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第2 讲 三角函数的图象与性质
微点一 三角函数的图象与解析式
例1 (1)(多选)为了得到函数y=2cos 2x 的图象，只要把函数y=2sin(2 x−π
6)图象上所有的点( )
A.向左平移π
3 个单位长度
B.向右平移π
3 个单位长度
C.向左平移2π
3 个单位长度
D.向右平移2π
3 个单位长度
答案 AD
解析 把函数y=2sin(2 x−π
6)图象上所有的点向左平移π
3 个单位长度，
可得函数y=2sin(2 x + 2π
3 −π
6)=2sin(2 x + π
2)=2cos 2x 的图象，A 正确；
把函数y=2sin(2 x−π
6)图象上所有的点向右平移π
3 个单位长度，
可得函数y=2sin(2 x−2π
3 −π
6)=2sin(2 x−π
3 −π
2)=-2cos(2 x−π
3)的图象，B 错误；
把函数y=2sin(2 x−π
6)图象上所有的点向左平移2π
3 个单位长度，
可得函数y=2sin(2 x + 4 π
3 −π
6)=2sin(2 x−π
3 + 3 π
2 )=-2cos(2 x−π
3)的图象，C 错误；
把函数y=2sin(2 x−π
6)图象上所有的点向右平移2π
3 个单位长度，
可得函数y=2sin(2 x−4 π
3 −π
6)=2sin(2 x−3 π
2 )=2cos 2x 的图象，D 正确.
(2)(2025·北京海淀区模拟)已知函数y=√3sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示.若A，B，C，D 四点在同
一个圆上，则ω 等于( )
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A.1
B.1
2
C.π
D.π
2
答案 D
解析 连接BC 交x 轴于点E，如图，
由于A，B，C，D 四点在同一个圆上，且A，D 和B，C 均关于点E 对称，
故E 为圆心，故AE=BE，
AE=1
2T= π
ω ，BE=√(
1
4 T)
2
+(√3)
2=√(
π
2ω)
2
+3，
故√(
π
2ω)
2
+3= π
ω ，解得ω=π
2 .
[规律方法] (1)三角函数图象平移问题的处理策略
①看平移要求：确定由哪一个函数的图象平移得到哪一个函数的图象，这是判断移动方向的关键.
②看左右移动方向：左“+”右“-”.
③看移动单位：在函数y=Asin(ωx+φ)的图象中，周期变换和相位变换都是沿x 轴方向进行的，所以ω 和φ
之间有一定的关系，要知道φ 是初相，再经过ω 的放缩，最后移动的单位长度是|
φ
ω|(注意先移后缩和先缩
后移的区别).
(2)由三角函数的图象求解析式y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0)中参数的值
①最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M=A+B，m=-A+B，解得
B= M +m
2
，A= M −m
2
.
②T 定ω：由周期公式T=2π
ω ，可得ω=2π
T .
③特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋
势.
跟踪演练1 (1)(2025·保山模拟)将函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0，0<φ<π)的图象上各点的横坐标变
为原来的2 倍，再将图象向右平移π
6 个单位长度，然后将图象绕坐标原点顺时针旋转π
2 ，最后再将图
象向左平移1 个单位长度，得到了x=2cos y 的图象.则下列说法正确的是( )
A.B=-1
B.A=1
C.φ=2π
3
D.ω=1
2
答案 C
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解析 将函数x=2cos y 的图象向右平移1 个单位长度，得到函数x-1=2cos y 的图象，
将x-1=2cos y 的图象绕坐标原点逆时针旋转π
2 可得y=2cos x+1 的图象，
再将y=2cos x+1 的图象向左平移π
6 个单位长度，可得y=2cos(x + π
6)+1 的图象，
再将y=2cos(x + π
6)+1 的图象上各点的横坐标变为原来的1
2 ，可得y=2cos(2 x + π
6)+1 的图象，即y=2sin
[(2 x + π
6)+ π
2]+1=2sin(2 x + 2π
3 )+1 的图象，
又f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0，0<φ<π)，所以A=2，B=1，ω=2，φ=2π
3 .
故A，B，D 错误，C 正确.
