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专题01 集合与常用逻辑用语、复数、平面向量
题型概览
题型01 集合的计算
题型02 常用逻辑用语
题型03 复数
题型04 平面向量
集合和常用逻辑用语
1．（2025·安徽芜湖·二模）已知集合A ={1,2,3,4}，B =¿，则A ∩B =（ ）
A．{1,2,3}
B．{0,1,2,3}
C．[0,3]
D．(1,3]
2．（2025·安徽·二模）已知集合A = {−2,−1,0,1,2,3}，B =¿，则A ∩B =（ ）
A．{0,1,2,3}
B．{−2,2,3}
C．{2,3}
D．{1,2,3}
3．（2025·安徽淮北·二模）已知集合A = {2,3,4},B ={x ∣x
2−4 x +3≤0}，则A ∩(∁R B)=（ ）
A．{2}
B．{3}
C．{4}
D．∅
4．（2025·安徽滁州·二模）已知集合A =¿，B =¿，则A ∩(∁R B)=（ ）
A．{−1}
B．{−1,0}
C．{−1,0,1}
D．{1,2}
5．（2025·安徽马鞍山·二模）已知集合A ={x||2 x +1|≤2}，B = {−2,−1,0,1}，则A ∩B =（ ）
A．{−1,0}
B．{−2,−1,0}
C．{−1,0,1}
D．{−2,−1,0,1}
6．（2025·安徽黄山·二模）已知集合A ={x| x
2−3 x ≤0}，B =¿，则A ∩B =（ ）
A．[−3,2]
B．[2,+∞)
C．[−3,0)
D．[2,3]
7．（2025·安徽合肥·二模）已知集合A ={x∈Z| x +1>0}，B ={x|| x +1|≤3}，则A ∩B =（ ）
A．{−1,0,1,2}
B．{−1,0,1}
C．{0,1,2}
D．{0,1}
8．（2025·安徽池州·二模）已知集合A =¿，B =¿，则A ∩B =（ ）
A．{1}
B．{2}
C．{1,2}
D．{1,2,3}
9．（2025·安徽蚌埠·二模）已知集合A = {x ∣2 x −1≥0},B ={x ∣x
2>3 x}，则A ∪B =（ ）
题
型
1
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A．[
1
2 ,+ ∞)
B．(3,+ ∞)
C．[
1
2 ,3)
D．(−∞,0)∪[
1
2 ,+∞)
10．（2025·安徽安庆·二模）已知集合A ={x ∣0< x <a+1},B ={x ∣x
2−3 x +2<0}，若B⊆A，则实数a
的取值范围为（ ）
A．(−∞,0]
B．(−∞,2]
C．[1,+ ∞)
D．(1,+ ∞)
11．（2025·安徽芜湖·二模）已知有限集合A ={a1,a2,a3,⋯,an}，定义集合B =¿中的元素的个数为集合A
的“容量”，记为|A|.若集合A =¿，且|A|= 4047，则正整数n 的值是 .
常用逻辑用语
12．（2025·安徽合肥·二模）若空间中三条不同的直线a，b，c满足a⊥c，b⊥c，则a//b是a，b，c共
面的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
13．（2025·安徽蚌埠·二模）“a=−1”是“函数f ( x)= x +1+ 2a
2
x−a
为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
14．（2025·安徽安庆·二模）已知平面向量⃗a,⃗b,⃗b=(−1,−1)，则“⃗a⋅⃗b=−1
”是“⃗a在⃗b
方向上的投影向
量为(
1
2 , 1
2)
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
复数
题
型
题型03
2
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15．（2025·安徽芜湖·二模）若z = 2+i
1−i
，其中i为虚数单位，则z + z =（ ）
A．3i
B．−3i
C．1+3i
D．1
16．（2025·安徽·二模）若z = 1−i
3
i
5
，则z + z =（ ）
A．−2i
B．2i
C．−2
D．2
17．（2025·安徽淮北·二模）若3(z + z)+ 4 (z−z)=6+8i，则|z|=（ ）
A．√2
B．√3
C．2
D．2√2
18．（2025·安徽黄山·二模）设复数z满足(1+i) z = 4i，则|z|=（ ）
A．2√2
B．2
C．√2
D．4
19．（2025·安徽滁州·二模）已知复数z满足(2−i) z =10+5i，则z的实部与虚部之积为（ ）
A．12
B．−12
C．12i
D．−12i
20．（2025·安徽马鞍山·二模）已知复数z =√3+i，则|z|
z =（ ）
A．√3
2 + 1
2 i
B．√3
2 −1
2 i
C．−√3
3 + 1
2 i
D．−√3
2 −1
2 i
