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第 07 讲 平面向量奔驰定理与三角形四心问题
（高阶拓展）（核心考点精讲精练）
平面向量问题是高中数学中的一个热点，在高考中考查比重不会很大，一般以选择填空形式出现，难
度一般也会控制在中等，有时也会以压轴题命题。平面向量中有很多重要的应用，比如系数和（等和
线）、极化恒等式、本节我们继续学习另一个重要的结论-奔驰定理。它将三角形的四心与向量完美地融
合到一起，高中的同学们可以将这个内容当成课外拓展知识，同时也是加强对三角形的认识，加深对数学
的理解。
奔驰定理”揭示的是平面向量与三角形面积之间所蕴含的一个优美规律并因其图形与奔驰的 logo相似
而得名“奔驰定理”，会提升解题效率，可强化学习。
知识讲解
1. 奔驰定理
如图，已知P为 内一点，则有 .
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.
2. 奔驰定理的证明如图：延长 与 边相交于点
则
3. 奔驰定理的推论及四心问题
推论 是 内的一点,且 ,则
有此定理可得三角形四心向量式
（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的
距离之比为2：1.
（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.
（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的
内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r.
（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，
它到三角形三个顶点的距离相等.
奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，
有着决定性的基石作用.
已知点 在 内部，有以下四个推论：①若 为 的重心，则 ；
②若 为 的外心，则 ；或
③若 为 的内心，则 ；备注：若 为 的内心，则
也对.
④若 为 的垂心，则 ，或
研究三角形“四心”的向量表示，我们就可以把与三角形“四心”有关的问题转化为向量问题，充分利用
平面向量的相关知识解决三角形的问题，这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用，也很好地体现了数
形结合的数学思想.
考点一、 奔驰定理与四心问题综合
1．（宁夏·高考真题）已知O，N，P在 所在平面内，且 ，且
，则点O，N，P依次是 的
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
A．重心外心垂心 B．重心外心内心
C．外心重心垂心 D．外心重心内心
【答案】C
【详解】试题分析：因为 ，所以 到定点 的距离相等，所以 为 的外心，由
，则 ，取 的中点 ，则 ，所以 ，所
以 是 的重心；由 ，得 ，即 ，所以 ，
同理 ，所以点 为 的垂心，故选C.
考点：向量在几何中的应用.
2．（江苏·高考真题）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足， ，则P的轨迹一定通过 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】根据 是以 为始点，向量 与 为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知
点轨迹，据此可求解.
【详解】 ，
令 ，
则 是以 为始点，向量 与 为邻边的菱形的对角线对应的向量，
即 在 的平分线上，
， 共线，
故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，
故选：B
1．（2023春·上海长宁·高三上海市延安中学校考期末）若 是 内一点， ，则 是
的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【答案】D
【分析】利用向量的加法法则，结合重心定义判断作答.
【详解】取线段 的中点 ，连接 ，则 ，而 ，
因此 ，即 三点共线，线段 是 的中线，且 是靠近中点 的三等分点，
所以 是 的重心.
故选：D2．（2023·江苏·高三专题练习）在 中，若 ，则点H是 的（ ）
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心
【答案】A
【分析】根据向量的运算结合向量垂直分析判断.
【详解】因为 ，则 ，
所以 ，即点H在边 的高线所在直线上，
同理可得： ，
所以点H为 的三条高线的交点，即点H是 的垂心.
故选：A.
3．（2023春·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）已知点 是平面上一定点， 是平面上
不共线的三个点，动点 满足 ， ，则点 的轨迹一定通过 的（
）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】由题设条件得到 ，从而判断出点P在 的平分线上，由此得到点 的轨迹一
定通过 的内心.
【详解】 分别表示 方向的单位向量，
令 ， ，
则 ，即 ，
又 ，以 为一组邻边作一个菱形 ，则点P在该菱形的对角线 上，
所以点P在 ，即 的平分线上，故动点P的轨迹一定通过 的内心.
故选：B.
4．（2023春·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知 是 所在平面内一点，且点满足 则点 一定 的（ ）
A．外心 B．重心 C．内心 D．垂心
【答案】C
【分析】 表示与 的角平分线垂直的向量，因为 与 垂直，所以 平行于
的角平分线，即点 位于 的角平分线上，同理可得，点 位于 的角平分线上以及
的角平分线上，即点 是 的角平分线的交点，因此点 是 的内心.
