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专题03 等式与不等式的性质
【题型归纳目录】
题型一：不等式性质的应用
题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式
题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围
题型四：不等式的综合问题
题型五：糖水不等式
【高考考情分析】
考点要求
考题统计
复习目标
（1）掌握等式性质．
（2）会比较两个数的
大小．
（3）理解不等式的性
质，并能简单应用．
2022 年II 卷第12 题，5 分
1、理解用作差法、作商法比较两个实数的大
小．
2、理解等式与不等式的性质，掌握不等式性
质的简单应用．
1
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【知识点思维导图】
2
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【知识点梳理】
知识点1、比较大小基本方法
关系
方法
做差法
与0 比较
做商法
与1 比较
a>b
a−b>0
a
b >1(a ，b>0)
或
a
b <1(a，b<0)
a=b
a−b=0
a
b=1(b≠0)
a<b
a−b=0
a
b <1(a ，b>0)
或
a
b >1(a，b<0)
题型一：不等式性质的应用
【例1】（2025·山东菏泽·二模）设a，b
R，则下列结论正确的是（ ）
A．若a>b，则
B．若a<b<0，则
C．若a+b=2，则
≥4
D．若
，则a>b
【答案】C
【解析】对于A，取
，满足
，而
，A 错误；
对于B，由
，得
，则
，B 错误；
对于C，
，
，当且仅当a＝b＝1 时取等号，C 正确；
对于D，取
满足
，而
不成立，D 错误．
故选：C
【变式1-1】（2025·高三·江西·期中）已知
为实数，则（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】C
【解析】对于A，若
，当
时，由不等式性质得
，故A 错误；
3
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对于B，若
，当
时，
大小关系无法确定，故B 错误；
对于C，若
，则
，所以
，不等式两边同乘以
，可得
，故C 正确；
对于D，若
，则
，故D 错误．
故选：C．
【变式1-2】下列四个条件中，使
成立的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A，由
，得
，
反之，当
时，不能推出
，
故
是
成立的充分不必要条件，故A 错误；
对于B，当
时，
不成立，故
不是
成立的充分条件，
反之，当
时，
成立，故
是
成立的必要不充分条件，故B 错误；
对于C，当
时，
成立，但
不成立，所以
是
成立的不充分条件，
反之
，满足
成立，但
不成立，所以
是
成立的不必要条件，
所以
是
的既不充分也不必要条件，故C 错误；
对于D，由
在
上单调递增，可得
是
的充要条件，故D 正确．
故选：D．
【变式1-3】（2025·高三·山东·开学考试）已知
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于
、当
时显然错误；
4
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对于
、当
时显然错误；
对于
、当
时显然错误；
对于
、由
，得
，
，
则
，当且仅当
时取等号，故
正确．
故选：
．
题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式
【例2】（2025·高三·河南·开学考试）已知：
，则
大小关系是 ．
【答案】
【解析】由
，得
，因此
，
显然
，则
，
所以
大小关系是
．
故答案为：
【变式2-1】若
，
，且
，则下列不等式：①
；②
；③
；④
，其中成立的是 （写出所有正确命题的序号）．
【答案】①③④
【解析】对于①，因为
，
，且
，所以
，即
，当且仅当
时
取等号，所以①正确，
对于②，因为
，
，所以
，所以
，所以②错误，
对于③，因为
，
，所以
，所以
，当且
仅当
时取等号，所以③正确，
对于④，因为
，
，且
，所以
，所以
5
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，当且仅当
时取等号，所以④正确，
故答案为：①③④
【变式2-2】设
，
，则
，
的大小关系为 ．
【答案】
【解析】
，
，
，
、
的大小关系为
；
故答案为：
．
【变式2-3】已知
，若
，则a，b，c 从小到大的顺序是 ．
【答案】
【解析】由
可得
，
即
，
因
，
，则有
，
故得：
，
由
可得
，由
可得
，
于是有
．
故答案为：
．
【变式2-4】已知
，
，
，则
与
的大小关系为 ．
【答案】
（或
）
【解析】由
，
，
则
，
则
，
又
，
6
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则
．
故答案为：
（或
）．
知识点2、不等式的性质
（1）基本性质
性质
性质内容
对称性
a>b⇔b<a ；a<b⇔b>a
传递性
a>b ，b>c⇒a>c ；a<b，b<c⇒a<c
可加性
a>b⇔a+c>b>c
可乘性
a>b ，c>0⇒ac>bc ；a>b ，c<0⇒ac
同向
可加性
a>c ，c>d⇒a+c>b+d
同向同正
可乘性
a>b>0 ，c>d>0⇒ac>bd
可乘方性
a>b>0 ，n∈N
¿⇒an>bn
题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围
【例3】已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，故
，
又
，所以
故选：D
【变式3-1】已知
则
的取值范围是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，则有
，
即
，解得
，
所以由
，可得
，
两同向不等式相加得：
化简得
故选：C．
【变式3-2】（2025·吉林长春·模拟预测）已知
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
则
，又
，所以
，
从而
．
故选：B．
【变式3-3】已知
，则下列结论错误的是（ ）
A．
的取值范围为
B．
的取值范围为
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C．
的取值范围为
D．
取值范围为
【答案】D
【解析】A 选项，
，故
，即
，A 正确；
B 选项，因为
，所以
，
又
，故
