝
5
❑√3
2＋4
2＝1<4，且直线3x＋4y＝5 不经过点(0，0)，
所以直线与圆相交且不经过圆心.
3.直线2x－y＋1＝0 与圆x2＋y2＝2 交于A，B 两点，则弦AB 的长度为( )
A.4 ❑√2
5
B.6 ❑√5
5
C.2❑√2
5
D.3 ❑√5
5
【答案】B
【解析】设圆x2＋y2＝2 的圆心为C(0，0)，半径r＝❑√2，
因为C(0，0)到直线2x－y＋1＝0 的距离d＝
1
❑√4＋1 ＝
❑√5
5 ，
所以|AB|＝2❑√r
2−d
2＝2❑√2−1
5 ＝6 ❑√5
5
.
4.圆C1：x2＋y2＝4 与圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0 的位置关系是( )
A.外切
B.相交
C.外离
D.内切
【答案】A
【解析】圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1＝2，
圆C2可化为(x－4)2＋(y－3)2＝9，
∴圆心C2(4，3)，半径r2＝3，
∴|C1C2|＝❑√(4−0)
2＋(3−0)
2＝5＝r1＋r2，
故两圆外切.
【名师点拨】
1.牢记三个相关结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y
－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y
＝r2.
注意：求该类直线的方程亦可以用“留一代一”的方式进行，即将x2用xx0替换，y2用
yy0替换，x 用x＋x0
2
替换，y 用y ＋y0
2
替换.
2.灵活应用两圆相交时公共弦的性质
圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 相交时：
(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；
(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)表示过两圆交点的圆系方
程(不包括C2).
【必练核心题型】
题型一 直线与圆的位置关系
命题点1 位置关系的判断
【典例】1.(多选)已知圆C：(x－2)2＋y2＝16，直线l：mx＋y－3m－1＝0，则下列结
论中正确的是( )
A.直线l 恒过定点(3，1)
B.直线l 与圆C 相切
C.直线l 与圆C 相交
D.直线l 与圆C 相离
【答案】AC
【解析】圆C：(x－2)2＋y2＝16 的圆心C(2，0)，半径r＝4，直线l：m(x－3)＋y－1＝0
恒过定点(3，1)，显然❑√(3−2)
2＋1
2＝❑√2<4＝r，因此点(3，1)在圆C 内，直线l 与圆
C 相交，B，D 错误，A，C 正确.
【解题技巧】判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d 与r 的关系判断.
(2)代数法：联立方程之后利用Δ 判断.
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.
命题点2 弦长问题
【典例】2.已知直线l：y＝kx＋3 与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝4 交于A，B 两点，若|
AB|＝2❑√3，则k 等于( )
A.－3
4
B.3
4
C.1
2
D.－1
2
【答案】A
【解析】圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝4 的圆心C(1，1)，r＝2，
所以圆心C(1，1)到直线l：y＝kx＋3 的距离
d＝|k ＋2|
❑√1＋k
2，
而d＝❑√r
2−(
| AB|
2 )
2
＝❑√4−3＝1，
所以d＝|k ＋2|
❑√1＋k
2＝1，解得k＝－3
4 .
【解题技巧】弦长的两种求法
(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长.
(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2❑√r
2−d
2.
命题点3 切线问题
【典例】3.(多选)过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1 的切线，所得切线方程为(
)
A.x＝4
B.15x＋8y－36＝0
C.y＝－3
D.8x－15y－3＝0
【答案】AB
【解析】由圆心为(3，1)，半径为1，当过点A(4，－3)的切线斜率存在时，设切线方
程为y＝k(x－4)－3，
则圆心到切线的距离d＝|−k −3−1|
❑√1＋k
2
＝1，可得k＝－15
8 ，
所以y＝－15
8 (x－4)－3，即15x＋8y－36＝0；
当切线斜率不存在时，切线方程为x＝4，显然与圆相切，
综上，切线方程为15x＋8y－36＝0 或x＝4.
【解题技巧】当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切
线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个
一元二次方程，然后令判别式Δ＝0 进而求得k.
