热点06+几何基础证明题（5大题型+高分技法+限时提升练）（原卷版）_2025中考数学题型解题分类专题合集_2025年中考数学热点•重点•难点专练[完整版]www.jiaoyupan.vip

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热点06 几何基础证明题
北京中考几何证明题强调对基础知识和基本技能的掌握，如平行四边形、三角形、圆等基本几何图形的性
质和定理的应用。例如，2021 年试题中涉及了平行四边形的判定、角度和边长的计算、特殊三角形的性质
等内容。此外，2024 年试卷也强调了对基本知识、基本技能和基本方法的考查，体现了对学生扎实基础的
要求。几何证明题不仅考查学生对单一知识点的掌握，还注重综合应用能力。
【题型1  几何解答三角形相关】 
考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，含30 度角的直
角三角形的性质，旋转的性质，需熟练掌握以上知识．此外该类题还常结合三角形内角和、三角形外角
性质、三角形中位线定理、相似三角形的性质和判定，等腰三角形的三线合一性质、旋转的性质以及全
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等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
1．（北京市陈经纶中学分校2024~2025 学年下学期九年级数学开学）在
ABC
V
中，
90
ABC
Ð
=
°，
C
a
Ð
=
（0
45
a
° <
<
° ），D 是线段BC 上的动点（不与点B
C
，
重合），将线段DB 绕点D 顺时针旋转2a 得到线段
DE ．
(1)如图1，当点E 在线段AC 上时，求证：
90
AEB
Ð
=
° ；
(2)如图2，延长CD 至点F ，使DF
DC
=
，连接
,
,
AE AF EF ，直接写出
AEF
Ð
的大小，并证明．
2．（北京市第一六一中学2024-2025 学年下学期九年级开学）如图，在等边
ABC
V
中，D 为AB 上一点，连
接CD ，E 为线段CD 上一点（CE
DE
>
），将线段CE 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CF ，连接AF ．
(1)求证：BE
AF
=
；
(2)点G 为BC 延长线上一点，连接AG 交CF 于点M．若M 为AG 的中点，用等式表示线段CE
MF
DE
，
，
之
间的数量关系，并证明.
3．（北京市十一晋元中学2024-2025 学年下学期开学）Rt
ABC
△
中，
90
ACB
Ð
=
°，
B
a
Ð
=
，点D 是AB 边
中点，点E 是BC 边上一动点（不与点B 、点C 重合），连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转2a ，得到
线段DF ，连接BF ．
(1)如图1，若点F 刚好落在BC 边上，连接AF ，求证：AF
BF
=
；
(2)在图2 中判断AC 、BE 和BF 的数量关系，并证明；
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(3)若
30
a =
°，
1
AC = ，直接写出CF 的最小值为________．
4．（24-25 九年级下·北京海淀·开学考试）如图，在等边
ABC
V
中，D 为边BC 上一点，连接AD ，E 为线
段AD 上一点（AE
DE
>
），将线段AE 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AF ，连接BF ．
(1)求证：CE
BF
=
；
(2)点G 为CA 延长线上一点，连接BG 交AF 于点H．若H 为BG 的中点，用等式表示线段AE ，HF ，DE
之间的数量关系，并证明
5．（北京市第四中学2024-2025 学年九年级下学期开学）已知：如图，
ABC
V
中，
90
BAC
Ð
=
°，
AB
AC
=
，点D 是BC 边上的一个动点（不与B、C 点重合），
1
45
Ð =
°．
(1)求证：
ABD
DCE
∽
△
△
；
(2)若
1
AE
EC
=
= ，求BD 的长．
【题型2  几何解答平行四边形相关】
考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，灵活运用这些性质解决问题
是解题的关键．
6．（海淀区师达中学2024~2025 学年九年级下学期一模）如图，在
ABCD
Y
中，过点A 作AE
DC
^
交DC
的延长线于点E ，过点D 作DF
EA
∥
交BA 的延长线于点F ．
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(1)求证：四边形AEDF 是矩形；
(2)连接BD ，若
2
AB
AE
=
=
