热点06+几何基础证明题（5大题型+高分技法+限时提升练）（解析版）_2025中考数学题型解题分类专题合集_2025年中考数学热点•重点•难点专练[完整版]www.jiaoyupan.vip

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热点06 几何基础证明题
北京中考几何证明题强调对基础知识和基本技能的掌握，如平行四边形、三角形、圆等基本几何图形的性
质和定理的应用。例如，2021 年试题中涉及了平行四边形的判定、角度和边长的计算、特殊三角形的性质
等内容。此外，2024 年试卷也强调了对基本知识、基本技能和基本方法的考查，体现了对学生扎实基础的
要求。几何证明题不仅考查学生对单一知识点的掌握，还注重综合应用能力。
【题型1  几何解答三角形相关】 
考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，含30 度角的直
角三角形的性质，旋转的性质，需熟练掌握以上知识．此外该类题还常结合三角形内角和、三角形外角
性质、三角形中位线定理、相似三角形的性质和判定，等腰三角形的三线合一性质、旋转的性质以及全
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等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
1．（北京市陈经纶中学分校2024~2025 学年下学期九年级数学开学）在
ABC
V
中，
90
ABC
Ð
=
°，
C
a
Ð
=
（0
45
a
° <
<
° ），D 是线段BC 上的动点（不与点B
C
，
重合），将线段DB 绕点D 顺时针旋转2a 得到线段
DE ．
(1)如图1，当点E 在线段AC 上时，求证：
90
AEB
Ð
=
° ；
(2)如图2，延长CD 至点F ，使DF
DC
=
，连接
,
,
AE AF EF ，直接写出
AEF
Ð
的大小，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)
90
AEF
Ð
=
°，证明见解析
【详解】（1）证明：Q线段DB 绕点D 顺时针旋转2a 得到线段DE ，
BD
ED
\
=
，
2
BDE
a
Ð
=
，
当点E 在线段AC 上时，在
ABC
V
中，
90
ABC
Ð
=
°，
C
a
Ð
=
，
90
BAC
a
\Ð
=
° -
，
DEC
BDE
C
a
Ð
= Ð
- Ð
=
，
在
BDE
V
中，BD
ED
=
，
180
180
2
90
2
2
BDE
DBE
DEB
a
a
°- Ð
°-
\Ð
= Ð
=
=
=
°-
，


180
180
90
90
AEB
DEB
DEC
a
a
\Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°-
°-
-
=
°；
（2）解：
90
AEF
Ð
=
°，理由如下：
延长FE 至G ，使
=
FE
GE ，连接CG 、AG ，延长BF 到M ，使BM
BC
=
，如图所示，
DF
DC
Q
=
，
=
FE
GE ，
DE
\
是
CFG
△
的中位线，
2
CG
DE
\
=
，DE
CG
∥
，
∴
2
DCG
BDE
a
Ð
= Ð
=
，FED
FGC
V
V
∽
，
∴FD
DC
=
，
ACD
a
Ð
=
Q
，
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ACG
DCG
ACD
a
\Ð
= Ð
- Ð
=
，
∵
,
90 ,
AB
AB
ABC
ABM
BM
BC
=
Ð
= Ð
=
°
=
，
∴


ABM
ABC SAS
V
V
≌
，
∴AM
AC
=
，
M
ACB
ACG
a
Ð
= Ð
= Ð
=
，
2
2
MF
BM
BF
BC
BF
CD
BD
BF
DF
BD
BF
BD
DE
=
-
=
-
=
+
-
=
+
-
=
=
Q
，
MF
CG
\
=
，
在AMF
V
和ACG
V
中，
AM
AC
M
ACG
MF
CG
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，


SAS
AMF
ACG
\V
V
≌
，
AF
AG
\
=
，
EF
EG
=
Q
，
AE
FG
\
^
，
90
AEF
\Ð
=
°．
2．（北京市第一六一中学2024-2025 学年下学期九年级开学）如图，在等边
ABC
V
中，D 为AB 上一点，连
接CD ，E 为线段CD 上一点（CE
DE
>
），将线段CE 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CF ，连接AF ．
(1)求证：BE
AF
=
；
(2)点G 为BC 延长线上一点，连接AG 交CF 于点M．若M 为AG 的中点，用等式表示线段CE
MF
DE
，
，
之
间的数量关系，并证明.
【答案】(1)见解析
(2) 2FM
DE
CE
+
=
，证明见解析
【详解】（1）证明：∵
ABC
V
为等边三角形，
∴
60
AC
BC
ACB
=
=
°
，∠
；
∵线段CE 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CF ，
∴
60
CE
CF
ECF
=
=
°
，∠
，
∴
60
BCE
ECA
ECA
ACF
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
=
°，
∴
BCE
ACF
Ð
= Ð
，
∴
(SAS)
BCE
ACF
≌
△
△
，
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∴BE
AF
=
；
（2）解：2FM
DE
CE
+
=
；
证明如下：如图，过点A 作AH
BC
∥
，交CF 的延长线于点H；
∴
60
HAC
ACB
Ð
= Ð
=
°，
H
GCM
Ð
= Ð
，
∴
HAC
ABC
Ð
= Ð
；
∵BC
AC
BCE
ACF
=
Ð
= Ð
，
，
∴
(ASA)
CBD
CAH
V
V
≌
，
∴CD
CH
=
，
∴CD
CE
CH
CF
-
=
-
，
∴DE
HF
=
；
∵M 为AG 的中点，
∴AM
GM
=
；
∵
H
GCM
Ð
= Ð
，
AMH
GMC
Ð
= Ð
，
∴
(AAS)
AHM
GCM
V
V
≌
，
∴HM
CM
=
，
∵BCE
ACF
V
V
≌
，
∴CE
CF
=
，
∴FM
DE
FM
HF
HM
CM
CF
FM
CE
FM
+
=
+
=
=
=
-
=
-
，
∴2FM
DE
CE
+
=
．
3．（北京市十一晋元中学2024-2025 学年下学期开学）Rt
ABC
△
中，
90
ACB
Ð
=
°，
B
a
Ð
=
，点D 是AB 边
中点，点E 是BC 边上一动点（不与点B 、点C 重合），连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转2a ，得到
线段DF ，连接BF ．
(1)如图1，若点F 刚好落在BC 边上，连接AF ，求证：AF
BF
=
；
(2)在图2 中判断AC 、BE 和BF 的数量关系，并证明；
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(3)若
30
a =
°，
1
AC = ，直接写出CF 的最小值为________．
【答案】(1)见解析
(2)证明见解析
(3) 1
2
【详解】（1）解：由旋转可得：DE
DF
=
，
2
EDF
Ð
a
=
，


