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专题01 圆锥曲线中的轨迹方程问题(典型题型归类训练)
一、必备秘籍
1、曲线方程的定义
一般地，如果曲线
与方程
之间有以下两个关系：
①曲线
上的点的坐标都是方程
的解；
②以方程
的解为坐标的点都是曲线
上的点．
此时，把方程
叫做曲线
的方程，曲线
叫做方程
的曲线．
2、求曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为
；
（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；
（4）用坐标
y
x、表示这个等式，并化简；
（5）确定化简后的式子中点的范围．
上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．
3、求轨迹方程的方法：
3.1 定义法：
如果动点
的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨
迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
3.2 直接法：
如果动点
的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点
满足的等量关系易于建立，
则可以先表示出点
所满足的几何上的等量关系，再用点
的坐标
表示该等量关系式，即可得到轨
迹方程。
3.3 代入法（相关点法）：
如果动点
的运动是由另外某一点
的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲
线方程），则可以设出
，用
表示出相关点
的坐标，然后把
的坐标代入已知曲线方程，
即可得到动点
的轨迹方程。
3.4 点差法：
圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点
的坐标
代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得
，
，
，
等关系式，由于
弦
的中点
的坐标满足
，
且直线
的斜率为
，由此可求得弦
中点的轨迹方程.
二、典型题型
1
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题型一：定义法求轨迹方程
1．（2023 上·高二课时练习）分别写出满足下列条件的动点
的轨迹方程：
(1)点
到点
、
的距离之和为10；
(2)点
到点
、
的距离之和为12；
(3)点
到点
、
的距离之和为8．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据椭圆的定义可求出结果；
（2）根据椭圆的定义可求出结果；
（2）
可知动点
的轨迹是线段
.
【详解】（1）因为
，
所以动点
的轨迹是焦点在
轴上的椭圆，
这里
，
，即
，
，
所以
，
所以动点
的轨迹方程为
.
（2）因为
，
所以动点
的轨迹是焦点在
轴上的椭圆，
这里
，
，即
，
，
所以
，
所以动点
的轨迹方程为
.
（3）因为
，
所以动点
的轨迹是线段
，其方程为
.
2．（2022 上·高二课时练习）求下列动圆的圆心
的轨迹方程：
(1)与圆
和圆
都内切；
(2)与圆
内切，且与圆
外切；
(3)在
中，
，
，直线
，
的斜率之积为
，求顶点
的轨迹方程.
2
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【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）依题意可得
，根据双曲线的定义可知圆心
的轨迹是以点
、
分别为上、下焦点的双曲线的下支，即可求出其轨迹方程；
（2）依题意可得
，根据双曲线的定义可知圆心
的轨迹是以点
、
分别为左、
右焦点的双曲线的左支，即可求出其轨迹方程；
（3）设
根据斜率公式得到方程，整理可得.
【详解】（1）圆
的圆心为
，半径为
，
圆
的圆心为
，半径为
，
因为
，则圆
与圆
外离，
设圆
的半径为
，由题意可得
，所以
，
所以圆心
的轨迹是以点
、
分别为上、下焦点的双曲线的下支，
设圆心
的轨迹方程为
，
由题意可得
，则
，
，
因此圆心
的轨迹方程为
.
（2）圆
的圆心为
，半径为
，
3
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圆
的圆心为
，半径为
，
因为
，则圆
与圆
外离，
设圆
的半径为
，由题意可得
，所以
，
所以圆心
的轨迹是以点
、
分别为左、右焦点的双曲线的左支，
设圆心
的轨迹方程为
，
由题意可得
，则
，
，
因此圆心
的轨迹方程为
.
（3）设
，则
，
，
根据题意有
，
化简得
∴顶点
的轨迹方程为
.
3．（2023·全国·高三专题练习）在直角坐标系
中，点
到
轴的距离等于点
到点
的距离，记
动点
的轨迹为
，求
的方程.
【答案】
4
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【分析】设
，根据题意列出方程
，化简即可.
【详解】设
，则
，所以
，化简得
，
故
的方程为
.
题型二：直接法
1．（2024·全国·高三专题练习）已知点
与点
，
是动点，且直线
与
的斜率之积等于
求动点
的轨迹方程;
【答案】
【分析】设点
的坐标为
，进而利用
得到动点
的轨迹方程.
【详解】设点
的坐标为
，
因为
，
所以
，化简得
.
故动点
的轨迹方程为
.
2．（2024·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，点
的坐标分别为
，
，点
为
坐标系内一点，若直线
与直线
的斜率的乘积为
．
(1)求点
的轨迹方程；
(2)说明点
的轨迹是何种几何图形．
【答案】(1)
(2)点
的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，且不包括与x 轴的交点
【分析】（1）根据题意结合斜率公式运算求解，注意
；
（2）根据（1）中结果，结合椭圆方程分析说明.
