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进阶2 与弦长、周长、距离、面积有关的范围(最值)问题
解决圆锥曲线中的最值与范围问题，一般有两种方法：
(1)几何法，若题目的条件和结论有明显的几何特征，可考虑利用圆锥曲线的定义和图象的有关性质来求解；
(2)代数法，先根据条件列出目标函数，然后根据函数表达式的特征选用适当的方法求出最值或范围.
常见的方法：①基本不等式法；②利用函数单调性；③配方法；④换元法；⑤判别式法；⑥导数法；⑦利
用三角函数有界性.
题型一 与弦长、周长有关的范围(最值)问题
例1 (2024·衢州模拟)已知椭圆C：y
2
a
2 + x
2
b
2=1(a>b>0)的离心率为√2
2 ，斜率为1
2的直线l 与y 轴交于点
P，l 与C 交于A，B 两点，T 是A 关于x 轴的对称点.当P 与坐标原点O 重合时，△ABT 的面积为8
9.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)当P 异于O 点时，记直线BT 与x 轴交于点Q，求△OPQ 周长的最小值.
思维升华 利用根与系数的关系解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤：
(1)设直线方程，设交点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)；
(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，注意Δ 的判断；
(3)列出根与系数的关系；
(4)将所求问题或题中的关系转化为x1+x2，x1x2(或y1+y2，y1y2)的形式；
(5)代入根与系数的关系求解.
跟踪训练1 (2025·衡阳模拟)已知抛物线C：x2=4y，过点D(0，2)的直线l 交抛物线于A，B 两点，抛物
线在点A 处的切线为l1，在点B 处的切线为l2，直线l1与l2交于点M.
(1)设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2=-2；
(2)设线段AB 的中点为N，求| MN |
| AB| 的取值范围.
题型二 与距离、面积有关的范围(最值)问题
例2 已知P(0，√2)和Q(√2，1)为椭圆C：x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)上的两点.
(1)求椭圆C 的方程和离心率；
(2)设直线l：y=kx+1 与椭圆C 交于A，B 两点，求△AOB 面积的取值范围.
思维升华 强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、
距离、三角形的面积等问题.
跟踪训练2 双曲线C：x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F 作垂直于实轴的直线
交C 于B，D 两点，且△ABD 是直角三角形.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)M，N 是C 右支上的两动点，设直线AM，AN 的斜率分别为k1，k2，若k1k2=-2，求点A 到直线MN 的
距离d 的取值范围.
答案精析
例1 解 (1)当P 与坐标原点O 重合时，可设A(x0，y0)(x0>0)，
则有B(-x0，-y0)，
T(x0，-y0)，
且x0=2y0，AT⊥BT，
则S△ABT=1
2|AT|·|BT|=1
2·2y0·2x0=8
9 ，
即2y0
2=4
9 ，∴y0
2=2
9 ，则x0
2=8
9 ，
则有2
9a
2+ 8
9b
2=1，由离心率为√2
2 ，
即c
a=√2
2 ，
则a2=2c2=b2+c2，∴a2=2b2，
即有1
9b
2+ 8
9b
2=1，解得b2=1，
∴a2=2，
即椭圆C 的方程为y
2
2 +x2=1.
(2)设直线l 的方程为x=2y+t(t≠0)，令x=0，有y=- t
2 ，
即yP=- t
2 ，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则T(x1，-y1)，
联立直线l 与椭圆方程{
x =2 y +t ,
y
2
2 + x
2=1,
消去x 得9y2+8ty+2t2-2=0，
有y1+y2=-8t
9 ，y1y2=2t
2-2
9
，
Δ=64t2-36(2t2-2)>0，
得-3<t<3，
直线BT 的方程为
y= y2+ y1
x2- x1
(x-x2)+y2，
令y=0，xQ=
x1 y2- x2 y2
y1+ y2
+x2
= x1 y2+ x2 y1
y1+ y2
，
由x=2y+t，
得x1 y2+ x2 y1
y1+ y2
=(2 y1+t ) y2+(2 y2+t ) y1
y1+ y2
=4 y1 y2
y1+ y2
+t=
4× 2t
2-2
9
- 8t
9
+t=1
t ，即xQ=1
t ，
则C△OPQ=|yP|+|xQ|+√| y P|
2+| xQ|
2
=|t|
2 + 1
|t|+√
t
2
4 + 1
t
2
≥2√
|t|
2 · 1
|t|
+√
2√
t
2
4 · 1
t
2
=√2+1，
当且仅当t=±√2时等号成立，
故△OPQ 周长的最小值为√2+1.
跟踪训练1 (1)证明 由题意知，直线l 的斜率存在，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l 的方程为y=kx+2，
由{
y =kx +2,
x
2= 4 y , 得x2-4kx-8=0，
Δ=16k2+32>0，
x1+x2=4k，x1x2=-8，
由y=1
4 x2，
得切点A(x1，x1
2
4 )，B(x2，x2
2
4 )，
y'=1
2x，所以切线l1的斜率k1=1
2x1，
切线l2的斜率k2=1
2x2，所以k1k2=1
4 x1x2=1
4 ×(-8)=-2.