注意验证斜率不存在的情况.
命题点4 直线与圆位置关系中的最值问题
【典例】4.已知P 是直线3x＋4y＋8＝0 上的动点，PA，PB 是圆C：x2＋y2－2x－2y
＋1＝0 的两条切线，A，B 是切点，则四边形PACB 面积的最小值为 .
【答案】2❑√2
【解析】圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，
即圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以圆心C(1，1)，半径r＝1，
如图，连接PC，
因为S 四边形PACB＝2S△PAC＝2×1
2×|AP|·|AC|＝|AP|＝❑√| PC |
2−1，
所以求S 四边形PACB的最小值就是求|PC|的最小值，而|PC|的最小值就是圆心C 到直线3x
＋4y＋8＝0 的距离d，即d＝|3＋4＋8|
❑√3
2＋4
2
＝3，
所以四边形PACB 面积的最小值为❑√9−1＝2❑√2.
【解题技巧】涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求
线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求
得结果.
【变式训练】
变式1.(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4
＝0.则下列命题正确的有( )
A.直线l 恒过定点(3，1)
B.y 轴被圆C 截得的弦长为2❑√6
C.直线l 与圆C 恒相交
D.直线l 被圆C 截得弦长最短时，直线l 的方程为2x－y－5＝0
【答案】ACD
【解析】由已知可得，圆心C(1，2)，半径r＝5，
直线方程可化为l：m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0，
由{
2 x＋y −7＝0,
x＋y −4＝0, 可得{
x＝3,
y ＝1,
所以直线l 恒过定点(3，1)，A 正确；
将x＝0 代入圆的方程有1＋(y－2)2＝25，解得y＝2±2❑√6，
所以y 轴被圆C 截得的弦长为4❑√6，B 错误；
因为点(3，1)到圆心C(1，2)的距离为❑√(1−3)
2＋(2−1)
2＝❑√5<5＝r，
所以点(3，1)在圆内，直线l 与圆C 恒相交，C 正确；
当圆心C(1，2)与定点(3，1)的连线恰好与l 垂直时，圆心到直线的距离最大，
直线l 被圆C 截得的弦长最短，则l 的斜率k 应满足1−2
3−1·k＝－1，所以k＝2，
代入点斜式方程有y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0，D 正确.
变式2.(多选)已知点P 在圆O：x2＋y2＝4 上，直线l：4x＋3y－12＝0 分别与x 轴、y
轴交于A，B 两点，则( )
A.过点B 作圆O 的切线，则点B 到切点的距离为2❑√3
B.满足⃗PA·⃗PB＝0 的点P 仅有1 个
C.点P 到直线l 距离的最大值为22
5
D.|⃗PA ＋⃗PB|的最小值是1
【答案】ACD
【解析】点A(3，0)，点B(0，4)，设圆O 的半径为r，过点B 作圆O 的切线，所以点B
到切点的距离为❑√|OB|
2−r
2＝❑√16−4＝2❑√3，故A 正确；
由中点坐标公式得线段AB 的中点为M(
3
2 ，2)，由两点间距离公式得|AB|＝5，则以线
段AB 为直径的圆M 的方程为(x−3
2)
2
＋(y－2)2＝25
4 ，
因为|OM|＝❑√
9
4 ＋4＝5
2，
而5
2－2＝1
2，5
2＋2＝9
2，
满足1
2<5
2<9
2，所以圆M 与圆O 相交，所以满足⃗PA·⃗PB＝0 的点P 有2 个，故B 错误；
圆心O 到直线l 的距离为|−12|
❑√4
2＋3
2 ＝12
5 ，半径r＝2，所以点P 到直线l 距离的最大值
为22
5 ，故C 正确；
线段AB 的中点为M(
3
2 ，2)，
则⃗PM ＝1
2 (⃗PA ＋⃗PB)，
所以|⃗PA ＋⃗PB|＝2|⃗PM|，
因为|PM|min＝|OM|－r＝5
2－2＝1
2，
所以|⃗PA ＋⃗PB|的最小值是1，故D 正确.
