文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题04 基本不等式
№考向解读
考点精析
➊
真题精讲
➋
模拟精练
➌
专题训练
➍
备战2024 高考数学一轮复习
（新高
考）
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题04 基本不等式
命题解读
命题预测
复习建议
基本不等式是高考的一个重
点，根据近几年的高考分
析，基本不等式的考察主要
是利用基本不等式求最值，
求未知参数的范围等等，题
目难度主要集中在中难度
上，基本不等式牵扯到的知
识点比较多，主要集中在导
数、数列、三角函数、解析
几何等等。
预计2024 年的高考对于基本
不等式的考察还是和往年一
样，变化不是很大，主要集
中在应用上。
集合复习策略：
1.理解基本不等式以及几个
重要的不等式；
2.掌握基本不等式求最值等
方面的应用。
→➊考点精析←
一、基本不等式
1．基本不等式√ab≤a+b
2
(1)基本不等式成立的条件: a>0，b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b 时取等号.
2.几个重要的不等式
(1)a2+b2≥2ab (a，b∈R).
(2)b
a
+a
b
≥2a，b 同号).
(3)ab≤a+b
2
2(a，b∈R).
(4) a+b
2
2≤a
2+b
2
2
(a，b∈R).
3.算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b 的算术平均数为a+b
2
，几何平均数为√ab，基本不等式可叙述为:
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
4.利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)如果积xy 是定值p，那么当且仅当x=y 时，x+y 有最小值，是2√p (简记:积定和最小).
(2)如果和x+y 是定值p，那么当且仅当x=y 时，xy 有最大值，是p
2
4
(简记:和定积最大).
二、基本不等式应用
1.基本不等式与函数相结合，在函数中的应用；
2.基本不等式在求解恒成立问题中的应用，以及求解未知参数等问题。
→➋真题精讲←
1. 【2023 浙江三模】已知不等式
对任意实数
、
恒成立，则实数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
.
若
，则
，从而
无最小值，不合乎题意；
若
，则
，
.
①当
时，
无最小值，不合乎题意；
②当
时，
，则
不恒成立；
③当
时，
，
当且仅当
时，等号成立.
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以，
，解得
，因此，实数
的最小值为
.
故选C.
2.【2023 湖南省一模】函数
的图像恒过定点
，若点
在
直线
上，其中
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】由题意可得函数
的图象恒过定点
，
又点
在直线
上，∴
，
∴
=
，
当且仅当
，即
等号成立，
所以
的最小值为
．
故选B.
→➌模拟精练←
1．（2023 春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知实数
，且
，则
的最小值是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】B
【解析】
，等式
恒成立，
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，
由于
，所以
，
，
，
当且仅当
时，即
时取等号.
，
，故
的最小值为1.
故选：
.
2．（2023·广东潮州·高三统考期末）正实数
满足
，且不等式
恒
成立，则实数
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】正实数
满足
，
则
，
当且仅当
，即
且
时，等号成立，则
时，
取到最小
值4，
要使不等式
恒成立，即
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：C.
3．（2023 春·广东江门·高三江门市第一中学校考阶段练习）若
，且
，则下列不等式成立的是（ ）
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A：
，
，
，
，
，
，故A 错
误；
对于B：
，
，
，
，
即
，
，故B 错误；
对于C：
，
，
，
，
，
，
，
，故C 错误；
对于D：
，
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，
即
，
两边开平方得：
，
同理可得
，
，
三式相加得
，
当且仅当
时取等号，故D 正确.
故选：D.
4．（2023·广东江门·高三江门市棠下中学校联考期末）已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．13
B．14
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
，
，
,
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当且仅当
时，即
，而又
,所以
，
此时不等式可取等号.
所以
的最小值为
故选：C.
5．（2023 春·广东广州·高三统考阶段练习）已知
，
，且
，则
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
，且
，
所以
，当且仅当
，即
时等号成立，
故选：D．
6．（2023·山东烟台·统考三模）已知
且
，则（ ）
A．
的最大值为
B．
的最大值为2
C．
的最小值为6
D．
的最小值为4
【答案】BC
【分析】利用基本不等式可判断AB；先将
化为
，再妙用“1”可判断C；取
特值可判断D.
【详解】因为
，所以
，当且仅当
时，等号成
立，故
错误；
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
因为
，所以
，
即
，
，当且仅当
时，等号成立，故B 正确；
由
得
，所以
，
因为
，
所以
，当且仅当
时，等号成立，故C 正确；
令
，则
，所以
的最小值不是4，D 错误.
故选：BC.