，故
，B 正确；
C 选项，
，故
，即
的取值范围为
，C 正确；
D 选项，因为
，所以
，
又
，故
，即
，D 错误．
故选：D
【变式3-4】（2025·江苏南通·模拟预测）设
为实数，满足
，则
的最大值为
（ ）
A．27
B．24
C．12
D．32
【答案】A
【解析】由
，得
，
又
，所以
，
所以
，即
，
所以
的最大值为27．
故选：A
题型四：不等式的综合问题
【例4】（多选题）（2025·浙江温州·模拟预测）已知实数a，b 满足
，则（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】由
可知
，
，故AB 正确，
由于
，故
，C 正确，
时
，故D 错误，
故选：ABC
【变式4-1】（多选题）（2025·浙江·一模）已知
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ACD
【解析】
当且仅当
时取等号，A 选项正确；
当且仅当
时取等号，B 选项错误；
∵
，∴
，∴
，∵
，∴
，
，∴
，∴
，C 选项正确；
∵
，
∴
，∴
，D 选项正确．
故选：ACD．
【变式4-2】（多选题）（2025·吉林·模拟预测）若
，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】AC
【解析】因为
，则
，
对于选项A：
，即
；
，即
；
，即
；
所以
，故A 正确；
对于选项BD：例如
，满足
，
因为
，即
，故B 错误；
因为
，即
，故D 错误；
对于选项C：因为
，
又由选项A 知，
，
所以
，故C 正确；
故选：AC．
【变式4-3】（多选题）（2025·江西新余·模拟预测）若实数
满足：
，则下列不等式一
定成立的是：（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】A，
，故
，A 错误；
11
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B，
，
，故
单调递减，所以
，B 正确；
C，由于
，故
，C 正确；
D，取
可验证D 不成立，D 错误．
故选：BC．
题型五：糖水不等式
【例5】十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“
”作为等号使用，后来英国数
学家哈利奥特首次使用“
”和“
”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深
远．如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水．如果
克糖水中含有
克糖（
），再添加
克糖（
）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可知，加入
克糖（
）后糖水变甜了，
即糖水的浓度增加了，
加糖之前，糖水的浓度为：
；加糖之后，糖水的浓度为：
；
所以
．
故选：A．
【变式5-1】（多选题）（2025·江苏·模拟预测）已知
糖水中含有
糖（
），若再添加
糖
完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大），根据这个事实，下列不等式中一定成立
的有（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】ABD
【解析】对于A，由题意可知
，正确；
对于B，因为
，所以
，正确；
对于C，
即
，错误；
对于D，
，正确．
故选：ABD
【变式5-2】（多选题）在a 克的糖水中含有b 克的糖（
），再添加少许的糖m 克（
），全
部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式
，若
，则（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．
D．当
时，
．
【答案】ABC
【解析】由
，则
，
若
，
若
，则
，故
；
若
，则
，故
；
由题设，结合不等式性质显然有
；
故选：ABC
【变式5-3】（2025·内蒙古呼和浩特·一模）若
克不饱和糖水中含有
克糖，则糖的质量分数为
，这个
质量分数决定了糖水的甜度．如果在此糖水中再添加
克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象
出不等式
（
，
）数学中常称其为糖水不等式．依据糖水不等式可得出
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（用“
”或“
”填空）；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式 ．
【答案】
【解析】空1：因为
，所以可得：
；
空2：由空1 可得：
，即
．
故答案为：
；
【方法技巧与总结】
1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在
解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．
2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单
调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0 的大小；（4）下结论．
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1 的大小；（4）下结论．
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0 或1 比较大
小．
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式
乘积的形式，也可考虑使用作商法．
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【强化测试】
1．（24-25 高三下·云南昆明·开学考试）下列命题为真命题的是（ ）
A．已知
，若
，则
B．
，
C．
，
都不是4 的倍数
D．若
，
，则
的取值范围是
【答案】C
【解析】对于A，当
时，
，故A 不正确；
对于B，若
，
故
恒成立，故B 不正确；
对于C，当
时，
不是4 的倍数，
当
时，
也不是4 的倍数，故C 正确；
对于D，∵
，又
，
，
∴
，故D 不正确．
故选：C．
2．（24-25 高三下·河北·开学考试）若非零向量
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
15
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【解析】因为
，所以
，所以