(2)已知函数f(x)=Acos(ωx-φ)(A >0，ω>0，|φ|< π
2)的部分图象如图所示，将y=f(x)图象上所有点的横
坐标伸长到原来的3
2倍，再将所得函数图象向左平移π
8 个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的
解析式为( )
A.g(x)=2cos(
9 x
2 −π
8)
B.g(x)=2cos(2 x−π
8)
C.g(x)=2sin 2x
D.g(x)=2cos 2x
答案 D
解析 由图象可知A=2，
π
6 + 2π
3
2
=5 π
12 ，
则f(x)图象的一个最低点为(
5 π
12 ，−2)，
f(x)的最小正周期T=2π
3 ，则ω=2π
T =3，
f (
5 π
12)=2cos(3× 5 π
12 −φ)=-2，
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即5 π
4 -φ=π+2kπ(k∈Z)，
所以φ=π
4 -2kπ(k∈Z)，
又因为|φ|<π
2 ，所以φ=π
4 ，
所以f(x)=2cos(3 x−π
4)，
将y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的3
2倍，得到y=2cos(2 x−π
4)的图象，
再将所得函数图象向左平移π
8 个单位长度，
得到y=2cos[2(x + π
8)−π
4]=2cos 2x 的图象，
故g(x)=2cos 2x.
微点二 三角函数的性质
例2 (1)(2025·全国Ⅰ卷)已知点(a，0)(a>0)是函数y=2tan(x−π
3)的图象的一个对称中心，则a 的最小
值为( )
A.π
6
B.π
3
C.π
2
D.4 π
3
答案 B
解析 y=2tan(x−π
3)的对称中心的横坐标满足x-π
3 =k π
2 ，k∈Z，即x=π
3 +k π
2 ，k∈Z，
所以y=2tan(x−π
3)的图象的对称中心是(
π
3 + k π
2 ，0)，k∈Z，
即a=π
3 +k π
2 ，k∈Z，
又a>0，则当k=0 时，a 最小，最小值是π
3 .
(2)(多选)(2025·长沙模拟)已知函数f(x)=2√3sin2x+sin(2 x + 2π
3 )，则下列说法正确的是( )
A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)的图象关于点(
π
3 ，√3)对称
C.f(x)在区间(0，π
2)上的值域为[√3−1，3√3
2 )
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D.若f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后所得图象关于y 轴对称，则φ 的最小值为5 π
12
答案 BCD
解析 因为f(x)=2√3sin2x+sin(2 x + 2π
3 )=2√3· 1−cos2 x
2
+sin 2xcos2π
3 +cos 2xsin2π
3
=√3-√3cos 2x-1
2sin 2x+√3
2 cos 2x
=√3-(
1
2 sin 2 x + √3
2 cos2 x)
=√3-sin(2 x + π
3)，
对于A 选项，函数f(x)的最小正周期T=2π
2 =π，A 错误；
对于B 选项，因为f (
π
3)=√3-sin π=√3，故f(x)的图象关于点(
π
3 ，√3)对称，B 正确；
对于C 选项，当0<x<π
2 时，π
3 <2x+π
3 <4 π
3 ，则-√3
2 <sin(2 x + π
3)≤1，
所以f(x)=√3-sin(2 x + π
3)∈[√3−1，3√3
2 )，
故f(x)在区间(0，π
2)上的值域为[√3−1，3√3
2 )，C 正确；
对于D 选项，若f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后所得图象关于y 轴对称，
即函数y=√3-sin[2( x−φ)+ π
3]
=√3-sin(2 x + π
3 −2φ)为偶函数，
故π
3 -2φ=kπ+π
2 (k∈Z)，解得φ=- π
12-k π
2 (k∈Z)，
因为φ>0，故当k=-1 时，φ 取得最小值5 π
12 ，D 正确.
[规律方法] 研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B 的形式，然后结合正弦函数y=sin x 的
性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y=sin x 的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一
种是由x 的值或范围求得t=ωx+φ 的范围，然后由y=sin t 的性质判断各选项.
跟踪演练2 (1)(2025·天津)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，-π<φ<π)，在[−5 π
12 ，π
12]上单调递增，且x= π
12为它的
一条对称轴，(
π
3 ，0)是它的一个对称中心，当x∈[0，π
2]时，f(x)的最小值为( )
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A.-√3
2
B.-1
2
C.1
D.0
答案 A
解析 设f(x)的最小正周期为T，
根据题意有{
π ω
12 +φ = π
2 +2k π ,
π ω
3 +φ =m π ,
m，k∈Z，
由正弦函数的对称性可知π
3 - π
12=(2n+1)T
4
(n∈N)，又ω>0，
即π
4 =2n π + π
2ω
，∴ω=4n+2(n∈N)，
又f(x)在[−5 π
12 ，π
12]上单调递增，
则T
2 ≥π
12-(−5 π
12)=π
2 ，∴π
ω≥π
2 ，0<ω≤2，
∴ω=2，则{
φ = π
3 +2k π ,
φ =m π −2π
3 ,
m，k∈Z，
∵φ∈(-π，π)，∴当k=0，m=1 时，φ=π
3 ，
∴f(x)=sin(2 x + π
3)，
又当x∈[0，π
2]时，2x+π
3 ∈[
π
3 ，4 π
3 ]，
由正弦函数的单调性可知当2x+π
3 =4 π
3 ，
即x=π
2 时，f(x)min=sin4 π
3 =-√3
2 .