题型二 圆与圆的位置关系
【典例】1.(多选)已知圆C1：(x－1)2＋(y－2a)2＝9，圆C2：x2＋y2－8x＋2ay＋a2＋12
＝0，a∈R.则下列选项正确的是( )
A.直线C1C2恒过定点(3，0)
B.当圆C1和圆C2外切时，若P，Q 分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝10
C.若圆C1和圆C2共有2 条公切线，则a<4
3
D.当a＝1
3时，圆C1与圆C2相交弦的弦长为3 ❑√6
2
【答案】ABD
【解析】由圆C1：(x－1)2＋(y－2a)2＝9，圆C2：x2＋y2－8x＋2ay＋a2＋12＝0，a∈R，
可知C1(1，2a)，C2(4，－a)，故直线C1C2的方程为y＋a＝－a(x－4)，即y＝－a(x－
3)，则直线C1C2恒过定点(3，0)，A 正确；
圆C1的半径r1＝3，又圆C2：x2＋y2－8x＋2ay＋a2＋12＝0，a∈R 即(x－4)2＋(y＋a)2＝
4，a∈R，
圆C2的半径r2＝2，当圆C1和圆C2外切时，|C1C2|＝r1＋r2＝3＋2＝5，
|PQ|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝10，B 正确；
若圆C1 和圆C2 共有2 条公切线，则两圆相交，又|C1C2| ＝
❑√(1−4)
2＋(2a＋a)
2＝
❑√9＋9a
2，
则3－2<|C1C2|<3＋2，即1<❑√9＋9a
2<5，解得－4
3 <a<4
3 ，C 错误；
当a＝1
3时，两圆相交，
圆C1：(x－1)2＋( y −2
3)
2
＝9，
圆C2：(x－4)2＋( y ＋1
3)
2
＝4，
将两方程相减可得公共弦方程为6x－2y－59
3 ＝0，则C1(1，2
3)到直线6x－2y－59
3 ＝0
的距离为
|6−4
3 −59
3 |
❑√6
2＋2
2 ＝3 ❑√10
4
，
则圆C1与圆C2相交弦的弦长为2❑√
9−(
3 ❑√10
4 )
2
＝3 ❑√6
2
，D 正确.
【解题技巧】
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的
关系，一般不采用代数法.
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.
【变式训练】(多选)若圆O1：x2＋y2＋2x－3＝0 与圆O2：x2＋y2－2y－1＝0 交于A，
B 两点，则下列选项中正确的是( )
A.点(1，－1)在圆O2内
B.直线AB 的方程为x＋y－1＝0
C.圆O1上的点到直线AB 的距离的最大值为2＋❑√2
D.圆O2上存在两点P，Q，使得|PQ|>|AB|
【答案】BC
【解析】因为12＋(－1)2－2×(－1)－1＝3>0，所以点(1，－1)在圆O2外，故A 错误；
因为圆O1和圆O2相交，将两圆方程相减可得x＋y－1＝0，即公共弦AB 所在直线的方
程为x＋y－1＝0，故B 正确；
圆O1 的圆心坐标为(－1，0)，半径为2，圆心O1到直线AB：x＋y－1＝0 的距离d＝
|−1−1|
❑√2
＝❑√2，所以圆O1上的点到直线AB 的距离的最大值为2＋❑√2，故C 正确；
直线AB 经过圆O2的圆心(0，1)，所以线段AB 是圆O2的直径，故圆O2中不存在比线
段AB 长的弦，故D 错误.
【限时训练】（限时：60 分钟）
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.两圆x2＋y2－2y＝0 与x2＋y2－4＝0 的位置关系是( )
A.相交
B.内切
C.外切
D.内含
【答案】B
【解析】两圆方程可分别化为x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝4.两圆圆心分别为O1(0，1)，
O2(0，0)，半径分别为r1＝1，r2＝2.因为|O1O2|＝1＝r2－r1，所以两圆内切.