【详解】因为 ，所以 ，
即 ，
即可得 ，即 是 的角平分线；
同理可得 是 的角平分线， 是 的角平分线,
所以点 为 三条角平分线的交点，即点 是 的内心.
故选：C
考点 二 、 奔驰定理与其他问题综合
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 是 内的一点，若 的面积分别记为 ，
则 .这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 很相似，故形象地称其为“奔驰
定理”.如图，已知 是 的垂心，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，利用同底的两个三角形面积比推得
即可求解作答.
【详解】 是 的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，
则 ， ，
因此， ，同理 ，
于是得 ，
又 ，即 ，由“奔驰定理”有 ，
则 ，而 与 不共线，有 ， ，即 ，
所以 .
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）奔驰定理：已知点O是 内的一点，若 的面积分
别记为 ，则 ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为
这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是
的垂心，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长 交 于点P，则利用垂心的性质结合三角形面积的求法可得
，再利用 和 可得，不妨设 ，利用
可求出 的值，从而可求出 的值.
【详解】延长 交 于点P，
是 的垂心， ，
．
同理可得 ， ．
又 ，
．
又 ，
．
不妨设 ，其中 ．
，
，解得 ．
当 时，此时 ，则A，B，C都是钝角，不合题意，舍掉．
故 ，则 ，故C为锐角，
∴ ，解得 ，
故选：B．
【点睛】关键点点睛：此题考查向量的线性运算，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是利用
垂心的性质得 ，再结合已知条件得 ，设
，再利用两角和的正切公式可得 ，从而可求得结果，考查计算能力和转化
思想，属于较难题.3．（2023春·湖南株洲·高三炎陵县第一中学校联考期末）（多选）如图. 为 内任意一点，角
的对边分别为 ，总有优美等式 成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，
故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（ ）
A．若 是 的重心，则有
B．若 成立，则 是 的内心
C．若 ，则
D．若 是 的外心， ， ，则
【答案】AB
【分析】对于A：利用重心的性质 ，代入 即可；
对于B：利用三角形的面积公式结合 与 可知点 到
的距离相等.
对于C：利用 将 表示出来，代入 ，化简即可表示出
的关系式，用 将 表示出来即可得处其比值.
对于D：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将 两边平方，化简可得 ，结
合 的取值范围可得出答案.
【详解】对于A：如图所示：因为 分别为 的中点，
所以 ， ，
同理可得 、 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 .正确；对于B：记点 到 的距离分别为 ， ，
因为 ，
则 ，
即 ，
又因为 ，所以 ，所以点 是 的内心，正确；
对于C：因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
化简得： ，
又因为 不共线，
所以 ，所以 ，
所以 ，错误；
对于D：因为 是 的外心， ，所以 , ，
所以 ，
因为 ，则 ，
化简得： ，由题意知 同时为负，
记 ， ，则 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，错误.
故答案为：AB.
1．（2023·全国·高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图
形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是
内的一点， 的面积分别为 ，则有 ．设O是
锐角 内的一点， 分别是 的三个内角，以下命题不正确的有（ ）
A．若 ，则O为 的重心
B．若 ，则
C．若 ， ，则
D．若O为 的垂心，则
【答案】C
【分析】对于A，假设 为 的中点，连接 ，由已知得 在中线 上，同理可得 在其它中线上，
即可判断；对于选项B，利用奔驰定理可直接得出B正确；对于C，根据奔驰定理可得 ，
再利用三角形面积公式可求得 ，即可计算出 ，可得C错误；选项D，由垂心的性质、向量
数量积的运算律 ，得到 ，结
合三角形面积公式及角的互补关系得结论.
【详解】对于A：如下图所示，假设 为 的中点，连接 ，则 ，故 共线，即 在中线 上，
同理可得 在另外两边 的中线上，故O为 的重心，即A正确；
对于B：
由奔驰定理O是 内的一点， 的面积分别为 ，
则有 可知，
若 ，可得 ，即B正确；
对于C：
由 可知， ，
又 ，所以
由 可得， ；
所以 ，即C错误；
对于D：由四边形内角和可知， ，则 ，
同理， ，
因为O为 的垂心，则 ，
所以 ，同理得 ，
，
则 ，
令 ，
由 ，则 ，
同理： ，
，综上， ，
根据奔驰定理得 ，即D正确.
