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专题02 直线与平面所成角（线面角)（含探索性问题）
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................2
题型一：求线面角.......................................2
题型二：已知线面角求参数...............................4
题型三：求线面角最值（范围）...........................7
三、专项训练..............................................8
一、必备秘籍
1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫
做斜线在平面内的射影.
注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.
如图，直线是平面
的一条斜线，斜足为
，斜线上一点
在平面
上的射影为
，
则直线
是斜线在平面
上的射影.
2、直线和平面所成角：（有三种情况）
（1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定
义可知：斜线与平面所成角的范围为
；
（2）直线与平面垂直时，它们的所成角为
；
（3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0.
结论：直线与平面所成角的范围为
.
1
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3、向量法
设直线
的方向向量为
，平面
的一个法向量为
，直线
与平面
所成的角为
，则
，
.
二、典型题型
题型一：求线面角
1．（2024·全国·模拟预测）在棱长为2 的正方体
中，动点
，
分别在
棱
，
上，且满足
，当
的体积最小时，
与平面
所成角的
正弦值是 ．
2．（23-24 高二上·江西赣州·期末）在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为1 的正方
形，PA⊥底面ABCD，
，E 为PC 的中点，则直线PC 与平面BDE 所成角的正弦值为
．
3．（23-24 高二上·北京·期末）在空间直角坐标系中，若直线的方向向量是
，
平面
的一个法向量是
，则直线与平面
所成角的正弦值等于 .
4．（23-24 高二上·四川成都·期末）正方体
的棱长为2，BC 棱上一点P 满
2
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足
，则直线PA 与平面AB1C 所成角的正弦值为 ．
5．（2024·辽宁·模拟预测）如图，已知多面体
的底面
为正方形，四边形
是平行四边形，
，
，
是
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)若
是等边三角形，求直线
与平面
所成角的正弦值.
6．（2024·全国·模拟预测）如图所示，棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，
，
为
中点，
．
(1)证明：B，C，M，N 四点共面；
(2)求直线AC 与平面
所成线面角的正弦值．
3
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题型二：已知线面角求参数
1．（2024 高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
是矩形，
，
，
是
上的点，直线
与平面
所成角的
正弦值为
，则
的长为 .
2．（23-24 高二上·新疆伊犁·期中）如图，四棱锥
的底面
是梯形，
平面
，
，
，
，
，
为线段
上一
个动点，且
，若
与平面
所成的角为
，则
．
3．（23-24 高二上·辽宁大连·期中）如图，在四棱锥
中，底面
是矩形，
为棱
的中点，且
为棱
上的一点，若
与平
面
所成角的正弦值为
，则
.
4
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4．（2024·山西晋城·二模）如图1，在
中，
，
，点D 是线段
AC 的中点，点E 是线段AB 上的一点，且
，将
沿DE 翻折到
的位
置，使得
，连接PB，PC，如图2 所示，点F 是线段PB 上的一点．
(1)若
，求证：
平面
；
(2)若直线CF 与平面
所成角的正弦值为
，求线段BF 的长．
5．（2024·辽宁·二模）如图，在三棱锥
中，侧面
是全等的直角三角
形，
是公共的斜边，且
，
，另一个侧面是正三角形．
(1)求证：
；
(2)在图中作出点
到底面
的距离，并说明理由；
(3)在线段
上是否存在一点
，使
与平面
成
角？若存在，确定
的位置；
若不存在，说明理由．
5
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6．（23-24 高三下·湖南长沙·阶段练习）如图，在四棱锥
中，
平面
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)若点
为
的中点，线段
上是否存在点
，使得直线
与平面
所成角的正
弦值为
.若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.
7．（2024·天津和平·一模）如图，四棱锥
的底面
是正方形，
平面
，
，点
分别是棱
，
的中点，点
是线段
上一点.
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
的夹角的余弦值；
(3)若直线
与平面
所成的角的正弦值为
，求此时
的长度.
6
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题型三：求线面角最值（范围）
1．（2024·河北沧州·一模）如图，已知点
是圆台
的上底面圆
上的动点，
在下
底面圆
上，
，则直线
与平面
所成角的余弦值
的最小值为 ．
2．（23-24 高三下·全国·阶段练习）如图，在
中，
，在直角梯形
中，
，
，记二面角
的大小为
，若
，则直线
与平面
所成角的正弦值的最大值为 ．
3．（23-24 高二上·江西南昌·期末）在棱长为2 的正方体
中，
在线段
上运动，直线
与平面
所成角的正弦值的取值范围为 .