2.直线y＝k(x－5)－2(k∈R)与圆(x－3)2＋(y＋1)2＝6 的位置关系为( )
A.相离
B.相交
C.相切
D.无法确定
【答案】B
【解析】直线y＝k(x－5)－2 恒过定点(5，－2)，将定点(5，－2)代入圆的方程，得(5－
3)2＋(－2＋1)2＝5<6，则定点(5，－2)在圆(x－3)2＋(y＋1)2＝6 内部，所以直线与圆必
相交.
3.过点E(a，－1)向圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝2 作两条切线，切点分别为A，B，若
∠AEB＝π
3 ，则( )
A.a＝2 或a＝－1
B.a＝－2 或a＝1
C.a＝－3 或a＝1
D.a＝3 或a＝－1
【答案】D
【解析】圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝2 的圆心M(1，1)，半径r＝❑√2，连接AM，ME，
依题意，AM⊥AE，∠AEM＝1
2∠AEB＝π
6 ，
则|EM|＝2|AM|＝2❑√2，
于是❑√(a−1)
2＋(−1−1)
2＝2❑√2，
整理得a2－2a－3＝0，
所以a＝3 或a＝－1.
4.在平面直角坐标系Oxy 中，直线l：ax＋by＝1 上有且仅有一点P，使|OP|＝2，则直
线l 被圆C：x2＋y2＝16 截得的弦长为( )
A.2
B.2❑√3
C.4
D.4❑√3
【答案】D
【解析】直线l：ax＋by＝1 上有且仅有一点P，
使|OP|＝2，则坐标原点到直线的距离d＝|OP|＝2，因为圆C 的圆心为O(0，0)，半径r
＝4.
截得的弦长为2❑√r
2−d
2＝2❑√16−4＝4❑√3.
5.圆C：x2＋y2＋ax－2ay－5＝0 恒过的定点为( )
A.(－2，1)，(2，－1)
B.(－1，－2)，(2，1)
C.(－1，－2)，(1，2)
D.(－2，－1)，(2，1)
【答案】D
【解析】圆C：x2＋y2＋ax－2ay－5＝0 的方程化为a(x－2y)＋(x2＋y2－5)＝0，
由{
x−2 y ＝0,
x
2＋y
2−5＝0得{
x＝2,
y ＝1 或{
x＝−2,
y ＝−1,
故圆C 恒过定点(－2，－1)，(2，1).
6.已知A，B 是圆C1：x2＋y2＝3 上的动点，且|AB|＝2❑√2.P 是圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1
上的动点，则|⃗PA ＋⃗PB|的取值范围是( )
A.[8，12]
B.[6，10]
C.[10，14]
D.[6，14]
【答案】D
【解析】如图，设弦AB 的中点为D，
则由|AB|＝2❑√2得，|C1D|＝❑√3−2＝1，
即D 点的轨迹方程为x2＋y2＝1.
又|⃗PA ＋⃗PB|＝2|⃗PD|，
由于P 点在圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1 上，
所以C2(3，4)，|C1C2|＝5，
所以|C1C2|－1－1≤|⃗PD|≤|C1C2|＋1＋1，
即3≤|⃗PD|≤7，
所以|⃗PA ＋⃗PB|＝2|⃗PD|的取值范围是[6，14].
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.已知直线l：y＝kx－k，k∈R，圆C：x2＋y2＝4，则下列结论正确的有( )
A.直线l 过定点(1，0)
B.直线l 与圆C 恒相交
C.直线l 被圆C 截得的弦长最短为2❑√3
D.若直线l 被圆C 截得的弦长为❑√14，则k＝±1
【答案】ABD
【解析】对于A，直线l：y＝kx－k，即y＝k(x－1)，则直线l 过定点(1，0)，故A 正确；
对于B，因为12＋02＝1<4，所以定点(1，0)在圆C：x2＋y2＝4 内部，所以直线l 与圆C
恒相交，故B 正确；
对于C，当直线l 与x 轴垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，此时l：x＝1，直线l
被圆C 截得的弦长为2❑√4−1
2＝2❑√3，但此时直线l 的斜率不存在，不符合题意，故C
错误；
对于D ，直线l ：kx －y －k ＝0 ，圆心C(0 ，0) 到直线l 的距离d ＝
|−k|
❑√k
2＋1
＝
❑√
2
2−(
❑√14
2 )
2
，得k＝±1，故D 正确.
