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专题01 利用导函数研究函数的切线问题
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................3
题型一：在型求切线方程.................................3
题型二：过型求切线方程.................................3
题型三：已知切线斜率求参数.............................3
题型四：确定过一点可以做切线条数.......................4
题型五：已知切线条数求参数.............................4
题型六：距离问题转化为相切问题.........................5
题型七：公切线问题.....................................5
三、专项训练...........................................6
一、必备秘籍
1、切线的斜率：函数
在点
处的导数的几何意义，就是曲线
在点
处的切线的斜率
，即
.
2、曲线的切线问题（基础题）
（1）在型求切线方程
已知：函数f ( x)的解析式.计算：函数f ( x)在x=x0或者(x0,f (x0))处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标f ( x0)（方法：把x=x0 代入原函数f ( x)中），切点
(x0,f (x0)).
1
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第二步：计算切线斜率
.
第三步：计算切线方程.切线过切点(x0,f (x0))，切线斜率k=f '( x0)。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：y−f ( x0)=f '( x0)( x−x0).
（2）过型求切线方程
已知：函数f ( x)的解析式.计算：过点
（无论该点是否在
上）的切线方
程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率
；计算切线斜率
；
第三步：令：
，解出
，代入
求斜率
第四步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：
.
3、已知f ( x)，过点
，可作曲线的
（
）条切线问题
第一步：设切点
第二步：计算切线斜率
；
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：
.
第四步：将
代入切线方程，得：
，整理成关于
得分方程；
第五步：题意已知能作几条切线，关于
的方程就有几个实数解；
4、已知f ( x)和
存在
（
）条公切线问题
第一步
设f ( x)的切点
设
的切点
求公切线的斜率
写出并整理切线
整理得：
整理得：
联立已知条件
消去
得到关于
的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交
点个数；
消去
得到关于
的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点
2
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个数；
二、典型题型
题型一：在型求切线方程
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数
（
是
的导函数），
则曲线
在
处的切线方程为 ．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）曲线
在
处的切线的斜率为 .
3．（2024·全国·模拟预测）曲线
在
处的切线方程为 ．
4．（2024·上海闵行·二模）函数
在
处的切线方程为 .
题型二：过型求切线方程
1．（23-24 高三上·江苏徐州·阶段练习）过点
作曲线
的切线，则切
线的条数为 ．
2．（2024·云南·模拟预测）曲线
过坐标原点的切线方程为 .
3．（2024·浙江绍兴·模拟预测）过点
作曲线
的切线，写出一条切线方程：
.
4．（23-24 高三下·山东德州·开学考试）过点
与曲线
相切的直线与
轴的交点坐标为 .
题型三：已知切线斜率求参数
1．（2024·全国·模拟预测）若直线
与曲线
相切，则
的最
小值为（ ）
3
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A．
B．－2
C．－1
D．0
2．（23-24 高二下·广东东莞·阶段练习）直线
与曲线
相切，则实数
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
3．（2024·湖南娄底·一模）若直线
是指数函数
且
图象的
一条切线，则底数
（ ）
A．2 或
B．
C．
D．或
4．（23-24 高二下·重庆·阶段练习）若直线
是曲线
的一条切线，则实数
．（
…为自然对数的底数．）
题型四：确定过一点可以做切线条数
1．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线
的切线，则切线共有
（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数
，过点
可作曲线
的切线
条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3（多选）（23-24 高三上·湖北·期末）设
，点
是直线
上
的任意一点，过点
作函数
图象的切线，可能作（ ）
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．3 条
题型五：已知切线条数求参数
1．（23-24 高二下·福建福州·期中）若曲线
有且仅有一条过坐标原点的切线，则
正数a 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）若过点
可以作三条直线与曲线
相切，则
的取值范围是（ ）
4
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A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高二下·辽宁·阶段练习）过点
可作曲线
的三条不同的切
线，实数
的取值范围为 .
4．（23-24 高二下·陕西咸阳·阶段练习）若曲线
有且仅有两条过点
的切线，
则实数a 的值为 .
题型六：距离问题转化为相切问题
1．（23-24 高二下·山东枣庄·阶段练习）点
是曲线
上任意一点，则点
到直线
的距离的最小值是（ ）
A．1
B．
C．2
D．
2．（23-24 高二下·四川成都·阶段练习）函数
图象上的点到直线
的距离的
最小值是（ ）
A．
B．
C．1
D．
3．（23-24 高二下·四川达州·阶段练习）若点P 是曲线
上任意一点，则点P
到直线
的最小距离为（ ）
A．1
B．
C．
D．
4．（2024·山东·一模）已知A，B 分别为直线
和曲线
上的点，则
的
最小值为 ．
题型七：公切线问题
1．（23-24 高二下·吉林长春·阶段练习）已知直线
是曲线
与
曲线
的公切线，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
2．（23-24 高二下·河南·阶段练习）过原点的直线与曲线
都相切，则实
数
（ ）
5
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A．
B．
C．
D．
3．（2024·辽宁·二模）已知函数
的图象与函数
且
的图象在公共点
处有相同的切线，则
，切线方程为 .
4．（23-24 高二下·四川广安·阶段练习）已知直线
既是曲线
的切线，也是
曲线
的切线，则
.
三、专项训练
1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知曲线
在
处的切线与直线
垂直，则
（ ）
A．3
B．
C．7
D．
2．（23-24 高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则a 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高二下·黑龙江大兴安岭地·阶段练习）曲线
，在点
处的切
线斜率为（ ）
A．0
B．
C．1
D．
4．（2024·河北邯郸·二模）设函数
的图像与
轴相交于点
，则该曲线在
点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高二下·浙江·期中）函数
在点
处的切线方程（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（23-24 高二下·安徽六安·阶段练习）已知直线
与曲线
相切
于点
，则
（ ）
A．-3
B．-1
C．5
D．6
6
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7．（2024·江苏泰州·模拟预测）曲线
上的点到直线
距离的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024 高三·全国·专题练习）曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．y＝x＋3
B．y＝4x－3
C．y＝2x＋1
D．y＝x－3
9．（2024·河南信阳·模拟预测）若直线
与曲线
相切，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（多选）（23-24 高二下·安徽六安·阶段练习）若点
是曲线
上任意一点，
点
是直线
上任意一点，下列选项中，
的可能取值有（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2024·湖北·模拟预测）写出函数
的一条斜率为正的切线方程：
．
12．（23-24 高二下·广西桂林·阶段练习）已知函数
，若第一象限内的点
在
曲线
上，则
到直线
的距离的最小值为 .
13．（23-24 高二下·河南三门峡·阶段练习）若直线
是曲线
的切线，
也是曲线
的切线，则
.
14．（2024·全国·模拟预测）曲线
与
的公切线方程为 .
7
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8