1 180
90
2
DEF
DFE
EDF
a
\Ð
= Ð
=
°- Ð
=
°-
，
∵
B
a
Ð
=
，点F 刚好落在BC 边上，
∴


180
180
90
90
BDF
B
DFE
a
a
Ð
=
°- Ð - Ð
=
-
°-
°-
=
°
∴FD
AB
^
又∵点D 是AB 边中点，
\ DF 垂直平分AB ，
\ AF
BF
=
，
（2）解：
2
2
2
AC
BE
BF
+
=
，理由如下，
如图所示，过点A 作AG
BC
∥
，AG
BE
=
，则AG
AC
^
∴
GAD
EBD
Ð
= Ð
，
又∵点D 是AB 边中点，
∴AD
BD
=
∴


SAS
AGD
BED
V
V
≌
∴DG
DE
=
， 
∵CD 是AB 上的中线，
∴CD
AD
BD
=
=
，
∴
DBC
DCB
Ð
= Ð
∵
ABC
a
Ð
=
，则
2
ADC
DBC
DCB
a
Ð
= Ð
+ Ð
=
∴
2
GDC
GDA
a
Ð
= Ð
+
又∵旋转，则
2
EDF
Ð
a
=
，DF
DE
=
，
∴
2
BDF
BDE
GDC
a
Ð
= Ð
+
= Ð
，DG
DF
=
，
在
,
BDF
CDG
V
V
中，
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DF
DG
BDF
GDC
BD
CD
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
∴


SAS
BDF
CDG
V
V
≌
∴CG
BF
=
在Rt ACG
V
中，
2
2
2
AC
AG
CG
+
=
，
∴
2
2
2
AC
BE
BF
+
=
（3）解：如图所示，连接AF ，
由旋转可得：DE
DF
=
，
2
EDF
Ð
a
=
，
∵CD 是AB 上的中线，
∴CD
AD
BD
=
=
，
∴
DBC
DCB
Ð
= Ð
∵
ABC
a
Ð
=
，则
2
ADC
DBC
DCB
a
Ð
= Ð
+ Ð
=
∴
2
ADF
CDE
CDF
a
Ð
= Ð
=
+ Ð
∴


SAS
DAF
DCE
V
V
≌
∴
30
DAF
DCB
ABC
Ð
= Ð
= Ð
=
°
∴CF
AF
^
时，CF 取得最小值
在Rt
AFC
△
中，
1
AC = ，
60
30
30
CAF
BAC
BAF
Ð
= Ð
- Ð
=
°-
° =
°
∴
1
1
2
2
CF
AC
=
=
故答案为：1
2 ．
4．（24-25 九年级下·北京海淀·开学考试）如图，在等边
ABC
V
中，D 为边BC 上一点，连接AD ，E 为线
段AD 上一点（AE
DE
>
），将线段AE 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AF ，连接BF ．
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(1)求证：CE
BF
=
；
(2)点G 为CA 延长线上一点，连接BG 交AF 于点H．若H 为BG 的中点，用等式表示线段AE ，HF ，DE
之间的数量关系，并证明
【答案】(1)见解析
(2)
2
FM
FH
AE
+
=
，见解析
【详解】（1）证明：∵
ABC
V
为等边三角形，
∴
60
AC
BC
ACB
=
=
°
，∠
；
∵线段AE 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AF ，
∴
60
AE
AF
EAF
=
Ð
=
°
，
，
∴
60
EAC
BAD
FAB
BAD
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
=
° ，
∴
EAC
FAB
Ð
= Ð
，
∴
(SAS)
ACE
ABF
≌
△
△
，
∴CE
BF
=
；
（2）解：
2
FM
FH
AE
+
=
；
证明如下：如图，过点B 作BM
CG
∥
，交AF 的延长线于点M；
∴
60
MBA
BAC
Ð
= Ð
=
°，
M
MAG
Ð
= Ð
，
∴
MBA
ACB
Ð
= Ð
；
∵AB
AC
MAB
DAC
=
Ð
= Ð
，
，
∴
(ASA)
DAC
MAB
V
V
≌
，
∴AD
AM
=
，
∴AM
AF
AD
AE
-
=
-
，
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∴MF
DE
=
；
∵H 为BG 的中点，
∴BH
GH
=
；
∵
M
MAG
Ð
= Ð
，
AHG
BHM
Ð
= Ð
，
∴
(AAS)
AHG
MHB
V
V
≌
，
∴AH
MH
=
，
∴


