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第 09 讲 高考难点突破一：圆锥曲线的综合问题（定点问题）
目录
高频考点一：椭圆中的定点问题（椭圆中的直线过定点问题）...........................1
高频考点二：椭圆中的定点问题（椭圆中存在定点满足某条件问题）................3
高频考点三：双曲线中的定点问题（双曲线中的直线过定点问题）....................5
高频考点四：双曲线中的定点问题（双曲线存在定点满足某条件问题）............7
高频考点五：抛物线中的定点问题（抛物线中的直线过定点问题）....................9
高频考点六：抛物线中的定点问题（抛物线存在定点满足某条件问题）..........10
高频考点一：椭圆中的定点问题（椭圆中的直线过定点问题）
典型例题
例题1．（24-25高三上·北京·开学考试）已知椭圆 过点 ．
(1)求椭圆 的方程以及离心率；
(2)设直线 与椭圆 交于 两点，过点 作直线 的垂线，垂足为 ．判断直线 是
否过定点，并证明你的结论．例题2．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知直线 经过椭圆 的右焦点F且
被椭圆C截得的弦长为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点 的动直线m与椭圆C相交于A，B两点，且直线l上的点M满足 ，求证：直线
过定点，并求该定点的坐标.
练透核心考点
1．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）已知 是 上的动点，点 ，线段 的中
垂线交直线 于点 ．
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)已知直线 的方程为 ，过点 的直线（不与 轴重合）与曲线 相交于 两点，过点 作
，垂足为 ．证明：直线 过定点 ，并求出定点 的坐标．
2．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知椭圆 ，右焦点 的坐标为 ，且
点 在椭圆 上.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的直线交椭圆于 两点（直线不与 轴垂直），已知点 与点 关于 轴对称，证明：直线
恒过定点，并求出此定点坐标.高频考点二：椭圆中的定点问题（椭圆中存在定点满足某条件问题）
典型例题
例题1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知曲线 上的点 满足 ，
曲线 过点 的切线与直线 相交于 点.
(1)求曲线 的标准方程；
(2)以 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
例题2．（2024高三下·全国·专题练习）如图所示，已知椭圆 的离心率为 ，点
和点 都在椭圆 上，直线 交 轴于点 ．
(1)求椭圆 的方程，并求点 的坐标（用 ， 表示）．
(2)设 为原点，点 与点 关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：y轴上是否存在点 ，使得
?若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．练透核心考点
1．（23-24高二下·河南漯河·期末）已知椭圆 的离心率为 是 的左､右焦
点，椭圆上一个动点到 的最短距离为 点在 上.
(1)求 的方程；
(2)若 为直线 上任意一点，直线 的斜率之积为 ，平面内是否存在定点 满足
恒成立.若存在，求出 的坐标；若不存在，说明理由.
2．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆
(1)若双曲线 的一条渐近线方程为 ，且与椭圆C有公共焦点，求此双曲线的
方程；
(2)过点 的动直线 交椭圆 于 两点，试问在坐标平面上是否存在一个定点 ，使得以 为
直径的圆恒过定点 ？若存在，求出 的坐标，若不存在，说明理由．高频考点三：双曲线中的定点问题（双曲线中的直线过定点问题）
典型例题
例题1．（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知动圆P过点 ，并且与圆 外切，设动
圆的圆心P的轨迹为C.
(1)直线 与圆 相切于点Q，求 的值；
(2)求曲线C的方程；
(3)过点 的直线 与曲线C交于E，F两点，设直线 ，点 ，直线 交 于点M，证明直线
经过定点，并求出该定点的坐标.
例题2．（2024·浙江·模拟预测）已知双曲线 的左右焦点分别为 ，点 在 的渐
近线上，且满足 .
(1)求 的方程；
(2)点 为 的左顶点，过 的直线 交 于 两点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点
，证明：线段 的中点为定点.练透核心考点
1．（2024·贵州贵阳·一模）已知双曲线 的方程为 ，虚轴长为2，点 在
上.
(1)求双曲线 的方程；
(2)过原点 的直线与 交于 两点，已知直线 和直线 的斜率存在，证明：直线 和直线 的
斜率之积为定值；
(3)过点 的直线交双曲线 于 两点，直线 与 轴的交点分别为 ，求证： 的中点为
定点.