【详解】（1）由题意可知：直线
与直线
的斜率分别为
，
则
，整理得
，
5
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所以点
的轨迹方程为
.
（2）由（1）可知：点
的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，且不包括与x 轴的交点.
3．（2024 上·广东广州·高二统考期末）已知两个定点
，
，动点
满足直线
与直线
的斜率之积为定值
（
）.
(1)求动点
的轨迹方程，并说明随
变化时，方程所表示的曲线
的形状；
【答案】(1)答案见解析.
【分析】（1）由斜率之积表示出轨迹方程，再对m 分类讨论确定曲线的类型即可.
【详解】（1）设动点
，依题意有
，
整理，得
，
∴动点M 的轨迹方程为：
,
时，轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，
时，轨迹是圆，
时，轨迹是焦点在y 轴上的椭圆，
且点
不在曲线上．
题型三：代入法（相关点法）
1．（2024·全国·高二专题练习）如图，已知点
的坐标为
，
是以点
为圆心的单位圆上的动点(不与
点
重合)，
的角平分线交直线
于点
，求点
的轨迹方程．
【答案】
【分析】由三角形的角平分线的性质，得到
，设点
，根据向量的坐标表
示，得到
，代入圆
的方程，即可求解.
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【详解】由三角形的角平分线的性质，可得
，所以
，
设点
，则
，
所以
，所以
，
因为
，所以
，
又因为点
在圆
上，所以
，即
，
即点
的轨迹方程为
.
2．（2024 上·河南南阳·高二南阳市第五中学校校联考期末）已知圆
的圆心为直线
与直线
的交点，且圆
的半径为
.
(1)求圆
的标准方程；
(2)若
为圆
上任意一点，
，点
满足
，求点
的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求得两条直线的交点坐标，也即求得圆心，从而求得圆
的标准方程.
（2）根据向量共线列方程，然后利用代入法求得点
的轨迹方程.
【详解】（1）由
解得
，则圆心为
，半径为
，
∴圆
的标准方程为
.
（2）设
，
.
由
，可得
，
则
，又点
在圆
上，所以
，
即
，化简得
，
∴点
的轨迹方程为
.
3．（2024·全国·高三专题练习）已知点
，点P 是圆
上的动点，M 为线段PA 的中点，当
点P 在圆上运动时，求动点M 的轨迹方程，并分析此轨迹与圆
的位置关系.
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【答案】
，两圆相外离
【分析】利用中点坐标公式及点在圆上，结合两点间的距离公式及圆与圆的位置关系即可求解.
【详解】设
，
，则
由中点坐标公式得
，
.
因为
在圆
上，
所以
，即
.
所以点
的轨迹是以
为圆心，2 为半径的圆.
两圆的圆心距
，
而两圆半径之和为6，即
，
所以这两圆相外离.
题型四：点差法
1．（2023 上·广东深圳·高二校考期末）已知椭圆
的右焦点为
，过点
的直
线交椭圆于
，
两点，若
的中点坐标为
，则
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设出A，B 的坐标代入椭圆方程，利用点差法和中点坐标公式求出直线
的斜率，再由已知建立
斜率的等式关系，进而可以求解.
【详解】解：设
，
，
代入椭圆方程可得：
，两式作差可得：
，
又
的中点坐标为
，所以
，
，
则
，又直线
的斜率为
，
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所以
，而
，
所以
，
，所以椭圆的方程为：
，
故选：A.
2．（2023 上·湖北·高二湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）已知点
为椭圆
（
）的左焦点，点
为椭圆的下顶点，平行于
的直线交椭圆于
，
两点，且
的中点为
，则该椭圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出直线
的斜率为
，设
，
，再利用点差法求出直线
的斜率
为
，利用斜率相等可得
的值，从而得到椭圆方程.
【详解】
因为
，
，
所以直线
的斜率为
，
设
，
，则
①，
②，
①-②得：
，
即
，
因为
是
的中点，所以
，
，
所以
，所以
，
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因为
，所以
，即
，所以
，
所以
，所以
，所以椭圆的方程为
，
故选：D.
三、专项训练
一、单选题
1．（【名校面对面】2022-2023 学年高二大联考（12 月）数学试题）已知圆
，
是圆
上的动点，点
，若动点
满足
，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，
，由
求出
，代入圆
的方程可得答案.
【详解】设
，
，由
，得
，所以
，
又因为点
在圆
上，
所以
，即
.
故选：C.
2．（2024 上·广东梅州·高二统考期末）已知定点
为圆
的动点，则线段
的中点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设线段
中点
的坐标为
，且点
，结合中点公式求得
，代入
即可求解.