(2)解 由(1)可得y1+y2=k(x1+x2)+4=4(k2+1)，
故y1+ y2
2
=2(k2+1)，N(2k，2(k2+1)).
由(1)得l1：y- x1
2
4
= x1
2 (x-x1)，
可化为y=1
2x1x- x1
2
4 ，
①
同理得l2：y=1
2x2x- x2
2
4 ，
②
由①②，得x= x1+ x2
2
=2k，
y= x1 x2
4
=-2，
即M(2k，-2)，
则|MN|=2(k2+1)+2=2(k2+2)，
|AB|=√1+ k
2·|x1-x2|
=√1+k
2·√( x1+ x2)
2- 4 x1 x2
=√k
2+1·√(4 k )
2+32
=4√(k
2+1)(k
2+2)，
所以| MN |
| AB| =1
2√
k
2+2
k
2+1
=1
2√
1+
1
k
2+1
.
由k2≥0，k2+1≥1，得0<
1
k
2+1≤1，
故| MN |
| AB| ∈(
1
2 ，√2
2 ]，
即| MN |
| AB| 的取值范围为(
1
2 ，√2
2 ].
例2 解 (1)因为P(0，√2)和Q(√2，1)为椭圆C：x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)上的两点，
所以{
2
b
2 =1,
2
a
2 + 1
b
2 =1,
解得{
a
2= 4 ,
b
2=2,
又因为a2=b2+c2，所以c2=2.
所以椭圆C 的方程为x
2
4 + y
2
2 =1，
离心率e=c
a=√2
2 .
(2)联立方程
{
y =kx +1,
x
2
4 + y
2
2 =1,
消去y 得(1+2k2)x2+4kx-2=0，
因为Δ=(4k)2-4×(1+2k2)×(-2)=32k2+8>0，
所以设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1+x2=-
4 k
1+2k
2 ，x1x2=-
2
1+2k
2 ，
所以|AB|
=√k
2+1√( x1+ x2)
2- 4 x1 x2
=√k
2+1
1+2k
2 ×√32k
2+8.
又因为点O 到直线l：y=kx+1 的距离为d=
1
√k
2+1
，
所以△AOB 的面积S=1
2×d×|AB|
=1
2 ×
1
√k
2+1
× √k
2+1
1+2k
2 ×√32k
2+8
=√2√4 k
2+1
1+2k
2
=√2√
4 k
2+1
(1+2k
2)
2
=√2√
4 k
2+1
1+ 4 k
2+ 4 k
4 ，
令t=4k2+1(t≥1)，
则S=√2√
4t
t
2+2t +1
=√2
√
4
t + 1
t +2
≤√2
√
4
2√t × 1
t +2
=√2
(当且仅当t = 1
t ，即t =1时，等号成立)，
也就是当k=0 时，△AOB 的面积取最大值√2，
又因为当|k|→+∞时，S→0，
所以△AOB 面积的取值范围是(0，√2].
跟踪训练2 解 (1)依题意，∠BAD=90°，半焦距c=2，
由|AF|=|BF|，得a+c=b
2
a ，
得a2+2a=22-a2，
解得a=1(其中a=-2<0 舍去)，
所以b2=c2-a2=4-1=3，
故双曲线C 的方程为x2- y
2
3 =1.
(2)由(1)知A(-1，0)，显然直线MN 不可能与x 轴平行，故可设直线MN 的方程为x=my+n，
联立{
x =my +n,
3 x
2- y
2=3,
消去x 整理得(3m2-1)y2+6mny+3(n2-1)=0，
在条件{
3m
2-1≠0,
Δ>0
下，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1+y2=- 6mn
3m
2-1
，y1y2=3(n
2-1)
3m
2-1
，
由k1k2=-2，得
y1
x1+1·
y2
x2+1=-2，
即y1y2+2(x1+1)(x2+1)=0，
即y1y2+2(my1+n+1)(my2+n+1)=0，
整理得(2m2+1)y1y2+2m(n+1)(y1+y2)+2(n+1)2=0，
所以3(n2-1)(2m2+1)-12m2n(n+1)+2(n+1)2(3m2-1)=0，
化简得n2-4n-5=0，解得n=5 或n=-1(舍去)，此时Δ>0，
则直线MN 的方程为x-my-5=0，
得d=
6
√m
2+1
，
又M，N 都在双曲线的右支上，
故有y1y2=3(n
2-1)
3m
2-1
=
72
3m
2-1<0，
解得0≤m2<1
3 ，
此时1≤√m
2+1< 2
√3 ，d=
6
√m
2+1∈(3√3，6]，
所以点A 到直线MN 的距离d 的取值范围为(3√3，6].