故选：C
【点睛】关键点点睛：利用向量数量积定义、运算律和垂心性质得到向量模的比例，结合三角形面积公式
和奔驰定理判断结论即可.
2．（2023·全国·高三专题练习）奔驰定理：已知 是 内的一点，若 、 、 的面积
分别记为 、 、 ，则 ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，
这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知 是
的垂心，且 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由O是垂心，可得 ，结合 可得
，根据三角形内角和为π，结合正切的和差角公式即可求解.
【详解】∵ 是 的垂心，延长 交 与点 ，
∴
，
同理可得 ，∴ ： ，
又 ，
∴ ，
又 ，∴ ，
不妨设 ，其中 ，
∵ ，
∴ ，解得 或 ，
当 时，此时 ，则 都是钝角，则 ，矛盾.
故 ，则 ，∴ 是锐角， ，
于是 ，解得 .
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理
对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知
是 内一点， 、 、 的面积分别为 、 、 ，则 .
设 是锐角 内的一点， 、 、 分别是 的三个内角，以下命题正确的有
（ ）
A．若 ，则
B． ， ， ，则
C．若 为 的内心， ，则
D．若 为 的重心，则
【答案】ACD
【分析】利用“奔驰定理”可判断A选项；求出 ，结合“奔驰定理”可判断B选项；利用“奔驰定理”
可得出 的值，结合勾股定理可判断C选项；利用重心的几何性质结合“奔驰定理”可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为 ，由“奔驰定理”可知 ，A对；对于B选项，由 ， ，可知 ，
又 ，所以 ，
由 可得， ， ，
所以 ，B错；
对于C选项，若 为 的内心， ，则 ，
又 （ 为 内切圆半径），
所以， ，故 ，C对；
对于D选项，如下图所示，
因为 为 的重心，延长 交 于点 ，则 为 的中点，
所以， ， ，且 ， ，
所以， ，由“奔驰定理”可得 ，D对.
故选：ACD.
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·贵州安顺·统考模拟预测）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P
满足 ，则点P的轨迹一定经过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】C
【分析】根据 是以 为始点，向量 与 为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解.
【详解】因为 为 方向上的单位向量， 为 方向上的单位向量，
则 的方向与 的角平分线一致，
由 ，可得 ，
即 ，
所以点P的轨迹为 的角平分线所在直线，
故点P的轨迹一定经过 的内心.
故选：C.
2．（2022·高三课时练习）已知点 是 所在平面上的一点， 的三边为 ，若
，则点 是 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】在 ， 上分别取点 ， ，使得 ， ，以 ， 为邻边作平行四边形
，即可得到四边形 是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到 ， ， 三点共
线，即可得到 在 的平分线上，同理说明可得 在其它两角的平分线上，即可判断.
【详解】在 ， 上分别取点 ， ，使得 ， ，则 ．
以 ， 为邻边作平行四边形 ，如图，
则四边形 是菱形，且 ．
为 的平分线．，
即 ，
．
， ， 三点共线，即 在 的平分线上．
同理可得 在其它两角的平分线上，
是 的内心．
故选：B．
3．（2023春·河南濮阳·高三统考期末）点 为 所在平面内的点，且有
， ，
，则点 分别为 的（ ）
A．垂心，重心，外心 B．垂心，重心，内心
C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心
【答案】A
【分析】由题中向量的关系，根据数量积转化为位置上的关系，进而可判断.
