重难点04+二次函数解答题（4大题型+高分技法+限时提升练）（原卷版）_2025中考数学题型解题分类专题合集_2025年中考数学热点•重点•难点专练[完整版]www.jiaoyupan.vip

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重难点04 二次函数解答题
北京中考数学中，二次函数通常以综合题的形式出现，尤其是在试卷的倒数第三题或压轴题中。这类题目
不仅考查二次函数的基本知识（如开口方向、对称轴、顶点坐标等），还结合几何图形或其他数学知识进
行综合分析，要求学生具备较强的数形结合能力和逻辑推理能力。例如，2021 年北京中考第26 题就涉及二
次函数的对称性和单调性，并结合几何图形进行分析。北京中考二次函数题目不仅考查学生对基础知识的
掌握，还注重考查学生的数学思维能力和实际应用能力。例如，2024 年北京中考第26 题要求学生综合运用
二次函数的知识解决实际问题，并通过分类讨论的方法得出结论。这种题目设计旨在培养学生的逻辑推理
能力和问题解决能力。
【题型1  求对称轴】 
考查了二次函数图像上点的坐标特征：掌握二次函数的性质，掌握二次函数图像与系数的关系是解题的
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关键．直接根据对称轴公式可得对称轴直线方程。
1．（2024 年北京市陈经纶中学中考一模）在平面直角坐标系O
x y 中，已知抛物线
2
2
(
)
2
3
0
y
ax
a x
a
=
-
-
¹
(1)求该抛物线的对称轴（用含a 的式子表示）；
(2)若
1
a = ，当2
3
x
- <
<
时，求y 的取值范围；
(3)已知


1
2
1,
A
a
y
-
，


2
,
B a y
，

3
2,
C a
y
+
为该抛物线上的点，若


1
3
3
2
0
y
y
y
y
-
-
>
，求a 的取值范围．
2．（2024·北京平谷·二模）在平面直角坐标系xOy 中，
1
1
(
)
M x
y
，
，
2
2
(
)
N x
y
，
是抛物线
2
2
2
1
y
x
mx
m
=
-
+
-
上任意两点．
(1)求抛物线的对称轴（用含m 的式子表示）；
(2)若
2
1
(
0)
x
x
n n
=
+
>
，点M
N
、
中至少有一个点位于x 轴的上方，直接写出n 的范围；
(3)若对于
1
2
1
2
2
x
x
m
-
=
+
＜＜,
时，都有
1
2
y
y
<
，求m 的取值范围．
3．（2024·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy 中，


1
1
,
M x y
，


2
2
,
N x
y
是抛物线
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
>
上任意两点，其中
1
2
x
x
<
．
(1)若抛物线经过点

4,c ，
①求抛物线的对称轴；
②当
1
2
4
x
x
+
>
时，比较
1y ，
2y 的大小，并说明理由；
(2)设抛物线的对称轴为直线x
t
= ，若存在实数m，当t
m

时，
1x
m
=
，
2
1
x
m
=
+ ，都有
1
2
2
y
y
-
³
，直接
写出a 的取值范围．
4．（2024 年北京市第十一中学中考三模）在平面直角坐标系xOy 中，

1
1,
A t
y
-
，


2
,
B t y
，


3
2,
C t
y
+
三
点都在抛物线
2
2
4(
0)
y
ax
ax
a
=
-
+
>
上，
(1)这个抛物线的对称轴为直线_________；
(2)若无论t 取何值，点A、B、C 中至少有两点在x 轴上方，结合函数图象，求a 的取值范围．
5．（2024·北京海淀·一模）在平面坐标系xOy 中，点( , )
m n 在抛物线
2
(
0)
y
ax
bx a
=
+
>
上，其中
0
m ¹
．
(1)当
4
m =
，
0
n =
时．求抛物线的对称轴；
(2)已知当0
4
m
<
<
时，总有
0
n < ．
①求证：4
0
a
b
+

；
②点
1
( ,
)
P k y
，
2
(3 ,
)
Q
k y
在该抛物线上，是否存在a，b，使得当1
2
k
<
< 时，都有
1
2
y
y
<
？若存在，求出a
与b 之间的数量关系；若不存在，说明理由．
【题型2  比较函数值的大小】
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主要考查二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题等，数形结合思想及求二次函数与一次函数交
点需要联立方程是解题基础．结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论。
6．（2024·北京大兴·二模）在平面直角坐标系xOy 中，点