(2)(多选)(2025·石家庄模拟)已知函数f(x)=tan(ωx+φ)(ω>0，−π
2 <φ< π
2)的图象经过点(0，-√3)，
g(x)=f(x)-1 的零点之间距离的最小值为2，则( )
A.f(2)=√3
3
B.f(x)的单调递增区间为(−1
3 +2k ，5
3 +2k)(k∈Z)
C.f(x)的图象关于点(k + 2
3 ，0)(k∈Z)对称
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D.f(x)=sin(−π
2 x + 4 π
3 )(0≤x≤5)的解集为{
2
3 ，14
3 }
答案 BC
解析 由已知得，f(x)的最小正周期为2，所以ω=π
2 ，
因为函数f(x)=tan (ωx+φ)(ω>0，−π
2 <φ< π
2)的图象经过点(0，-√3)，
所以tan φ=-√3，因为-π
2 <φ<π
2 ，
所以φ=-π
3 ，
所以f(x)=tan(
π
2 x−π
3)，
则f(2)=tan2π
3 =-√3，所以A 错误；
当且仅当-π
2 +kπ<π
2 x-π
3 <π
2 +kπ(k∈Z)时，f(x)单调递增，
解得2k-1
3<x<2k+5
3(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为(−1
3 +2k ，5
3 +2k)(k∈Z)，所以B 正确；
令π
2 x-π
3 =k·π
2 (k∈Z)，得x=k+2
3(k∈Z).
所以f(x)的图象关于点(k + 2
3 ，0)(k∈Z)对称，所以C 正确；
因为f(x)=sin(−π
2 x + 4 π
3 )
=sin(−π
2 x + π
3 + π)=sin(
π
2 x−π
3)(0≤x≤5)，
可得sin(
π x
2 −π
3)=tan(
π x
2 −π
3)=
sin(
π x
2 −π
3)
cos(
π x
2 −π
3)
，
即sin(
π x
2 −π
3)[cos(
π x
2 −π
3)−1]=0，
所以sin(
π x
2 −π
3)=0 或cos(
π x
2 −π
3)=1，
而当cos(
π x
2 −π
3)=1 时，sin(
π x
2 −π
3)=0，
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故只需sin(
π x
2 −π
3)=0，
则π x
2 -π
3 =mπ(m∈Z)，解得x=2m+2
3(m∈Z)，
因为0≤x≤5，故x∈{
2
3 ，8
3 ，14
3 }，
因此，f(x)=sin(−π
2 x + 4 π
3 )(0≤x≤5)的解集为{
2
3 ，8
3 ，14
3 }，所以D 错误.
微点三 求ω 的范围(整体代换法和卡根法)
1.整体代换法：把ωx+φ 看成一个整体t，这样的话原来的y=Asin(ωx+φ)就变成了y=Asin t，没有了复合函数，
处理起来自然就会很简单.
此类方法需要注意两点：
①求出t 的范围，讨论t 的范围和极值关系.
②求出t 的范围后要根据转化关系求出ω 的范围.
2.卡根分两种，一是五点卡根法，二是周期卡根法，区别就在于卡根的区间(a，b)或者[a，b]是否包含0，
比如[−π
3 ，π
6]这个范围内进行卡根，那么一定选择五点卡根法，[
π
4 ，π
3]这个范围内进行卡根，那么一
定选择周期卡根法.
y=Asin x 与y=Asin(ωx+φ)只需要找到相对应的点位，通常讲到的一个周期内的五点法，这五个重要的点就
是卡根卡ω 范围最重要的参照.
(1)五点卡根法：通常f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)当中，都会给一个条件，就是|φ|<π
2 ，所以，当0<φ<π
2 时，
图象如图(1)，当-π
2 <φ<0 时，图象如图(2).
图(1)
图(2)
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通过图形可以知道，无论ω 为任意正数，则正弦函数的靠近零点的第一个单调递增区间的最小值−π
2 −φ
ω
和最大值
π
2 −φ
ω
均在第三象限和第一象限，卡根就从这个周期的五点开始操作，我们称之为五点卡根法.
(2)周期卡根法：
如果卡根区间没有过零点，那么在卡根区间进行周期卡根，就看最多或者最少能放进去几个周期，当然，
前提就是要先卡形式，即ω 关于n 的表达式(n 为正整数).