2
FM
AM
FM
AF
FM
AE
FM
FH
+
=
+
=
+
=
+
，
∴
2
FM
FH
AE
+
=
．
5．（北京市第四中学2024-2025 学年九年级下学期开学）已知：如图，
ABC
V
中，
90
BAC
Ð
=
°，
AB
AC
=
，点D 是BC 边上的一个动点（不与B、C 点重合），
1
45
Ð =
°．
(1)求证：
ABD
DCE
∽
△
△
；
(2)若
1
AE
EC
=
= ，求BD 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 2 【详解】（1）证明：∵
90
BAC
Ð
=
°，AB
AC
=
，
∴
ABC
V
为等腰直角三角形，
∴
45
B
C
Ð
=
=
°
∠
，
∴
3
180
135
BAD
B
Ð
+ Ð =
°- Ð
=
°，
∵
1
45
Ð =
°，
∴
2
3
135
Ð + Ð =
°，
∴
2
BAD
Ð
= Ð ，
又∵
B
C
Ð
= Ð
，
∴
ABD
DCE
∽
△
△
；
（2）解：∵
1
AE
EC
=
= ，
∴
2
AC
AE
EC
=
+
=
，
由（1）知
ABC
V
为等腰直角三角形，
∴
2
AB
AC
=
=
，
2
2 2
BC
AC
=
=
，
设BD
x
=
，则
2 2
DC
x
=
-
，
由（1）知
ABD
DCE
∽
△
△
，
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∴AB
BD
DC
CE
=
，
∴
2
1
2 2
x
x
=
-
，
解得：
2
x =
，
∴
2
BD =
．
【题型2  几何解答平行四边形相关】
考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，灵活运用这些性质解决问题
是解题的关键．
6．（海淀区师达中学2024~2025 学年九年级下学期一模）如图，在
ABCD
Y
中，过点A 作AE
DC
^
交DC
的延长线于点E ，过点D 作DF
EA
∥
交BA 的延长线于点F ．
(1)求证：四边形AEDF 是矩形；
(2)连接BD ，若
2
AB
AE
=
=
，tan
2
ADF
Ð
=
，求BD 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
2 10
BD =
【详解】（1）证明：Q四边形ABCD 是平行四边形，
AB
DC
\
∥
，
DF
EA
Q
∥
，
\四边形AEDF 是平行四边形，
AE
DE
^
Q
，
90
E
\Ð
=
° ，
\四边形AEDF 是矩形；
（2）解：如图，
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∵四边形AEDF 是矩形，
∴
2,
90
AE
DF
F
=
=
Ð
=
° ，
∴tan
2
AF
ADF
DF
Ð
=
=
，
∴
2
4
AF
DF
=
=
，
∴
6
BF
AB
AF
=
+
=
，
∴在Rt BDF
V
中，
2
2
2
2
2
6
2 10
BD
DF
BF
=
+
=
+
=
，
∴
2 10
BD =
．
7．（北京市北京理工大学附属中学2024~2025 学年上学期九年级期中）如图，在
ABCD
Y
中，点E ，F 分别
在AB ，CD 上，BE
DF
=
，连接EF 与对角线AC 相交于点O ．
(1)求证：OE
OF
=
；
(2)连接CE ，G 为CE 的中点，连接OG ．若
2
OG =
，求AE 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)4
【详解】（1）证明：Q四边形ABCD 是平行四边形，
AB
CD
\
=
，AB
CD
∥
，
BAC
ACD
\Ð
= Ð
，
BE
DF
=
Q
，
AE
CF
∴
=
，
又
AOE
COF
Ð
= Ð
Q
，
∴


AAS
AOE
COF
△
≌△
，
OE
OF
\
=
；
（2）解：∵


AAS
AOE
COF
△
≌△
，
∴OA
OC
=
，即点O 是AC 的中点，
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又Q点G 为CE 的中点，
∴OG 是
ACE
△
的中位线，
∴
2
4
AE
OG
=
=
．
8．（24-25 九年级上·北京延庆·期中）如图，四边形ABCD 是平行四边形，DE
AB
^
于点E DF
BC
^
,
于点
F ．
(1)求证：CD
DF
BC
DE
=
(2)当
2
3
1
CD
AD
CF
=
=
=
，
，
时，求AE 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
3
2
AE =
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴
A
C
Ð
= Ð
，AD
BC
=
，
∵DE
AB
^
，DF
BC
^
，
∴
90
AED
CFD
Ð
= Ð
=
°，
∴AED
CFD
V
V
∽
，
∴CD
DF
AD
DE
=
，
∵AD
BC
=
，
∴CD
DF
BC
DE
=
；
（2）解：∵AED
CFD
V
V
∽
，
∴AE
AD
CF
CD
=
，即
3
1
2
AE =
，
∴
3
2
AE =
．
9．（2023 年北京师范大学附属实验中学中考三模）如图，在
ABCD
Y
中，点E 在BC 上，AB
BE
=
，BF 平
分
ABC
Ð
交AD 于点F ，请用无刻度的直尺画图( 保留作图痕迹，不写画法) ．
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(1)在图1中，过点A 画出
ABF
△
中BF 边上的高AG ；
(2)在图2 中，过点C 画出C 到BF 的垂线段CH ．
【答案】(1)见解析．
(2)见解析．
【详解】（1）解：如图1，AG 即为所求．
．
（2）解：如图2，连接AC ，BD 交于点O ，作射线EO ，交AD 于G ，连接CG ，交BF 于H ，则CH 即为
所求．
，
理由是：如图3，连接AE ，
，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA
OC
=
，AG
CE
∥
，
∴
AGO
CEO
Ð
= Ð
，
∵
AOG
COE
Ð
= Ð
，
∴