【详解】由 ，得 ，
即 ，
则 ，
得
所以 ，则 ，同理可得 ， ，
即 是 三边上高的交点，则 为 的垂心；
由 ，得 ，
设 的中点为 ，则 ，即 ， ， 三点共线，
所以 在 的中线 上，同理可得 在 的其余两边的中线上，
即 是 三边中线的交点，故 为 的重心；
由 ，得 ，即 ，
又 是 的中点，所以 在 的垂直平分线上，
同理可得， 在 ， 的垂直平分线上，
即 是 三边垂直平分线的交点，故 是 的外心，
故选：A4．（2023春·四川成都·高三树德中学校考期末）已知点 ， ， 在 所在平面内，且
， ， ，则点 ， ， 依次是 的
（ ）
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
【答案】A
【分析】根据向量的运算逐个分析判断即可
【详解】由 ，得 ，
所以 ，设 的中点为 ，连接 ，则 ，
所以 ，所以点 在 边上的中线上，同理可得 也在 的中线上，
所以点 是 的重心，
由 ，得 ，所以 到 的三个顶点的距离相等，所以 为 的外
心，
由 ，得 ，所以 ，
所以 ，所以 ，同理得 ，所以 为 的垂心，
故选：A
5．（2023春·天津·高三天津市第四十七中学校联考期末）已知三个不共线的向量 满足
，则 为 的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【分析】根据题意和向量加法的平行四边形法则作出几何图形，得到四边形 是菱形，根据菱形性质
可得 在 的角平分线上，从而可得出 为内心．
【详解】如图所示，在 上取点 ，在 延长线上取点 ，使得 ，可得 ，以 为邻边作平行四边形 ，
则 ,
因为 ，所以平行四边形 是菱形，所以 ，
过点 作 的平行线 交 于点 ，
因为 ，即 ，所以 ，所以点 在 上，
因为 ，所以 ，
由菱形的性质可得 ，所以 ，
所以 为 的角平分线，所以 在 的角平分线上，
同理可得： 在 的角平分线上，故 在 的角平分线上，
所以 为 的内心.
故选：A.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， 在所在 的平面内，且
，且 ，则 ， ， 分别是 的（ ）
A．重心 外心 垂心 B．重心 外心 内心
C．外心 重心 垂心 D．外心 重心 内心
【答案】C
【分析】根据三角形外心、重心和垂心的定义，结合向量的模、向量的运算、数量积及运算律判断即可.
【详解】因为 ，所以O到顶点 ， ， 的距离相等，
所以 为 的外心；
由 得 ，即 ，所以 ，
同理可证 ，所以 为 的垂心；
若 ，则 ，取 的中点 ，
则 ，所以 ，所以 是 的重心.故选： .
二、多选题
7．（2023春·湖北武汉·高三校联考阶段练习）已知 ， 在 所在的平面内，且满足
， ，则下列结论正确的是（ ）
A． 为 的外心
B． 为 的垂心
C． 为 的内心
D． 为 的重心
【答案】BD
【分析】由平面向量数量积的运算，线性运算及三角形五心的性质即可判断出答案．
【详解】由题意 ，
所以 ，
即 ＝0，所以 ，
同理可得： ， ，
所以M为 的垂心；A错误,B正确；
因为 所以 ，
所以 ，
设AB的中点D，则 ，
所以 ，
所以C，N，D三点共线，即N为 的中线CD上的点，且 ，
所以N为 的重心,C错误,D正确.
故选:BD.
8．（2023春·河北石家庄·高三校考阶段练习）设 为 所在平面上一点，内角 ， ， 所对的边分
别是 ， ， ，则正确的是（ ）
A． 为 的外心
B． 为 的重心
C． 为 的垂心D． 为 的内心
【答案】BCD
【分析】由三角形四心的定义，利用向量共线定理、向量垂直的几何意义和平面几何的知识，即可得出结
果.
【详解】对于A：当 为三角形的外心，取 的中点 ， ，则 ， ，即
，
反之，若 ，取 的中点 ，则 ，即 ，
即 ，只能得到 在 的垂直平分线上，不能得到 为三角形的外心，故A错误；
对于B：当 为三角形的重心， 为中线的交点，延长 交 于点 ，
可得 ，所以 ， .