注意：轴心距2n−1
4
T(n∈N*)，也可以转化为(2n−1)π
2ω
(n∈N*).
例3 (1)(2022·全国甲卷)设函数f(x)=sin(ωx + π
3)在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，则ω 的
取值范围是( )
A.[
5
3 ，13
6 )
B.[
5
3 ，19
6 )
C.(
13
6 ，8
3]
D.(
13
6 ，19
6 ]
答案 C
解析 由题意可得ω>0，故由x∈(0，π)，得ωx+π
3 ∈(
π
3 ，π ω+ π
3).
根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有三个极值点，知5 π
2 <πω+π
3 ≤7 π
2 ，得13
6 <ω≤19
6 .
根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有两个零点，知2π<πω+π
3 ≤3π，得5
3<ω≤8
3.
综上，ω 的取值范围为(
13
6 ，8
3].
(2)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，|φ|< π
2)，x=-π
4 为f(x)的零点，直线x=π
4 为f(x)图象的对称轴，且
f(x)在(0，π
6)上有且仅有1 个零点，则ω 的最大值为( )
A.11
B.9
C.7
D.5
答案 B
解析 设f(x)的最小正周期为T，
由题意得π
4 -(−π
4)=2n+1
4
T=2n+1
4
· 2π
ω =π
2 ，n∈N，
所以ω=2n+1，n∈N，
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选择右边对称轴x=π
4 为“靠山”，右边区间宽度为π
4 -π
6 = π
12 ，左边区间宽度为π
6 -0=π
6 ，
要使ω 取得最大值，则需要构造符合题意的最小周期，由于左边区间宽度是右边区间宽度的两倍，我们可
以进行两个区间合并，
图(1) 图(2)
如图(1)，当π
4 =3T 1
4 时，T1=π
3 ，ω1=6；
如图(2)，当π
4 =5T 2
4 时，T2=π
5 ，ω2=10，
则当ω1<ω<ω2时，f(x)在(0，π
6)上有且仅有1 个零点，满足题意，所以ωmax=9.
[规律方法] 求解三角函数的ω 范围，本质是一种转换思想，将变量x 的区间问题，转换到整体角度t 的区
间问题，“卡根法”就是确保这个转换后的区间被完美地“卡”进三角函数的一个标准性质区间内.
跟踪演练3 (1)已知函数f(x)=2sin(ωx −π
3)在区间[0，2π]上恰有3 个零点，则正实数ω 的取值范围是(
)
A.[
17
12 ，23
12)
B.[
11
12 ，17
12)
C.[
5
3 ，13
6 )
D.[
7
6 ，5
3)
答案 D
解析 方法一 由题意可得ω>0，当x∈[0，2π]时，
ωx-π
3 ∈[−π
3 ，2π ω−π
3]，
因为f(x)在[0，2π]上恰有3 个零点，
所以2π≤2πω-π
3 <3π，
解得7
6≤ω<5
3 ，
即ω 的取值范围为[
7
6 ，5
3).
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方法二 因为函数f(x)=2sin(ωx −π
3)在区间[0，2π]上恰有3 个零点，则由卡根原理得
{
2· 2π
ω
2
≤|2π −0|<
4· 2π
ω
2
,
−π +k π + π
3
ω
<0≤
k π + π
3
ω
,
2π +k π + π
3
ω
≤2π <
3 π +k π + π
3
ω
,
k∈Z，
解得{
1≤ω<2,
−1
3 ≤k < 2
3 ,
k
2 + 7
6 ≤ω< k
2 + 5
3 ,
k∈Z，
即当k=0 时，7
6≤ω<5
3 ，
所以ω 的取值范围为[
7
6 ，5
3).
(2)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ< π
2)的图象过点(0，1)，且f(x)在区间(
π
8 ，π
4)上具有单调性，
则ω 的最大值为( )
A.4
3
B.4
C.16
3
D.8
答案 C
解析 由函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象过点(0，1)，
所以2sin φ=1，解得sin φ=1
2 ，
又0<φ<π
2 ，所以φ=π
6 ，
所以f(x)=2sin(ωx + π
6).
要求ω 的最大值，则一定要取得满足条件的周期最小，
因为f(x)在区间(
π
8 ，π
4)上具有单调性，
如图所示，由于φ=π
6 ，
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所以
π
2 −π
6
ω
≤π
8 ，
3 π
2 −π
6
ω
≥π
4 ，
即8
3≤ω≤16
3 ，ω 的最大值为16
3 .