AOG
COE AAS
@
V
V
，
∴OG
OE
=
，
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∴四边形AECG 是平行四边形，
∴AE
CG
∥
，
∵AE
BF
^
，
∴CG
BF
^
，即CH
BF
^
．
10．（2023·北京东城·模拟预测）已知BD 垂直平分AC
BCD
ADF
AF
AC
Ð
= Ð
^
，
，
(1)求证：四边形ABDF 是平行四边形；
(2)若
5
6
AF
DF
AD
=
=
=
，
，求tan BCD
Ð
的值．
【答案】(1)见解析
(2)
4
3
【详解】（1）证明： ∵BD 垂直平分AC ，
,
AB
CB AD
CD
\
=
=
，
,
BAC
BCA
DAC
DCA
\Ð
= Ð
Ð
= Ð
，
即
,
BAD
BCD
Ð
= Ð
BCD
ADF
Ð
= Ð
Q
，
BAD
ADF
\Ð
= Ð
，
AB
FD
\
P
，
又
,
,
BD
AC AF
AC
\
^
^
AF
BD
\
P
，
∴四边形ABDF 是平行四边形；
（2）连接FB ， 交AD 于点G ，
 
AF
DF
=
Q
，
∴平行四边形ABDF 是菱形
1
90 ,
3
2
DGF
DG
AD
\Ð
=
°
=
=
，
2
2
4
FG
DF
DG
\
=
-
=
，
4
tan
3
FG
FDG
DG
\
Ð
=
=
，
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4
tan
3
BCD
\
Ð
=
．
【题型3  几何解答矩形相关】
考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角函数的定义、等腰三角形三线合一，化为最简二次根式，熟
记特殊四边形的判定与性质是解题的关键．
11．（北京市第一六一中学2024-2025 学年下学期九年级开学）如图，在
ABC
V
中，AB
AC
=
，点D 是BC
边的中点，连接AD ，分别过点A ，C 作AE
BC
∥
，CE
AD
∥
交于点E ，连接DE ，交AC 于点O ．
(1)求证：四边形ADCE 是矩形；
(2)若
10
AB =
，
4
sin
5
COE
Ð
=
，求CE 的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2) 2 5
【详解】（1）证明∶∵AB
AC
=
，点D 是BC 边的中点，
∴AD
BC
^
，
∵AE
BC
CE
AD
∥
，
∥
，
∴四边形ADCE 是平行四边形，
∵AD
BC
^
，
∴平行四边形ADCE 是矩形 ；
（2）解：如图，过点E 作EF
AC
^
于F，
∵
10
AB =
，
∴
10
AC =
，
∵四边形ADCE 是矩形，
∴
1
1
5
2
2
OE
OC
DE
AC
=
=
=
=
， 
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∵
4
sin
5
EF
COE
OE
Ð
=
=
，
∴
4
EF =
，
∴
2
2
3
OF
OE
EF
=
-
=
，
∵
5
OE
OC
=
=
，
∴
2
CF =
．
∴
2
2
2 5
CE
EF
CF
=
+
=
．
12．（24-25 九年级下·北京海淀·开学考试）如图，四边形ABCD 中，
90
B
D
Ð
= Ð
=
° ，过点C 作AD 的平行线
交AB 于点E，在AD 上取点F，使DF
CE
=
，连接EF ．
(1)求证：四边形CDFE 是矩形；
(2)若
5
CE =
，
2
CD
BE
=
，
4
tan
3
A =
，求AD 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2) 19
2
【详解】（1）证明：∵CE
DF
∥
，DF
CE
=
，
∴四边形CDFE 是平行四边形，
∵
90
D
Ð
=
°，
∴四边形CDFE 是矩形．
（2）解：由（1）已证：四边形CDFE 是矩形，
∴EF
AD
^
，EF
CD
=
，
∵DF
CE
=
，
5
CE =
，
∴
5
DF =
，
∵CE
AD
∥
，
∴
BEC
A
Ð
= Ð ，
∴
4
tan
tan
3
BEC
A
Ð
=
=
，
在Rt BCE
V
中，
4
tan
3
BC
BEC
BE
Ð
=
=
，
设


4
0
BC
x x
=
>
，则
3
BE
x
=
，
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在Rt BCE
V
中，
2
2
2
BC
BE
CE
+
=
，即