【详解】设线段
中点
的坐标为
，且点
，
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又由
，可得
，解得
，
又由
，可得
，即
，
故选：A
3．（2024 上·四川达州·高二统考期末）已知平面内一动点P 到两定点
，
的距离之和为8，
则动点P 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义直接求解即可.
【详解】因为平面内一动点P 到两定点
，
的距离之和为8，且
，
所以动点P 的轨迹方程为焦点位于
轴的椭圆，
设椭圆方程为
，焦距为
，
则
，解得
，故动点P 的轨迹方程为
.
故选：B
4．（2024 上·贵州黔南·高二统考期末）若动点
满足方程
，则
动点P 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合根据椭圆的定义，可得点
的轨迹是以
为焦点的椭圆，进而求得椭圆
的方程，得到答案.
【详解】由动点
满足方程
，
根据椭圆的定义，可得点
的轨迹是以
为焦点的椭圆，
且
，可得
，则
，
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所以动点P 的轨迹方程为
.
故选：A.
5．（2024 上·湖北·高二校联考期末）已知一个动圆P 与两圆
：
和
：
都
外切，则动圆P 圆心的轨迹方程为（ ）
A．
（
）
B．
C．
（
）
D．
（
）
【答案】A
【分析】利用双曲线的定义及两圆的位置关系计算即可.
【详解】由题意易知两圆圆心分别为
，半径分别为
，
设动圆
圆心
，半径，
则根据题意有
,
根据双曲线的定义知
的轨迹是以原点为中心，
为左右焦点，
为实轴长的双曲线的左
支，故其轨迹方程为：
.
故选：A
6．（2023 上·全国·高二专题练习）设椭圆
的离心率为
，焦点在
轴上且长轴长为26，若曲线
上的
点到椭圆
的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线
的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先利用双曲线定义确定曲线
为双曲线，再利用题给条件即可求得曲线
的标准方程.
【详解】在椭圆
中，由题知
，解得
，
所以椭圆
的焦点为
，
，
因为曲线
上的点到
，
的距离的差的绝对值等于8，且
，
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所以曲线
是以
，
为焦点，实轴长为8 的双曲线，
所以曲线
的虚半轴长为
，
故
的标准方程为：
.
故选：A.
7．（2023 上·四川凉山·高二校联考期末）已知点
，
，动点
满足条件
，则
动点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义可判断动点
的轨迹形状，利用待定系数法即可求得轨迹方程.
【详解】因为
，
，所以
，动点
满足
，
由双曲线的定义可知，动点
的轨迹是以
，
为焦点的双曲线的左支，
设双曲线方程为
，则有
，
，
，
所以动点
的轨迹方程为
.
故选：D.
8．（2023 上·辽宁沈阳·高二沈阳市翔宇中学校考阶段练习）与圆
：
和圆
：
都外切的圆的圆心
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先由题意得到两定圆的圆心和半径，设圆
的半径为
，再由圆
与圆
、圆
都外切得到
，根据双曲线的定义，即可确定动点轨迹，从而求出轨迹方程.
【详解】圆
的圆心为
，半径为，
圆
的圆心为
，半径为，
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再由圆
与圆
、圆
都外切，设圆
的半径为
，
则
，
，所以
，
因此，由双曲线的定义可得圆心
的轨迹为双曲线的右支，
且该双曲线的焦距为
，实轴长为
，
所以
，故
，
所以所求圆的圆心
的轨迹方程
.
故选：D.
二、多选题
9．（2024 上·浙江宁波·高三统考期末）已知
为直线
上的一点，动点
与两个定点
，
的距离之比为2，则（ ）
A．动点
的轨迹方程为
B．
C．
的最小值为
D．
的最大角为
【答案】ACD
【分析】由动点
的轨迹求出方程验证选项A；由圆上的点到直线的最小距离验证选项B；由三点共线求
距离之和的最小值验证选项C；由直线与圆的位置关系求
的最大值验证选项D.
【详解】设
，依题意有
，化简得
，
所以动点
的轨迹方程为
，A 选项正确；
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方程
表示圆心为
半径为2 的圆，圆心
到直线
的距离
，
所以
的最小值为
，B 选项错误；
，当
三点共线时，有最小值，
最小值为点
到直线
的距离
，C 选项正确；
的最大时，
与圆
相切，此时
，
，
，D 选项正确；
故选：ACD
三、解答题
10．（2024 上·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考期末）在平面内，动点
与定点
的距离
和它到定直线
的距离比是常数3．
(1)求动点M 的轨迹方程；
【答案】(1)
【详解】（1）由题意，
动点
与定点
的距离和它到定直线
的距离比是常数3，
∴
，
整理化简可得：即
，
∴动点M 的轨迹方程为：
15
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