，
又向量
为非零向量，
所以
，
即
，故A 正确，B 错误；
，无法确定与0 的大小，故C、D 均错误．
故选：A．
3．（24-25 高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若
为实数，且
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于A，当
时，
，故A 错误；
对于B，因为
，所以
，所以
，所以
，即
，故B 正确；
对于C，当
，符合
，但
，故C 错误；
对于D，因为
，所以
，当
时，
，
当
时，
，故D 错误．
故选：B．
4．（2024·四川成都·模拟预测）已知
，
，则（ ）
A．
B．
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C．
D．
，但
和
的大小关系无法确定
【答案】A
【解析】由于
，所以
，因此
，
又因为
，即
，故
故选：A．
5．已知
且满足
，则下列关系式恒成立的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对A，取
，则
，A 错误；
对B，取
，则
，即
，B 错误；
对C，取
，满足
，但
，C 错误；
对D，因为幂函数
在定义域
上单调递增，且
，所以
，D 正确；
故选：D．
6．（2022·安徽黄山·二模）设实数
，
满足
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对A：当
，
时不成立，故A 错误；
对B：当
，
，所以
，
，即
，故B 错误；
对C：当
时不成立，故C 错误；
对D：因为
，所以
，又
，
17
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所以
，
当且仅当
时，等号成立，故D 正确．
故选：D．
7．（2020·福建泉州·模拟预测）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】选项A 中，若
，则
，
由于
，所以
成立，故A 正确；
选项B 中，
，
，由
，取
，
则
，此时
，
，即
，故B 错误；
选项C 中，若
，则
，
由于
，则
，故C 错误；
选项D 中，令
，则
，故D 错误．
故选：A．
8．设
，
，则下列结论错误的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，
且
，则
【答案】B
【解析】对于A，若
，则
，则
，正确；
对于B，若
，则
，则
，不正确；
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对于C，若
，则
，正确；
对于D，因为函数
在
上单调递增，
，
，正确．
故选：B．
9．（多选题）（24-25 高三下·河南·开学考试）已知正数a，b，c 满足
，则下列说法一定正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】因为正数a，b，c 满足
，可得
，
对于选项A：
，故A 错误；
对于选项B：
，故B 正确；
对于选项C：
，
当且仅当
时，等号成立，即
，故C 正确；
对于选项D：例如
，此时
，故D 错误．
故选：BC．
10．（多选题）（24-25 高三下·河北·开学考试）已知
则下列不等式中一定正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】当
时
故A 错误；
当
时，
，故B 正确；
19
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当
时
故C 错误；
，故D 正确．
故选：BD．
11．（多选题）若
，
，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】由题
，
，且
，
对于A，
，故A 正确；
对于B，
，当且仅当
时等号成立，故B 正确；
对于C，由B 可知
，当且仅当
时等号成立，又函数
为增函数，
所以
，故C 错误；
对于D，
，当且仅当
即
时等号成
立，故D 正确．
故选：ABD．
12．（多选题）（2025·广东茂名·一模）下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
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【答案】BCD
【解析】对于A，取
，满足
，但是
，故A 错误；
对于B，因为
，不等式两边同时乘以负数
，不等式方向改变，所以
，
不等式两边同时乘以负数
，不等式方向改变，所以
，
所以
，故B 正确；
对于C，因为
，
，
又因为
，所以
，而
，即
，
，
所以
，故C 正确；
对于D，设
，即
，
则
，解得
，所以
，
又
，则
，且
，
所以
，所以
，故D 正确；
故选：BCD
13．（2024·江苏南通·一模）“
”是“
”的 ．（在“充分不必要条件”，“必要
不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选择一个填空）
【答案】充分不必要条件
【解析】由
，即
同号，
当
，则
；
当
，则
；
所以充分性成立，
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由
，存在
或
使之成立，
但此时
不成立，
所以必要性不成立，
综上，“
”是“
”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要条件
14．（24-25 高三上·福建宁德·开学考试）已知
，则
的取值范围是
．
【答案】
【解析】设
，
所以
，解得
，
所以
，
又
，所以
，
又
所以上述两不等式相加可得
，
即
，
所以
的取值范围是
，
故答案为：
．
15．已知
，则
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】
，
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，则
，
将不等式
的两边同时乘以
，可得
，
，
故答案为：
．
16．（2024·上海静安·二模）在下列关于实数
的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正
确的序号）
①
；②
；③
；④
．
【答案】②③④
【解析】对于①，取
，故①错误；
对于②，
，故②正确；
对于③，当
，要证
，即证
，
即
，即证
，
而
恒成立，
当
时，
，所以
，故③正确．
对于④，
，所以
，故④正确．
故答案为：②③④．
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24
