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重难点培优03 平面向量中三角形的“四心”问题及奔驰定
理秒杀应用
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................5
题型一 重心（★★★★★）........................................................................................................................5
题型二 外心（★★★★★）........................................................................................................................6
题型三 内心（★★★★★）........................................................................................................................7
题型四 垂心（★★★★★）........................................................................................................................8
题型五 奔驰定理（★★★★）....................................................................................................................9
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................11
检测Ⅰ组 重难知识巩固..............................................................................................................................11
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................14
一、三角形的重心
1、定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；
2、重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
②重心和三角形3 个顶点组成的3 个三角形面积相等．
在平面向量的应用：（1）设点
是△
所在平面内的一点，则当点
是△
的重心时，有
或
（其中
为平面内任意一点）；
（2）在向量的坐标表示中，若
、
、
、
分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为
、
、
，
，则有
.
二、三角形的外心
1、定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；
2、外心的性质：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在
三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而
一个圆的内接三角形却有无数个．
3、外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
在平面向量的应用：若点
是△
的外心，则
或
；
三、三角形的内心
1、定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心
2、内心的性质：①三角形的内心到三角形三边的距离相等
②三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
3、内切圆
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做
圆的外切三角形
在平面向量的应用：若点是△
的内心，则有
四、三角形的垂心
1.定义：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；
在平面向量的应用：若
是△
的垂心，则
或
五、奔驰定理
1、奔驰定理：O 是△ABC 内一点，且x⃗OA+y⃗OB+z⃗OA =⃗0,，则S ΔBOC :SΔCOA :SΔ AOB =¿ x : y : z ¿
2、奔驰定理推论：O 是△ABC 所在平面内一点，且x⃗OA+y⃗OB+x⃗OA =⃗0,，则：
① S∆BOC：S∆AOC:S∆AOB=x:y:z
② S∆BOC
S∆ABC
=|x
x+y+z |;S∆AOC
S∆ABC
=|y
x+y+z |;S∆AOB
S∆ABC
=|z
x+y+z |
由于这个定理对应的图像和奔驰定理的图标很相似，我们把它称为奔驰定理.
3、奔驰定理的证明
奔驰定理：O 是Δ ABC 内一点，且x ¿⃗OA+ y⋅⃗OB +z⋅⃗OC =⃗0 ，则S ΔBOC :SΔCOA :SΔ AOB =¿ x : y : z ¿
O
A
B
C
D
O
A
B
C
已知O 是Δ ABC 内的一点，ΔBOC , ΔAOC , ΔAOB 的面积分别为S A ，SB ，SC ，求证：
S A¿⃗OA+¿ SB ¿⃗OB +¿ SC ¿⃗OC =⃗0 ¿¿
法一证明：延长OA 与BC 边相交于点D 则
BD
DC =SΔA BD
SΔACD
= SΔBOD
SΔCOD
=SΔ ABD
−¿SΔBOD
SACD −¿SΔCOD
=
SC
SB
¿¿⃗
OD =
DC
BC⃗OB +
BD
BC⃗OC =
SB
SB+SC⃗OB +
SC
SB+SC⃗OC
∵
OD
OA = SBOD
SBOA
= SCOD
SCOA
= SBOD +SCOD
SBOA+SCOA
=
S A
SB+SC ∴⃗
OD =−
SA
SB+SC⃗OA
∴
−
S A
SB+SC⃗OA =
SB
SB+SC⃗OB +
SC
SB+SC⃗OC
∴S A¿⃗OA+¿ SB ¿⃗OB +¿ SC ¿⃗OC =⃗0 ¿¿
法二证明：延长OA 到OA1，OB 到OB1,OC 到OC1使得，OA1
→
=xOA ,
→
OB 1
→
= y OB ,
→
OC
→
1=zOC ,
→
O 为
△A1B1C1的重心.
SΔ AOB
SΔA1OB 1
=
1
2 |OA||OB |sin∠AOB
1
2 |OA1||OB 1|sin∠A1OB 1
=1
xy
SΔ AOC
SΔA1OC 1
=
1
2 |OA||OC |sin∠AOC
1
2 |OA1||OC 1|sin∠A1OC 1
=1
xz
SΔA1OB 1=xyS ΔAOB ，
SΔA1OC 1=xzS ΔAOC ，
xyS ΔAOB =xzS ΔAOC ，
SΔAOB
SΔAOC =z
y
得证.
4、三角形四心与奔驰定理的关系及证明
①
是
的重心：
．
证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得
②
是
的内心：
证明：
，
，
（
为
内切圆的半径），所以
，再由奔驰定理可得
③
是
的外心：
．
证明：
，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得
，所以
（
为
外接圆的半径），同理可得
，
，所以
，再由奔驰定理可得
④
是
的垂心：
证明：如图
为
的垂心，则有
，
，所以
，所以
，同理可得
，所以
，再由奔驰定理可得
题型一 重心
【技巧通法·提分快招】
设
是
的重心，
为平面内任意一点.
