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专题02 数列求通项（累加法、累乘法）(典型题型归类训
练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................2
题型一：累加法.........................................2
题型二：累乘法.........................................6
三、数列求通项（累加法、累乘法）专项训练..................9
一、必备秘籍
一、累加法（叠加法）
若数列{an}满足an+1−an=f (n)(n∈N
¿)，则称数列{an}为“变差数列”，求变差数列
{an}的通项时，利用恒等式
an=a1+(a2−a1)+(a3−a2)+¿⋅¿+(an−an−1)=a1+f (1)+f (2)+f (3)+¿⋅¿+f (n−1)(n≥2)
求通项公式的方法称为累加法。
具体步骤：
将上述
个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
=
整理得：
=
1
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二、累乘法（叠乘法）
若数列{an}满足
an+1
an
=f (n) (n∈N ¿)，则称数列{an}为“变比数列”，求变比数列{an}的
通项时，利用an=a1⋅a2
a1
⋅a3
a2
⋅a4
a3
⋅¿⋅¿ an
an−1
=a1⋅f (1)⋅f (2)⋅f (3)⋅¿⋅¿ f (n−1)(n≥2)求通
项公式的方法称为累乘法。
具体步骤：
将上述
个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：
整理得：
二、典型题型
题型一：累加法
1．（2024·全国·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
；
【分析】（1）当
时，求得
，当
时，得到
，两式相减
化简得到
，结合叠加法，即可求得数列
的通项公式；
2
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【详解】（1）解：当
时，
，解得
，
当
时，
，
两式相减可得，
，
则
，
叠加可得，
，则
，
而
时也符合题意，
所以数列
的通项公式为
．
2．（2024·云南大理·模拟预测）在数列
中，
，且数列
是等
差数列.
(1)求
的通项公式；
【答案】(1)
；
【分析】（1）利用等差数列的基本量，求得
，再利用累积法即可求得
；
【详解】（1）因为
，所以
.
所以数列
是首项为4，公差为2 的等差数列，
所以
.
当
时，
，
当
时，
也满足上式，所以
.
3．（23-24 高二下·广西桂林·阶段练习）在数列
中，
.
(1)证明：
是等比数列.
(2)求
的通项公式.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将已知等式变形为
，根据等比数列的定义，即可证明
3
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结论；
（2）由（1）可得
，利用累加法，即可求得
的通项公式.；
【详解】（1）证明：在数列
中，
，故
，
又
，即
，故
，
故
是首项为2，公比为2 的等比数列；
（2）由（1）可得
，
故
时，
，
也适合该式，故
；
4．（23-24 高二下·山东淄博·阶段练习）已知公差不为零的等差数列
的前9 项和
，且
，
，
成等比数列．
(1)若数列
满足
，
，求数列
，
的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由题意，根据等差数列前n 项求和公式和等比中项的应用可得
，
结合等比数列的通项公式得
，再利用累加法求数列
的通项公式；
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，
由
得，
，化简得
．
由
成等比数列，得
，
化简得
，又
，所以
，
所以
，
故数列
的通项公式
，
，
当
时，
，
当
时，
，符合上式，
4
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故
的通项公式为
；
5．（23-24 高三下·云南·阶段练习）已知数列
的前n 项和为
，且
.在数
列
中，
，
.
(1)求
，
的通项公式；
【答案】(1)
，
【分析】（1）直接利用
与
的关系求解
，利用累加法求解
；
【详解】（1）由题知，当
时，
，
当
时，
，
因为
，所以
.
因为
，所以
，
则
，
时符合，故
，
综上，
，
.
6．（23-24 高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列
满足
，且对任意正整数
都有
，
.
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【分析】
（1）利用累加法可求得数列
的通项公式；
5
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【详解】（1）因为数列
满足
，且对任意正整数
都有
，
，
则
，
所以，
，
，
，
，
，
上述
个等式全加得
，
所以，
，
故当
时，
，
也满足
，
故对任意的
，
.
题型二：累乘法
1．（23-24 高二下·云南昆明·阶段练习）已知数列
的前
项和为
，且
．
(1)求
的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由
可得
，两式相减由累乘法
可求出
的通项公式；
【详解】（1）因为
，令
得
，
因为
，
所以
，
两式相减得
，
即
．
所以
，
所以
，
即
，
6
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所以当
时，
，
又
，所以
．
2．（23-24 高三下·四川绵阳·阶段练习）设
为数列
的前
项和，已知
，且
为等差数列．
(1)求证：数列
为等差数列；
(2)若数列
满足
，且
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）借助等差数列的性质与
与
的关系计算即可得；
（2）借助累乘法可计算出数列
，借助裂项相消法可得
.
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，则
，即
，①
因为
，所以由
，得
．②
由①、②解得
，所以
，即
，
当
时，
，
当
时，
，上式也成立，
所以
，所以数列
是等差数列；
（2）由（1）可知
，
当
时，
，
因为
满足上式，所以
．
．
3．（23-24 高二下·陕西渭南·阶段练习）已知数列
中
，
（
，
）.
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(1)求数列
的通项公式．
【答案】(1)
【分析】
（1）根据题意，由迭代法代入计算，即可得到结果；
【详解】（1）因为
（
，
），所以当
时，
，
所以当
时，
，
当
时，
也成立，
所以数列
的通项公式为
.
4．（23-24 高三上·贵州安顺·期末）记
为数列
的前n 项和，已知
，且
，
.
(1)求
的通项公式；
【答案】(1)
【分析】
（1）构造
是等差数列，结合
与
的关系，利用累乘法计算即可；
【详解】（1）∵
，
，∴
，
∵
，∴数列
是首项为1，公差为
的等差数列，
则
，
即
，
，
两式作差得
，
即
，∴
，
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即
，
，
∵
符合上式，∴
.