8.已知动点M，N 分别在圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝1 和C2：(x－3)2＋(y－4)2＝3 上，动
点P 在x 轴上，则( )
A.圆C2的半径为3
B.圆C1和圆C2外离
C.|PM|＋|PN|的最小值为2❑√10
D.过点P 作圆C1的切线，则点P 到切点的最短距离为❑√3
【答案】BD
【解析】圆C1的圆心C1(1，2)，半径r1＝1，圆C2的圆心C2(3，4)，半径r2＝❑√3，A 错
误；
|C1C2|＝2❑√2>1＋❑√3，圆C1和圆C2外离，B 正确；
圆C1关于x 轴对称的圆为C0：(x－1)2＋(y＋2)2＝1，C0(1，－2)，连接C0C2交x 轴于点
P1，连接P1C1，由圆的性质得，|PM|＋|PN|≥|PC1|－1＋|PC2|－❑√3＝|PC0|＋|PC2|－1－
❑√3≥|C0C2|－1－❑√3＝2❑√10－1－❑√3，当且仅当点P 与P1重合，且M，N 分别是线段
P1C1，P1C2与圆C1和圆C2的交点时取等号，C 错误；
设点P(t ，0) ，过点P 作圆C1 的切线，设切点为A ，则|PA| ＝
❑√|P C1|
2−|A C1|
2＝
❑√(t −1)
2＋2
2−1≥❑√3，当且仅当t＝1，即P(1，0)时取等号，
D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.若直线kx－y＋2k＝0(k∈Z)与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4 有公共点，则k 的一个取值是
.
【答案】0(答案不唯一)
【解析】直线kx－y＋2k＝0 恒过定点(－2，0)，
圆(x－1)2＋(y－2)2＝4 的圆心为(1，2)，半径r＝2，
显然点(－2，0)在圆外，若直线与圆有公共点，
则圆心到直线的距离d＝|k −2＋2 k|
❑√k
2＋1
≤2，
化简得5k2－12k≤0，解得0≤k≤12
5 .
又k∈Z，则k＝0 或1 或2.
即k 的一个取值是0.
10.直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，【典例】如x＝ty＋1 表示过点(1，0)
且斜率不为0 的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上
某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.若圆C1：x2
＋y2＝1 是直线族mx＋ny＝1(m，n∈R)的包络曲线，则m，n 满足的关系式为
.
【答案】m2＋n2＝1
【解析】由定义可知，mx＋ny＝1 与x2＋y2＝1 相切，则圆C1的圆心(0，0)到直线mx＋
ny＝1 的距离等于1，则d＝
1
❑√m
2＋n
2＝1，m2＋n2＝1.
四、解答题(共27 分)
11.(13 分)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0 和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m 取何值时，两圆外切？(5 分)
(2)当m＝45 时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.(8 分)
【解析】两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，
(x－5)2＋(y－6)2＝61－m(m<61)，
则圆心分别为(1，3)，(5，6)，
半径分别为❑√11和❑√61−m.
(1)当两圆外切时，
❑√(5−1)
2＋(6−3)
2＝❑√11＋❑√61−m.
解得m＝25＋10❑√11.
(2)两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.
所以公共弦的长为
2×❑√
(❑√11)
2−(
|4＋3×3−23|
❑√4
2＋3
2
)
2
＝2❑√7.
12.(14 分)已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0 与圆C 交于A，B 两点.
(1)若|AB|＝3❑√2，求实数m 的值；(6 分)
(2)若点P 为直线l 所过定点，且|PB|＝2|AP|，求直线l 的方程.(8 分)
【解析】
(1)由题意可知，圆C：x2＋(y－1)2＝5 的圆心为C(0，1)，半径r＝❑√5.