专题强化练
[分值：73 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共40 分)
1.(2025·汕头模拟)要得到函数y=sin 2x 的图象，只要将函数y=sin(2 x + π
3)的图象( )
A.向右平移π
3 个单位长度
B.向左平移π
6 个单位长度
C.向右平移π
6 个单位长度
D.向左平移π
3 个单位长度
答案 C
解析 将函数y=sin(2 x + π
3)的图象向右平移π
6 个单位长度得到函数y=sin[2(x−π
6)+ π
3]=sin 2x 的图象.
2.(2025·苏北七市调研)已知函数f(x)=√3sin 2x-2cos2x 的图象关于直线x=x0对称，则tan 2x0等于( )
A.√3
3
B.-√3
3
C.√3
D.-√3
答案 D
解析 因为f(x)=√3sin 2x-2cos2x =√3sin 2x-cos 2x-1
=2(
√3
2 sin 2 x−1
2 cos2 x)-1=2sin(2 x−π
6)-1，
因为函数f(x)=√3sin 2x-2cos2x 的图象关于直线x=x0对称，
所以2x0-π
6 =kπ+π
2 ，k∈Z，
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所以2x0=kπ+2π
3 ，k∈Z，
所以tan 2x0=tan(k π + 2π
3 )=tan2π
3 =-√3，k∈Z.
3.函数f(x)=cos(ωx −π
3)(ω>0)在[0，π]上的值域为[
1
2 ，1]，则ω 的取值范围是( )
A.[
1
3 ，2
3]
B.[0，2
3]
C.[
2
3 ，1]
D.[
1
3 ，1]
答案 A
解析 当余弦函数y=cos x 的值域为[
1
2 ，1]时，x∈[−π
3 +2k π ，π
3 +2k π]，k∈Z，
因为x∈[0，π ]，又f(0)=1
2 ，
故右边区间卡根位于[0，π
3]内，
即0+ π
3
ω
≤π≤
π
3 + π
3
ω
，
所以1
3≤ω≤2
3.
4.(2025·漳州质检)已知f(x)=sin(
1
2 x + π
3)，若f(x)在区间[a，a+ π
6](0<a<2π)上不单调，则实数a 的取值范
围是( )
A.(
π
6 ，π
4)
B.(
π
6 ，π
3)
C.(
π
4 ，π
3)
D.(
π
6 ，5 π
3 )
答案 B
解析 画出函数f(x)的部分图象如图所示，
因为0<a<2π，所以π
6 <a+π
6 <13 π
6 <7 π
3 .
又因为f(x)在区间[a，a+ π
6](0<a<2π)上不单调，
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所以{
0<a< π
3 ,
a+ π
6 > π
3 ,
解得π
6 <a<π
3 .
5.(2023·全国甲卷)函数y=f(x)的图象由函数y=cos(2 x + π
6)的图象向左平移π
6 个单位长度得到，则y=f(x)的
图象与直线y=1
2x-1
2的交点个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 C
解析 因为y=cos(2 x + π
6)的图象向左平移π
6 个单位长度所得图象对应的函数为y=cos[2(x + π
6)+ π
6]=cos
(2 x + π
2)=-sin 2x，
所以f(x)=-sin 2x，
而y=1
2x-1
2显然过(0，−1
2)与(1，0)两点，
作出y=f(x)与y=1
2x-1
2的大致图象如图所示，
考虑2x=-3 π
2 ，2x=3 π
2 ，2x=7 π
2 ，
即x=-3 π
4 ，x=3 π
4 ，x=7 π
4 处f(x)与y=1
2x-1
2的大小关系，
当x=-3 π
4 时，f (−3 π
4 )=-sin(−3 π
2 )=-1，
y=1
2×(−3 π
4 )-1
2=-3 π + 4
8
<-1；
当x=3 π
4 时，f (
3 π
4 )=-sin3 π
2 =1，
y=1
2×3 π
4 -1
2=3 π −4
8
<1；
当x=7 π
4 时，f (
7 π
4 )=-sin7 π
2 =1，
y=1
2×7 π
4 -1
2=7 π −4
8
>1.
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所以由图可知，f(x)的图象与直线y=1
2x-1
2的交点个数为3.
6.已知函数f(x)=√3sin ωx+cos ωx(ω>0)在区间[−π
4 ，π
3]上恰有一个最大值点和最小值点，则实数ω 的取
值范围为( )
A.[
8
3 ，7)
B.[
8
3 ，4)
C.[4，20
3 )
D.(
20
3 ，7)
答案 B
解析 函数f(x)=√3sin ωx+cos ωx
=2sin(ωx + π
6)(ω>0).
