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专题02 不等式的性质及均值不等式的应用
一、单选题
1. （2024 届辽宁省大连市高三上学期期初考试）下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】D
【解析】当
，
时，
，则A 错误.当
，
时，
，则B 错误.
当
，
时，
，则C 错误.由
，得
，则D 正确.故选D.
2．（2023 届四川省盐亭中学高三第三次模拟）若
，则下列不等式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，则
.所以
即
，AB 错误.
因为
，所以
，则
，C 错误.因为
，所以
则
，D 正确.故选D
3．（2023 届陕西省镇安中学高三模拟）若
，
，且
，则下列不等式不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
1
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【解析】对于A，
（当且仅当
时取等号），A 正确；
对于B，
（当且仅当
时取等号），
，B 正确；
对于C，
（当且仅当
时取等号），C 正确；
对于D，
，
，
，
，
；
，
，D 错误.故选D.
4．（2024 届广东省深圳市南头中学高三上学期第一次月考）已知
，则下列说法中错误的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】A.
，不等式两边同时乘以
，得
，故A 正确；
B.
，则
，所以
，故B 错误；
C.
，不等式两边同时除以
，得
，故C 正确；
D.
，当
时，
，当
时，
，所以
，故D 正确.故选B
5．（2024 届广东省中山市华侨中学高三上学期一次模拟）设正实数
满足
，则下列说法错误
的是（ ）
A．
的最小值为4
B．
的最大值为
C．
的最大值为2
D．
的最小值为
2
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【答案】C
【解析】对于A，
，当且仅当
时取等号，故A 正确；
对于B，
，当且仅当
，即
时取等号，故B 正确；
对于C，
，
则
，当且仅当
，即
时，故C 错误；
对于D，
，当且仅当
时取等号，故D 正确.
故选C.
6．（2024 届辽宁省十校联合体高三上学期八月调研）已知平面单位向量
满足
，若
，则
的最小值是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，所以
，得
，得
，
同理可得
，
，
设
，则
，
3
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因为
，
，
所以
，
当且仅当
时取等号，
因为
，所以
，
所以
，当且仅当
时取等号，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
因为
，所以
，当
时取等号，
所以
，当且仅当
，
时取等号，
所以
的最小值是
，故选C
7．（2024 届安徽省六校教育研究会高三上学期入学素质测试）若
，椭圆
与双曲线
的离心率分别为
，
，则（ ）
A．
的最小值为
B．
的最小值为
C．
的最大值为
D．
的最大值为
【答案】C
【解析】由已知
，
，所以
，
当且仅当
时等号成立，故
的最大值为
，无最小值(m 范围为开区间).故选C
4
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8．（2024 届四川省巴中市高三上学期“零诊”考试）已知
且
，则
的最
小值为（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7
【答案】B
【解析】由题意
得，
，令
，则
，
由
得
，故
，
当且仅当
，结合
，即
时取等号，也即
，即
时，
等号成立，故
的最小值为9，故选B
9．（2024 届】黑龙江省哈尔滨市高三上学期开学测试）已知函数
的最大值为
1，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】A
【解析】当
时，
，
当且仅当
，即
时取等号，依题意，
，即
，
当
时，
，若
，则当
时，
，解得
，符合题意，
若
，则当
时，
，解得
，矛盾，
所以实数
的值为
.故选A
10．（2023 届北京市育英学校高三6 月统一练习）已知椭圆
.过点
作圆
的切线
交椭圆
于
两点.将
表示为
的函数，则
的最大值是（ ）
5
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A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】由题意知，
，当
时，切线的方程为
，点
，
的坐标分别为
，
，
此时
；当
时，同理可得
；
当
时，设切线方程为
，
由
得
，
设
，
两点两点坐标分别为
，
，则
，
，
又由于圆
相切，得
，即
，
∴
，
由于当
时，
，
∴
，
，
∵
，
当且仅当
时，
，∴
的最大值为2．故选B.
11．（2023 届贵州省贵阳市高三3 3 3 高考备考诊断性联考）已知正实数
分别满足
，
，
6
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，其中是自然常数，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
得：
，
，
，
，
，又
，
；
令
，则
，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递增，在
上单调递减；
，即
，
，即
；
且
，即
，
，即
；
综上所述：
.故选A.