（1）
（2）
，
，
，
（3）若
，则
点的轨迹一定经过三角形的重心.
（4）动点
满足
，
，则
的轨迹一定通过
的重心
（5）动点P 满足
，
，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的
重心
1．（2025·吉林·二模）在
中，点D 为
的中点，点O 为
的重心，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三下·湖南长沙·月考）空间内有五点A，P，Q，S，T，则“
”是“Q
为
重心”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．既不充分也不必要条件
D．必要不充分条件
3．设
为
的重心，且
，则角
的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知
，
为平面内任意一点，动点
满足
，则点
的
轨迹一定经过（ ）
A．
的内心
B．
的垂心
C．
的重心
D．
的外心
5．已知
为
的重心，过
的直线分别与边
交于点
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知
为等边三角形，点G 是
的重心．过点G 的直线l 与线段AB 交于点D，与线段AC 交
于点E．设
，
，则
．
题型二 外心
【技巧通法·提分快招】
（1）
（2）
（3）动点
满足
，
，则动点
的轨迹一定通过
的外心；
1．设
是
所在平面内的一点，若
，且
，则点
是
的
（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
2．已知在
中，
分别为
的重心和外心，且
，则
的形状是（ ）．
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．上述三种情况都有可能
3．在
中，
，
，
，点O 为
的外心，若
，
，
，则
4．在锐角
中，内角
的对边分别为
，
为其外心.若
外接圆半径为
，且
，则
的值为 .
5．已知
是
的外心，若
，则
．
6．如图，已知
为
的外心，内角
的对边分别为
．若
，则
．
7．（24-25 高三上·天津河北·期中）已知
中，点
分别是
的重心和外心，且
，则边
的长为 .
8．记
的三个内角
，且
，
，若
是
的外心，
是角
的平分线，
在
线段
上，则
.
题型三 内心
【技巧通法·提分快招】
（1）
（或
）
其中
分别是
的三边
的长
（2）
，则P 点的轨迹一定经过三角形的内心
（注：向量
(
)所在直线过
内心(是
角平分线所在直线)）
（3）动点P 满足
，
则P 的轨迹一定通过△ABC 的内心
（4）
1．设
为
的内心，
，
，
，
，则
.
2．已知
，
为三角形所在平面上的一点，且点
满足
，则
为三角形的
（ ）．
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
3．设
的内角
，
，
的对边分别为
，
， ，
是
所在平面上的一点，
，则点
是
的（ ）
A．重心
B．外心
C．内心
D．垂心
4．在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，I 为
的内心，若
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三上·河南驻马店·月考）（多选题）已知
是边长为
的正三角形，该三角形的内心为
点
，下列说法正确的是（ ）
A．
在
方向上的投影向量的模为
B．
C．
D．若
为
外接圆上任意一点，则
6．（多选题）
的内心为P，外心为O，重心为G，若
，
，下列结论正确的是
（ ）
A．
的内切圆半径为
B．
C．
D．
题型四 垂心
【技巧通法·提分快招】
（1）
（2）
（3）动点
满足
，
，则动点
的轨迹一定通过
的垂心
（4）tan A ¿⃗OA+¿tan B ¿⃗OB +¿tanC ¿⃗OC =⃗0 ¿¿.
1．已知平面上四个点
，其中任意三个不共线．若
，则直线
一定经过三角
形
的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
2．已知点
是非等边
的外心，
是平面
内的一点且
，则
是
的
（ ）
A．垂心
B．重心
C．内心
D．外心
3．（23-24 高三上·河北·月考）若
是
的垂心，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（多选题）已知
是平面上的四点，任何三点不共线，且满足
，则下列结论正确的是（ ）
A．
是
的垂心
B．
是
的垂心
C．
D．
5．已知H 是
的垂心，满足
，且
，则
．
6．（24-25 高三上·宁夏银川·月考）欧拉线是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1765 年提出的一个几何定理，
指出在一个三角形中，其外心、重心和垂心共线.这条直线被称为欧拉线.在三角形ABC 中，O 为三角形的
外心，P 为三角形垂心（O 点与P 点不重合），且
，动点M 在直线OP 上，且
，
则
的最大值
题型五 奔驰定理
【技巧通法·提分快招】
三角形四心与奔驰定理的关系
①
是
的重心：
．
②
是
的内心：
③
是
的外心：
．
④
是
的垂心：
1．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：
已知
是
内一点，
，
，
的面积分别为
，
，
，且
.若
为
的垂心，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三上·河北保定·月考）（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这
个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知
是
内一点，
，
，
的面积分别为
，
，
，则
．
设
是
内一点，
的三个内角分别为
，
，
，
，
，
的面积分别为
，
，
，若
，则以下命题错误的有（ ）
A．
B．
有可能是
的重心
C．若
为
的外心，则
D．若
为
的内心，则
为直角三角形
3．（23-24 高三上·江西新余·期末）（多选题）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面
向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的
具体内容是：如图所示，已知
是
内一点，
，
，
的面积分别为
，且
．以下命题正确的有（ ）
A．若
，则
为
的重心
B．若
为
的内心，则
C．若
，
为
的外心，则
D．若
为
的垂心，
则
4．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与
三角形的四心（重心内心外心垂心）有着美丽的邂逅
､
､
､
.它的具体内容是：如图，若
是
内一点，
的面积分别为
，则有
.已知
为
的内心，且
，若
，则
的最大值为 .