2
2
2
4
3
5
x
x
+
=
，
解得
1
x = 或
1
0
x = - <
（不符合题意，舍去），
∴
3
BE =
，
∵
2
CD
BE
=
，EF
CD
=
，
∴
2 3
6
EF
CD
=
=
´ =
，
在RtVAEF 中，
6
9
4
tan
2
3
EF
AF
A
=
=
=
，
∴
9
19
5
2
2
AD
AF
DF
=
+
=
+
=
．
13．（北京市昌平区回龙观东西学区2024-2025 学年上学期九年级期中）如图，在矩形ABCD 中，点E，F
分别在边AD ，DC 上，
ABE
DEF
△
△
∽
，
6
AB =
，
9
AE = ，
2
DE =
．
(1)求EF 的长．
(2)求证：
90
BEF
Ð
=
°．
【答案】(1) 13
(2)见解析
【详解】（1）解：∵
ABE
DEF
△
△
∽
，
∴AB
AE
DE
DF
=
，
∵
6
AB =
，
9
AE = ，
2
DE =
，
∴6
9
2
DF
=
，
∴
3
DF =
，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴
90
EDF
Ð
=
° ，
∴在Rt
DEF
△
中，
2
2
2
2
2
3
13
EF
DE
DF
=
+
=
+
=
；
（2）证明：∵
ABE
DEF
△
△
∽
，
∴
ABE
DEF
Ð
= Ð
，
∵在矩形ABCD 中，
90
A
Ð
=
°，
∴在Rt
ABE
△
中，
90
ABE
AEB
Ð
+ Ð
=
° ，
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∴
90
DEF
AEB
Ð
+ Ð
=
° ，
∴
90
BEF
Ð
=
°．
14．（24-25 九年级上·北京昌平·期中）如图，点E 是矩形ABCD 的边AB 上一点，沿直线CE 将
CBE
△
翻折，
使得点B 落在AD 边上，记作点F ．
(1)求证：
AEF
DFC
△
∽△
；
(2)若
1
3
EF
FC =
，且
6
CD = ，求BC 的长．
【答案】(1)见解析
(2)10
【详解】（1）证明：Q四边形ABCD 是矩形
90
A
B
D
\Ð
= Ð
= Ð
=
°，
Q沿直线CE 将
CBE
△
翻折，使得B 落在AD 边上，
90
EFC
\Ð
=
°，
90
AFE
CFD
\Ð
+ Ð
=
°，
90
AFE
AEF
Ð
+ Ð
=
°
Q
，
AEF
CFD
\Ð
= Ð
，
A
D
Ð
= Ð
Q
，
AEF
DFC
\△
∽△
；
（2）解：
AEF
DFC
Q△
∽△
，
EF
AF
FC
CD
\
=
，
即1
3
6
AF
=
，
解得
2
AF =
．
Q四边形ABCD 是矩形，
AD
BC
\
=
，
Q沿直线CE 将
CBE
△
翻折，使得点B 落在AD 边上，
FC
BC
\
=
，
AD
FC
\
=
，
90
D
Ð
=
°
Q
，
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2
2
2
DF
CD
FC
\
+
=
，
即
2
2
2
(
2)
6
AD
AD
-
+
=
，
解得
10
x =
，
10.
BC
AD
\
=
=
15．（24-25 九年级上·北京石景山·期末）如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 上一点，F 为矩形外一点，
90
F
AF
AE
Ð
=
°
^
，
．
(1)求证：AFB
ADE
V
V
∽
；
(2)连接BD 交AE 于点G，若
30
1
1
2
FA
AD
E
F
B
D
A
Ð
=
=
=
o
，
，
，直接写出AB 的长为 ，EG 的长为 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)4；2
5
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，E 为CD 上一点，
∴
90
ADE
BAD
Ð
= Ð
=
° ，
∵
90
F
AF
AE
Ð
=
°
^
，
，
∴
90
F
ADE
EAF
Ð
= Ð
Ð
=
°
，
，
∴
90
FAB
DAE
BAE
Ð
= Ð
=
°- Ð
，
∴AFB
ADE
V
V
∽
．
（2）解：连接BD 交AE 于点G，
∵AFB
ADE
V
V
∽
，
1
2
AD
AF =
，
1
30
DE
FAB
=
Ð
=
°
，
，
∴
1
2
DE
AD
FB
AF
=
=
，
30
FAB
DAE
Ð
= Ð
=
°，
∴
2
2
FB
DE
=
=
，
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∵
90
30
F
ADE
FAB
DAE
Ð
= Ð
=
°
Ð
= Ð
=
°
，
，
∴
2
4
2
2
AB
FB
AE
DE
=
=
=
=
，
，
∵ED
AB
∥
，
∴EDG
ABG
V
V
∽
，
∴
1
4
EG
DE
AG
AB
=
=
，
∴
1
1
2
1
4
5
5
EG
AE
AE
=
=
=
+
，
故答案为：4，2
5 ．
【题型4 几何解答菱形相关】
考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练
掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
16．（24-25 九年级下·北京海淀·开学考试）如图，在
ABCD
Y
中，
90
BAC
Ð
=
°，E ，F 分别是BC ，AD 的
中点，连接AE ，CF ，G 是线段AC 上一点，且AE
AG
=
，连接EG ．
(1)求证：四边形AECF 是菱形；
(2)若
3
cos
5
B =
，
10
BC =
，求EG 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 10
【详解】（1）证明：Q四边形ABCD 是平行四边形，
AD
BC
\
=
，AD
BC
∥
．
Q点E
F
，
分别为AD
BC
，
中点，
1
2
AF
AD
\
=
，
1
2
EC
BC
=
．
AF
EC
\
=
．
\四边形AECF 是平行四边形．
90
BAC
Ð
=
°
Q
，点E 为BC 中点，
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1
2
AE
BC
EC
\
=
=
．
\四边形AECF 是菱形．
（2）解：连接EF ，交AC 于点O ．
在Rt
ABC
△
中，
3
cos
5
B =
，
10
BC =
，
∴
3
5
AB
BC =
，解得
6
AB =
2
2
8
AC
BC
AB
\
=
-
=
．
1
2
AE
BC
=
Q
，
5
AE
\
=
．
AE
AG
=
Q
，
5
AG
\
=
．
∵四边形AECF 是菱形，
∴O 是AC 的中点，AC
EF
^
．
1
4
2
AO
AC
\
=
=
，
1
3
2
EO
AB
=
=
．
5
4
1
OG
AG
AO
\
=
-
=
-
= ．
在Rt
EOG
△
中，
2
2
10
EG
OG
OE
=
+
=
．
17．（北京市人大附中朝阳学校2024-2025 学年九年级上学期开学）已知，如图，在
ABC
V
中，
90
ABC
BD
Ð
=
°，
是
ABC
V
的中线，F 是BD 的中点，连接CF 并延长到E，使FE
CF
=
，连接BE
AE
、
．
(1)求证：四边形AEBD 是菱形；
(2)若
8
5
BC
BE
=
=
，
，求菱形AEBD 的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)24
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【详解】（1）证明：∵F 是BD 的中点，
∴DF
BF
=
，
∵
,
CF
EF
CFD
EFB
=
Ð
= Ð
，
∴


