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重难专攻（九） 最小整数与最大整数问题
重难点题型一 整数问题之参变分离
1、（2025·高三·黑龙江大庆·期末）设函数
，若不等式
有且只有三
个整数解，则实数
的取值范围是 .
2、（2025·高三·全国·阶段练习）已知函数
，若不等式
仅有1 个整数解，则
实数
的取值范围为 .
3、已知函数
有两个零点a，b，且存在唯一的整数
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4、已知函数
，
，若不等式
的解集中恰有两个整数，则实
数
的取值范围是 ．
目录●重难点题型分布
5．已知函数
，
.
（1）当
时，求函数
在点
处的切线方程；
（2）令
，若
在
恒成立，求整数
的最大值.（参考数据：
，
）.
6、已知函数
（其中为自然对数的底数）．
（1）当
时，求函数
的极值；
（2）若函数
在
有唯一零点，求实数
的取值范围；
（3）若不等式
对任意的
恒成立，求整数
的最大值．
重难点题型二 整数问题之直接限制法
1、（2025·高二·广东中山·阶段练习）若关于
的不等式
有且只有三个整数解，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2、（四川省达州市2025 届高三第二次诊断性测试数学试题）关于
的不等式
的整
数解个数为
时，
，设
为数列
的前
项和，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3、设函数
，其中
，若存在唯一的正整数
使得
，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4、设函数
，若存在唯一的正整数
，使得
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数
，
．
（Ⅰ）记
，试判断函数
的极值点的情况；
（Ⅱ）若
有且仅有两个整数解，求
的取值范围．
6、已知函数
，为自然对数的底数．
（1）当
时，
①求函数
在
处的切线方程；
②求函数
的单调区间；
（2）若有且只有唯一整数
，满足
，求实数
的取值范围．
重难点题型三 整数问题之虚设零点
1、设函数
，其中
，若存在唯一的整数
，使得
，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·广东广州·模拟预测）已知
，若关于
的不等式
有整数解，则
的取值
范围为 .
3、已知函数
，求：
（1）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
（2）当
时，总有
，求整数
的最小值.
4．（2021·山西·晋中市新一双语学校模拟预测（文））已知函数
（1）若函数
与
有公共点，求
的取值范围；
（2）若不等式
恒成立，求整数
的最小值.
重难点题型四 整数问题之必要性探路法
1、（2021·北京·北师大二附中未来科技城学校高三阶段练习）已知
，
，
．
（1）若
，证明：
；
（2）对任意
都有
，求整数
的最大值．
2．（2021·山西·晋中市新一双语学校模拟预测（文））已知函数
（1）若函数
与
有公共点，求
的取值范围；
（2）若不等式
恒成立，求整数
的最小值.