反之，取 的中点 ，若 ，则 ，
则可得 ， ， 三点共线且 ，即 为三角形的重心，故B正确；
对于C：当 为三角形的垂心， ，
同理可证 ，即 ，反之也成立，故C正确；
对于D：当 为三角形的内心， 为三角形的角平分线，则 ， ，
如图过A作CF的平行线交BE的延长线于点N，过A作BE的平行线交CF于点M，
则四边形 为平行四边形，，
所以 ，反之也成立，故D正确；
故选：BCD
9．（2023春·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是
平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．
它的具体内容是：已知M是 内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，且
．以下命题正确的有（ ）
A．若 ，则 为 的重心
B．若 为 的内心，则
C．若 ， ， 为 的外心，则
D．若 为 的垂心， ，则
【答案】ABD
【分析】对A，取BC的中点D，连接MD，AM，结合奔驰定理可得到 ，进而即可判断A；
对B，设内切圆半径为 ，从而可用 表示出 ， ， ，再结合奔驰定理即可判断B；
对C，设 的外接圆半径为 ，根据圆的性质结合题意可得 ， ，
，从而可用 表示出 ， ， ，进而即可判断C；
对D，延长AM交BC于点D，延长BO交AC于点F，延长CO交AB于点E，根据题意结合奔驰定理可得
到 ， ，从而可设 ， ，则 ， ，代入即可求解 ，
进而即可判断D．【详解】对于A，取BC的中点D，连接MD，AM，
由 ，则 ，
所以 ，
所以A，M，D三点共线，且 ，
设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得 ， ，
所以 为 的重心，故A正确；
对于B，由 为 的内心，则可设内切圆半径为 ，
则有 ， ， ，
所以 ，
即 ，故B正确；
对于C，由 为 的外心，则可设 的外接圆半径为 ，
又 ， ，
则有 ， ， ，
所以 ，
，
，
所以 ，故C错误；对于D，如图，延长AM交BC于点D，延长BM交AC于点F，延长CM交AB于点E，
由 为 的垂心， ，则 ，
又 ，则 ， ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，故D正确；
故选：ABD．
【点睛】关键点点睛：解答D选项的关键是通过做辅助线（延长AM交BC于点D，延长BO交AC于点
F，延长CO交AB于点E），根据题意，结合奔驰定理得到 ， ，再设 ， ，
得到 ， ，进而即可求解 ．
10．（2023春·江苏盐城·高三江苏省射阳中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的
结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定
理”.奔驰定理：已知 是 内一点， ， ， 的面积分别为 ，则
， 是 内的一点，∠ ，∠ ，∠ 分别是 的三个内角，
以下命题正确的有（ ）A．若 ，则
B．若 ， ，且 ，则
C．若 ，则 为 的垂心
D．若 为 的内心，且 ，则
【答案】BCD
【分析】根据题意得到 ，A错误，计算 ，根据比例关系得到B正确，确定
得到C正确，根据面积公式得到 ，得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A： ，则 ，错误；
对选项B： ， ，
故 ， ，正确；
对选项C： ，即 ，故 ，
同理可得 ， ，故 为 的垂心，正确；
对选项D： ，故 ，设内接圆半径为 ，
， ， ，即 ，
即 ， ，正确.
故选：BCD
11．（2023春·安徽·高三安徽省宿松中学校联考期中）如图， 为 内任意一点，角 的对边分
别为 ，则总有优美等式 成立，此结论称为三角形中的奔驰定理．
由此判断以下命题中正确的有（ ）A．若 是等边三角形， 为 内任意一点，且点 到三边 的距离分别是 ，
则有
B．若 为 内一点，且 ，则 是 的内心
C．若 为 内一点，且 ，则
D．若 的垂心 在 内， 是 的三条高，则
【答案】ACD
【分析】若 是等边三角形，设其高为 ，用 和 表示出 ，代入奔驰定理，
化简即可判断A；由 及奔驰定理，根据平面向量基本定理即可得出 ，
即可判断B；由 得出 ，结合奔驰定理，根据平面向量基本定理得出
，即可判断C；点 是 的垂心，得出 ， ，
，代入奔驰定理即可判断D．
【详解】因为 为 内任意一点，所以 两两不共线；
对A： 是等边三角形，设其高为 ，
则 ， ， ，
代入奔驰定理得， ，
即 ，故A正确；
对B：由 且 ，根据平面向量基本定理得
，则 是 的重心，故B不正确；
对C： ，即 ，
又 ，由平面向量基本定理得 ，故C正确；
对D：由点 是 的垂心，则 ，
所以 ，同理可得， ， ，
代入 ，
得 ，
即 ，故D正确；
故选：ACD．
12．（2023春·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，
是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．
它的具体内容是：已知M是 内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，且
．以下命题正确的有（ ）
A．若 ，则 为 的重心
B．若 为 的内心，则
C．若 ， ， 为 的外心，则
D．若 为 的垂心， ，则
【答案】ABD
【分析】对A，取BC的中点D，连接MD，AM，结合奔驰定理可得到 ，进而即可判断A；
对B，设内切圆半径为 ，从而可用 表示出 ， ， ，再结合奔驰定理即可判断B；
对C，设 的外接圆半径为 ，根据圆的性质结合题意可得 ， ，