5．（2023 高二上·全国·专题练习）已知数列
满足
，求
的通项公式.
【答案】
【分析】利用项与和的关系化简条件式，结合累乘法求出通项.
【详解】因为
，
当
时，可得
；
当
时，可得
，
两式相减得，
，即
，
且
，即
，
所以
；
且
满足上式，
不满足上式，
所以数列
的通项公式为
.
6．（2023 高二上·全国·专题练习）已知数列
满足
，求数列
的通项公式.
【答案】
【分析】利用累乘法求数列通项.
【详解】因为
，
所以
，则
，
故
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.
所以数列
的通项公式为
三、数列求通项（累加法、累乘法）专项训练
1．（2024·湖北·模拟预测）数列
中，
，
，且
，
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）依题意可得
，即可得到
为等差数列，即可得
到
，再利用累加法计算可得；
【详解】（1）因为
，所以
，
所以数列
是公差为的等差数列，其首项为
，
于是
，
则
，
，
，
，
，
所以
，
所以
；而
符合该式，故
.
2．（23-24 高二下·四川成都·阶段练习）已知数列
满足：
．
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
；
【分析】（1）根据给定条件，利用累加法求出
的通项公式.
【详解】（1）数列
中，
，
当
时，
，显然
满足上式，
所以数列
的通项公式是
.
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3．（23-24 高二下·山东淄博·阶段练习）（1）在数列
中，已知
，且
，求
【答案】（1）
；
【分析】（1）利用累加法及等差数列等比数列的求和公式即可求解；
【详解】（1）因为
，所以
，
所以
，
，…，
，
将以上各式相加得
.
因为
，所以
，
所以
.
4．（2024 高三·全国·专题练习）在①当
时，
，②数列
与
均
为等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知正项数列
满足
，______．
(1)求数列
的通项公式；
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）选条件①，利用累加法求通项公式；选条件②，根据等差数列的通项公式求
通项公式；
【详解】（1）方案一：选条件①．
当
时，
，
又
，符合上式，
因此数列
的通项公式为
．
方案二：选条件②．
由数列
为等差数列，可设
，
则
，即
，
因此
．
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又数列
为等差数列，因此
，从而
．
又
，所以
，
因此数列
的通项公式为
．
5．（23-24 高二上·河北唐山·期末）数列
满足
，
，
.
(1)求
，
；
(2)证明：数列
是等差数列；
【答案】(1)
，
(2)证明见解析
【分析】（1）令
，
，结合递推关系即可求解；
（2）利用等差数列的定义证明即可；
【详解】（1）令
，得
；
令
，得
.
（2）
，
所以
是以
为首项，2 为公差的等差数列.
6．（23-24 高三下·山东·开学考试）已知数列
满足
．
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）利用累加法计算可得；
【详解】（1）因为
，即
，所以
，
，
累加得
，又
，所以
，
经检验
时符合，所以
.
7．（23-24 高三下·江西·阶段练习）已知数列
的前
项和为
，且
．
(1)求
的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）先利用
整理，然后利用累乘法求解通项公式；
（2）先求出
，然后直接用等差等比的求和公式求解即可.
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【详解】（1）令
，得
.
当
时，因为
，所以
，
两式相减得
，即
，所以
，
所以
，即
，
所以
又
，符合上式，所以
；
8．（2024 高三·全国·专题练习）设
为数列
的前n 项和，已知
．求
的通项公式；
【答案】
【分析】
利用
的关系式推得
，再利用累乘法即可得解.
【详解】因为
，
当
时，
，即
；
当
时，
，即
，
当
时，
，所以
，
整理得
，
当
时，易知
，则
，
所以
，则
，
当
时，
，
都满足上式，所以
．
9．（23-24 高三下·黑龙江哈尔滨·开学考试）记数列
的前
项和
，对任意正整数
，
有
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由
得出数列
的递推关系，然后由连乘法求得通项
；
【详解】（1）由
，则
，两式相减得：
，
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整理得：
，即
时，
，
所以
时，
，
又
时，
，得
，也满足上式.
故
.
10．（23-24 高二上·河北邢台·期末）已知数列
满足
.
(1)求
的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据题意，由累乘法即可求得数列的通项公式；
【详解】（1）由题意
，
，所以
，即
，
所以
，
，
当
时，也满足
，
所以数列
的通项公式为
11．（23-24 高三下·山东德州·开学考试）已知数列
前
项和为
，满足
.
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由
作差得到
，再利用累乘法计算可得；
【详解】（1）因为
，当
时，
，
所以
，
当
时，
，
所以
，
所以
，
，
，
，
，
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累乘得
所以
，
当
时
也成立，所以
.
12．（2024·广东深圳·一模）设
为数列
的前
项和，已知
，且
为
等差数列．
(1)求证：数列
为等差数列；
(2)若数列
满足
，且
，设
为数列
的前
项和，集合
，求
（用列举法表示）．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设等差数列
的公差为d，由题意可得
、
，解得
，结合
求得
，即可证明；
（2）由（1）可得
，根据累乘法可得
，结合
裂项相消求和法计算即可求解.
【详解】（1）设等差数列
的公差为d，则
，即
，①
因为
，所以由
，得
．②
由①、②解得
，所以
，即
，
当
时，
，
当
时，
，上式也成立，所以
，
所以数列
是等差数列．
（2）由（1）可知
，
当
时，
，
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因为
满足上式，所以
．
，
因为当时，，所以．
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