1,
A
m
-
和点


4,
B
n 在抛物线
2
2
y
ax
bx
=
+
-
（
0
a >
）上，设抛物线的对称轴为x
t
= ．
(1)若
1
m = ，
6
n =
，求t 的值；
(2)已知点


1
1,
C
y
，
2
3 ,
2
D
t y





在该抛物线上，若
2
m > - ，
2
n < - ，比较
1y ，
2y 的大小，并说明理由．
7．（2024·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线


2
2
2
y
x
m x
m
=
-
+
+
的对称轴为直线x
t
= ．
(1)求t 的值（用含m 的代数式表示）；
(2)点


1
,
A
t y
-
，


2
,
B t y
，


3
1,
C t
y
+
在该抛物线上．若抛物线与x 轴的一个交点为

0,0
x
，其中
0
0
2
x
<
<
，
比较
1y ，
2y ，
3y 的大小，并说明理由．
8．（2023·北京西城·二模）在平面直角坐标系xOy 中，点
1
1
( ,
)
x y
，
2
2
(
,
)
x
y
都在抛物线


2
2
8
0
y
ax
ax
a
=
-
+
<
上，且
1
1
2
x
- <
<
，
2
1
7
m
x
m
-
<
<
+
．
(1)当
2
m = - 时，比较
1y ，
2y 的大小关系，并说明理由；
(2)若存在
1
x ，
2x ，满足
1
2
y
y
=
，求m 的取值范围．
9．（北京市第二十七中学2022 一2023 学年九年级上学期12 月）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
2
y
ax
ax
=
-
与x 轴交于A，B 两点（A 在B 的左侧）．
(1)求点A，B 的坐标及抛物线顶点坐标；
(2)已知点

1
1, y
-
，

2
1.5, y
，

3
2, y
在该抛物线上，比较
1y ，
2y ，
3y 的大小，并说明理由．
(3)已知点


1, 2
C
-
向右平移两个单位再向下平移一个单位得到点D，若抛物线与线段CD 只有一个公共点，
直接写出a 的取值范围．
10．（2022·北京海淀·二模）在平面直角坐标系xOy 中，点（m – 2, y1），（m, y2），（2- m, y3）在抛物线
y = x2－2ax + 1 上，其中m≠1 且m≠2．
(1)直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a 的式子表示）；
(2)当m = 0 时，若y1= y3，比较y1 与y2 的大小关系，并说明理由；
(3)若存在大于1 的实数m，使y1＞y2＞y3，求a 的取值范围．
【题型3  求参数的范围】
考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键．首先
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可求得抛物线的解析式及对称轴所在的直线，再根据二次函数的性质，即可得结论；分两种情况，即开
口向上和向下时，分别讨论计算即可求得．
11．（北京市三帆中学2021-2022 学年九年级下学期一模）在平面直角坐标系xOy 中，点

1
1, y
-
，

2
1, y
，


3
2, y
在抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 上．
(1)若
1
a = - ，
2
b = - ，
0
c =
，求该抛物线的对称轴并比较
1y ，
2y ，
3y 的大小；
(2)已知抛物线的对称轴为x
t
= ，若
2
3
1
y
c
y
y
<
<
<
，求t 的取值范围．
12．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线


2
2
2
0
=
-
¹
y
ax
a x a
.
(1)当
1
a = 时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知


1
1
,
M x y
和


2
2
,
N x
y
是抛物线上的两点.若对于
1
3
x
a
=
，
2
3
4
x


，都有
1
2
y
y
<
，求a 的取值范围.
13．（2024·北京东城·二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线


2
2
2
4
0
y
ax
amx
am
a
=
-
+
-
>
．
(1)求该抛物线的顶点坐标（用含m 的式子表示）；
(2)若对于该抛物线上的三个点


1
2,
A m
y
-
，

2
2 ,
B
m y
，


3
2
2,
C
m
y
-
，总有
1
2
3
y
y
y
>
>
，求实数m 的取值
范围．
14．（2024 年北京市燕山区中考一模）在平面直角坐标系xOy 中，


1
,
M m y
，


2
2,
N m
y
+
是抛物线
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
>
上两点．设该抛物线的对称轴为x
t
= ．
(1)若对于
1
m = ，有
1
2
y
y
=
，求t 的值；
(2)若对于1
2
m
<
<
，都有
1
2
y
y
<
，求t 的取值范围．
15．（2024·北京西城·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
>
经过点
(1,
), (2,
2),
(0, 1)
A
m B
m
C
+
-
．
(1)c = ___________，m 的取值范围是__________；
(2)点