7．（2023 春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）若正数a，b 满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】A 选项：根据基本不等式，
，
当且仅当
时，等号成立，故A 对；
B 选项：因为
，所以
，
所以
，
，
同理，
，所以
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立，故B 对；
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
C 选项：因为
，所以
，
所以
，
又因为
，
，
所以
，
，
，
，
，
所以
，故C 对；
D 选项：
，所以
，化简得
，
当且仅当
时，等号成立，故D 错误；
故选：ABC.
8．（2023 春·广东·高三校联考阶段练习）若直线
经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】因为直线
经过点
，则
，所以
，
对于
，因为
，
所以
当且仅当
时等号成立，故
选项
错误；
对于
，因为
当且仅当
时等号成立，所以
，则
，故选项
正确；
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
对于
，
，
当
，
时等号成立，故选项
正确；
对于
，因为
，
，所以
，且
，
由
可得：
，
，当
，
时等号
成立，故选项
正确；
故选：
.
9．（2023·山东日照·三模）设
且
，则
的最小值为
_________．
【答案】
【分析】由已知条件可知
，且
，再展开
，并利用基本不等式求其最小值.
【详解】因为
，
所以
，
，
因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时取得最小值．
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故答案为：
.
10．（2023·山东济南·统考三模）已知正数
满足
，则
的最小值为
___________.
【答案】18
【分析】对等式进行变形，再根据基本不等式进行求解即可.
【详解】因为
，则
，又
，
是正数，
所以
，
当
取得等号，即
且
时取等号，
所以
的最小值为
，
故答案为：
.
11．（2023 春·广东江门·高三校联考开学考试）已知正数x，y，z 满足
，当
取最大值时，
的最小值为______.
【答案】
【解析】因为
，
所以
，
因为
，所以
，当且仅当
，
时等号成立，
所以当
，
时，
取最大值
，
所以当
取最大值时，
，
，
，
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，
所以当
时，
取最小值
.
故答案为：
.
12．（2023·广东·高三校联考期末）已知a，b 都是正数，则
的最小值是
______．
【答案】2
【解析】因为
均为正实数，故设
，
，则
联立解得
，
，
，
当且仅当
，即
，即
，即
时取等号，
故答案为：2.
13．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知
，且
，则
的最小值
是_____．
【答案】25
【解析】因为
，且
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故答案为：25
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
14．（2023·江苏常州·校考二模）在
中，
所对的边分别为
，且
，其中
是三角形外接圆半径，且
不为直角.
(1)若
，求
的大小；
(2)求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据余弦定理和正弦定理即可求出
的大小.
(2)运用正弦定理和二倍角的余弦公式，化简，再利用基本不等式求解
的最小值.
【详解】（1）在
中，
，
进而
，
，
，
又
不为直角，则
，
，
，
.
（2）由(1)知，
转化为
，又
，
，
.
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
的最小值为
.
→➍专题训练←
1.（多选）若a，b 为非零实数，则以下不等式中恒成立的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】利用求差法证明选项AB 正确；举反例否定选项CD.
【详解】选项A：由
，可得
.判断正
确；
选项B：由
，可得
.判断正
确；
选项C：当
时，
，由
，可得
.判断
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
错误；
选项D：当
时，
.判断错误.
故选：AB
2.已知
，则
的最小值是 ．
【答案】
【解析】∵
∴
且
∴
，当且仅当
，即
时取等号.∴
的最小值为
.
故答案为
.
3. 已知
，且
，则
的最小值为 ．
【答案】4
【解析】
，
,
，当且仅当
=4 时取等号，
结合
,解得
，或
时，等号成立.
故答案为4
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
4. 设
，则
的最小值为______.
【答案】
【解析】
，
当且仅当
，即
时成立，
故所求的最小值为
。
5.已知a，b∈R,且a-3b+6=0,则2a+ 1
8
b的最小值为 .
【答案】1
4
【解析】由已知得a-3b=-6,由基本不等式得2a+ 1
8
b≥2√2
a-3b= 2
2
3=1
4 ,当且仅当a=-3,b=1 时
取等号.
6. 已知
为正数，且满足
，证明：
（1）
（2）
【解析】（1）
，
.
由基本不等式可得：
，
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
于是得到
.
（2）由基本不等式得到：
，
，
.
于是得到
7.已知函数
，不等式
的解集为
．
（1）解不等式
；
（2）若
，
，
，求证：
．
【解析】（1）由
，得
，
的解集为
，
则
，
，得
．
不等式
可化为
，
则
或
或
，
解得
或
或
，
所以原不等式的解集为
或
．
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）因为
，
，
所以
，即
．
所以
，
当且仅当
，即
，
时取等号．
所以不等式得证.
19