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（24-25 高三下·江西·月考）设
为
的重心，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·四川南充·三模）已知点P 在
所在平面内，若
，
则点P 是
的（ ）
A．外心
B．垂心
C．重心
D．内心
3．已知在同一个平面上有
和一点
，且满足关系式：
，则
为
的（ ）．
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
4．已知点
为
的外心，且向量
，
，若向量
在向量
上的投影向量
为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．设O 为
的内心，
，
，
，则
（ ）.
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高三上·辽宁·期中）设
的外心为
，重心为
，并且满足
，则
当
最大时，
的外接圆半径为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．平面向量中有一个非常优美的结论：已知O 为
内的一点，
，
，
的面积分别
为
，
，
，则
．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．
已知O 为
的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（24-25 高三上·黑龙江哈尔滨·期中）（多选题）在
中，
为
内的一
点，
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
为
的重心，则
B．若
为
的外心，则
C．若
为
的垂心，则
D．若
为
的内心，则
9．（24-25 高三上·吉林松原·月考）（多选题）已知点
在
所在的平面内，
，则下列命题正确
的是（ ）
A．若
，且
，则
B．若
，则
C．若
，则动点
的轨迹经过
的内心
D．若
，则动点
的轨迹经过
的外心
10．（2025·陕西咸阳·三模）（多选题）如图，已知
是
内一点，三角形
、
、
的面
积分别为
、
、
，则
．若
是锐角
内的一点，
，
，
是
的三个内角，且
点满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
是
的垂心
B．
C．
D．
11．（多选题）如图.
为
内任意一点，角
的对边分别为
，总有优美等式
成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命
题的有（ ）
A．若
是
的重心，则有
B．若
成立，则
是
的内心
C．若
，则
D．若
是
的外心，
，
，则
12．（多选题）边长为1 的正三角形
的内心为
，过
的直线与边
交于
，则（ ）
A．
B．当
时，此时
C．
的最大值为18
D．
的最小值为15
13．（2024·四川南充·模拟预测）已知点
是
的重心，
，
，
，则
．
14．在
中，I 为
的内心，若
，则
.
15．设
分别为
的外心和垂心，
，
，
，
，则
．
16．（2024 高三·江苏·专题练习）在
中，
，O 是
的外心，则
的最大值为
17．由三角形内心的定义可得：若点
为
内心，则存在实数
，使得
.在
中，
，若点
为
内心，且满足
，则
的最大值为 .
18．（2025·海南·模拟预测）瑞士数学家欧拉在1765 年提出定理：任意三角形的外心、重心和垂心依次位
于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线也被称为欧拉线．已知在
中，
，
，且
，设
的外心为O，重心为G，垂心为H，若
，则实数
；
．
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．在四面体
中，Q 为
的重心，
分别为侧棱PA，PB，PC 上的点，若
，
，
，PQ 与平面EFG 交于点D，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．在
中，
，
，
，O 是
的内心，且
，则
=
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
为
的垂心，且
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
4．（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿
车（Mercedesbenz）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知
是
内的一点，
、
、
的面积分别为
、
、
，则
.若
是锐角
内的一点，
、
、
是
的三个内角，且点
满足
，则
（ ）
A．
为
的垂心
B．
C．
D．
5．（多选题）如图，已知O 是
内部任意一点，
，
，
的面积分别为
，
，
，
．根据上述结论，则（ ）．
A．如果
，那么
B．如果
，那么
C．如果O 为
的重心，那么
D．如果O 为直角
的内心，且两直角边
，
，那么
6．（2025·新疆·模拟预测）已知
为
的外心，若
，则
的最
大值为 .
7．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedes-
Benz）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理）．“奔驰定理”的内容如下：如图，已知
是
内一点，
，
，
的面积分别为
，
，
，则
．若
是锐
角
内的一点，
，
，
是
的三个内角，且
点满足
，则下列说
法正确的是 （填序号）
①
是
的垂心；②
；
③
；④