12．（2023 届江苏省无锡市辅仁高级中学高三高考前适应性练习）从古至今，中国人一直追求着对称美学．
世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构——故宫：金黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃
瓦的顶……沿着一条子午线对称分布，壮美有序，和谐庄严，映衬着蓝天白云，宛如东方仙境．再往远眺，
一线贯穿的对称风格，撑起了整座北京城．某建筑物的外形轮廓部分可用函数
的图
像来刻画，满足关于
的方程
恰有三个不同的实数根
，且
（其中
），则
的值为（ ）
7
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
所以
关于
对称，所以
的根应成对出现，
又因为
的方程
恰有三个不同的实数根
且
，
所以该方程的一个根是
，得
，且
，
所以
，由
得
，
当
，即
，即
时，
，①
则
，②
由①
②得
，解得
，所以
；
当
，即
，即
时，
，③
，④
由③
④得
，即
，
8
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解得
，此时
，不合题意，舍去，
综上，
.故选B.
二、多选题
13．（2024 届云南省昆明市云南高三上学期期初）若
、
、
，则下列命题正确的是（ ）
A．若
且
，则
B．若
，则
C．若
且
，则
D．
【答案】BD
【解析】对于A 选项，若
且
，取
，
，则
，A 错；
对于B 选项，若
，则
，B 对；
对于C 选项，若
且
，则
，
则
，故
，C 错；
对于D 选项，
，
当且仅当
时，等号成立，故
，D 对.故选BD.
14．（2023 届吉林省白山市高三一模）若正数a，b 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】因为
，
，所以
，所以
，则
，当且仅当
时，等号
9
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成立，故A 错误；
因为
，所以
，则
，同理可得
，因为
，所以
，当且仅当
时，等号成立，则B 正确；
因为
，所以
，所以
，所以
，则C 错误；
因为
，当且仅当
时，等号成立，所以D
正确．故选BD
15．（2024 届辽宁省沈阳市第一二〇中学高三上学期第二次质量检测）若正实数
满足
，
则下列结论正确的是（ ）
A．
的最小值为4
B．
的最大值为4
C．
的最小值为
D．
的最大值为8
【答案】ABC
【解析】由题意，正实数
满足
，
对于A 中，由
，当且仅当
时，等号成立，
可得
，解得
，所以A 正确；
对于B 中，由
，可得
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的最大值为
，所以 B 正确；
对于C 中，由
，可得
，
则
，
当且仅当
时，等号成立，所以C 正确；
10
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对于D 中，由
，
因为
，所以
的最小值为，当且仅当
时取得最小值，
所以D 错误. 故选ABC.
16．（2024 届湖南省株洲市第二中学教育集团高三上学期开学联考）在
中，内角
，
，
的对边
分别为
，
，，
，
边上的中线
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
的最大值为30°
【答案】ACD
【解析】因为
，故A 正
确；
因为
，所以
，
即
，所以
，故B 错误；
由余弦定理及基本不等式得
（当且仅当
时，等号成立），
由A 选项知
，所以
，解得
，
由于
，所以
，故C 正确；
对于D，
（当且仅当
时等号成立），
因为
，所以
，所以
，故D 正确.故选ACD.
17．（2024 届贵州省贵阳市第一中学高三上学期开学考试）已知函数
为自然
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对数的底数），
，若
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】由题意
，即
，
而
在定义域上递增，故
，
所以
，即
，A 对，C 错；
由
，
，故零点
，
所以
，B 对；
由
，则
，
而
，显然
，则
，故
，
综上，
，D 对.故选ABD
三、填空题
18．（2024 届湖南省株洲市第三中学高三上学期8 月月考）已知实数
满足
，则
的最大值为 ．
【答案】
【解析】由
，可知
，
因此
，所以
，当且仅当
时等号成立，
则
，当且仅当
时，取得最大值．
19．（2024 届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测）已知实数a，b 满足
12
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，则
的最小值为
【答案】
【解析】因为
，则
，
若
，则
，不符合题意，
若
，
则
，
，
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
所以
的最小值为
.
20．（2024 届广东省佛山市南海区高三上学期8 月摸底）若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都
相切）的体积为
，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥的表面积为 ．
【答案】
.
【解析】设圆锥的内切球的半径为
，可得
，解得
，
再设圆锥的底面圆的半径为，高为，如图所示，
由
，可得
，即
，解得
，
所以圆锥的体积
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，
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此时
，母线长为
，
此时圆锥的表面积为
.
21．（2024 届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期第一次验收）关于
的不等式
的整数
解恰有3 个，则实数
的取值范围是.
【答案】
【解析】不等式
即不等式
，
若
，则
即
，整数解有无数个，不合题意，
故
，
由于关于
的不等式
的整数解恰有3 个，
故需满足
，解得
；
则解
可得
，
因为
，故
，
故不等式
的3 个整数解恰为
，
则
，解得
，即
，
22．（2023 届四川省成都市四七九名校高全真模拟）平面向量
，
满足
，且
，则
14
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的最小值是．
【答案】
/
【解析】由
两边平方得
．
又因为
，所以
，
15