，从而可用 表示出 ， ， ，进而即可判断C；
对D，延长AM交BC于点D，延长BO交AC于点F，延长CO交AB于点E，根据题意结合奔驰定理可得
到 ， ，从而可设 ， ，则 ， ，代入即可求解 ，进而即可判断D．
【详解】对于A，取BC的中点D，连接MD，AM，
由 ，则 ，
所以 ，
所以A，M，D三点共线，且 ，
设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得 ， ，
所以 为 的重心，故A正确；
对于B，由 为 的内心，则可设内切圆半径为 ，
则有 ， ， ，
所以 ，
即 ，故B正确；
对于C，由 为 的外心，则可设 的外接圆半径为 ，
又 ， ，
则有 ， ， ，
所以 ，
，
，
所以 ，故C错误；对于D，如图，延长AM交BC于点D，延长BM交AC于点F，延长CM交AB于点E，
由 为 的垂心， ，则 ，
又 ，则 ， ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，故D正确；
故选：ABD．
【点睛】关键点点睛：解答D选项的关键是通过做辅助线（延长AM交BC于点D，延长BO交AC于点
F，延长CO交AB于点E），根据题意，结合奔驰定理得到 ， ，再设 ， ，
得到 ， ，进而即可求解 ．
13．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期末）平面向量中有一个优美的结论，有趣的是，这个结论
对应的图形与“奔驰”轿车的logo非常相似，该结论如下：如图，已知 是 内部一点，将 ，
， 的面积分别记为 ， ， ，则 .根据上述结论，下列命题中
正确的有（ ）A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 为 的内心，且 ，则
D．若 为 的垂心，则
【答案】BCD
【分析】对于A，由奔驰定理即可直接判断；
对于B，结合平面向量的线性运算可得 ，进而由奔驰定理即可直接判断；
对于C，由奔驰定理可得 ，设 的内切圆半径为 ，结合面积公式可得
，进而结合勾股定理即可求解；
对于D，结合 为 的垂心，可得 ， ，
，进而根据平面向量数量积的定义可得
，进而求解即可.
【详解】对于A，由奔驰定理可得 ，故A错误；
对于B，由 ，即 ，
整理得 ，由奔驰定理可得 ，故B正确；
对于C，由 ，可得 ，
设 的内切圆半径为 ，
则 ， ， ，
所以 ，即 ,
所以 ，即 ，故C正确；
对于D， ， ， ，
因为 为 的垂心，
所以 ， ， ，
又 ，
，
,所以 ，即 ，
同理可得 ，
所以 ，
所以 ，
由奔驰定理可知D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题关键在于理解题意，由 得到 ，进而
结合平面向量的数量积及线性运算求解即可.
14．（2023·全国·高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的
图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知O是
内的一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，则 .若
O是锐角 内的一点，A，B，C是 的三个内角，且点O满足 .则
（ ）
A．O为 的外心 B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】由 确定出点O是三角形的垂心，判断A；利用直角三角形角的关系、
边角关系计算判断B，C；由直角三角形边角关系计算判断D作答.
【详解】依题意， ，
同理OA⊥CB，OC⊥AB，则O为 的垂心，A错误；
如图，直线 分别交AB，AC于P，Q，由选项A知， ，， ，则 ，
又 ，即有 ，又 ，
因此 ，B正确；
由选项B知， ，同理 ，
，
同理可得 ，因此 ，C正确；
，
同理可得 ，所以 ，D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点睛：涉及直角三角形锐角的三角函数，合理利用直角三角形中边的比表示是解题的关键.
15．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考期末）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因
为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已
知O是 内的一点， ， ， 的面积分别为 、 、 ，则有
，设O是锐角 内的一点， ， ， 分别是 的三个
内角，以下命题正确的是（ ）．
A．若 ，则O为 的重心
B．若 ，则
C．若O为 （不为直角三角形）的垂心，则
D．若 ， ， ，则
【答案】ABC
【分析】根据向量的线性运算结合三角形重心判断A；结合“奔驰定理”即可判断B；根据三角形垂心性
质，推出 ，结合“奔驰定理”判断C；求出 ，结
合“奔驰定理”可得 ，从而求得 ，判断D.【详解】对于A，设 的中点为D，则 ，
即 三点共线，则 ，
设 为 的中点，同理可得 ，
故O为 的重心，A正确；
对于B，若 ，结合 ，
可知 ，B正确；
对于C， ， ，
，
又O为 （不为直角三角形）的垂心，设 延长后交 与G，则 ,
同理 ，则 ，
即 ，
同理 ，
故 ，同理 ，
又 ，
，
又O为 （不为直角三角形）的垂心，
则 ，
故 ，即 ，同理 ，
则
，
同理 ，
故
，
又 ，可得 ，C正确；
对于D， 中， ， ，则 ，
又 ，故 ，
则 ，
故 ，D错误，
故选：ABC
【点睛】关键点睛：本题题意比较新颖，综合考查了向量知识的应用，解答的关键是能灵活应用向量知识，
比如三角形“心”的向量表示，结合“奔驰定理”进行解答.