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知双曲线 ： 的左右焦点为 ， ，其右准线为 ，点 到
直线 的距离为 ，过点 的动直线交双曲线 于 ， 两点，当直线 与 轴垂直时， ．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设直线 与直线 的交点为 ，证明：直线 过定点．高频考点四：双曲线中的定点问题（双曲线存在定点满足某条件问题）
典型例题
例题1．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）动点 到直线 与直线 的距离之积
等于 ，且 ．记点M的轨迹方程为 ．
(1)求 的方程；
(2)过 上的点P作圆 的切线PT，T为切点，求 的最小值；
(3)已知点 ，直线 交 于点A，B， 上是否存在点C满足 ？若存
在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．
例题2．（2024·新疆喀什·三模）已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ， 是直线 ：
（其中 是实半轴长， 是半焦距）上不同于原点 的一个动点，斜率为 的直线 与双曲线
交于 ， 两点，斜率为 的直线 与双曲线 交于 ， 两点．
(1)求 的值；
(2)若直线 ， ， ， 的斜率分别为 ， ， ， ，问是否存在点 ，满足
，若存在，求出 点坐标；若不存在，说明理由．练透核心考点
1．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知双曲线的渐近线方程为 ，经过点 .
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线 与双曲线的右支交于A，B两点，且在双曲线的右支上存在点C，使得
，求 的值及点 的坐标.
2．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知双曲线 过点 ，左右焦点分别为
，且 ．
(1)求 的标准方程．
(2)设过点 的直线 与 交于 两点，问在 轴上是否存在定点 ，使得 为常数？若存
在，求出点 的坐标及该常数的值：若不存在，请说明理由．高频考点五：抛物线中的定点问题（抛物线中的直线过定点问题）
典型例题
例题1．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，点 是 上的一
点，且 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)设点 （其中 ）是 上异于 的两点， 的角平分线与 轴垂直， 为线
段 的中点.
（i）求证：点 在定直线上；
（ii）若 的面积为6，求点 的坐标.
例题2．（2024·河南驻马店·三模）设 ， 为曲线 上两点， 与 的横坐标之和为4.
(1)若 与 的纵坐标之和为4，求直线 的方程.
(2)证明：线段 的垂直平分线过定点.
练透核心考点
1．（24-25高二下·上海·单元测试）已知直线 ： 与抛物线Γ： 交于点A，B．
(1)若直线 的倾斜角为45°，且过抛物线Γ的焦点F，求直线 的方程；
(2)若 ，且 ，证明：直线l过定点．2．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线 的焦点与椭圆 的上顶点重合，点
是直线 上任意一点，过点 作抛物线的两条切线，切点分别为 ．
(1)求抛物线 的方程．
(2)证明直线 过定点，并且求出定点坐标．
高频考点六：抛物线中的定点问题（抛物线存在定点满足某条件问题）
典型例题
例题1．（2024·山西太原·二模）已知抛物线C： （ ）的焦点为F，过点 且斜率为1的
直线经过点F．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若A，B是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M（异于坐标原点O），使得当直线AB经过点
M时，满足 ？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
例题2．（2024·西藏拉萨·二模）已知抛物线 上的两点 的横坐标分别为
.
(1)求抛物线 的方程；
(2)若过点 的直线 与抛物线 交于点 ，问：以 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这
个定点；若不过定点，请说明理由.练透核心考点
1．（23-24高二下·湖南郴州·期末）已知 是抛物线 上一点， 是抛物线的焦点，已知
，
(1)求抛物线的方程及 的值；
(2)当 在第一象限时， 为坐标原点， 是抛物线上一点，且 的面积为1，求点 的坐标；
(3)满足第（2）问的条件下的点中，设平行于 的两个点分别记为 ，问抛物线的准线上是否存在一
点 使得， .
2．（2024高三·全国·专题练习）在直角坐标系 中，曲线C： 与直线 交与M,N两
点，
(1)当 时，分别求C在点M和N处的切线方程；
(2) y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有 ？说明理由.