7
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4．（2024 高三·全国·专题练习）如图，四棱锥
的底面为正方形，
底面
．设平面
与平面
的交线为l．若
，Q 为l 上的点，则PB 与平
面
所成角的正弦值的最大值为 ．
5．（23-24 高二下·江苏宿迁·阶段练习）在长方体
中，
，线段
有一动点
，过
作平行于
的平面交
与点
.当直线
与平面
所成角最
大时，
.
6．（23-24 高二下·江苏徐州·阶段练习）在正方体
中，
为线段
的中
点，点
在线段
上，则直线
与平面
所成角的正弦值的范围是 ．
三、专项训练
1．（23-24 高二上·湖南长沙·期末）正三棱柱
中，
，
是
的中
点，点
在
上，且满足
，当直线
与平面
所成的角取最大值时，
的值为 ．
2．（23-24 高二上·浙江杭州·阶段练习）在
中，
，
．若空间点
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满足
，则直线
与平面
所成角的正切的最大值为 .
3．（23-24 高二上·上海·期末）已知平面
的一个法向量
，直线的方向向量
，则直线与平面
所成角的正弦值为 .
4．（23-24 高二上·辽宁沈阳·期末）如图，正方体
的棱长为2，P 是过顶点
的圆上的一点，
为
的中点．当直线
与平面
所成的角最大时，点
的坐标为 ；直线
与平面
所成角的正弦值的取值范围是 ．
5．（23-24 高二上·四川成都·期中）如图，在
中，
，
过
中点
的动直线与线段
交于点
，将
沿直线向上翻折至
，使
得点
在平面
内的射影
落在线段
上，则斜线
与平面
所成角的正弦
值的取值范围为 .
6．（23-24 高二上·福建福州·期中）在正方体
中，点
在线段
上运
动，则直线
与平面
所成角的正弦值的最大值为 .
7．（23-24 高三下·江西·阶段练习）如图，在三棱锥
中，
与
都为等边
三角形，平面
平面
分别为
的中点，且
在棱
上，且满足
，连接
．
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(1)求证：
平面
；
(2)设
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
8．（2024·安徽合肥·二模）如图，在四棱锥
中，底面
是边长为2 的菱
形，
是侧棱
的中点，侧面
为正三角形，侧面
底面
．
(1)求三棱锥
的体积；
(2)求
与平面
所成角的正弦值．
9．（23-24 高二下·江苏泰州·阶段练习）如图，在三棱柱
中，
，侧面
是正方形，二面角
的大小是
．
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(1)求
到平面
的距离．
(2)线段
上是否存在一个点D，使直线
与平面
所成角为
？若存在，求出
的长；若不存在说明理由．
10．（2024·天津河东·一模）在正方体
中（如图所示），边长为2，连接
(1)证明：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)底面正方形
的内切圆上是否存在点
使得
与平面
所成角的正弦值为
，若存在求
长度，若不存在说明理由．
11．（23-24 高三下·陕西安康·阶段练习）如图，在四棱锥
中，底面
是矩
形，
，
平面
，E 为棱
的中点．
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(1)若
与平面
所成的角为
，求证：
平面
；
(2)若平面
与平面
夹角的余弦值为
，求
．
12．（23-24 高二下·江苏淮安·阶段练习）如图1，已知
是直角梯形，
，
，
，C、D 分别为BF、AE 的中点，
，
，将直角梯形
沿
翻折，使得二面角
的大小为
，如图2 所示，设N 为
的中点.
(1)证明：
；
(2)若M 为AE 上一点，且
，则当
为何值时，直线BM 与平面ADE 所成角的余弦
值为
.
13．（23-24 高二下·黑龙江大庆·开学考试）如图，
，
分别是直径
的半圆
上的
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点，且满足
，
为等边三角形，且与半圆
所成二面角的大小为
，
为
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)在弧
上是否存在一点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
？若存
在，求出点
到平面
的距离；若不存在，说明理由．
14．（2024·北京平谷·模拟预测）如图，在三棱柱
中，侧面
和
均为正方形，
，平面
⊥平面
，点M 是
的中点，N 为线段AC 上
的动点；
(1)若直线
平面BCM，求证：N 为线段AC 的中点；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
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