CDF
EBF SAS
V
V
≌
，
∵
90 ,
ABC
BD
Ð
=
°
是
ABC
V
中线，
∴BD
AD
CD
=
=
，
∵
CDF
EBF
≌
△
△
，
∴
,
CD
BE
FCD
FEB
=
Ð
= Ð
，
∴BE
CD
∥
，
∵BE
CD
AD
=
=
，
∴四边形AEBD 是平行四边形，
∵BD
AD
=
，
∴四边形AEBD 是菱形；
（2）解：连接ED ，
,
BE
CD CD
BE
=
∥
Q
，
∴四边形BCDE 是平行四边形，
8
DE
BC
\
=
= ，
5
AD
BE
BD
=
=
Q
，
是
ABC
V
中线，
2
10
AC
AD
\
=
=
，
90 ,
8
ABC
BC
Ð
=
°
=
Q
，
2
2
2
2
10
8
6
AB
AC
BC
\
=
-
=
-
=
，
∵四边形AEBD 是菱形，
∴菱形AEBD 的面积= 1
1
6 8
24
2
2
AB
DE
´
´
=
´ ´ =
．
18．（北京市师达中学 2024—2025 学年九年级上学期 开学）如图，
ABCD
Y
对角线AC ，BD 相交于点O ，
过点D 作
∥
DE
AC且DE
OC
=
，连接CE ，OE ，OE
CD
=
．
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(1)求证：
ABCD
Y
是菱形；
(2)若
4
AB =
，
60
ABC
Ð
=
° ，求AE 的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
7
【详解】（1）证明：
DE
AC
Q
P
，DE
OC
=
，
\四边形OCED 是平行四边形．
OE
CD
=
Q
，
\平行四边形OCED 是矩形，
90
COD
\Ð
=
°，
AC
BD
\
^
，
ABCD
\Y
是菱形；
（2）解：Q四边形ABCD 是菱形，
OA
OC
\
=
，
4
CD
AB
BC
=
=
=
，AC
BD
^
，
60
ABC
Ð
=
°
Q
，
ABC
\V
是等边三角形，
4
AC
AB
\
=
=
，
2
OA
OC
\
=
=
，
在Rt
OCD
△
中，由勾股定理得：
2
2
2
2
4
2
2 3
OD
CD
OC
=
-
=
-
=
，
由（1）可知，四边形OCED 是矩形，
2 3
CE
OD
\
=
=
，
90
OCE
Ð
=
°，
2
2
2
2
4
(2 3)
2 7
AE
AC
CE
\
=
+
=
+
=
，
即AE 的长为2 7 ．
19．（24-25 九年级上·北京海淀·开学考试）如图，在
ABC
V
中，AB
BC
=
，D，E 分别是AB ，AC 的中点，
AF
DE
∥
，EF
AD
∥
．
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(1)求证：四边形ADEF 是菱形；
(2)连接CF ，若
10,
12
AB
AC
=
=
，求CF 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
97
CF =
【详解】（1）证明：∵AF
DE
∥
，EF
AD
∥
，
∴四边形ADEF 是平行四边形，
∵D，E 分别是AB ，AC 的中点，
∴
1
1
,
2
2
DE
BC AD
AB
=
=
，
∵AB
BC
=
，
∴AD
DE
=
，
∴四边形ADEF 是菱形；
（2）解：连接DE 交AC 于点G，
∵
10,
12
AB
AC
=
=
，D，E 分别是AB ，AC 的中点，
∴
1
1
5,
6
2
2
AD
AB
AE
AC
=
=
=
=
，
∵四边形ADEF 是菱形，
∴
5
AF
AD
=
=
，AF
AC
^
，
1
3
2
AG
AE
=
=
，
∴
9
CG
AC
AG
=
-
=
，
根据勾股定理可得：
2
2
4
GF
AF
AG
=
-
=
，
∴
2
2
97
CF
GF
CG
=
+
=
．
20．（北京师范大学第二附属中学未来科学城学校2024-2025 学年九年级上学期开学）如图，在
ABC
V
中，
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AB
AC
=
，D，E 分别是AB ，BC 的中点，BF
DE
∥
，EF
DB
∥
．
(1)求证：四边形BDEF 是菱形；
(2)连接DF 交BC 于点M，连接CD ，若
4
BE =
，
2 5
AC =
，求DM ，CD 的长．
【答案】(1)详见解析
(2)
1
DM = ，
37
CD =
【详解】（1）证明：∵BF
DE
∥
，EF
DB
∥
，
∴四边形BDEF 是平行四边形，
∵AB
AC
=
，
∴
ABC
C
Ð
= Ð
，
∵D，E 分别是AB ，BC 的中点，
∴DE 是
ABC
V
的中位线，
1
2
BD
AB
=
，
∴
1
2
DE
AC
=
，
∴BD
DE
=
，
∴四边形BDEF 是菱形；
（2）解：∵四边形BDEF 是菱形，
∴DF
BE
^
，
1
2
2
BM
EM
BE
=
=
=
，
∴
90
DME
Ð
=
° ，
DE 是
ABC
V
的中位线，
∴
4
CE
BE
=
=
，
1
5
2
DE
AC
=
=
，
在Rt DEM
V
中，
2
2
5
4
1
DE
EM
DM
-
=
=
-
= ，
在Rt
CDM
△
中，
2
4
6
CM
EM
CE
=
+
=
+
=
，
∴
2
2
1 36
37
CD
DM
CM
=
+
=
+
=
．
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【题型5 几何解答正方形相关】
考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形外角的性质，
三角形内角和定理等知识．熟练掌握正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，旋
转的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理是解题的关键．
21．（北京市第一六一中学2024-2025 学年九年级上学期开学）如图，E 为正方形ABCD 内部一点，且
AE
AB
=
，BE 的延长线交CD 于点F．
(1)求证：
1
2
CBF
BAE