21．（2025·安徽蚌埠·二模）已知复数z满足z (1+2i)=7+ 4i，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
22．（2025·安徽池州·二模）已知(1−i) z =3+i，则z =（ ）
A．1+2i
B．1−2i
C．−1+2i
D．−1−2i
23．（2025·安徽合肥·二模）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(−1,2)，则复数5i
z
的虚部是（ ）
A．−1
B．1
C．−2
D．2
24．（2025·安徽安庆·二模）已知复数z = 2i
2−i
（i为虚数单位），则|z|=（ ）
A．√5
B．2√5
5
C．√5
5
D．2
3
平面向量
25．（2025·安徽滁州·二模）已知A ,B ,C三点在单位圆上运动，且|AB|=√3，则⃗BC ⋅⃗AC的取值范围为
题
型
3
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（ ）
A．[−1
2 , 3
2]
B．[−3
2 , 1
2]
C．[
1
2 , 3
2]
D．[−3
2 ,−1
2]
26．（2025·安徽淮北·二模）已知向量⃗a=(1,2),⃗b=(2, x),⃗c =( y ,−2)，若⃗a ∥ ⃗b,⃗b⊥⃗c
，则y =（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
27．（2025·安徽滁州·二模）已知O为△ABC的重心，D为AB的中点，则⃗OD =（ ）
A．1
2⃗AB−1
3⃗AC B．1
6⃗AB−1
3⃗AC
C．1
3⃗AB+ 1
4⃗AC
D．1
2⃗AB+ 2
3⃗AC
28．（2025·安徽马鞍山·二模）已知平面向量⃗a，⃗b
满足⃗a=(1,−√3)，⃗b=(2, x)，若⃗a//⃗b
，则x =（ ）
A．−√3
B．−2√3
C．√3
D．2√3
29．（2025·安徽·二模）若向量⃗a=(2,2)，向量⃗b满足(⃗b−⃗a)⊥⃗a，则⃗b
2
在⃗a上的投影向量的坐标为（ ）
A．(
1
4 , 1
4)
B．(
1
2 , 1
2)
C．(1,1)
D．(2,2)
30．（2025·安徽池州·二模）已知向量⃗a,⃗b满足|⃗a|=1,⃗a⋅(⃗a−2⃗b)=2，则⃗a⋅⃗b=（ ）
A．−1
2
B．−3
2
C．1
2
D．3
2
31．（2025·安徽合肥·二模）已知向量⃗e1=(1,0)，⃗e2=(1,√3)，设⃗a= 4⃗e1+⃗e2
，⃗b=3⃗e1−⃗e2
，则⃗a与⃗b的夹
角为（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．2π
3
32．（2025·安徽马鞍山·二模）点P是半径为2 的圆O内一定点，且|OP|=1，过点P作圆O的两条互相垂直
的弦AB，CD，则（ ）
A．⃗PA ⋅⃗PB为定值
B．⃗OA ⋅⃗OB的取值范围是[−4 ,−2]
C．⃗AC ⋅⃗BD为定值
D．四边形ACBD面积的最大值为4√3
33．（2025·安徽黄山·二模）如图，一条河两岸平行，河的宽度d =500 m，一艘船从河岸边的A地出发，
向河对岸航行，已知船的速度⃗v1
的大小为|⃗v1|=10km /h，水流速度⃗v2
的大小为|⃗v2|=2km /h，设⃗v1
和⃗v2
的
4
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夹角为θ(0<θ<π)，则下列说法正确的为（ ）
A．当船的航行时间最短时，θ =π
2
B．当船的航行距离最短时，cosθ = 1
5
C．当θ =π
6
时，船的航行时间为6 分钟
D．当θ = 2π
3
时，船的航行距离为√31
5 km
34．（2025·安徽池州·二模）在三棱锥A −BCD中，给定下列四个条件：①⃗
AB⋅⃗AC =⃗AC ⋅⃗AD =⃗AD⋅⃗AB；②⃗AB⋅⃗BC =⃗AC ⋅⃗CD =⃗AD⋅⃗DB；③⃗
AB⋅⃗CD =⃗AC ⋅⃗DB =⃗AD⋅⃗BC；④⃗AB⋅⃗DB =⃗AC ⋅⃗BC =⃗AD⋅⃗CD.下列组合条件中，一定能断定三棱
锥A −BCD是正三棱锥的有（ ）
A．①②
B．①③
C．②④
D．③④
35．（2025·安徽芜湖·二模）已知向量⃗a，⃗b满足⃗a=(1,1)，且|⃗b|=√2，⃗a⋅⃗b=√3，则⃗a与⃗b所成角的大小
为 .
36．（2025·安徽蚌埠·二模）键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要.有机物萘
可以用如图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为如图所示的图形.已知六边形ABCHIJ与六边形
CDEFGH为全等的正六边形，且AB = 4，点M为正六边形CDEFGH内的一点（包含边界），则⃗
AB⋅⃗AM的取值范围是 .
5
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6