，tan
2
ADF
Ð
=
，求BD 的长．
7．（北京市北京理工大学附属中学2024~2025 学年上学期九年级期中）如图，在
ABCD
Y
中，点E ，F 分别
在AB ，CD 上，BE
DF
=
，连接EF 与对角线AC 相交于点O ．
(1)求证：OE
OF
=
；
(2)连接CE ，G 为CE 的中点，连接OG ．若
2
OG =
，求AE 的长．
8．（24-25 九年级上·北京延庆·期中）如图，四边形ABCD 是平行四边形，DE
AB
^
于点E DF
BC
^
,
于点
F ．
(1)求证：CD
DF
BC
DE
=
(2)当
2
3
1
CD
AD
CF
=
=
=
，
，
时，求AE 的长．
9．（2023 年北京师范大学附属实验中学中考三模）如图，在
ABCD
Y
中，点E 在BC 上，AB
BE
=
，BF 平
分
ABC
Ð
交AD 于点F ，请用无刻度的直尺画图( 保留作图痕迹，不写画法) ．
(1)在图1中，过点A 画出
ABF
△
中BF 边上的高AG ；
(2)在图2 中，过点C 画出C 到BF 的垂线段CH ．
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10．（2023·北京东城·模拟预测）已知BD 垂直平分AC
BCD
ADF
AF
AC
Ð
= Ð
^
，
，
(1)求证：四边形ABDF 是平行四边形；
(2)若
5
6
AF
DF
AD
=
=
=
，
，求tan BCD
Ð
的值．
【题型3  几何解答矩形相关】
考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角函数的定义、等腰三角形三线合一，化为最简二次根式，熟
记特殊四边形的判定与性质是解题的关键．
11．（北京市第一六一中学2024-2025 学年下学期九年级开学）如图，在
ABC
V
中，AB
AC
=
，点D 是BC
边的中点，连接AD ，分别过点A ，C 作AE
BC
∥
，CE
AD
∥
交于点E ，连接DE ，交AC 于点O ．
(1)求证：四边形ADCE 是矩形；
(2)若
10
AB =
，
4
sin
5
COE
Ð
=
，求CE 的长．
12．（24-25 九年级下·北京海淀·开学考试）如图，四边形ABCD 中，
90
B
D
Ð
= Ð
=
° ，过点C 作AD 的平行线
交AB 于点E，在AD 上取点F，使DF
CE
=
，连接EF ．
(1)求证：四边形CDFE 是矩形；
(2)若
5
CE =
，
2
CD
BE
=
，
4
tan
3
A =
，求AD 的长．
13．（北京市昌平区回龙观东西学区2024-2025 学年上学期九年级期中）如图，在矩形ABCD 中，点E，F
分别在边AD ，DC 上，
ABE
DEF
△
△
∽
，
6
AB =
，
9
AE = ，
2
DE =
．
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(1)求EF 的长．
(2)求证：
90
BEF
Ð
=
°．
14．（24-25 九年级上·北京昌平·期中）如图，点E 是矩形ABCD 的边AB 上一点，沿直线CE 将
CBE
△
翻折，
使得点B 落在AD 边上，记作点F ．
(1)求证：
AEF
DFC
△
∽△
；
(2)若
1
3
EF
FC =
，且
6
CD = ，求BC 的长．
15．（24-25 九年级上·北京石景山·期末）如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 上一点，F 为矩形外一点，
90
F
AF
AE
Ð
=
°
^
，
．
(1)求证：AFB
ADE
V
V
∽
；
(2)连接BD 交AE 于点G，若
30
1
1
2
FA
AD
E
F
B
D
A
Ð
=
=
=
o
，
，
，直接写出AB 的长为 ，EG 的长为 ．
【题型4 几何解答菱形相关】
考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练
掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
16．（24-25 九年级下·北京海淀·开学考试）如图，在
ABCD
Y
中，
90
BAC
Ð
=
°，E ，F 分别是BC ，AD 的
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中点，连接AE ，CF ，G 是线段AC 上一点，且AE
AG
=
，连接EG ．
(1)求证：四边形AECF 是菱形；
(2)若
3
cos
5
B =
，
10
BC =
，求EG 的长．
17．（北京市人大附中朝阳学校2024-2025 学年九年级上学期开学）已知，如图，在
ABC
V
中，
90
ABC
BD
Ð
=
°，
是
ABC
V
的中线，F 是BD 的中点，连接CF 并延长到E，使FE
CF
=
，连接BE
AE
、