Ð
=
Ð
；
(2)作FG
AB
^
于点G，交AE 于点H， 用等式表示线段AH
BG
FH
，
，
的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2) AH
BG
FH
=
+
，见解析
【详解】（1）证明：∵正方形ABCD ，  
∴
90
ABC
Ð
=
°，
如图1，作AM
BE
^
于M ，
                    图1
∵AE
AB
=
，
∴
1
2
BAM
EAM
BAE
Ð
= Ð
=
Ð
，
∵
90
CBF
ABF
BAM
ABF
Ð
+ Ð
=
° = Ð
+ Ð
，
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∴
1
2
CBF
BAM
BAE
Ð
= Ð
=
Ð
，
∴
1
2
CBF
BAE
Ð
=
Ð
；
（2）解：AH
BG
FH
=
+
，证明如下；
∵正方形ABCD ，FG
AB
^
，
∴四边形BCFG 是矩形，
∴BG
CF
=
，
如图2，将
BCF
V
绕着点B 逆时针旋转90°到
BAP
△
，连接PF 交AH 于Q ，
                     图2
由旋转可知，
90
BAP
C
Ð
=
° = Ð
，
BPA
BFC
Ð
= Ð
，
90
FBP
Ð
=
°，BP
BF
=
，PA
CF
BG
=
=
，
∴
180
BAP
BAD
Ð
+ Ð
=
° ，
45
BFP
BPF
Ð
= Ð
=
° ，
∴P
A
D
、、
三点共线，
设
CBF
a
Ð
=
，则
2
BAE
a
Ð
=
，
90
BPA
BFC
a
Ð
= Ð
=
°-
，
∴
90
90
2
DAE
BAE
a
Ð
=
°- Ð
=
°-
，
45
FPA
BPA
BPF
a
Ð
= Ð
- Ð
=
°-
，
∴
45
AQP
DAE
FPA
FPA
a
Ð
= Ð
- Ð
=
°-
= Ð
，
∴QA
PA
BG
=
=
，
∵GF
AD
∥
，
∴
45
QFH
FPA
AQP
FQH
a
Ð
= Ð
=
°-
= Ð
= Ð
，
∴FH
QH
=
，
∴AH
QA
QH
BG
FH
=
+
=
+
，
∴AH
BG
FH
=
+
．
22．（北京市第十三中学2024-2025 学年九年级上学期10 月）如图，正方形AB C D
¢
¢
¢ 是由正方形ABCD 旋转
而成的，点D 在AC¢上．
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(1)直接写出旋转中心、旋转方向与旋转角；
(2)若正方形的边长是1，直接写出C D
¢
的长．
【答案】(1)旋转中心为点A 、旋转方向为逆时针旋转，旋转角为45°
(2)
2
1
-
【详解】（1）解：由题意知，旋转中心为点A 、旋转方向为逆时针旋转，旋转角为45°；
（2）解：∵正方形的边长是1，
∴
1
AD = ，
2
2
2
AC
AB
B C
¢
¢
¢ ¢
=
+
=
，
∴
2
1
C D
AC
AD
¢
¢
=
-
=
- ，
∴C D
¢
的长为
2
1
- ．
23．（北京市顺义区仁和中学2024-2025 学年九年级 上学期10 月）如图，正方形ABCD 中，M 为BC 上一
点，F 是AM 的中点，EF
AM
^
，垂足为F ，交AD 的延长线于点E ，交DC 于点N ．
(1)求证：ABM
EFA
V
V
∽
；
(2)若
8
AB =
，
6
BM =
，求AE 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 25
3
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB
AD
=
，
90
B
Ð
=
°，AD
BC
∥
，
∴
AMB
EAF
Ð
= Ð
，
又∵EF
AM
^
，
∴
90
AFE
Ð
=
° ，
∴
B
AFE
Ð
= Ð
，
∴ABM
EFA
V
V
∽
；
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（2）解：∵四边形ABCD 是正方形，
8
AB =
，
6
BM =
，
∴
90
B
Ð
=
°，
8
AD
AB
=
=
，
∴
2
2
10
AM
AB
BM
=
+
=
，
∵F 是AM 的中点，
∴
1
5
2
AF
AM
=
=
，
∵ABM
EFA
V
V
∽
，
∴BM
MA
FA
AE
=
，
即6
10
5
AE
=
，
∴
25
3
AE =
．
24．（北京市昌平区新学道临川学校2020-2021 学年九年级上学期12 月）如图，正方形ABCD 中，E，F 分
别是边AD ，CD 上的点，AE
ED
=
，
1
4
DF
DC
=
，连接EF 并延长交BC 的延长线于点G．
(1)求证：
ABE
DEF
△
△
∽
；
(2)若正方形的边长为4，求BG 的长．
【答案】(1)证明见详解；
(2)10；
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴
90
A
D
Ð
= Ð
=
°，AB
AD
=
，
∵AE
ED
=
，
1
4
DF
DC
=
，
∴
1
2
DF
DE
AE
AB
=
=
，
∴
ABE
DEF
△
△
∽
；
（2）解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD
BC
∥
，
90
D
FCG
Ð
= Ð
=
° ，
∴
DEF
G
Ð
= Ð
，
∴DEF
GCF
V
V
∽
，
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∴DF
DE
CF
CG
=
，
∵正方形的边长为4，
1
4
DF
DC
=
，AE
ED
=
，
∴
1
DF = ，
4 1
3
CF =
- =
，
2
AE
ED
=
=
，
∴1
2
3
CG
=
，
∴
6
CG =
，
∴
4
6
10
BG
BC
CG
=
+
=
+
=
．
25．（北京市朝阳区首都师范大学附属中学朝阳学校2023-2024 学年九年级上学期期中）如图，四边形ABCD
是正方形，点E 为ABCD 内一点，将BE 绕点B 顺时针旋转90°得到BF ，连接EF 、AE 、CF ，EF 与CB
交于点G．
  