16．（2023·全国·高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的
图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O
是 内的一点， 的面积分别为 ，则有 ．设O
是锐角 内的一点， 分别是 的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若 ，则O为 的重心
B．若 ，则
C．若 ， ，则
D．若O为 的垂心，则【答案】ABD
【分析】A若 为 的中点，连接 ，由已知得 在中线 上，同理可得 在其它中线上，即可判断；
B、C将三角形补成一个以O为重心的三角形，根据向量的线性关系求出相关三角形面积的数量关系，即可
得结论；D由垂心的性质、向量数量积的运算律 ，得到
，结合三角形面积公式及角的互补关系得结论.
【详解】A：若 为 的中点，连接 ，则 ，故 共线，即 在中线 上，
同理可得 在其它两中线上，故O为 的重心，正确；
B：若 ，由题设知 ，即O为 的重心，
所以 ， ， ， ，
则 ，正确；
C：由题设 ，若 ，
所以 ，即O为 的重心，则 ，
而 ，则 ，故 ， ，
所以 ，错误；D：由 ，则 ，
同理， ，
因为O为 的垂心，则 ，
所以 ，
同理得： ， ，
则 ，
令 ，
由 ，则 ，
同理： ，
，
综上， ，
由已知可得 ，正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：利用三角形重心的性质判断A、B、C，应用向量数量积定义、运算律和垂心性质得
到向量模的比例，结合三角形面积公式判断结论.
三、填空题
17．（2023·全国·高三专题练习）已知点A，B，C，P在同一平面内， ， ，
，则 等于_______
A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6
【答案】19:4
【分析】先根据向量的线性运算得到 ，然后再利用奔驰定理即可求解.
【详解】由 可得： ,整理可得： ，
由 可得 ，整理可得： ，
所以 ，整理得： ，
由奔驰定理可得：
18．（2021·全国·高三专题练习）已知O，N，P在 所在平面内，且 ，
，且 ，则点O，N，P依次是 的 （填
三角形的四心）
【答案】外心、重心、垂心
【分析】由 结合外接圆的性质得出O是 外接圆的圆心，取 中点 ，利用向量运
算确定 为 三边中线的交点，从而判断 为重心，由 得出 ，即
，再由 判断 是三角形的垂心.
【详解】由题： ，所以O是 外接圆的圆心
取 中点 ， ， ，即 所在直线经过 中点 ，与中线共
线，同理可得 分别与 边的中线共线，即N是三角形三条中线交点，即重心
， ， ，
即 ，同理可得 ，即P是三角形的垂心.
故答案为：外心、重心、垂心
【点睛】方法点睛：1、 是 的重心 ；2、 是 的外心
；3、 是 的垂心
19．（2023·全国·高三专题练习）已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满
足 ， ，则P的轨迹一定经过 的 ．(从“重
心”，“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写）
【答案】外心【分析】 为 中点，连接 ，计算 ， ，得到
，得到答案.
【详解】如图所示： 为 中点，连接 ，
，
，故 ，
即 ，故 的轨迹一定经过 的外心.
故答案为：外心
20．（2023·全国·高三专题练习） 年，戴姆勒公司申请登记了“三叉星”做为奔驰轿车的标志，象征
着陆上，水上和空中的机械化，而此圆环中的星形标志演变成今天的图案，沿用至今，并成为世界十大著
名的商标之一（图一）.已知 为 内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，则
有 ，我们称之为“奔驰定理”（图二）.已知 的内角 的对边分别为
，且 ， 为 内的一点且为内心.若 ，则 的最大值为 .
【答案】 / .
【分析】根据内心特点可知 ，利用向量线性运算进行转化可求得 ，，则 ；利用余弦定理和基本不等式可求得 ，由此可得 的最大值.
【详解】 为 的内心， ， ，
，
， ，
即 ， ， ；
（当且仅当
时取等号），
， ， （当且仅当 时取等号），
的最大值为 .
故答案为： .