．
(1)求证：四边形AEBD 是菱形；
(2)若
8
5
BC
BE
=
=
，
，求菱形AEBD 的面积．
18．（北京市师达中学 2024—2025 学年九年级上学期 开学）如图，
ABCD
Y
对角线AC ，BD 相交于点O ，
过点D 作
∥
DE
AC且DE
OC
=
，连接CE ，OE ，OE
CD
=
．
(1)求证：
ABCD
Y
是菱形；
(2)若
4
AB =
，
60
ABC
Ð
=
° ，求AE 的长．
19．（24-25 九年级上·北京海淀·开学考试）如图，在
ABC
V
中，AB
BC
=
，D，E 分别是AB ，AC 的中点，
AF
DE
∥
，EF
AD
∥
．
(1)求证：四边形ADEF 是菱形；
(2)连接CF ，若
10,
12
AB
AC
=
=
，求CF 的长．
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20．（北京师范大学第二附属中学未来科学城学校2024-2025 学年九年级上学期开学）如图，在
ABC
V
中，
AB
AC
=
，D，E 分别是AB ，BC 的中点，BF
DE
∥
，EF
DB
∥
．
(1)求证：四边形BDEF 是菱形；
(2)连接DF 交BC 于点M，连接CD ，若
4
BE =
，
2 5
AC =
，求DM ，CD 的长．
【题型5 几何解答正方形相关】
考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形外角的性质，
三角形内角和定理等知识．熟练掌握正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，旋
转的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理是解题的关键．
21．（北京市第一六一中学2024-2025 学年九年级上学期开学）如图，E 为正方形ABCD 内部一点，且
AE
AB
=
，BE 的延长线交CD 于点F．
(1)求证：
1
2
CBF
BAE
Ð
=
Ð
；
(2)作FG
AB
^
于点G，交AE 于点H， 用等式表示线段AH
BG
FH
，
，
的数量关系，并证明．
22．（北京市第十三中学2024-2025 学年九年级上学期10 月）如图，正方形AB C D
¢
¢
¢ 是由正方形ABCD 旋转
而成的，点D 在AC¢上．
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(1)直接写出旋转中心、旋转方向与旋转角；
(2)若正方形的边长是1，直接写出C D
¢
的长．
23．（北京市顺义区仁和中学2024-2025 学年九年级 上学期10 月）如图，正方形ABCD 中，M 为BC 上一
点，F 是AM 的中点，EF
AM
^
，垂足为F ，交AD 的延长线于点E ，交DC 于点N ．
(1)求证：ABM
EFA
V
V
∽
；
(2)若
8
AB =
，
6
BM =
，求AE 的长．
24．（北京市昌平区新学道临川学校2020-2021 学年九年级上学期12 月）如图，正方形ABCD 中，E，F 分
别是边AD ，CD 上的点，AE
ED
=
，
1
4
DF
DC
=
，连接EF 并延长交BC 的延长线于点G．
(1)求证：
ABE
DEF
△
△
∽
；
(2)若正方形的边长为4，求BG 的长．
25．（北京市朝阳区首都师范大学附属中学朝阳学校2023-2024 学年九年级上学期期中）如图，四边形ABCD
是正方形，点E 为ABCD 内一点，将BE 绕点B 顺时针旋转90°得到BF ，连接EF 、AE 、CF ，EF 与CB
交于点G．
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(1)求证：AE
CF
=
；
(2)若
55
ABE
Ð
=
°，求
EGC
Ð
的大小．
（建议用时：15 分钟）
1．如图，在平行四边形ABCD 中，点E，F 分别在BC ，AD 上，BE
DF
=
，AC
EF
=
．
(1)求证：四边形AECF 是矩形；
(2)若AB
AD
=
，且
4 5
4
AC
EC
=
=
，
，求AB 的长．
2．如图，已知在
ABCD
Y
中，E，F 是对角线BD 上的两点，BE
DF
=
，点G，H 分别在BA 和DC 的延长
线上，且AG
CH
=
，连接GE，EH，HF，FG．
求证：
(1)
GBE
HDF
△
≌△
；
(2)GF
EH
=
．
3．如图，在
ABC
V
中，
=60
B
Ð
° ，点D 是BC 上一点，且
1
2
CD
BD =
，连结AD ，E、F 分别为AB
AD
、
中点，
连结EF
DE
CF
、
、
，若AD
BC
^
，
3
BC = ．
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(1)求四边形DCFE 的面积；
(2)求sin
ACF
Ð
的值．