(1)求证：AE
CF
=
；
(2)若
55
ABE
Ð
=
°，求
EGC
Ð
的大小．
【答案】(1)见解析
(2)80°
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB
BC
=
，
90
ABC
Ð
=
°．
∵BE 绕点B 顺时针旋转90°得到BF ，
∴BE
BF
=
，
90
EBF
Ð
=
°．
∵
90
ABE
EBG
Ð
+ Ð
=
°，
90
CBF
EBG
Ð
+ Ð
=
° ，
∴
ABE
CBF
Ð
= Ð
．
在ABE
V
和CBF
V
中，
AB
CB
ABE
CBF
BE
BF
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴


SAS
ABE
CBF
≌
△
△
，
∴AE
CF
=
；
（2）解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴
90
ABC
Ð
=
°．
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∵
55
ABE
Ð
=
°，
∴
90
55
35
EBG
Ð
=
° -
° =
° ，
∵BE 绕点B 顺时针旋转90°得到BF ，
∴BE
BF
=
，
90
EBF
Ð
=
°，
∴
45
BEG
BFG
Ð
= Ð
=
°．
∵
EGC
Ð
是BEG
V
的外角，
∴
35
45
80
EGC
EBG
BEG
Ð
= Ð
+ Ð
=
°+
° =
° ．
（建议用时：15 分钟）
1．如图，在平行四边形ABCD 中，点E，F 分别在BC ，AD 上，BE
DF
=
，AC
EF
=
．
(1)求证：四边形AECF 是矩形；
(2)若AB
AD
=
，且
4 5
4
AC
EC
=
=
，
，求AB 的长．
【答案】(1)见解析；
(2)10
【详解】（1）证明：Q四边形ABCD 是平行四边形，
AD
BC
\
=
，AD
BC
∥
，
BE
DF
=
Q
，
AD
DF
BC
BE
\
-
=
-
，
AF
CE
\
=
，
又
AF
CE
∥
Q
，
\四边形AECF 是平行四边形，
AC
EF
=
Q
，
\平行四边形AECF 是矩形；
（2）解：
AC
EF
=
Q
，
4 5
AC =
，
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4 5
EF
\
=
，
Q四边形AECF 是矩形，
90
AEC
ECF
\Ð
= Ð
=
° ，
4
EC =
Q
2
2
8
AE
AC
EC
\
=
-
=
，
Q四边形ABCD 是平行四边形，AB
AD
=
，
\四边形ABCD 是菱形，
AB
BC
\
=
，
设AB
x
=
，则
4
BE
BC
EC
x
=
-
=
-
，
在Rt
AEB
△
中，
2
2
2
AE
BE
AB
+
=
，


2
2
2
8
4
x
x
\
+
-
=
，
解得：
10
x =
，
AB 的长为10．
2．如图，已知在
ABCD
Y
中，E，F 是对角线BD 上的两点，BE
DF
=
，点G，H 分别在BA 和DC 的延长
线上，且AG
CH
=
，连接GE，EH，HF，FG．
求证：
(1)
GBE
HDF
△
≌△
；
(2)GF
EH
=
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，
,
AB
CD AB
CD
\
=
∥
，
∴
ABE
CDF
Ð
= Ð
，
∵AG
CH
=
，
∴AG
AB
CD
CH
+
=
+
，
即BG
DH
=
，
在GBE
V
与HDF
V
中，
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BG
DH
GBD
HDF
BE
DF
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴


SAS
GBE
HDF
V
V
≌
，
（2）∵
GBE
HDF
△
≌△
∴
,
GE
HF
BEG
DFH
=
Ð
= Ð
，
∴180
180
BEG
DFH
°- Ð
=
°- Ð
∴
GEF
EFH
Ð
= Ð
∴GE
HF
∥
．
∴四边形GEHF 是平行四边形．
∴GF
EH
=
3．如图，在
ABC
V
中，
=60
B
Ð
° ，点D 是BC 上一点，且
1
2
CD
BD =
，连结AD ，E、F 分别为AB
AD
、
中点，
连结EF
DE
CF
、
、
，若AD
BC
^
，
3
BC = ．
(1)求四边形DCFE 的面积；
(2)求sin
ACF
Ð
的值．
【答案】(1)
3
(2)
39
26
【详解】（1）解：∵E、F 分别为AB
AD
、
中点
∴
1
2
EF
BD
=
，EF
BD
∥
，
又∵
1
2
CD
BD =
，
∴CD
EF
∥
，CD
EF
=
，
∴四边形DCFE 为平行四边形
∵
3
BC = ，
1
2
CD
BD =
，
∴
1
DC = ，
2
BD = ，
∵AD
BC
^
，
=60
B
Ð
° ，
∴
30 ,
BAD
Ð
=
°
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∴
2
4,
AB
BD
=
=
∴
2
2
2 3
AD
AB
BD
=
-
=
，
∵F 为AD 中点，
∴
1
3
2
DF
AD
=
=
，
∴平行四边形DCFE 的面积为
1
3
3
CD
DF
´
= ´
=
；
（2）解：∵E 为AB 的中点，
∴
1
2
,
2
BE
AB
BD
=
=
=
又
60 ,
B
Ð
=
°
∴
BDE
V
是等边三角形，
∴
2,
DE
BD
=
=
∵四边形DCFE 是平行四边形，
∴
2,
CF
DE
=
=
作FG
AC
^
，交AC 于点G，
∵


2
2
2
2
2 3
1
13
AC
AD
DC
=
+
=
+
=
∴
13
sin
13
CD
DAC
AC
Ð
=
=
∴
13
39
sin
3
13
13
FG
AF
DAC
=
´
Ð
=
´
=
∴
39
sin
26
FG
FG
ACF
CF
DE
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