由于函数y=2sin x 两个相邻最大值点和最小值点为π
2 和-π
2 ，
故对此范围进行卡根，
−π
2 −π
6
ω
≥-π
4 ⇒ω≥8
3且
π
2 −π
6
ω
≤π
3 ⇒ω≥1；
考虑其他最值不能出现，故再进行二次卡根，相邻-π
2 的最大值点为-3 π
2 ，相邻π
2 的最小值点为3 π
2 ，
故−3 π
2 −π
6
ω
<-π
4 ⇒ω<20
3 且
3 π
2 −π
6
ω
>π
3 ⇒ω<4，
综上，8
3≤ω<4.
7.(2025·安徽江淮十校联考)下列关于函数f(x)=|sin 2x|+cos 2x 说法正确的是( )
A.(
3 π
8 ，0)是函数f(x)图象的一个对称中心
B.f(x)的值域为[-1，√2]
C.f(x)在区间[
π
8 ，5 π
8 ]上单调递减
D.直线x=π
8 是函数f(x)图象的一条对称轴
答案 B
解析 令sin 2x≥0，即2kπ≤2x≤π+2kπ，k∈Z，
解得kπ≤x≤π
2 +kπ，k∈Z，
所以当kπ≤x≤π
2 +kπ，k∈Z 时，f(x)=|sin 2x|+cos 2x=sin 2x+cos 2x=√2sin(2 x + π
4)，
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由kπ≤x≤π
2 +kπ，k∈Z，
得2kπ+π
4 ≤2x+π
4 ≤5 π
4 +2kπ，k∈Z，
所以f(x)∈[-1，√2]；
令sin 2x<0，即π+2kπ<2x<2π+2kπ，k∈Z，
解得π
2 +kπ<x<π+kπ，k∈Z，
所以当π
2 +kπ<x<π+kπ，k∈Z 时，f(x)=|sin 2x|+cos 2x=-sin 2x+cos 2x=-√2sin(2 x−π
4)，
由π
2 +kπ<x<π+kπ，k∈Z，
得3 π
4 +2kπ<2x-π
4 <7 π
4 +2kπ，k∈Z，
所以f(x)∈(-1，√2]，
综上可得，f(x)=|sin 2x|+cos 2x={
√2sin(2 x + π
4),k π ≤x ≤π
2 + k π ,k ∈Z ,
−√2sin(2 x−π
4), π
2 + k π < x<π + k π ,k ∈Z ,
且f(x)的值域为[-1，√2]，故B 正确；
作出函数f(x)的大致图象，如图，
由图可知f(x)的图象不是中心对称图形，即没有对称中心，故A 错误；
因为f (
π
8)=√2sin(2× π
8 + π
4)=√2，
f(0)=√2sin(2×0+ π
4)=1，
f (
π
2)=√2sin(2× π
2 + π
4)=-1，
f (
5 π
8 )=-√2sin(2× 5 π
8 −π
4)=0，
由图可知f(x)在[
π
8 ，π
2]上单调递减，在[
π
2 ，5 π
8 ]上单调递增，
则f(x)在区间[
π
8 ，5 π
8 ]上不单调，故C 错误；
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f(x)图象的对称轴为直线x=k π
2 ，k∈Z，故D 错误.
8.已知函数f(x)=asin x+cos x，x∈(
π
4 ，π
3)，若存在x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)，则实数a 的取值范围是( )
A.(-∞，1]
B.[√3，+∞)
C.(1，√3)
D.[1，√3]
答案 C
解析 若存在x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)，等价于函数f(x)在(
π
4 ，π
3)上不是单调函数，
易知f'(x)=acos x-sin x，
若函数f(x)在(
π
4 ，π
3)上单调递增，
则f'(x)≥0 在(
π
4 ，π
3)上恒成立，
即acos x-sin x≥0，
所以a≥sin x
cos x =tan x 在(
π
4 ，π
3)上恒成立，
则a≥√3；
同理，若函数f(x)在(
π
4 ，π
3)上单调递减，则f'(x)≤0 在(
π
4 ，π
3)上恒成立，得a≤1，
即若函数f(x)在(
π
4 ，π
3)上不单调，则1<a<√3.
二、多项选择题(每小题6 分，共18 分)
9.(2025·河南豫东名校模拟)函数f(x)=2sin(2ωx + π
3)(0<ω<1)的图象如图所示，将其向左平移π
6 个单位长度，
得到g(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A.ω=1
2
B.函数f(x)的图象关于点(−π
3 ，0)对称
C.函数g(x)的图象关于直线x=π
4 对称
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D.函数y=g(2 x + π
3)在[−π
9 ，π
9]上单调递减
答案 ABD
解析 因为点(
π
6 ，2)在函数f(x)的图象上，
所以f (
π
6)=2 ⇒ sin(
ω π
3 + π
3)=1，且0<ω<1，所以ω=1
2 ，故A 正确；
因为f(x)=2sin(x + π
3)，
由x+π
3 =kπ，k∈Z，
得函数f(x)的图象的对称中心为(k π −π
3 ，0)，k∈Z，
当k=0 时，对称中心为(−π
3 ，0)，故B 正确；
g(x)=f (x + π
6)=2sin[(x + π
6)+ π
3]
=2sin(x + π
2) =2cos x.