∴圆心C 到直线l：mx－y＋1－m＝0 的距离为
d＝|−m|
❑√m
2＋1
，
由(
|−m|
❑√m
2＋1)
2
＋(
3 ❑√2
2 )
2
＝5，
解得m＝±1.
(2)∵直线l 的方程mx－y＋1－m＝0 可化为y－1＝m(x－1)，
∴直线l 过定点P(1，1)，且P(1，1)在圆C 内，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵P(1，1)，
∴⃗AP＝(1－x1，1－y1)，⃗PB＝(x2－1，y2－1)，
∵⃗AP＝1
2⃗PB，
∴(1－x1，1－y1)＝1
2(x2－1，y2－1)，
∴1－x1＝1
2(x2－1)，∴x2＝3－2x1，①
由{
mx −y ＋1−m＝0,
x
2＋( y −1)
2＝5 得
(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，
(※)
∴x1＋x2＝2m
2
1＋m
2，
②
由①②解得x1＝3＋m
2
1＋m
2，
代入(※)式(1＋m2)(
3＋m
2
1＋m
2)
2
－2m2·3＋m
2
1＋m
2＋m2－5＝0⇒m2－1＝0，
解得m＝±1，
∴直线l 的方程为x－y＝0 或x＋y－2＝0.
【尖子拔高训练】13 题6 分，14 题5 分，共11 分
13.(多选)(2024·北京朝阳区模拟)已知函数f(x)＝－2＋❑√4−x
2，则( )
A.f(x)只有1 个零点
B.直线y＝2x－1 与曲线y＝f(x)有唯一公共点
C.f(x)恰有2 个零点
D.曲线y＝f(x)与圆x2＋(y－1)2＝1 外切
【答案】ABD
【解析】令y＝f(x)，得x2＋(y＋2)2＝4(y≥－2)，则f(x)的图象为半圆，如图所示，
令y＝0，解得x＝0，由图可知，f(x)只有1 个零点，A 正确，C 错误；
联立y＝2x－1 与x2＋(y＋2)2＝4，
消去x 并整理得5y2＋18y＋1＝0，
解得y1＝−9＋2❑√19
5
，
y2＝−9−2❑√19
5
(舍去)，
所以直线y＝2x－1 与曲线y＝f(x)有唯一公共点，B 正确；
半圆x2＋(y＋2)2＝4(y≥－2)与圆x2＋(y－1)2＝1 的圆心分别为(0，－2)，(0，1)，半径
分别为2，1，
所以圆心距为|1－(－2)|＝3＝1＋2，即圆心距等于半径之和，
所以曲线y＝f(x)与圆x2＋(y－1)2＝1 外切，D 正确.
14.已知f(x)＝{
❑√1−x
2,−1≤x ≤1,
f ( x−2), x>1,
若直线y＝knx 与y＝f(x)的图象有2n(n∈N*)个交点，
则k1
2＋k2
2＋…＋kn
2＝ .
【答案】
n
2n＋1
【解析】当－1≤x≤1 时，y＝f(x)＝❑√1−x
2，即x2＋y2＝1，y≥0，
当x>1 时，f(x)＝f(x－2)，所以可得函数f(x)的周期为2，
画出函数图象，如图所示.
若直线y＝knx 与y＝f(x)的图象有2n(n∈N*)个交点，
根据图象知，直线y＝knx 与第n＋1 个半圆相切，不妨设其圆心为On＋1(2n，0)，切点为
P，连接POn＋1，
所以在Rt△OPOn＋1中，tan∠POOn＋1＝
|P On＋1|
|OP|
＝
1
❑√|On＋1O|
2−1
2＝kn，
kn
＝
1
❑√(2n)
2−1
＝
1
❑√4 n
2−1，
故
kn
2＝
1
4 n
2−1
＝
1
(2n−1)(2n＋1) ＝1
2(
1
2n−1 −
1
2n＋1)，
所以k1
2＋k2
2＋…＋kn
2
＝1
2(1−1
3 ＋1
3 −1
5 ＋…＋
1
2n−1 −
1
2n＋1)＝
n
2n＋1.