1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
在抛物线
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
>
上，若对于
1
2
0
1,1
2
x
x
<
<
<
<
，都有
1
2
y
y
<
，求m
的取值范围．
【题型4  最值问题】
二次函数综合题，考查了二次函数的性质等知识，熟练掌握二次函数的对称轴公式，增减性，顶点坐标
等知识是解题关键．
16．（2024 年北京市广渠门中学中考二模）已知抛物线


2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
>
的对称轴为直线x
t
= ．
(1)当
2
t =
时，
①写出b 与a 满足的等量关系；
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②当函数图象经过点

1,3 ，

1
1
,
x
y
，

1
2
2,
x
y
+
时，求
1
2
y
y
+
的最小值；
(2)已知点


1,
A
m
-
，


3,
B
n ，


0,
C x
p 在该抛物线上，若对于
x
<
<
0
3
4，都有m
p
n
>
>
，直接写出t 的取值
范围．
17．（2022 年北京市一零一教育集团九年级下学期零模）已知二次函数
2
4
3
y
ax
ax
a
=
-
+
．
(1)该二次函数图象的对称轴是x =___________；
(2)若该二次函数的图象开口向下，当1
4
x


时，y 的最大值是2，求当1
4
x


时，y 的最小值：
(3)若对于该抛物线上的两点



1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
，当
1
2
1,
5
t
x
t
x

+
³
时，均满足
1
2
y
y
³
，请结合图象，直接
写出t 的最大值．
18．（北京师范大学实验中学2022-2023 学年九年级下学期二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线


2+
3
0
y
ax
bx
a a
=
+
¹
与x 轴的交点为点
(
)
1,0
A
和点B．
(1)用含a 的式子表示b；
(2)求抛物线的对称轴和点B 的坐标；
(3)分别过点

,0
P t
和点


2 0
Q t + ,
作x 轴的垂线，交抛物线于点M 和点N，记抛物线在M，N 之间的部分为
图象G（包括M，N 两点）．记图形G 上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n．
①当
1
a = 时，求m
n
-
的最小值；
②若存在实数t，使得
1
m
n
-
= ，直接写出a 的取值范围．
19．（2021·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
4
2
y
ax
ax
=
-
+
(
0)
a >
与y 轴交于点A． 
（1）求点A 的坐标及抛物线的对称轴；
（2）当0
5
x


时，y 的最小值是－2，求当0
5
x


时，y 的最大值；
（3）抛物线上的两点 P（
1
x ，
1y ），Q（
2x ，
2y ），若对于
1
1
t
x
t
<
< + ，
2
2
3
t
x
t
+
<
< + ，都有
1
2
y
y
¹
，直
接写出t 的取值范围．
20．（2021·北京石景山·二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数
2
y
x
bx
c
=
+
+
．
（1）当
2
b = - 时，
①若
4
c =
，求该函数最小值；
②若2
3
x


，则此时x 对应的函数值的最小值是5，求c 的值；
（2）当
2
c
b
=
时，若对于任意的x 满足
2
b
x
b


+
且此时x 所对应的函数值的最小值是12，直接写出b 的
值．
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（建议用时：30 分钟）
1．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线


2
2
2
3
0
y
ax
a x
a
=
-
-
¹
．
(1)求该抛物线的对称轴（用含a 的式子表示）；
(2)


1
1
,
A x y
，


2
2
,
B x
y
为该抛物线上的两点，若
1
2
x
a
= -
，
2
1
x
a
=
+ ，且
1
2
3
y
y
>
> - ，求a 的取值范围．
2．在平面直角坐标系xOy 中，


1
1
,
M x y
，


2
2
,
N x
y
是抛物线




2
0
y
a x
t
k a
=
-
+
>
上任意两点．
(1)若对于
1
0,
1
x
t
=
= ，有
1
2
y
y
=
，求
2x 的值：
(2)若对于
1
2
0
1,
1
2
x
t
x
t
<
<
+ <
< +
，都不存在
1
2
y
y
=
，求t 的取值范围．
3．在平面直角坐标系xOy 中，点




1
2
3
1,
,
A
y
B a
y
+
- ，
在抛物线
2
2
1
=
-
+
y
x
ax
上．
(1)当
2
a =
时，求抛物线的顶点坐标，并直接写出
1y 和
2y 的大小关系；
(2)抛物线经过点


3
,
C m y
①当
2
m =
时，若
1
3
y
y
=
，则a 的值为________；
②若对于任意的2
6
m


都满足
1
3
2
y
y
y
>
>
，求a 的取值范围．