其对称轴为直线x=kπ，k∈Z，
所以直线x=π
4 不是函数g(x)的图象的对称轴，故C 错误；
y=g(2 x + π
3) =2cos(2 x + π
3)，
由2kπ≤2x+π
3 ≤2kπ+π，k∈Z，得kπ-π
6 ≤x≤kπ+π
3 ，k∈Z.
所以函数y=g(2 x + π
3)的单调递减区间为[k π −π
6 ，k π + π
3]，k∈Z，
因为[−π
9 ，π
9]⊆[k π −π
6 ，k π + π
3]，k∈Z，
所以函数y=g(2 x + π
3)在区间[−π
9 ，π
9]上单调递减，故D 正确.
10.已知函数fk(x)=sin2kx+cos2kx(k∈N*)，值域为Ak，则下列选项正确的是( )
A.A2=[
1
2 ，1]
B.fk(x)的图象关于直线x=π
4 对称
C.fk(x)的最大值为1
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D.A3=[
1
3 ，1]
答案 ABC
解析 当k=2 时，f2(x)=sin4x+cos4x，将其变形可得f2(x)=(sin
2 x +co s
2 x)
2-2sin2xcos2x=1-1
2×(2sin xcos x)2=1-
1
2sin22x，
因为0≤sin22x≤1，所以1
2≤1-1
2sin22x≤1，即A2=[
1
2 ，1]，故A 选项正确；
若fk(x)的图象关于直线x=π
4 对称，则fk(
π
4 + x)=fk(
π
4 −x).
fk(
π
4 + x)=sin2k(
π
4 + x)+cos2k(
π
4 + x)，fk(
π
4 −x)=sin2k(
π
4 −x)+cos2k(
π
4 −x)，
可得sin(
π
4 −x)=cos(
π
4 + x)，cos(
π
4 −x)=sin(
π
4 + x)，所以fk(
π
4 + x)=fk(
π
4 −x)，即fk(x)的图象关于直线
x=π
4 对称，故B 选项正确；
因为sin2x∈[0，1]，cos2x∈[0，1]，所以fk(x)=sin2kx+cos2kx≤sin2x+cos2x=1，且当sin2x=1 或cos2x=1 时，
fk(x)=1，即fk(x)的最大值为1，故C 选项正确；
当k=3 时，f3(x)=sin6x+cos6x，将其变形可得f3(x)=(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)=sin4x-sin2xcos2x+cos4x=
(sin
2 x +co s
2 x)
2-3sin2xcos2x=1-3
4 sin22x，
因为0≤sin22x≤1，所以1
4 ≤1-3
4 sin22x≤1，即A3=[
1
4 ，1]，故D 选项错误.
11.(2025·安徽A10 联盟质检)由函数g(x)，h(x)相加后得到的函数，具有优美的图象和性质，称为“优生成
函数”.已知g(x)=2sin x，h(x)=|sin 2x|，其优生成函数记为f(x)，则( )
A.f(x)的图象关于直线x=-π
2 对称
B.f(x)在区间(
3 π
2 ，2π)上先增后减
C.f(x)的值域为[−2，3√3
2 ]
D.f(x)在区间[0，10π]上有11 个零点
答案 ACD
解析 易知“优生成函数”为f(x)=2sin x+|sin 2x|，
因为f(-π-x)=2sin(-π-x)+|sin(-2π-2x)|=2sin x+|sin 2x|=f(x)，
所以f(x)的图象关于直线x=-π
2 对称，故A 正确；
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显然f(x+2π)=2sin(x+2π)+|sin(2x+4π)|=2sin x+|sin 2x|=f(x)，
所以2π 是函数f(x)的一个周期，所以f(x)在区间(
3 π
2 ，2π)上的单调性与在区间(−π
2 ，0)上的单调性相
同，设x∈(−π
2 ，0)，则f(x)=2sin x-sin 2x，
求导得f'(x)=2cos x-2cos 2x=-4cos2x+2cos x+2=-2(cos x-1)(2cos x+1)>0，
故f(x)在区间(−π
2 ，0)上单调递增，即f(x)在区间(
3 π
2 ，2π)上单调递增，故B 错误；
由f(x)的图象关于直线x=-π
2 对称及2π 是函数f(x)的一个周期知，
只需考查x∈[−π
2 ，π
2]时f(x)的值域，
因为f (−π
2)=-2+0=-2，f(0)=0+0=0，
f(x)在区间(−π
2 ，0)上单调递增，
故当x∈[−π
2 ，0]时，-2≤f(x)≤0，
当x∈(0，π
2]时，f(x)=2sin x+sin 2x，
求导得f'(x)=2cos x+2cos 2x=2(2cos x-1)(cos x+1)，当0<x<π
3 时，f'(x)>0，当π
3 <x≤π
2 时，f'(x)<0，
所以f(x)在区间(0，π
3)上单调递增，在区间(
π
3 ，π
2]上单调递减，
故当x∈(0，π
2]时，0<f(x)≤f (
π
3)=3√3
2
，
综上，f(x)的值域为[−2，3√3
2 ]，故C 正确；
易知f(x)在区间[0，10π]上的零点分别为0，π，2π，…，9π，10π，共11 个，故D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
12.(2025·北京市西城区模拟)设函数f(x)=2sin(2 x + 2π
3 )，则使得函数f(x+φ)(|φ|< π
2)在区间(0，π
2)上存
在最大值的一个φ 的值为 .
