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专题02 直线与圆锥曲线的位置关系（弦长与三角形）
知识点一：直线与椭圆联立，求解步骤：
第一步：代入消元，联立
化简：
第二步：计算判别式；
可直接利用结论：
（范围、最值问题）
第三步：根与系数关系表达式；
，
第四步：利用
，计算
第五步：利用
，
计算
1
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第六步：
利用
，
，
计算弦中点
第七步：利用
,计算弦长
和
的面积
进而计算原点
到直线
的距离
第八步:利用
,
，
计算
第九步：利用
,
计算
知识点二：弦长问题
（最常用公式，使用频率最高）
2
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知识点三：弦长问题
设直线和曲线的两个交点A(x1, y1)，B( x2, y2)，代入椭圆方程，得
x
12
a2 +
y
12
b2 =1；
x
22
a2 +
y
22
b2 =1；
将两式相减，可得
x
12−x
22
a2
+
y
12−y
22
b2
=0 ；( x1+x2)( x1−x2)
a2
=−( y1+ y2)( y1−y2)
b2
；
最后整理得：1=−a2( y1+ y2)( y1−y2)
b2( x1+x2)( x1−x2) ⇒
1=−k⋅a2
b2⋅y0
x0
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：1=a2( y1+ y2)( y1−y2)
b2( x1+x2)( x1−x2) ⇒
1=k⋅a2
b2⋅y0
x0
设直线和曲线的两个交点A(x1, y1)，B( x2, y2)，代入抛物线方程，得y
12=2 px 1； y
22=2 px 2 ；
将两式相减，可得( y1−y2)( y1+ y2)=2 p( x1−x2)；整理得：
y1−y2
x1−x2
=
2 p
y1+ y2
知识点四：圆锥曲线中的三角形的面积
1、三角形面积问题
直线
方程：
2、焦点三角形的面积
直线
过焦点
的面积为
注意：
为联立消去
后关于
的一元二次方程的二次项系数
F2
F1
O
y
x
B
A
3
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必考题型一：直线与圆锥曲线的位置关系
例1．（1）、（2023·四川南充·统考一模）已知直线
与椭圆
恒有公共点，则实数m
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）、（2022·陕西·统考一模）已知直线
与焦点在
轴上的椭圆
总有公共点，则b 的
取值范围是 .
1．（2023·广东肇庆·肇庆市第一中学校考模拟预测）若直线
与椭圆
恒有公共点，则实
数m 的取值范围是 ．
2．（2023·重庆北碚·校联考模拟预测）已知椭圆
，直线
，若椭圆上存在关于直线对
称的两点，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
4
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C．
D．
5
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必考题型二：弦长问题
例2．（1）、（2022·河南郑州·统考三模）斜率为1 的直线l 与椭圆
相交于A，B 两点，则
的最大值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
（2）、（2023·全国·模拟预测）已知抛物线
的焦点为
，过焦点
的直线交抛物线于两
点
，
．若弦长
，则直线的斜率为 ．
1．（2023·河南·统考模拟预测）斜率为1 的直线l 过抛物线
的焦点F，且与C 相交于
A，B 两点，O 为坐标原点，若
的面积是
，则
（ ）
A．4
B．8
C．12
D．16
2．（2023·全国·模拟预测）抛物线具备有趣的光学性质：由焦点射出的光线经过抛物线反射后，会沿着平
行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线
的焦点为F，AB 为抛物线的过点F 的一条弦，若从点F
发出的光线分别在点A 和点B 反射后得到的两条平行直线之间的距离为5，则
．
6
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必考题型三：中点弦问题
例3．（1）、（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）若椭圆的中心在原点，一个焦点为
，直线
与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为 ．
（2）、（2022·全国·校联考三模）已知抛物线C：
的焦点为F，直线l 与抛物线C 交于A，B 两点，
线段AB 的中点为
，则点F 到直线l 的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
1．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线
的一条弦
恰好以点
为中点，弦
的长为
，
则抛物线的准线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆
，O 为坐标原点，直线l 交椭圆于A，B 两点，
M 为AB 的中点.若直线l 与OM 的斜率之积为
，则C 的离心率为（ ）
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A．
B．
C．
D．
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例4．（2023·江西吉安·江西省峡江中学校考一模）已知椭圆
的长轴比短轴长2，椭
圆
的离心率为
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)若直线与椭圆
交于
两点，且线段
的中点为
，求的方程．
1．（2023·全国·模拟预测）已知直线
恰好经过双曲线
的左焦点
，
且与
交于
，
两点，
为
的中点，当
时，直线
的斜率为1．
(1)求双曲线
的方程；
(2)若直线经过
且与直线垂直，与双曲线
交于
，
两点，
为
的中点，证明：
与
的面积之比为定值．
2．（2022·上海·统考模拟预测）设A、B 是双曲线
上的两点，点
是线段
的中点．
(1)求直线
的方程；
(2)若线段
的垂直平分线与双曲线相交于C、D 两点，则A、B、C、D 四点是否共圆？判断并说明理由．
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必考题型四：三角形问题
例5．（1）、（2023·全国·模拟预测）椭圆
的两焦点分别为
，过点
的直线交椭
圆
于点
，若
的最大值为3，则当
取得最小值时，
的面积为（ ）
A．4
B．
C．3
D．2
（2）、（2023·四川绵阳·三台中学校考模拟预测）已知抛物线
的焦点为
为坐标原点，
为抛物线
上一点，且满足
，则
的面积为 .
1．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，若
的离
心率为
，过
作双曲线
的一条渐近线的垂线，垂足为
，延长
与另一条渐近线交于点
，若
，
为坐标原点，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．6
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2．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知抛物线
的焦点
关于直线
的对称点
为
，
为坐标原点, 点
在
上且满足
（
均不与
重合），则
面积的
最小值为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．20
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例6．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆
（
）的左、右焦点分别为
，
，离心
率为
，M 为C 上的动点，且
面积的最大值为1．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若O 为坐标原点，直线l 交C 于P，Q 两点，直线OP，OQ 的斜率分别为
，
，且
，求
的面积．
1．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知抛物线
的焦点为
为
上
一点，且
.
(1)求抛物线
的方程；
(2)若直线
交抛物线
于
两点，且
（
为坐标原点），记直线
过定点
，证明：直线过定点
，并求出
的面积.
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2．（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy 中，y 轴同侧的两点P 和Q 分别在直线
和
上，且
，记PQ 的中点M 的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C 的方程；
(2)若直线
与曲线C 有两个不同的交点A，B，求
面积的最小值．
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