答案 -π
3 (答案不唯一)
解析 因为f(x)=2sin(2 x + 2π
3 )，
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则f(x+φ)=2sin(2 x +2φ+ 2π
3 )，
令2x+2φ+2π
3 =π
2 +2kπ，k∈Z，
所以x=- π
12-φ+kπ，k∈Z，
因为f(x+φ)(|φ|< π
2)在区间(0，π
2)上存在最大值，令0<- π
12-φ+kπ<π
2 ，k∈Z，
则-7 π
12 +kπ<φ<- π
12+kπ，k∈Z，
又|φ|<π
2 ，所以-π
2 <φ<- π
12或5 π
12 <φ<π
2 ，
所以符合题意的一个φ 的值为-π
3 (答案不唯一).
13.(2025·海口质检)已知ω>0，函数f(x)=2cos(ωx −π
6)在(
π
2 ，π)上单调递减，则ω 的取值范围是
，若ω 为正整数，当x∈[0，2π]时，曲线y=cos x 与f(3x)交点的个数为 .
答案 [
1
3 ，7
6] 6
解析 由x∈(
π
2 ，π)得ωx-π
6 ∈(
π ω
2 −π
6 ，π ω−π
6)，
∵函数f(x)=2cos(ωx −π
6)在(
π
2 ，π)上单调递减，∴{
π ω
2 −π
6 ≥2k π ,
π ω−π
6 ≤π +2k π ,
k∈Z，
解得1
3+4k≤ω≤7
6+2k，k∈Z，
∵π-π
2 =π
2 ≤T
2 = π
ω ，∴0<ω≤2，
∴当k=0 时，1
3≤ω≤7
6 ，故ω 的取值范围是[
1
3 ，7
6].
若ω 为正整数，则ω=1，f(x)=2cos(x−π
6)，
f(3x)=2cos(3 x−π
6)，
作出y=cos x 与f(3x)=2cos(3 x−π
6)在x∈[0，2π]上的大致图象，如图，
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由图象可知，曲线y=cos x 与f(3x)交点的个数为6.
14.已知函数f(x)=3sin(2 x−π
3)-2cos2(x−π
6)+1，把函数f(x)的图象向左平移π
6 个单位长度，得到函数g(x)
的图象.若x1，x2是关于x 的方程g(x)=a 在[0，π
2]内的两根，则cos(x1+x2)的值为 .
答案 -√10
10
解析 f(x)=3sin(2 x−π
3)-2cos2(x−π
6)+1
=3sin(2 x−π
3)-cos(2 x−π
3)
=√10sin(2 x−π
3 −φ)，
其中sin φ=√10
10 ，cos φ=3√10
10
，
因为把函数f(x)的图象向左平移π
6 个单位长度，得到函数g(x)的图象，
所以g(x)=f (x + π
6)
=√10sin[2(x + π
6)−π
3 −φ]=√10sin(2 x−φ)，
当x∈[0，π
2]时，2x-φ∈[-φ，π-φ]，
因为x1，x2是关于x 的方程g(x)=a 在[0，π
2]内的两根，
所以有2 x1−φ+2 x2−φ
2
=π
2 ⇒x1+x2=π
2 +φ，
因此cos(x1+x2)=cos(
π
2 +φ)=-sin φ=-√10
10 .
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